Trigonometri hayatın neresinde gereklidir? "Trigonometri Dünyası"

Trigonometrinin fizikte uygulanması ve problemleri

Trigonometrik denklemlerin gerçek hayatta pratik uygulaması

Trigonometrinin uygulandığı birçok alan vardır. Örneğin, üçgenleme yöntemi astronomide yakındaki yıldızlara olan mesafeyi ölçmek için, coğrafyada nesneler arasındaki mesafeleri ölçmek için ve uydu navigasyon sistemlerinde kullanılır. Sinüs ve kosinüs, periyodik fonksiyonlar teorisinin, örneğin ses ve ışık dalgalarının tanımlanmasında temel öneme sahiptir.

Trigonometri astronomide (özellikle küresel trigonometri gerektiğinde gök cisimlerinin konumlarını hesaplamak için), deniz ve hava navigasyonunda, müzik teorisinde, akustikte, optikte, finansal piyasa analizinde, elektronikte, olasılık teorisinde, istatistik, biyoloji, tıbbi görüntüleme (örneğin bilgisayarlı tomografi ve ultrason), eczacılık, kimya, sayı teorisi, meteoroloji, oşinografi, birçok fizik bilimi, arazi etüdü ve ölçme, mimarlık, fonetik, ekonomi, elektrik mühendisliği, makine mühendisliği, inşaat mühendisliği, bilgisayar grafikleri, haritacılık, kristalografi, oyun geliştirme ve daha birçok alan.

Çevremizdeki dünyada düzenli aralıklarla tekrarlanan periyodik süreçlerle uğraşmak zorundayız. Bu işlemlere salınımlı denir. Çeşitli fiziksel yapıdaki salınım olayları genel yasalara uyar ve aynı denklemlerle tanımlanır. Farklı var salınım olaylarının türleri.

Harmonik salınım, argümana bağımlılığın sinüs veya kosinüs fonksiyonu karakterine sahip olduğu, herhangi bir miktardaki periyodik değişim olgusudur. Örneğin, bir miktar uyumlu bir şekilde salınır ve zamanla aşağıdaki gibi değişir:

Burada x değişen miktarın değeridir, t zamandır, A salınımların genliğidir, ω salınımların döngüsel frekansıdır, salınımların tam fazıdır, r salınımların başlangıç fazıdır.

x'' + ω²x = 0 diferansiyel formunda genelleştirilmiş harmonik salınım.

Bir dağın yamacına, yüzeyine α açısı yapacak şekilde bir taş atılıyor. Taşın başlangıç hızı v 0 ve dağın ufka eğim açısı β ise taşın uçuş menzilini belirleyin. Hava direncini dikkate almayın.

Çözüm. Bir taşın bir parabol boyunca karmaşık hareketi, iki doğrusal hareketin üst üste binmesinin sonucu olarak temsil edilmelidir: biri Dünya yüzeyi boyunca, diğeri ona normal boyunca.

Orijini taşın atıldığı noktada olacak şekilde eksenleri eşit olacak şekilde dikdörtgen bir koordinat sistemi seçelim. ÖKÜZ Ve OY belirtilen yönlerle çakıştı ve eksenler boyunca başlangıç hızı v 0 ve yerçekimi ivmesi g vektörlerinin bileşenlerini bulacağız. Bu bileşenlerin eksen üzerindeki projeksiyonları ÖKÜZ Ve OY sırasıyla eşittir:
v 0 cosα v 0; -g sinβ -g cosβ

Bundan sonra, karmaşık hareket iki basit hareket olarak düşünülebilir: Dünya yüzeyi boyunca g sinβ ivmesiyle düzgün yavaş hareket ve g cosβ ivmesiyle dağ yamacına dik tekdüze değişken hareket.

Tüm hareketin t süresi boyunca taşın yüzeye normal boyunca (eksen boyunca) hareketinin olduğu gerçeğini dikkate alarak her yön için hareket denklemlerini oluşturuyoruz. OY) sıfır olduğu ve yüzey boyunca (eksen boyunca) ortaya çıktı ÖKÜZ) - s'ye eşit:

Problemin koşullarına göre bize v 0 , α ve β verilmiştir, dolayısıyla derlenen denklemlerde s ve t1 olmak üzere iki bilinmeyen büyüklük vardır.

İlk denklemden taşın uçuş süresini belirliyoruz:

Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyarsak şunu buluruz:

S= v 0 cosα∙ =
=

Yukarıdaki problemin çözümünü analiz ettiğimizde, matematiğin bir aparatı olduğu ve bunun fizik ile matematik arasındaki disiplinler arası bağlantıların uygulanmasında kullanılmasının, dünyanın birliği ve bilimsel bilginin entegrasyonu konusunda bir farkındalığa yol açtığı sonucuna varabiliriz.

Matematik, anlamlı fiziksel bilgilerin kodlanması için gerekli bir dil görevi görür.

Fizik ve matematik arasındaki konulararası bağlantıların kullanılması, bu iki bilimin karşılaştırılmasına yol açar ve öğrencilerin yüksek kaliteli teorik ve pratik eğitimlerinin güçlendirilmesini mümkün kılar.

Üçgenleri çözme ihtiyacı ilk olarak astronomide keşfedildi; bu nedenle uzun süre trigonometri astronominin dallarından biri olarak geliştirildi ve incelendi.

Hipparchus tarafından derlenen Güneş ve Ay'ın konum tabloları, tutulmaların başlangıç anlarının (1-2 saatlik bir hatayla) önceden hesaplanmasını mümkün kıldı. Hipparchus, astronomide küresel trigonometri yöntemlerini ilk kullanan kişiydi. Armatürleri işaret etmek için gonyometrik cihazlarda (sekstantlar ve kadranlar) çapraz iplikler kullanarak gözlemlerin doğruluğunu arttırdı. Bilim adamı, o zamanlar için 850 yıldızın konumlarının büyük bir kataloğunu derledi ve bunları parlaklığa göre 6 dereceye (yıldız büyüklükleri) böldü. Hipparchus coğrafi koordinatları (enlem ve boylam) tanıttı ve matematiksel coğrafyanın kurucusu olarak kabul edilebilir. (MÖ 190 civarı - MÖ 120 civarı)

MBOU Tselinnaya Ortaokulu

Trigonometriyi gerçek hayatta rapor edin

Hazırlandı ve gerçekleştirildi

matematik öğretmeni

yeterlilik kategorisi

Ilyina V.P.

Tselinny köyü Mart 2014

İçindekiler.

1. Giriş .

2. Trigonometrinin yaratılış tarihi:

Erken yüzyıllar.

Antik Yunan.

Ortaçağ.

Yeni zaman.

Küresel geometrinin gelişim tarihinden.

3.Trigonometri ve gerçek hayat:

Trigonometrinin navigasyona uygulanması.

Cebirde trigonometri.

Fizikte trigonometri.

Tıp ve biyolojide trigonometri.

Müzikte trigonometri.

Bilgisayar biliminde trigonometri

İnşaat ve jeodezide trigonometri.

4. Sonuç .

5. Referansların listesi.

giriiş

Biz öğrencilerin sistematik olarak matematik çalışırken trigonometriyle üç kez karşılaşmak zorunda kalması uzun süredir matematikte yerleşmiş bir uygulamadır. Buna göre içeriğinin üç bölümden oluştuğu görülmektedir. Eğitim sırasında bu parçalar zamanla birbirinden ayrılır ve hem temel kavramların açıklanmasına yüklenen anlam hem de geliştirilmekte olan aparat ve hizmet işlevleri (uygulamalar) açısından birbirine benzemez.

Nitekim trigonometri materyaliyle ilk kez 8. sınıfta “Dik Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişkiler” konusunu çalışırken karşılaştık. Böylece sinüs, kosinüs ve tanjantın ne olduğunu öğrendik ve düzlem üçgenleri çözmeyi öğrendik.

Ancak aradan biraz zaman geçti ve 9. sınıfta tekrar trigonometriye döndük. Ancak bu trigonometri daha önce çalışılanlara benzemiyor. İlişkileri artık dik üçgen yerine daire (birim yarım daire) kullanılarak belirleniyor. Hala açıların fonksiyonları olarak tanımlansalar da, bu açılar zaten keyfi olarak büyüktür.

10. sınıfa geçtikten sonra tekrar trigonometriyle karşılaştık ve bunun daha da karmaşık hale geldiğini, radyan açı ölçüsü kavramının tanıtıldığını ve trigonometrik özdeşliklerin, problemlerin formülasyonunun ve çözümlerinin yorumunun farklı göründüğünü gördük. . Trigonometrik fonksiyonların grafikleri tanıtılmaktadır. Son olarak trigonometrik denklemler ortaya çıkıyor. Ve tüm bu materyaller önümüze geometri olarak değil cebirin bir parçası olarak çıktı. Ve trigonometrinin tarihini, günlük yaşamdaki uygulamasını incelemekle çok ilgilenmeye başladık, çünkü bir matematik öğretmeninin ders materyali sunarken tarihsel bilgilerin kullanılması zorunlu değildir. Ancak K. A. Malygin'in belirttiği gibi, "... tarihi geçmişe yapılan geziler dersi canlandırır, zihinsel stresten kurtulmayı sağlar, çalışılan materyale olan ilgiyi artırır ve onun sağlam bir şekilde özümsenmesine katkıda bulunur." Üstelik matematiğin gelişimi, medeniyetin varlığının her döneminde ortaya çıkan acil sorunların çözümüyle yakından bağlantılı olduğundan, matematik tarihine ilişkin materyal çok kapsamlı ve ilginçtir.

Trigonometrinin ortaya çıkışının tarihsel nedenlerini öğrendikten ve büyük bilim adamlarının çalışmalarının meyvelerinin bu matematik alanının gelişimini ve belirli problemlerin çözümünü nasıl etkilediğini inceledikten sonra biz okul çocukları konuya olan ilgiyi artırıyoruz. inceleniyor ve bunun pratik önemini göreceğiz.

Projenin amacı - cebir dersinde “Trigonometri” konusunu incelemeye ilginin geliştirilmesi ve incelenen malzemenin uygulamalı değerinin prizması yoluyla analizin başlatılması; trigonometrik fonksiyonları içeren grafiksel gösterimlerin genişletilmesi; trigonometrinin fizik, biyoloji vb. bilimlerde kullanımı.

Trigonometrinin dış dünyayla bağlantısı, trigonometrinin birçok pratik problemin çözümündeki önemi ve trigonometrik fonksiyonların grafiksel yetenekleri, okul çocuklarının bilgilerinin "gerçekleştirilmesini" mümkün kılar. Bu, trigonometri çalışmasıyla edinilen bilgilerin hayati gerekliliğini daha iyi anlamanızı sağlar ve bu konunun incelenmesine olan ilgiyi artırır.

Araştırma hedefleri:

1. Trigonometrinin ortaya çıkışı ve gelişiminin tarihini düşünün.

2. Trigonometrinin çeşitli bilimlerdeki pratik uygulamalarını spesifik örneklerle gösterin.

3. Belirli örnekler kullanarak, "biraz ilginç" fonksiyonları, grafikleri çok orijinal bir görünüme sahip fonksiyonlara dönüştürmeye olanak tanıyan trigonometrik fonksiyonları kullanma olanaklarını ortaya çıkarın.

"Bir şey açık: Dünya tehditkar ve güzel bir şekilde yapılandırılmış."

N. Rubtsov

Trigonometri - açıların değerleri ile üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki ilişkilerin ve ayrıca trigonometrik fonksiyonların cebirsel kimliklerinin incelendiği bir matematik dalıdır. Hayal etmesi zor ama bu bilimle sadece matematik derslerinde değil, günlük yaşamımızda da karşılaşıyoruz. Bundan şüphelenmemiş olabiliriz ama trigonometri fizik, biyoloji gibi bilimlerde bulunur, tıpta önemli bir rol oynar ve en ilginci, müzik ve mimari bile onsuz yapamaz. Pratik içerikli problemler, matematik çalışmasında edinilen teorik bilgilerin pratikte uygulanmasına yönelik becerilerin geliştirilmesinde önemli bir rol oynamaktadır. Her matematik öğrencisi edinilen bilginin nasıl ve nerede uygulandığıyla ilgilenir. Bu çalışma bu sorunun cevabını veriyor.

Trigonometrinin yaratılış tarihi

Erken yüzyıllar

Açıların derece, dakika ve saniye cinsinden bilinen ölçümü Babil matematiğinden kaynaklanmaktadır (bu birimlerin eski Yunan matematiğine girişi genellikle MÖ 2. yüzyıla atfedilir).

Bu dönemin ana başarısı, daha sonra adını alan dik üçgende bacaklar ile hipotenüs arasındaki ilişkiydi.

Antik Yunan

Antik Yunan geometrisinde trigonometrik ilişkilerin genel ve mantıksal olarak tutarlı bir sunumu ortaya çıktı. Yunan matematikçiler henüz trigonometriyi ayrı bir bilim olarak tanımlamamışlardı; onlara göre trigonometri astronominin bir parçasıydı.
Antik trigonometri teorisinin ana başarısı, genel olarak "üçgenleri çözme" probleminin çözümüydü, yani bir üçgenin bilinmeyen elemanlarını, verilen üç elemanına (en az biri kenardır) dayanarak bulmaktı.

Ortaçağ

4. yüzyılda antik bilimin ölümünden sonra matematiğin gelişim merkezi Hindistan'a taşındı. Bazı trigonometri kavramlarını değiştirerek onları modern olanlara yaklaştırdılar: örneğin, kosinüsü kullanıma sokan ilk kişiler onlardı.
Trigonometri üzerine ilk özel inceleme, Orta Asyalı bilim adamının (X-XI yüzyıllar) “Astronomi Biliminin Anahtarları Kitabı” (995-996) adlı eseriydi. Bütün bir trigonometri kursu, Al-Biruni'nin ana eseri olan “Mes'ud'un Kanunu” (Kitap III) içeriyordu. Sinüs tablolarına (15" artışlarla) ek olarak Al-Biruni, teğet tablolarını da (1° artışlarla) verdi.

12.-13. yüzyıllarda Arapça eserlerin Latinceye çevrilmesinden sonra, Hint ve İranlı matematikçilerin birçok fikri Avrupa biliminin malı haline geldi. Görünüşe göre Avrupalıların trigonometriyle ilk tanışması 12. yüzyılda iki çevirisi yapılan zij sayesinde gerçekleşti.

Tamamen trigonometriye adanmış ilk Avrupa eseri, bir İngiliz gökbilimci tarafından (yaklaşık 1320) genellikle "Düz ve Ters Akorlar Üzerine Dört İnceleme" olarak adlandırılır. Genellikle Arapça'dan tercüme edilen, ancak bazen orijinal olan trigonometrik tablolar, 14.-15. yüzyılların diğer bazı yazarlarının eserlerinde yer almaktadır. Aynı zamanda trigonometri üniversite dersleri arasında da yerini aldı.

Yeni zaman

Trigonometri kelimesi ilk kez Alman ilahiyatçı ve matematikçi Pitiscus'un bir kitabının başlığında (1505) karşımıza çıkar.Bu kelimenin kökeni Yunancadır: üçgen, ölçü. Başka bir deyişle trigonometri, üçgenleri ölçme bilimidir. Adı nispeten yakın zamanda ortaya çıkmış olsa da, trigonometriyle ilgili artık birçok kavram ve gerçek iki bin yıl önce zaten biliniyordu.

Sinüs kavramının uzun bir geçmişi vardır. Aslında, bir üçgenin ve bir dairenin parçalarının (ve özünde trigonometrik fonksiyonların) çeşitli oranları 8. yüzyılda zaten bulunmuştur. M.Ö Antik Yunan'ın büyük matematikçilerinin - Öklid, Arşimet, Pergalı Apollonius'un - eserlerinde. Roma döneminde bu ilişkiler Menelaus (M.Ö. 1. yüzyıl) tarafından oldukça sistematik bir şekilde incelenmiştir, ancak özel bir isim almamışlardır. Örneğin modern eksi açı, merkezi açının dayandığı yarım kirişin çarpımı veya çift yayın kirişi olarak incelenmiştir.

Sonraki dönemde matematik uzun süre en aktif şekilde Hintli ve Arap bilim adamları tarafından geliştirildi. Ö'deV- Vyüzyıllar Özellikle, Dünya'nın ilk Hint uydusuna adını veren büyük Hintli bilim adamı Aryabhata'nın (476-c. 550) astronomi konusundaki çalışmalarında özel bir terim ortaya çıktı.

Daha sonra daha kısa olan jiva adı benimsendi. Ι'deki Arap matematikçilerXV. Jiva (veya jiba) kelimesinin yerini Arapça jaib (dışbükeylik) kelimesi aldı. Arapça matematik metinlerini tercüme ederkenXΙΙV. bu kelimenin yerini Latince sinüs (sinüs-bükülme, eğrilik)

Kosinüs kelimesi çok daha genç. Kosinüs Latince ifadenin kısaltmasıdırTamamlayıcısinüs, yani "ek sinüs" (veya başka türlü "ek yayın sinüsü"; unutmayınçünküA= günah(90°- A)).

Trigonometrik fonksiyonlarla uğraşırken “üçgenleri ölçme” görevinin çok ötesine geçiyoruz. Bu nedenle, ünlü matematikçi F. Klein (1849-1925) “trigonometrik” fonksiyonlar doktrinini farklı bir şekilde - gonyometri (açı) olarak adlandırmayı önerdi. Ancak bu isim pek tutulmadı.

Teğetler, bir gölgenin uzunluğunu belirleme probleminin çözümüyle bağlantılı olarak ortaya çıktı. Teğet (kotanjant, sekant ve kosekantın yanı sıra) tanıtıldıXV. Teğetleri ve kotanjantları bulmaya yönelik ilk tabloları derleyen Arap matematikçi Abu-l-Wafa. Ancak bu keşifler Avrupalı bilim adamları tarafından uzun süre bilinmiyordu ve teğetler 19. yüzyılda yeniden keşfedildi.XΙVV. önce İngiliz bilim adamı T. Braverdin, daha sonra Alman matematikçi ve gökbilimci Regiomontanus (1467) tarafından. "Teğet" adı Latince'den gelir.tuhaflık(dokunma), 1583'te ortaya çıktıTeğetler"teğetsel" olarak çevrilmiştir (unutmayın: teğet doğru birim çembere teğettir)

Modern tanımlamalararksin Ve arktg1772'de Viyanalı matematikçi Scherfer ve ünlü Fransız bilim adamı J.L. Lagrange'ın çalışmalarında ortaya çıktı, ancak biraz daha önce farklı sembolizm kullanan J. Bernoulli tarafından zaten düşünülmüştü. Ancak bu semboller ancak sonunda genel olarak kabul edildi.XVΙΙΙyüzyıllar. "Yay" öneki Latince'den gelir.arkusXÖrneğin, sinüsü şuna eşit olan bir açıdır (ve bir yay da diyebiliriz).X.

Uzun zamandır trigonometri geometrinin bir parçası olarak geliştirildi. şimdi trigonometrik fonksiyonlar cinsinden formüle ettiğimiz gerçekler, geometrik kavramlar ve ifadeler kullanılarak formüle edildi ve kanıtlandı. Belki de trigonometrinin geliştirilmesine yönelik en büyük teşvikler, pratik açıdan büyük ilgi çeken astronomi problemlerinin çözümüyle bağlantılı olarak ortaya çıktı (örneğin, bir geminin konumunu belirleme, tutulmaları tahmin etme vb. sorunları çözmek için).

Gökbilimciler, bir küre üzerinde yer alan büyük dairelerden oluşan küresel üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki ilişkilerle ilgileniyorlardı. Ve eski matematikçilerin düzlem üçgen problemlerini çözmekten önemli ölçüde daha zor olan problemlerle başarılı bir şekilde başa çıktıklarını da belirtmek gerekir.

Her durumda, geometrik formda, bildiğimiz birçok trigonometri formülü eski Yunan, Hint ve Arap matematikçiler tarafından keşfedildi ve yeniden keşfedildi (ancak trigonometrik fonksiyonların farkının formülleri yalnızca 1950'lerde biliniyordu).XVΙYüzyıl - İngiliz matematikçi Napier tarafından trigonometrik fonksiyonlarla hesaplamaları basitleştirmek için geliştirildi. Ve sinüs dalgasının ilk çizimi 1634'te ortaya çıktı)

İlk sinüs tablosunun C. Ptolemy tarafından derlenmesi (uzun bir süre akor tablosu olarak adlandırıldı) temel öneme sahipti: bir dizi uygulamalı problemi ve öncelikle astronomi problemlerini çözmenin pratik bir yolu ortaya çıktı.

Hazır tablolarla uğraşırken veya hesap makinesi kullanırken, tabloların henüz icat edilmediği bir zamanın olduğu gerçeğini çoğu zaman düşünmüyoruz. Bunları derlemek için yalnızca büyük miktarda hesaplama yapmak değil, aynı zamanda tabloları derlemenin bir yolunu bulmak da gerekiyordu. Ptolemy'nin tabloları beş ondalık basamak dahil doğrudur.

Trigonometrinin modern biçimi en büyük matematikçi tarafından verilmiştir.XV2. yüzyıl L. Euler (1707-1783), İsviçre doğumlu, uzun yıllar Rusya'da çalışmış ve St. Petersburg Bilimler Akademisi üyesiydi. Trigonometrik fonksiyonların iyi bilinen tanımlarını ilk kez ortaya koyan, keyfi açılı fonksiyonları düşünmeye başlayan ve indirgeme formülleri elde eden ilk kişi Euler'di. Bütün bunlar, Euler'in uzun yaşamı boyunca matematikte yapmayı başardığı şeylerin küçük bir kısmıdır: 800'den fazla eser bıraktı ve matematiğin çeşitli alanlarıyla ilgili klasik hale gelen birçok teoremi kanıtladı. Ancak trigonometrik fonksiyonlarla geometrik formda işlem yapmaya çalışırsanız, yani Euler'den önce birçok nesil matematikçinin yaptığı gibi, Euler'in trigonometriyi sistemleştirme konusundaki erdemlerini takdir edebileceksiniz. Euler'den sonra trigonometri yeni bir hesap biçimi kazandı: trigonometri formüllerinin resmi uygulamasıyla çeşitli gerçekler kanıtlanmaya başlandı, kanıtlar çok daha kompakt ve basit hale geldi.

Küresel geometrinin gelişim tarihinden .

Öklid geometrisinin en eski bilimlerden biri olduğu yaygın olarak bilinmektedir.IIIMÖ yüzyıl Öklid'in klasik eseri Elementler ortaya çıktı. Daha az bilinen ise küresel geometrinin sadece biraz daha genç olduğudur. İlk sistematik sunumu şu anlama gelir:BEN- IIyüzyıllar. Yunan matematikçi Menelaus'un yazdığı "Küresel" kitabında (BENc.), küresel üçgenlerin özellikleri incelendi; Özellikle küresel bir üçgenin açılarının toplamının 180 dereceden büyük olduğu kanıtlandı. Başka bir Yunan matematikçi Claudius Ptolemy (IIV.). Esasen trigonometrik fonksiyon tablolarını derleyen ve stereografik projeksiyonu tanıtan ilk kişi oydu.

Tıpkı Öklid geometrisi gibi, küresel geometri de pratik nitelikteki problemlerin ve öncelikle astronomi problemlerinin çözümünde ortaya çıktı. Bu görevler, örneğin yıldızlara göre yön değiştiren gezginler ve denizciler için gerekliydi. Ve astronomik gözlemlerde Güneş'in, Ay'ın ve yıldızların tasvir edilen "gökyüzü küresi" boyunca hareket ettiğini varsaymak uygun olduğundan, onların hareketini incelemek için kürenin geometrisine ilişkin bilginin gerekli olması doğaldır. Bu nedenle Ptolemy'nin en ünlü eserinin "13 Kitapta Astronominin Büyük Matematiksel Yapısı" başlığını taşıması tesadüf değildir.

Küresel trigonometri tarihinin en önemli dönemi Orta Doğu'daki bilim adamlarının faaliyetleriyle ilişkilidir. Hintli bilim adamları küresel trigonometri problemlerini başarıyla çözdüler. Ancak Ptolemy'nin tarif ettiği ve Menelaus'un tam dörtgen teoremine dayanan yöntem onlar tarafından kullanılmadı. Ve küresel trigonometride Ptolemy'nin Analemma'sındaki yöntemlere karşılık gelen projektif yöntemler kullandılar. Sonuç olarak, küresel astronomideki hemen hemen her problemi çözmeyi mümkün kılan bir dizi özel hesaplama kuralı elde ettiler. Onların yardımıyla bu görev sonuçta benzer düz dik üçgenleri birbirleriyle karşılaştırmaya indirgendi. Sorunları çözerken, ikinci dereceden denklemler teorisi ve ardışık yaklaşımlar yöntemi sıklıkla kullanıldı. Hintli bilim adamlarının geliştirdiği kuralların yardımıyla çözdüğü astronomik problemin bir örneği Varahamihira'nın "Panga Siddhantika" adlı eserinde ele alınan problemdir (V- VI). Bulunduğu yerin enlemi, Güneş'in eğimi ve saat açısı biliniyorsa Güneş'in yüksekliğini bulmaktan ibarettir. Bu problemin çözülmesinin bir sonucu olarak, bir dizi inşa sonrasında küresel bir üçgen için modern kosinüs teoremine eşdeğer bir ilişki kurulur. Ancak bu ilişki ve sinüs teoreminin başka bir eşdeğeri, herhangi bir küresel üçgene uygulanabilecek kurallar olarak genelleştirilmemiştir.

Menelaus teoremini tartışmak için dönen ilk doğulu bilim adamları arasında, Bağdat'ta çalışan ve matematik, astronomi ve mekanik okuyan Musa ibn Şakir'in oğulları Banu Moussa - Muhammed, Hasan ve Ahmed kardeşler sayılmalıdır. Ancak Menelaus teoremi üzerine hayatta kalan en eski çalışma, öğrencileri Sabit ibn Qorra'nın (836-901) "Sekantların şekli üzerine incelemesi" dir.

Sâbit bin Kurra'nın risalesinin Arapça orijinali bize ulaştı. Ve Latince çevirideXIIV. Cremonalı Gerando'nun (1114-1187) bu tercümesi Orta Çağ Avrupa'sında yaygınlaştı.

Bir üçgenin açıları ve kenarları ile diğer geometrik şekiller arasındaki ilişkilerin bilimi olan trigonometrinin tarihi, iki bin yıldan fazla bir süredir. Bu ilişkilerin çoğu sıradan cebirsel işlemler kullanılarak ifade edilemez ve bu nedenle başlangıçta sayısal tablolar şeklinde sunulan özel trigonometrik fonksiyonların tanıtılması gerekliydi.
Tarihçiler trigonometrinin eski gökbilimciler tarafından yaratıldığına ve bir süre sonra mimaride kullanılmaya başlandığına inanıyor. Zamanla trigonometrinin kapsamı sürekli genişledi; bugün neredeyse tüm doğa bilimlerini, teknolojiyi ve bir dizi diğer faaliyet alanını kapsamaktadır.

Uygulamalı trigonometrik problemler çok çeşitlidir; örneğin, listelenen miktarlardaki eylemlerin pratik olarak ölçülebilir sonuçları (örneğin, açıların toplamı veya kenar uzunluklarının oranı) belirtilebilir.

Düzlem trigonometrinin gelişmesine paralel olarak Yunanlılar astronominin etkisi altında küresel trigonometriyi büyük ölçüde geliştirdiler. Öklid'in Elementleri'nde bu konuyla ilgili yalnızca farklı çaplardaki kürelerin hacimlerinin oranıyla ilgili bir teorem vardır, ancak astronomi ve haritacılık ihtiyaçları küresel trigonometri ve ilgili alanların - göksel koordinat sistemleri, kartografik projeksiyonlar teorisi - hızlı bir şekilde gelişmesine neden olmuştur. ve astronomik aletlerin teknolojisi.

dersler.

Trigonometri ve gerçek hayat

Trigonometrik fonksiyonlar matematiksel analiz, fizik, bilgisayar bilimi, jeodezi, tıp, müzik, jeofizik ve navigasyon alanlarında uygulama bulmuştur.

Trigonometrinin navigasyona uygulanması

Navigasyon (bu kelime Latince'den gelir)navigasyon- bir gemide yelken açmak) en eski bilimlerden biridir. En kısa rotayı belirlemek ve seyahat yönünü seçmek gibi en basit navigasyon görevleri ilk gezginlerle karşı karşıya kaldı. Şu anda bu ve benzeri sorunların sadece denizciler tarafından değil aynı zamanda pilotlar ve astronotlar tarafından da çözülmesi gerekiyor. Bazı gezinme kavramlarına ve görevlerine daha ayrıntılı olarak bakalım.

Görev. Coğrafi koordinatlar bilinmektedir - dünya yüzeyindeki A ve B noktalarının enlem ve boylamı:, Ve, . Dünyanın yüzeyi boyunca A ve B noktaları arasındaki en kısa mesafeyi bulmak gerekir (dünyanın yarıçapının bilindiği varsayılır):R= 6371 kilometre)

Çözüm. Öncelikle, dünya yüzeyindeki bir M noktasının enleminin, O'nun Dünya'nın merkezi olduğu OM yarıçapının ekvator düzlemi: ≤ ile oluşturduğu açının ve kuzeydeki enlemin oluşturduğu açının değeri olduğunu hatırlayalım. ekvator pozitif, güney ise negatif kabul edilir (Şekil 1)

M noktasının boylamı, COM ve SON düzlemleri arasındaki dihedral açının değeridir; burada C, Dünyanın Kuzey Kutbu ve H, Greenwich Gözlemevi'ne karşılık gelen noktadır: ≤ (Greenwich meridyeninin doğusunda, boylam pozitif, batıya doğru - negatif olarak kabul edilir).

Zaten bilindiği gibi, dünya yüzeyindeki A ve B noktaları arasındaki en kısa mesafe, A ve B'yi birbirine bağlayan büyük dairenin yaylarından daha küçük olanın uzunluğudur (böyle bir yaya ortodrom denir - Yunancadan çevrilmiş "düz koşu" anlamına gelir) ). Bu nedenle görevimiz ABC küresel üçgeninin (C kuzey kutbu) AB kenarının uzunluğunu belirlemektir.

ABC üçgeninin elemanları için standart notasyonu ve karşılık gelen OABC üçgen açısını kullanarak problem koşullarından şunları buluruz: α = = - , β = (Şekil 2).

C açısını A ve B noktalarının koordinatları aracılığıyla ifade etmek de zor değildir. Bu nedenle tanım gereği ≤, ≤ ise ya C = ya da - ise. Bilmek = kosinüs teoremini kullanarak: = + (-). Açıyı ve dolayısıyla açıyı bilerek gerekli mesafeyi buluruz: =.

Navigasyonda trigonometri 2.

Gerhard Mercator'un (1569) projeksiyonunda yapılan bir harita üzerinde geminin rotasını çizmek için enlemin belirlenmesi gerekiyordu. Akdeniz'de yönlere doğru seyrederkenXVIIV. enlem belirtilmedi. Edmond Gunther (1623), navigasyonda trigonometrik hesaplamaları kullanan ilk kişiydi.

Trigonometri, rüzgarın uçağın uçuşu üzerindeki etkisini hesaplamaya yardımcı olur. Hız üçgeni, hava hızı vektörünün oluşturduğu üçgendir (V), rüzgar vektörü (W), yer hızı vektörü (V P ). PU – yön açısı, UL – rüzgar açısı, KUV – rüzgar yönü açısı.

Navigasyon hız üçgeninin unsurları arasındaki ilişki şu şekildedir:

V P = V çünkü DC + W çünkü UV; günah DC = * günah UV, tg HC =

Hızların navigasyon üçgeni, hesaplama cihazları kullanılarak, bir navigasyon cetveli üzerinde ve yaklaşık olarak akılda çözülür.

Cebirde trigonometri.

Trigonometrik ikameyi kullanarak karmaşık bir denklemi çözmenin bir örneğini burada bulabilirsiniz.

Denklem göz önüne alındığında

İzin vermek , aldık

;

Neresi: veya

Aldığımız kısıtlamaları dikkate alarak:

Fizikte trigonometri

Periyodik süreçler ve salınımlarla uğraşmamız gereken her yerde (ister akustik, ister optik, isterse bir sarkacın salınımı olsun), trigonometrik fonksiyonlarla uğraşırız. Salınım formülleri:

Nerede A– salınımın genliği, - salınımın açısal frekansı, - salınımın başlangıç aşaması

Salınım aşaması.

Nesneler suya daldırıldığında şekli veya boyutu değişmez. Bütün sır, görüşümüzün bir nesneyi farklı algılamasını sağlayan optik bir etkidir. En basit trigonometrik formüller ve bir ışının geliş açısı ve kırılma açısının sinüs değerleri, bir ışık ışınının ortamdan ortama geçtiğinde sabit kırılma indisinin hesaplanmasını mümkün kılar. Örneğin gökkuşağı, güneş ışığının kırılma yasasına göre havada asılı kalan su damlacıkları tarafından kırılması nedeniyle oluşur:

günah α /günah β = n 1 /N 2

Nerede:

n 1 - birinci ortamın kırılma indisi
n 2 - ikinci ortamın kırılma indisi

α -geliş açısı, β - ışığın kırılma açısı.

Yüklü güneş rüzgarı parçacıklarının gezegenlerin üst atmosferine nüfuz etmesi, gezegenin manyetik alanının güneş rüzgarı ile etkileşimi ile belirlenir.

Manyetik alanda hareket eden yüklü bir parçacığa etki eden kuvvete Lorentz kuvveti denir. Parçacığın yükü, alanın vektör çarpımı ve parçacığın hızıyla orantılıdır.

Pratik bir örnek olarak trigonometri kullanılarak çözülebilecek fiziksel bir problemi düşünün.

Görev. Ufukla 24,5 derecelik açı yapan eğik bir düzlemdeÖ 90 kg ağırlığında bir vücut var. Bu cismin eğik düzleme uyguladığı kuvveti bulun (yani cismin bu düzleme ne kadar basınç uyguladığını).

Çözüm:

X ve Y eksenlerini belirledikten sonra, önce şu formülü kullanarak eksen üzerindeki kuvvetlerin projeksiyonlarını oluşturmaya başlıyoruz:

anne = N + mg , ardından çizime bakın,

X : ma = 0 + mg sin24,5 0

Y: 0 = N – mg cos24,5 0

N = mg çünkü 24,5 0

Kütleyi yerine koyarsak kuvvetin 819 N olduğunu buluruz.

Cevap: 819N

Tıp ve biyolojide trigonometri

Biri temel özelliklercanlı doğa, içinde meydana gelen süreçlerin çoğunun döngüsel doğasıdır.

Biyolojik ritimler, biyoritimler– bunlar biyolojik süreçlerin doğasında ve yoğunluğunda az çok düzenli değişikliklerdir.

Temel dünya ritmi- Günlük ödenek.

Trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak bir biyoritim modeli oluşturulabilir.

Bir biyoritm modeli oluşturmak için kişinin doğum tarihini, referans tarihini (gün, ay, yıl) ve tahmin süresini (gün sayısı) girmelisiniz.

Beynin bazı bölgelerine bile sinüs denir.

Sinüslerin duvarları endotel ile kaplı dura mater tarafından oluşturulur. Diğer damarların aksine sinüslerin lümen boşlukları, kapakçıkları ve kas dokusu yoktur. Sinüs boşluğunda endotel ile kaplı fibröz septalar vardır. Sinüslerden kan iç şah damarlarına akar, ayrıca sinüsler ile kafatasının dış yüzeyindeki damarlar arasında yedek venöz çıkışlar yoluyla bir bağlantı vardır.

Balığın sudaki hareketi, kuyruktaki bir noktayı sabitlerseniz ve ardından hareketin yörüngesini dikkate alırsanız sinüs veya kosinüs kanununa göre gerçekleşir.

Balığın vücudu yüzerken grafiğe benzeyen bir eğri şeklini alır.

işlevler sen= tgx.

Müzikte trigonometri

Formatında müzik dinliyoruzmp3.

Ses sinyali bir dalgadır, işte onun “grafiği”.

Gördüğünüz gibi çok karmaşık olmasına rağmen trigonometri kanunlarına uyan bir sinüzoiddir.

2003 baharında Moskova Sanat Tiyatrosu, "Night Snipers" grubunun solisti Diana Arbenina'nın "Trigonometri" albümünün sunumuna ev sahipliği yaptı. Albümün içeriği, Dünya'nın ölçümü olan “trigonometri” kelimesinin orijinal anlamını ortaya koyuyor.

Bilgisayar biliminde trigonometri

Doğru hesaplamalar için trigonometrik fonksiyonlar kullanılabilir.

Trigonometrik fonksiyonları kullanarak herhangi bir değeri yaklaşık olarak hesaplayabilirsiniz.

(bir anlamda “iyi”) fonksiyonu, onu bir Fourier serisine genişletiyor:

A 0 +bir 1 çünkü x + b 1 günah x + a 2 çünkü 2x + b 2 günah 2x + a 3 çünkü 3x + b 3 günah 3x + ...

Sayıları uygun şekilde seçmek a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., Bir bilgisayardaki hemen hemen her fonksiyonu böyle (sonsuz) bir toplam şeklinde gerekli doğrulukla temsil etmek mümkündür.

Trigonometrik fonksiyonlar grafiksel bilgilerle çalışırken faydalıdır. Bazı nesnelerin belirli bir eksen etrafında dönüşünü simüle etmek (bir bilgisayarda tanımlamak) gerekir. Belirli bir açıda bir dönüş meydana gelir. Noktaların koordinatlarını belirlemek için sinüs ve kosinüslerle çarpmanız gerekecektir.

Justin Windell, programcı ve tasarımcıGoogle Grafik Laboratuvar , dinamik animasyon oluşturmak için trigonometrik fonksiyonların kullanımına ilişkin örnekleri gösteren bir demo yayınladı.

İnşaat ve jeodezide trigonometri

Düzlemdeki rastgele bir üçgenin kenarlarının uzunlukları ve açılarının değerleri, en önemlileri kosinüs ve sinüs teoremleri olarak adlandırılan belirli ilişkilerle birbirleriyle ilişkilidir.

2ab

= =

Bu formüllerde a,B, C- ABC üçgeninin, sırasıyla A, B, C açılarına zıt olan kenarlarının uzunlukları. Bu formüller, üçgenin üç öğesinden kalan üç öğeyi - kenarların uzunlukları ve açılar - yeniden oluşturmamızı sağlar. Jeodezi gibi pratik problemlerin çözümünde kullanılırlar.

Tüm “klasik” jeodezi trigonometriye dayanmaktadır. Aslında eski çağlardan beri araştırmacılar üçgenleri “çözmekle” meşgul olmuşlardır.

Bina, yol, köprü ve diğer yapıların inşası süreci etüt ve tasarım çalışmaları ile başlar. Bir inşaat sahasındaki tüm ölçümler teodolit ve trigonometrik seviye gibi ölçüm aletleri kullanılarak yapılır. Trigonometrik tesviye ile dünya yüzeyindeki birkaç nokta arasındaki yükseklik farkı belirlenir.

Çözüm

Trigonometri, açıları ölçme ihtiyacıyla hayata geçirildi, ancak zamanla trigonometrik fonksiyonlar bilimine dönüştü.

Trigonometri fizikle yakından ilgilidir ve doğada, müzikte, mimaride, tıpta ve teknolojide bulunur.

Trigonometri hayatımıza yansır ve önemli rol oynadığı alanlar genişler, dolayısıyla kanunları hakkında bilgi sahibi olmak herkes için gereklidir.

Matematik ile dış dünya arasındaki bağlantı, okul çocuklarının bilgilerini “gerçekleştirmemize” olanak tanır. Bu, okulda edinilen bilginin hayati gerekliliğini daha iyi anlamamıza yardımcı olur.

Pratik içerikli bir matematik problemi (uygulamalı nitelikteki bir problem) ile, matematiğin ilgili akademik disiplinlerde, teknolojide ve günlük yaşamdaki uygulamalarını ortaya koyan bir problemi kastediyoruz.

Trigonometrinin ortaya çıkışının tarihsel nedenleri, gelişimi ve pratik uygulamasıyla ilgili bir hikaye, aramızdaki okul çocuklarının incelenen konuya olan ilgisini teşvik eder, dünya görüşümüzü şekillendirir ve genel kültürü geliştirir.

Bu çalışma, trigonometrinin güzelliğini henüz görmemiş ve çevrelerindeki yaşamdaki uygulama alanlarına aşina olmayan lise öğrencileri için faydalı olacaktır.

Kaynakça:

MKOU "Nenets ortaokulu - adını taşıyan yatılı okul. AP Pyrerki"

Eğitim projesi

" "

Danilova Tatyana Vladimirovna

Matematik öğretmeni

2013

Projenin uygunluğunun gerekçesi.

Trigonometri, trigonometrik fonksiyonları inceleyen matematik dalıdır. Hayal etmesi zor ama bu bilimle sadece matematik derslerinde değil, günlük yaşamımızda da karşılaşıyoruz. Bundan şüphelenmemiş olabilirsiniz ama trigonometri fizik, biyoloji gibi bilimlerde bulunur, tıpta önemli bir rol oynar ve en ilginci, müzik ve mimari bile onsuz yapamaz.
Trigonometri kelimesi ilk kez 1505 yılında Alman matematikçi Pitiscus'un bir kitabının başlığında karşımıza çıkıyor.
Trigonometri Yunanca bir kelimedir ve kelimenin tam anlamıyla çevrildiğinde üçgenlerin ölçümü anlamına gelir (trigonan - üçgen, metreo - ölçerim).
Trigonometrinin ortaya çıkışı arazi etüdü, astronomi ve inşaatla yakından ilgiliydi.

14-15 yaşlarındaki bir okul çocuğu, nerede eğitim göreceğini ve nerede çalışacağını her zaman bilemez.
Bazı meslekler için bilgi gereklidir çünkü... astronomide yakındaki yıldızlara olan mesafeleri, coğrafyada önemli noktalar arasındaki mesafeleri ölçmenize ve uydu navigasyon sistemlerini kontrol etmenize olanak tanır. Trigonometri ilkeleri ayrıca müzik teorisi, akustik, optik, finansal piyasa analizi, elektronik, olasılık teorisi, istatistik, biyoloji, tıp (ultrason ve bilgisayarlı tomografi dahil), eczacılık, kimya, sayı teorisi (ve benzeri) gibi alanlarda da kullanılmaktadır. bir sonuç, kriptografi), sismoloji, meteoroloji, oşinoloji, haritacılık, fiziğin birçok dalı, topografya ve jeodezi, mimari, fonetik, ekonomi, elektronik mühendisliği, makine mühendisliği, bilgisayar grafikleri, kristalografi.

Araştırma konusunun tanımı

Modern insan için trigonometri bilgisi neden gereklidir?

3.Proje hedefleri.

Trigonometri ve gerçek hayat arasındaki bağlantı.

Sorunlu soru
1. Gerçek hayatta en sık hangi trigonometri kavramları kullanılır?
2. Trigonometrinin astronomi, fizik, biyoloji ve tıpta rolü nedir?
3. Mimarlık, müzik ve trigonometri arasında nasıl bir ilişki vardır?

Hipotez

Doğadaki çoğu fiziksel olay, fizyolojik süreçler, müzik ve sanattaki desenler trigonometri ve trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak açıklanabilir.

Hipotez testi

Trigonometri (Yunanca'dan trigonon - üçgen, metro – metrik) – Açıların değerleri ile üçgenlerin kenarlarının uzunlukları arasındaki ilişkilerin yanı sıra trigonometrik fonksiyonların cebirsel kimliklerini inceleyen matematiğin mikro bölümü.

Trigonometri bilgisinin başlangıcı eski çağlara dayanmaktadır. Erken bir aşamada trigonometri astronomi ile yakın ilişki içinde gelişti ve onun yardımcı dalı oldu.

Trigonometrinin tarihi:

Trigonometrinin kökenleri 3000 yıl öncesine, eski Mısır'a, Babil'e ve İndus Vadisi'ne kadar uzanıyor.

Trigonometri kelimesi ilk kez 1505 yılında Alman matematikçi Pitiscus'un bir kitabının başlığında karşımıza çıkıyor.

İlk kez, üçgenin kenarları ve açıları arasındaki bağımlılıklara dayalı üçgen çözme yöntemleri eski Yunan gökbilimcileri Hipparchus ve Ptolemy tarafından bulundu.

Eski insanlar bir ağacın yüksekliğini, gölgesinin uzunluğunu, yüksekliği bilinen bir direğin gölgesinin uzunluğuyla karşılaştırarak hesaplardı. Yıldızlar, bir geminin denizdeki konumunu hesaplamak için kullanıldı.

Trigonometrinin gelişimindeki bir sonraki adım, 5. yüzyıldan 12. yüzyıla kadar olan dönemde Hintliler tarafından atıldı.

Kosinüs teriminin kendisi, Avrupalı bilim adamlarının çalışmalarında ilk kez 16. yüzyılın sonunda, sözde "tümleyenin sinüsü" nden, yani. Verilen açıyı 90°'ye tamamlayan açının sinüsü. “Sinüs of kompleman” veya (Latincede) sinüs komplemanı, sinüs co veya ko-sinüs olarak kısaltılmaya başlandı.

İÇİNDE XVII – XIX yüzyıllar trigonometri matematiksel analizin bölümlerinden biri haline gelir.

Özellikle salınımlı hareketler ve diğer periyodik süreçlerin incelenmesinde mekanik, fizik ve teknolojide geniş uygulama alanı bulur.

Jean Fourier, herhangi bir periyodik hareketin (herhangi bir doğruluk derecesiyle) basit harmonik salınımların toplamı olarak temsil edilebileceğini kanıtladı.

Trigonometrinin gelişim aşamaları:

Trigonometri, açıları ölçme ihtiyacıyla hayata geçirildi.

Trigonometrinin ilk adımları, açının büyüklüğü ile özel olarak oluşturulmuş düz çizgi parçalarının oranı arasında bağlantı kurmaktı. Sonuç, düzlemsel üçgenleri çözme yeteneğidir.

Girilen trigonometrik fonksiyonların değerlerini tablolaştırma ihtiyacı.

Trigonometrik fonksiyonlar bağımsız araştırma nesnelerine dönüştü.

18. yüzyılda trigonometrik fonksiyonlar dahil edildi

matematiksel analiz sistemine dahil edilmiştir.

Trigonometri nerede kullanılır?

Trigonometrik hesaplamalar insan yaşamının hemen her alanında kullanılmaktadır. Astronomi, fizik, doğa, biyoloji, müzik, tıp ve daha birçok alanda kullanıldığını belirtmek gerekir.

Astronomide trigonometri:

Üçgenleri çözme ihtiyacı ilk olarak astronomide keşfedildi; bu nedenle uzun süre trigonometri astronominin dallarından biri olarak geliştirildi ve incelendi.

Vieta'nın trigonometrideki başarıları
Verilen üç elemandan bir düzlem veya küresel üçgenin tüm elemanlarını belirleme problemine tam bir çözüm, sinпх ve cosпх'un cos x ve sinx'in kuvvetleri cinsinden önemli açılımları. Çoklu yayın sinüs ve kosinüs formülünü bilmek, Viet'in matematikçi A. Roomen tarafından önerilen 45. derece denklemi çözmesini sağladı; Viète, bu denklemin çözümünün açının 45 eşit parçaya bölünmesine indirgendiğini ve bu denklemin 23 pozitif kökü olduğunu gösterdi. Vieth, Apollonius'un problemini bir cetvel ve pusula kullanarak çözdü.
Küresel üçgenleri çözmek astronominin problemlerinden biridir.Aşağıdaki teoremler, herhangi bir küresel üçgenin kenarlarını ve açılarını uygun şekilde belirlenmiş üç kenar veya açıdan hesaplamamızı sağlar: (sinüs teoremi) (açılar için kosinüs teoremi) (kenarlar için kosinüs teoremi) .

Fizikte trigonometri:

Harmonik salınım- Argümana bağımlılığın sinüs veya kosinüs fonksiyonu karakterine sahip olduğu, herhangi bir miktardaki periyodik değişim olgusu. Örneğin, bir miktar uyumlu bir şekilde salınır ve zamanla aşağıdaki gibi değişir:

x'' + ω²x = 0 diferansiyel formunda genelleştirilmiş harmonik salınım.

Mekanik titreşimler . Mekanik titreşimler tam olarak eşit zaman aralıklarında tekrarlanan vücut hareketleridir. Bu fonksiyonun grafiksel temsili, salınım sürecinin zaman içindeki seyrinin görsel bir temsilini verir. Basit mekanik salınım sistemlerine örnek olarak yay üzerindeki ağırlık veya matematiksel sarkaç verilebilir.

Doğada trigonometri.

sorusunu sık sık soruyoruz “Neden bazen gerçekte olmayan şeyleri görüyoruz?”. Araştırma için şu sorular önerilmiştir: “Gökkuşağı nasıl ortaya çıkar? Kuzey Işıkları?”, “Optik illüzyonlar nedir?” "Trigonometri bu soruların yanıtlanmasına nasıl yardımcı olabilir?"

Gökkuşağı teorisi ilk olarak 1637 yılında Rene Descartes tarafından ortaya atılmıştır. Gökkuşaklarını, ışığın yağmur damlalarında yansıması ve kırılmasıyla ilgili bir olay olarak açıkladı.

Kuzey Işıkları Yüklü güneş rüzgarı parçacıklarının gezegenlerin atmosferinin üst katmanlarına nüfuz etmesi, gezegenin manyetik alanının güneş rüzgarı ile etkileşimi ile belirlenir.

Manyetik alanda hareket eden yüklü bir parçacığa etki eden kuvvete Lorentz kuvveti denir. Parçacığın yükü, alanın vektör çarpımı ve parçacığın hızıyla orantılıdır.

Çok fonksiyonlu trigonometri

Amerikalı bilim adamları, beynin dünya düzlemi ile görüş düzlemi arasındaki açıyı ölçerek nesnelere olan mesafeyi tahmin ettiğini iddia ediyor.

Ayrıca biyolojide karotis sinüs, karotis sinüs ve venöz veya kavernöz sinüs gibi kavramlar kullanılmaktadır.

Tıp ve biyolojide trigonometri ve trigonometrik fonksiyonlar.

Biri temel özellikler canlı doğa, içinde meydana gelen süreçlerin çoğunun döngüsel doğasıdır.

Biyolojik ritimler, biyoritimler– bunlar biyolojik süreçlerin doğasında ve yoğunluğunda az çok düzenli değişikliklerdir.

Temel dünya ritmi- Günlük ödenek.

Trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak bir biyoritim modeli oluşturulabilir.

Biyolojide trigonometri

Trigonometri ile hangi biyolojik süreçler ilişkilidir?

Trigonometri tıpta önemli bir rol oynar. Onun yardımıyla İranlı bilim adamları, aritmi durumlarında hesaplamalar için birkaç ek parametre de dahil olmak üzere 8 ifade, 32 katsayı ve 33 temel parametreden oluşan karmaşık bir cebirsel-trigonometrik denklem olan kalp formülünü keşfettiler.

Biyolojik ritimler, bioritimler trigonometri ile ilişkilidir

Biyoritimler ve trigonometri arasındaki bağlantı

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri kullanılarak bir biyoritim modeli oluşturulabilir. Bunu yapmak için kişinin doğum tarihini (gün, ay, yıl) ve tahmin süresini girmeniz gerekir.

Balığın sudaki hareketi, kuyruktaki bir noktayı sabitlerseniz ve ardından hareketin yörüngesini dikkate alırsanız sinüs veya kosinüs kanununa göre gerçekleşir.

Bir kuş uçarken, çırpan kanatların yörüngesi bir sinüzoid oluşturur.

Müzikal uyumun ortaya çıkışı

Antik çağlardan günümüze gelen efsanelere göre bunu yapmaya ilk çalışanlar Pisagor ve öğrencileri olmuştur.

Birinci, ikinci vb.de aynı notaya karşılık gelen frekanslar. oktavlar 1:2:4:8 ile ilişkilidir...

diyatonik ölçek 2:3:5

Mimarlıkta trigonometri

Barselona'daki Gaudi Çocuk Okulu

Londra'daki Swiss Re Insurance Corporation

Los Manantiales'teki Felix Candela Restoranı

Tercüme

Trigonometrik fonksiyonların bulunabileceği yerlerin sadece küçük bir kısmını verdik.Trigonometrinin açıları ölçme ihtiyacından dolayı hayat bulduğunu ancak zamanla trigonometrik fonksiyonlar bilimine dönüştüğünü öğrendik.

Trigonometrinin fizikle yakından ilişkili olduğunu, doğada ve tıpta bulunduğunu kanıtladık. Canlı ve cansız doğanın periyodik süreçlerine sonsuz sayıda örnek verilebilir. Tüm periyodik süreçler trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak tanımlanabilir ve grafiklerle gösterilebilir.

Trigonometrinin hayatımıza ve kürelere yansıdığını düşünüyoruz.

önemli bir rol oynadığı alan genişleyecektir.

Çözüm

Bulundu Trigonometri, açıları ölçme ihtiyacıyla hayata geçirildi, ancak zamanla trigonometrik fonksiyonlar bilimine dönüştü.

Kanıtlanmış trigonometrinin doğada, müzikte, astronomide ve tıpta bulunan fizikle yakından ilişkili olduğu.

Düşünürüz trigonometrinin hayatımıza yansıyacağını ve önemli rol oynadığı alanların genişleyeceğini.

7. Edebiyat.

Maslova T.N. "Öğrenci Matematik Rehberi"

Grafiklerin görüntüsünü uygulayan Maple6 programı

"Wikipedia"

Çalışmalar. ru

Math.ru "kütüphane"

Antik çağlardan 19. yüzyılın başlarına kadar matematik tarihi 3 ciltte // ed. A.P. Yuşkeviç. Moskova, 1970 – cilt 1-3 E. T. Bell Matematiğin Yaratıcıları.

Modern matematiğin öncülleri // ed. S. N. Niro. Moskova, 1983 A. N. Tikhonov, D.P. Kostomarov.

Uygulamalı matematikle ilgili hikayeler//Moskova, 1979. AV Voloshinov. Matematik ve sanat // Moskova, 1992. Gazete Matematiği. 1 Eylül 1998 tarihli gazetenin eki.

Trigonometrinin tarihi ayrılmaz bir şekilde astronomi ile bağlantılıdır, çünkü eski bilim adamlarının bir üçgendeki çeşitli büyüklüklerin ilişkilerini incelemeye başlaması bu bilimin sorunlarını çözmek içindi.

Günümüzde trigonometri, üçgenlerin açı değerleri ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyen ve ayrıca trigonometrik fonksiyonların cebirsel kimliklerinin analiziyle ilgilenen bir matematik mikro dalıdır.

"Trigonometri" terimi

Matematiğin bu dalına adını veren terim, ilk olarak Alman matematikçi Pitiscus'un 1505 yılında yazdığı bir kitabın başlığında keşfedilmiştir. "Trigonometri" kelimesi Yunanca kökenlidir ve "bir üçgeni ölçmek" anlamına gelir. Daha kesin olmak gerekirse, bu rakamın gerçek ölçümünden değil, çözümünden, yani bilinmeyen unsurlarının değerlerinin bilinenleri kullanarak belirlenmesinden bahsediyoruz.

Trigonometri hakkında genel bilgi

Trigonometrinin tarihi iki bin yıldan fazla bir süre önce başladı. Başlangıçta ortaya çıkışı, bir üçgenin açıları ve kenarları arasındaki ilişkilerin açıklığa kavuşturulması ihtiyacıyla ilişkilendirildi. Araştırma sürecinde, bu ilişkilerin matematiksel ifadesinin, başlangıçta sayısal tablolar olarak tasarlanan özel trigonometrik fonksiyonların kullanılmasını gerektirdiği ortaya çıktı.

Matematikle ilgili birçok bilim için gelişmenin itici gücü trigonometrinin tarihiydi. Antik Babil bilim adamlarının araştırmalarıyla ilişkili açı ölçü birimlerinin (derece) kökeni, birçok uygulamalı bilimde kullanılan modern ondalık gösterime yol açan altmışlık gösterim sistemine dayanmaktadır.

Trigonometrinin başlangıçta astronominin bir parçası olarak var olduğu varsayılmaktadır. Daha sonra mimaride kullanılmaya başlandı. Ve zamanla, bu bilimi insan faaliyetinin çeşitli alanlarına uygulamanın uygunluğu ortaya çıktı. Bunlar özellikle astronomi, deniz ve hava seyrüseferi, akustik, optik, elektronik, mimari ve diğerleridir.

Erken yüzyıllarda trigonometri

Hayatta kalan bilimsel kalıntılara ilişkin verilerden yola çıkan araştırmacılar, trigonometri tarihinin, (küresel) üçgenleri çözmenin yollarını bulmayı ilk düşünen Yunan gökbilimci Hipparchus'un çalışmalarıyla bağlantılı olduğu sonucuna vardı. Eserleri M.Ö. 2. yüzyıla kadar uzanmaktadır.

Ayrıca o zamanların en önemli başarılarından biri, daha sonra Pisagor teoremi olarak anılacak olan dik üçgenlerde bacaklar ile hipotenüs arasındaki ilişkinin belirlenmesiydi.

Antik Yunanistan'da trigonometrinin gelişiminin tarihi, Kopernik'ten önce hakim olan jeosentrik teorinin yazarı olan gökbilimci Ptolemy'nin adıyla ilişkilidir.

Yunan gökbilimciler sinüsleri, kosinüsleri ve teğetleri bilmiyorlardı. Bir yay kullanarak bir dairenin kirişinin değerini bulmalarına olanak tanıyan tablolar kullandılar. Akorları ölçmek için kullanılan birimler derece, dakika ve saniyeydi. Bir derece yarıçapın altmışta birine eşitti.

Ayrıca eski Yunanlıların araştırmaları küresel trigonometrinin gelişimini ilerletti. Özellikle Öklid, "İlkeler" adlı eserinde, farklı çaplardaki topların hacimleri arasındaki ilişkilerin örüntüleri hakkında bir teorem verir. Bu alandaki çalışmaları, ilgili bilgi alanlarının gelişmesinde bir nevi itici güç haline geldi. Bu, özellikle astronomik aletlerin teknolojisi, harita projeksiyonları teorisi, göksel koordinat sistemi vb.

Orta Çağ: Hintli bilim adamlarının araştırması

Hintli ortaçağ gökbilimcileri önemli bir başarı elde etti. Antik bilimin 4. yüzyılda ölümü, matematiğin gelişim merkezinin Hindistan'a taşınmasına yol açtı.

Trigonometrinin matematik öğretiminin ayrı bir bölümü olarak ortaya çıkış tarihi Orta Çağ'da başlamıştır. O zaman bilim adamları akorları sinüslerle değiştirdiler. Bu keşif, kenarların ve açıların incelenmesiyle ilgili fonksiyonların tanıtılmasını mümkün kıldı, yani trigonometri o zaman astronomiden ayrılarak matematiğin bir dalına dönüşmeye başladı.

Aryabhata'da ilk sinüs tabloları vardı; bunlar 3o, 4o, 5o boyunca çizilmişti. Daha sonra tabloların ayrıntılı versiyonları ortaya çıktı: özellikle Bhaskara 1 o'da sinüs tablosunu sundu.

Trigonometri üzerine ilk özel inceleme 10.-11. yüzyıllarda ortaya çıktı. Yazarı Orta Asyalı bilim adamı Al-Biruni'ydi. Ortaçağ yazarı, ana eseri "Mas'ud'un Kanonu"nda (Kitap III), trigonometriyi daha da derinleştirerek bir sinüs tablosu (15 inçlik artışlarla) ve bir teğet tablosu (1°'lik artışlarla) verir. ).

Avrupa'da trigonometrinin gelişiminin tarihi

Arapça eserlerin Latince'ye çevrilmesinden sonra (XII-XIII yüzyıllar), Hintli ve İranlı bilim adamlarının fikirlerinin çoğu Avrupa bilimi tarafından ödünç alındı. Avrupa'da trigonometrinin ilk sözleri 12. yüzyıla kadar uzanıyor.

Araştırmacılara göre, Avrupa'daki trigonometri tarihi, "Düz ve Ters Akorlar Üzerine Dört İnceleme" makalesinin yazarı olan İngiliz Richard of Wallingford'un adıyla bağlantılı. Tamamen trigonometriye adanmış ilk çalışma onun çalışmasıydı. 15. yüzyıla gelindiğinde pek çok yazar eserlerinde trigonometrik fonksiyonlardan bahsetmişti.

Trigonometrinin tarihi: Modern zamanlar

Modern zamanlarda çoğu bilim insanı trigonometrinin yalnızca astronomi ve astrolojide değil aynı zamanda yaşamın diğer alanlarında da son derece önemli olduğunu fark etmeye başladı. Bunlar öncelikle uzun deniz yolculuklarında topçu, optik ve navigasyondur. Bu nedenle, 16. yüzyılın ikinci yarısında bu konu, Nicolaus Copernicus ve Francois Vieta da dahil olmak üzere o zamanın birçok önde gelen insanının ilgisini çekti. Kopernik, “Göksel Kürelerin Dönmesi Üzerine” (1543) adlı eserinde trigonometriye birkaç bölüm ayırdı. Kısa bir süre sonra, 16. yüzyılın 60'lı yıllarında, Kopernik'in öğrencisi Rheticus, "Astronomi'nin Optik Kısmı" adlı çalışmasında on beş basamaklı trigonometrik tablolardan alıntı yaptı.

“Matematiksel Kanon”da (1579), kanıtlanmamış olsa da, düzlem ve küresel trigonometrinin ayrıntılı ve sistematik bir karakterizasyonunu verir. Ve sinüs dalgasının doğduğu kişi Albrecht Dürer oldu.

Leonhard Euler'in Değerleri

Trigonometriye modern içerik ve biçim kazandırmak Leonhard Euler'in erdemiydi. "Sonsuzların Analizine Giriş" (1748) adlı eseri, "trigonometrik fonksiyonlar" teriminin modern olana eşdeğer bir tanımını içerir. Böylece bu bilim adamı şunu belirleyebildi: Ama hepsi bu değil.

Tüm sayı doğrusu üzerindeki trigonometrik fonksiyonların tanımlanması, Euler'in yalnızca izin verilen negatif açılar üzerinde değil, aynı zamanda 360°'den büyük açılar üzerinde de yaptığı araştırmalar sayesinde mümkün hale geldi. Çalışmalarında dik açının kosinüs ve tanjantının negatif olduğunu ilk kanıtlayan oydu. Kosinüs ve sinüsün tamsayı kuvvetlerinin genişletilmesi de bu bilim adamının eseriydi. Trigonometrik serilerin genel teorisi ve ortaya çıkan serilerin yakınsaklığının incelenmesi Euler'in araştırmasının konusu değildi. Ancak ilgili problemler üzerinde çalışırken bu alanda birçok keşif yaptı. Trigonometri tarihinin devam etmesi onun çalışmaları sayesinde oldu. Eserlerinde küresel trigonometri konularına kısaca değindi.

Trigonometri uygulamaları

Trigonometri uygulamalı bir bilim değildir; problemleri gerçek günlük yaşamda nadiren kullanılır. Ancak bu gerçek onun önemini azaltmaz. Örneğin, gökbilimcilerin yakındaki yıldızlara olan mesafeyi doğru bir şekilde ölçmelerine ve uydu navigasyon sistemlerini izlemelerine olanak tanıyan üçgenleme tekniği çok önemlidir.

Trigonometri ayrıca navigasyon, müzik teorisi, akustik, optik, finansal piyasa analizi, elektronik, olasılık teorisi, istatistik, biyoloji, tıp (örneğin, ultrason muayenelerinin kodunun çözülmesinde, ultrason ve bilgisayarlı tomografide), farmasötiklerde, kimyada, sayı teorisinde, sismoloji, meteoroloji, oşinoloji, haritacılık, fiziğin birçok bölümü, topografya ve jeodezi, mimari, fonetik, ekonomi, elektronik mühendisliği, makine mühendisliği, bilgisayar grafikleri, kristalografi vb. Trigonometrinin tarihi ve doğal ve matematiksel çalışmadaki rolü Bilimler bugüne kadar hala inceleniyor. Belki gelecekte daha da fazla uygulama alanı olacaktır.

Temel kavramların kökeninin tarihi

Trigonometrinin ortaya çıkışı ve gelişiminin tarihi bir asırdan daha eskilere dayanmaktadır. Matematik biliminin bu bölümünün temelini oluşturan kavramların ortaya çıkışı da bir gecede gerçekleşmedi.

Dolayısıyla “sinüs” kavramının çok uzun bir geçmişi vardır. MÖ 3. yüzyıla kadar uzanan bilimsel çalışmalarda üçgen ve daire parçaları arasındaki çeşitli ilişkilerden bahsedilmektedir. Öklid, Arşimet ve Pergeli Apollonius gibi büyük antik bilim adamlarının eserleri, bu ilişkilerin ilk çalışmalarını zaten içermektedir. Yeni keşifler belirli terminolojik açıklamalar gerektirdi. Böylece Hintli bilim adamı Aryabhata akora "yay teli" anlamına gelen "jiva" adını verir. Arapça matematik metinleri Latince'ye çevrildiğinde terimin yerini benzer bir anlam olan sinüs (yani "bükülme") aldı.

"Kosinüs" kelimesi çok daha sonra ortaya çıktı. Terim, Latince "tamamlayıcı sinüs" ifadesinin kısaltılmış versiyonudur.

Teğetlerin ortaya çıkışı, gölgenin uzunluğunu belirleme probleminin çözülmesiyle ilişkilidir. "Teğet" terimi, 10. yüzyılda teğetleri ve kotanjantları belirlemek için ilk tabloları derleyen Arap matematikçi Abu-l-Wafa tarafından tanıtıldı. Ancak Avrupalı bilim adamlarının bu başarılardan haberi yoktu. Alman matematikçi ve gökbilimci Regimontanus, bu kavramları 1467'de yeniden keşfetti. Teğet teoreminin kanıtı onun meziyetidir. Ve bu terim "ilgili" olarak tercüme edilir.

Rodikova Valeria, Tipsin Eldar

İlk matematiksel bilgi antik çağlarda (MÖ IV-III yüzyıllarda) Antik Yunan'da ortaya çıkmıştır. 17-18. yüzyıllarda bilimin temel içeriği oluştu. Medeniyet gelişiminin farklı dönemlerinde farklı ülkelerden bilim adamları modern matematiğin gelişimine katkıda bulundular. Trigonometrik fonksiyonları inceleyen matematik dalına trigonometri denir. Hayatın her kesiminden insanlar çalışmalarında trigonometri unsurlarını kullanıyor. Bunlar çeşitli bilimsel ve uygulamalı alanlardaki araştırmacılar, fizikçiler, tasarımcılar, bilgisayar teknolojisi uzmanları, tasarımcılar, multimedya sunum yazarları, doktorlar ve çeşitli alanlardaki uzmanlardır. Bu proje trigonometrinin mimarideki uygulamasını araştırdı.

İndirmek:

Ön izleme:

https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Çalışmayı yürüten: Rodikova Valeria, Tipsin Eldar, MBOU “Beloyarsk Ortaokulu 1 Nolu” 10. sınıf “A” öğrencileri Danışman: Zhelnirovich N.V., mimarlıkta trigonometri öğretmeni 2013 Öğrencilerin bölgesel araştırma konferansı “Geleceğin elitleri” Verkhneketye”

TRİGONOMETRİ - (Yunanca trigwnon - üçgen ve metrew - ölçü kelimesinden gelir) - üçgenlerin açıları ve kenarları ile trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkileri inceleyen bir bilim.

Trigonometrinin sadece analiz ve cebir ilkelerinde değil aynı zamanda mimarlık gibi diğer birçok bilim dalında da kullanıldığını varsaydık.

Trigonometrinin mimarideki uygulama alanlarına giriş. İşin hedefleri

Trigonometrinin mimaride nasıl kullanıldığını öğrenin Trigonometrinin bu sorun alanındaki uygulamasını keşfedin

Zaha Hadid Zaha Hadid (31 Ekim 1950, Bağdat, Irak) Arap kökenli İngiliz mimardır. Dekonstrüktivizmin temsilcisi. 2004 yılında tarihte Pritzker Ödülü'ne layık görülen ilk kadın mimar oldu. Dekonstrüktivizm modern mimaride bir trenddir. Dekonstrüktivist projeler, görsel karmaşıklık, beklenmedik şekilde kırılmış ve kasıtlı olarak yıkıcı formların yanı sıra kentsel çevrenin açıkça agresif bir şekilde istila edilmesiyle karakterize edilir.

Şeyh Zayed Köprüsü, Abu Dhabi, Birleşik Arap Emirlikleri

Antoni Placid Guillem Gaudí i Curnet, ilginç ve fantastik eserlerinin çoğu Barselona'da dikilmiş olan İspanyol bir mimardır. Gaudi'nin çalıştığı tarz Art Nouveau olarak sınıflandırılır. Bununla birlikte, çalışmalarında çok çeşitli tarzların unsurlarını kullanmış ve bunları işleme tabi tutmuştur. Modern, sanatta sanatsal bir harekettir; ayırt edici özellikleri, daha doğal, "doğal" çizgiler lehine düz çizgilerin ve açıların reddedilmesidir.

Gaudi Çocuk Okulu, Barselona, İspanya

Gaudí yüzeyleri k =1, a =1

Ön izleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Santiago Calatrava Valls, dünyanın farklı ülkelerindeki birçok fütüristik binanın yazarı olan İspanyol bir mimar ve heykeltıraştır.

Bodegas Isios Şaraphanesi İspanya

CANDELA Felix (1910-1997), Meksikalı mimar ve mühendis. Çeşitli betonarme kabuk tonozların yaratıcısı; hiperbolik paraboloitler şeklinde ince duvarlı kaplamalar geliştirdi.

Los Manantiales, Arjantin'deki restoran [ ad cos (t) + d d t , b d sin (t), c d t + e d t 2 ]

Londra, Birleşik Krallık'taki Swiss Re Insurance Corporation x = λ y = f (λ) çünkü θ z = f (λ) sin θ

Gotik mimari Notre Dame Katedrali 1163 – 14. yüzyılın ortaları.

Berlin sinüs dalgaları, Almanya

SONUÇLAR Projesi “Geleceğin Okulları”

: Trigonometrinin sadece cebir ve analiz ilkelerinde değil, diğer birçok bilim dalında da kullanıldığını öğrendik.Trigonometri, birçok sanat ve mimari şaheserin yaratılmasının temelidir.Trigonometrinin bina yapımında kullanıldığını öğrendik. modeller. Çözüm

İlginiz için teşekkür ederiz!