Сила ампера для трех параллельных проводников. Сила Ампера

Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы. Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, Ампер установил, что сила d ,с которой магнитное поле действует на элемент проводника d с током, находящийся в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длиной d проводника на магнитную индукцию :

Направление вектора d может быть найдено, согласно (3.3.1), по общим правилам векторного произведения, откуда следует правило левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор , а четыре вы­тянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

где a -угол между векторами d и .

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I 1 и I 2 (направления токов указаны на рис. 3.3.2), расстояние между которыми равно R.

Каждый из проводников создает магнит­ное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Рассмотрим, с какой силой действует магнитное поле тока I 1 на элемент dl второго проводника с током 1 2 .

Ток I 1 создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора задается правилом правого винта, его модуль по формуле (3.3.2) равен

Направление силы d 1 , с которой поле 1 действует на участок dl, второ­го тока, определяется по правилу левой руки и указано на рис 3.3.1. Модуль силы,
согласно (3.3.2), с учетом того, что угол, а между элементами тока 1 2 и вектором
1 прямой равен

или, подставляя значения для В 1 , получим

Рассуждая аналогично, можно показать, что сила dF 2 , с которой магнитное поле тока I 2 действует на элемент dl первого проводника с током I 1 , направле­на в противоположную сторону и по модулю равна

Сила взаимодействия параллельных токов. Закон Ампера

Если взять два проводника с электрическими токами, то они будут притягиваться друг к другу, если токи в них направлены одинаково и отталкиваться, если токи текут в противоположных направлениях. Сила взаимодействия, которая приходится на единицу длины проводника, если они параллельны, может быть выражена как:

где $I_1{,I}_2$ -- токи, которые текут в проводниках, $b$- расстояние между проводниками, $в\ системе\ СИ\ {\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\frac{Гн}{м}\ (Генри\ на\ метр)$ магнитная постоянная.

Закон взаимодействия токов был установлен в 1820 г. Ампером. На основании закона Ампера устанавливают единицы силы тока в системах СИ и СГСМ. Так как ампер равен силе постоянного тока, который при течении по двум параллельным бесконечно длинным прямолинейным проводникам бесконечно малого кругового сечения, находящихся на расстоянии 1м друг от друга в вакууме вызывает силу взаимодействия этих проводников равную $2\cdot {10}^{-7}Н$ на каждый метр длины.

Закон Ампера для проводника произвольной формы

Если проводник с током находится в магнитном поле, то на каждый носитель тока действует сила равная:

где $\overrightarrow{v}$ -- скорость теплового движения зарядов, $\overrightarrow{u}$ -- скорость упорядоченного их движения. От заряда, это действие передается проводнику, по которому заряд перемещается. Значит, на проводник с током, который находится в магнитном, поле действует сила.

Выберем элемент проводника с током длины $dl$. Найдем силу ($\overrightarrow{dF}$) с которой действует магнитное поле на выделенный элемент. Усредним выражение (2) по носителям тока, которые находятся в элементе:

где $\overrightarrow{B}$ -- вектор магнитной индукции в точке размещения элемента $dl$. Если n -- концентрация носителей тока в единице объема, S -- площадь поперечного сечения провода в данном месте, тогда N -- число движущихся зарядов в элементе $dl$, равное:

Умножим (3) на количество носителей тока, получим:

Зная, что:

где $\overrightarrow{j}$- вектор плотности тока, а $Sdl=dV$, можно записать:

Из (7) следует, что сила, действующая на единицу объема проводника равна, плотность силы ($f$):

Формулу (7) можно записать в виде:

где $\overrightarrow{j}Sd\overrightarrow{l}=Id\overrightarrow{l}.$

Формула (9) закон Ампера для проводника произвольной формы. Модуль силы Ампера из (9) очевидно равен:

где $\alpha $ -- угол между векторами $\overrightarrow{dl}$ и $\overrightarrow{B}$. Сила Ампера направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы $\overrightarrow{dl}$ и $\overrightarrow{B}$. Силу, которая действует на провод конечной длины можно найти из (10) путем интегрирования по длине проводника:

Силы, которые действуют на проводники с токами, называют силами Ампера.

Направление силы Ампера определяется правилом левой руки (Левую руку надо расположить так, чтобы линии поля входили в ладонь, четыре пальца были направлены по току, тогда отогнутый на 900 большой палец укажет направление силы Ампера).

Пример 1

Задание: Прямой проводник массой m длиной l подвешен горизонтально на двух легких нитях в однородном магнитном поле, вектор индукции этого поля имеет горизонтальное направление перпендикулярное проводнику (рис.1). Найдите силу тока и его направление, который разорвет одну из нитей подвеса. Индукция поля B. Каждая нить разорвется при нагрузке N.

Для решения задачи изобразим силы, которые действуют на проводник (рис.2). Будем считать проводник однородным, тогда можно считать, что точка приложения всех сил - середина проводника. Для того, чтобы сила Ампера была направлена вниз, ток должен течь в направлении из точки А в точку В (рис.2) (На рис.1 магнитное поле изображено, направленным на нас, перпендикулярно плоскости рисунка).

В таком случае уравнение равновесия сил, приложенных к проводнику с током запишем как:

\[\overrightarrow{mg}+\overrightarrow{F_A}+2\overrightarrow{N}=0\ \left(1.1\right),\]

где $\overrightarrow{mg}$ -- сила тяжести, $\overrightarrow{F_A}$ -- сила Ампера, $\overrightarrow{N}$ -- реакция нити (их две).

Спроектируем (1.1) на ось X, получим:

Модуль силы Ампера для прямого конечного проводника с током равен:

где $\alpha =0$ -- угол между векторами магнитной индукции и направлением течения тока.

Подставим (1.3) в (1.2) выразим силу тока, получим:

Ответ: $I=\frac{2N-mg}{Bl}.$ Из точки А и точку В.

Пример 2

Задание: По проводнику в виде половины кольца радиуса R течет постоянный ток силы I. Проводник находится в однородном магнитном поле, индукция которого равна B, поле перпендикулярно плоскости, в которой лежит проводник. Найдите силу Ампера. Провода, которые подводят ток вне поля.

Пусть проводник находится в плоскости рисунка (рис.3), тогда линии поля перпендикулярны плоскости рисунка (от нас). Выделим на полукольце бесконечно малый элемент тока dl.

На элемент тока действует сила Ампера равная:

\\ \left(2.1\right).\]

Направление силы определяется по правилу левой руки. Выберем координатные оси (рис.3). Тогда элемент силы можно записать через его проекции (${dF}_x,{dF}_y$) как:

где $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$ -- единичные орты. Тогда силу, которая действует на проводник, найдем как интеграл по длине провода L:

\[\overrightarrow{F}=\int\limits_L{d\overrightarrow{F}=}\overrightarrow{i}\int\limits_L{dF_x}+\overrightarrow{j}\int\limits_L{{dF}_y}\left(2.3\right).\]

Из-за симметрии интеграл $\int\limits_L{dF_x}=0.$ Тогда

\[\overrightarrow{F}=\overrightarrow{j}\int\limits_L{{dF}_y}\left(2.4\right).\]

Рассмотрев рис.3 запишем, что:

\[{dF}_y=dFcos\alpha \left(2.5\right),\]

где по закону Ампера для элемента тока запишем, что

По условию $\overrightarrow{dl}\bot \overrightarrow{B}$. Выразим длину дуги dl через радиус R угол $\alpha $, получим:

\[{dF}_y=IBRd\alpha cos\alpha \ \left(2.8\right).\]

Проведем интегрирование (2.4) при $-\frac{\pi }{2}\le \alpha \le \frac{\pi }{2}\ $подставив (2.8), получим:

\[\overrightarrow{F}=\overrightarrow{j}\int\limits^{\frac{\pi }{2}}_{-\frac{\pi }{2}}{IBRcos\alpha d\alpha }=\overrightarrow{j}IBR\int\limits^{\frac{\pi }{2}}_{-\frac{\pi }{2}}{cos\alpha d\alpha }=2IBR\overrightarrow{j}.\]

Ответ: $\overrightarrow{F}=2IBR\overrightarrow{j}.$

Применим закон Ампера для вычисления силы взаимодействия двух длинных прямолинейных проводников с токами I 1 и I 2 , находящихся на расстоянии d друг от друга (рис. 6.26).

Рис. 6.26. Силовое взаимодействие прямолинейных токов:
1 - параллельные токи; 2 - антипараллельные токи

Проводник с током I 1 создает кольцевое магнитное поле, величина которого в месте нахождения второго проводника равна

Это поле направлено «от нас» ортогонально плоскости рисунка. Элемент второго проводника испытывает со стороны этого поля действие силы Ампера

Подставляя (6.23) в (6.24), получим

При параллельных токах сила F 21 направлена к первому проводнику (притяжение), при антипараллельных - в обратную сторону (отталкивание).

Аналогично на элемент проводника 1 действует магнитное поле, создаваемое проводником с током I 2 в точке пространства с элементом с силой F 12 . Рассуждая таким же образом, находим, что F 12 = –F 21 , то есть в этом случае выполняется третий закон Ньютона.

Итак, сила взаимодействия двух прямолинейных бесконечно длинных параллельных проводников, рассчитанная на элемент длины проводника, пропорциональна произведению сил токов I 1 и I 2 протекающих в этих проводниках, и обратно пропорциональна расстоянию между ними. В электростатике по аналогичному закону взаимодействуют две длинные заряженные нити.

На рис. 6.27 представлен опыт, демонстрирующий притяжение параллельных токов и отталкивание антипараллельных. Для этого используются две алюминиевые ленты, подвешенные вертикально рядом друг с другом в слабо натянутом состоянии. При пропускании через них параллельных постоянных токов силой около 10 А ленты притягиваются. а при изменении направления одного из токов на противоположное - отталкиваются.

Рис. 6.27. Силовое взаимодействие длинных прямолинейных проводников с током

На основании формулы (6.25) устанавливается единица силы тока - ампер , являющаяся одной из основных единиц в СИ.

Пример. По двум тонким проводам, изогнутым в виде одинаковых колец радиусом R = 10 см, текут одинаковые токи I = 10 А в каждом. Плоскости колец параллельны, а центры лежат на ортогональной к ним прямой. Расстояние между центрами равно d = 1 мм. Найти силы взаимодействия колец.

Решение. В этой задаче не должно смущать, что мы знаем лишь закон взаимодействия длинных прямолинейных проводников. Поскольку расстояние между кольцами много меньше их радиуса, взаимодействующие элементы колец «не замечают» их кривизны. Поэтому сила взаимодействия дается выражением (6.25), куда вместо надо подставить длину окружности колец Получаем тогда

Анимация

Описание

В 1820 г. Ампер открыл взаимодействие токов - притяжение или отталкивание параллельных токов. Это позволило поставить задачу исследования: свести все магнитные взаимодействия к взаимодействию элементов тока и найти закон их взаимодействия как фундаментальный закон, играющий в магнетизме роль, аналогичную закону Кулона в электричестве. Используемая в настоящее время формула для взаимодействия элементов тока была получена в 1844 г. Грассманом (1809-1877 гг.) и имеет вид:

, (в "СИ") (1)

, (в гауссовой системе)

где d F 12 - сила, с которой элемент тока I 1 d I 1 действует на элемент тока I 2 d I 2 ;

r 12 - радиус-вектор, проведенный от элемента I 1 d I 1 к элементу тока I 2 d I 2 ;

c =3Ч 108 м/с - скорость света.

Взаимодействие элементов тока

Рис. 1

Сила d F 12 , с которой элемент тока I 2 d I 2 действует на элемент тока I 1 d I 1 , имеет вид:

. (в "СИ") (2)

Силы d F 12 и d F 21 , вообще говоря, не коллинеарны друг другу, следовательно, взаимодействие элементов тока не удовлетворяет третьему закону Ньютона:

d F 12 +d F 21 № 0.

Закон (1) имеет вспомогательный смысл, приводя к правильным, подтвержденным на опыте значениям силы только после интегрирования (1) по замкнутым контурам L 1 и L 2 .

Сила, с которой ток I 1 , текущий по замкнутому контуру L 1 , действует на замкнутый контур L 2 с током I 2 , равна:

. (в "СИ") (3)

Аналогичный вид имеет сила d F 21 .

Для сил взаимодействия замкнутых контуров с током третий закон Ньютона выполняется:

d F 12 +d F 21 =0

В полной аналогии с электростатикой взаимодействие элементов тока представляется так: элемент тока I 1 d I 1 в точке нахождения элемента тока I 2 d I 2 создает магнитное поле, взаимодействие с которым элемента тока I 2 d I 2 приводит к возникновению силы d F 12 .

, (4)

. (5)

Соотношение (5), описывающее порождение магнитного поля током, называется законом Био-Савара.

Сила взаимодействия параллельных токов.

Индукция магнитного поля, создаваемого прямолинейным током I 1 , текущим по бесконечно длинному проводнику, в точке нахождения элемента тока I 2 dx 2 (см. рис. 2) выражается формулой:

. (в "СИ") (6)

Взаимодействие двух параллельных токов

Рис. 2

Формула Ампера, определяющая силу, действующую на элемент тока I 2 dx 2 , находящийся в магнитном поле В 12 , имеет вид:

, (в "СИ") (7)

. (в гауссовой системе)

Эта сила направлена перпендикулярно проводнику с током I 2 и является силой притяжения. Аналогичная сила направлена перпендикулярно проводнику с током I 1 и является силой притяжения. Если токи в параллельных проводниках текут в противоположные стороны, то такие проводники отталкиваются.

Андре Мари Ампер (1775-1836) - французский физик.

Временные характеристики

Время инициации (log to от -15 до -12);

Время существования (log tc от 13 до 15);

Время деградации (log td от -15 до -12);

Время оптимального проявления (log tk от -12 до 3).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

Схема установки для "взвешивания" токов измерения

Реализация единицы 1А с помощью силы, действующей на катушку с током.

Внутри большой фиксированной катушки помещается «измерительная катушка», на которую действует подлежащая измерению сила. Измерительная катушка подвешена к коромыслу чувствительных аналитических весов (рис. 3).

Схема установки для «взвешивания» токов измерения

Рис. 3

Применение эффекта

Закон Ампера взаимодействия токов, или, что - то же самое, магнитных полей, порождаемых этими токами, используют для устройства весьма распространенного типа электроизмерительных приборов - магнитоэлектрических приборов. Они имеют легкую рамку с проволокой, укрепленную на упругом подвесе той или иной конструкции, способную поворачиваться в магнитном поле. Родоначальником всех магнитоэлектрических приборов является электродинамометр Вебера (рис. 4).

Электродинамометр Вебера

Рис. 4

Именно этот прибор позволил провести классические исследования закона Ампера. Внутри неподвижной катушки У висит на бифилярном подвесе поддерживаемая вилкой ll ў подвижная катушка C , ось которой перпендикулярна оси неподвижной катушки. При последовательном прохождении тока по катушкам, подвижная катушка стремится стать параллельно неподвижной и поворачивается, закручивая бифилярный подвес. Углы поворота отсчитываются при помощи прикрепленного к раме ll ў зеркала f.

Литература

1. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм.- М.: Высшая школа, 1983.

2. Тамм И.Е. Основы теории электричества.- М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.

3. Калашников С.Г. Электричество.- М.: Наука, 1977.

4. Сивухин Д.В. Общий курс физики.- М.: Наука, 1977.- Т.3. Электричество.

5. Камке Д., Кремер К. Физические основы единиц измерения.- М.: Мир, 1980.

Ключевые слова

• сила Ампера
• магнитное поле
• закон Био-Савара
• индукция магнитного поля
• взаимодействие элементов тока
• взаимодействие параллельных токов

Разделы естественных наук: