Güç fonksiyonu. Temel temel fonksiyonlar: özellikleri ve grafikleri Kesirli üslü kuvvet fonksiyonları

Temel temel fonksiyonlar, bunların doğal özellikleri ve bunlara karşılık gelen grafikler, çarpım tablosuna benzer önemde matematiksel bilginin temellerinden biridir. Temel işlevler, tüm teorik konuların incelenmesi için temel ve destektir.

Aşağıdaki makale temel temel işlevler konusunda önemli materyaller sunmaktadır. Terimleri tanıtacağız, tanımlarını vereceğiz; Her tür temel fonksiyonu ayrıntılı olarak inceleyelim ve özelliklerini analiz edelim.

Aşağıdaki temel temel fonksiyon türleri ayırt edilir:

Tanım 1

• sabit fonksiyon (sabit);
• n'inci kök;
• güç fonksiyonu;
• üstel fonksiyon;
• logaritmik fonksiyon;
• trigonometrik fonksiyonlar;
• kardeş trigonometrik fonksiyonlar.

Sabit bir fonksiyon şu formülle tanımlanır: y = C (C belirli bir gerçek sayıdır) ve ayrıca bir adı vardır: sabit. Bu fonksiyon, bağımsız değişken x'in herhangi bir gerçek değerinin, y değişkeninin aynı değerine - C'nin değerine - uygunluğunu belirler.

Bir sabitin grafiği apsis eksenine paralel olan ve koordinatları (0, C) olan bir noktadan geçen düz bir çizgidir. Açıklık sağlamak için, y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 sabit fonksiyonlarının grafiklerini sunuyoruz (çizimde sırasıyla siyah, kırmızı ve mavi renklerle gösterilmiştir).

Tanım 2

Bu temel fonksiyon y = x n (n, birden büyük bir doğal sayıdır) formülüyle tanımlanır.

Fonksiyonun iki varyasyonunu ele alalım.

1. n'inci kök, n – çift sayı

Açıklık sağlamak için, bu tür fonksiyonların grafiklerini gösteren bir çizimi gösteriyoruz: y = x, y = x 4 ve y = x8. Bu özellikler renk kodludur: sırasıyla siyah, kırmızı ve mavi.

Çift dereceli bir fonksiyonun grafikleri, üssün diğer değerleri için benzer bir görünüme sahiptir.

Tanım 3

N'inci kök fonksiyonunun özellikleri, n bir çift sayıdır

• tanım alanı - negatif olmayan tüm gerçek sayılar kümesi [ 0 , + ∞) ;
• x = 0 olduğunda fonksiyon y = x n'nin değeri sıfıra eşittir;
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne çift ne de tektir);
• aralık: [ 0 , + ∞) ;
• bu fonksiyon y = x n çift kök üsleri ile tüm tanım alanı boyunca artar;
• fonksiyonun tüm tanım alanı boyunca yukarı yönlü bir dışbükeyliği vardır;
• hiçbir dönüm noktası yok;
• asimptot yok;
• çift ​​n için fonksiyonun grafiği (0; 0) ve (1; 1) noktalarından geçer.

1. n'inci kök, n – tek sayı

Böyle bir fonksiyon tüm reel sayılar kümesi üzerinde tanımlanır. Netlik sağlamak için fonksiyonların grafiklerini göz önünde bulundurun y = x 3 , y = x 5 ve x 9. Çizimde renklerle belirtilmiştir: sırasıyla siyah, kırmızı ve mavi eğrilerin renkleridir.

Y = x n fonksiyonunun kök üssünün diğer tek değerleri benzer tipte bir grafik verecektir.

Tanım 4

N'inci kök fonksiyonunun özellikleri, n tek bir sayıdır

• tanım alanı - tüm gerçek sayılar kümesi;
• bu işlev tuhaftır;
• değer aralığı – tüm gerçek sayılar kümesi;
• tek kök üsler için y = x n fonksiyonu tüm tanım alanı boyunca artar;
• fonksiyonun (- ∞ ; 0 ] aralığında içbükeyliği ve [ 0 , + ∞ aralığında dışbükeyliği vardır;
• bükülme noktasının koordinatları vardır (0; 0);
• asimptot yok;
• Tek n için fonksiyonun grafiği (- 1 ; - 1), (0 ; 0) ve (1 ; 1) noktalarından geçer.

Güç fonksiyonu

Güç fonksiyonu y = x a formülüyle tanımlanır.

Grafiklerin görünümü ve fonksiyonun özellikleri üssün değerine bağlıdır.

• bir kuvvet fonksiyonunun bir tamsayı üssü a varsa, bu durumda kuvvet fonksiyonunun grafiğinin türü ve özellikleri, üssün çift mi yoksa tek mi olduğuna ve üssün hangi işarete sahip olduğuna bağlıdır. Tüm bu özel durumları aşağıda daha detaylı ele alalım;
• üs kesirli veya irrasyonel olabilir - buna bağlı olarak grafiklerin türü ve fonksiyonun özellikleri de değişir. Özel durumları çeşitli koşullar belirleyerek analiz edeceğiz: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• bir kuvvet fonksiyonunun üssü sıfır olabilir; bu durumu aşağıda daha ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Güç fonksiyonunu analiz edelim y = x a, a tek pozitif bir sayı olduğunda, örneğin a = 1, 3, 5...

Açıklık sağlamak için, bu tür güç fonksiyonlarının grafiklerini gösteriyoruz: y = x (grafik rengi siyah), y = x 3 (grafiğin mavi rengi), y = x 5 (grafiğin kırmızı rengi), y = x 7 (grafik rengi yeşil). a = 1 olduğunda, y = x doğrusal fonksiyonunu elde ederiz.

Tanım 6

Üs tek pozitif olduğunda bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri

• fonksiyon x ∈ (- ∞ ; + ∞) için artıyor;
• fonksiyon x ∈ (- ∞ ; 0 ] için dışbükeyliğe ve x ∈ [ 0 ; + ∞) için içbükeyliğe sahiptir (doğrusal fonksiyon hariç);
• bükülme noktasının koordinatları vardır (0; 0) (doğrusal fonksiyon hariç);
• asimptot yok;
• Fonksiyonun geçiş noktaları: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Güç fonksiyonunu analiz edelim y = x a, a çift pozitif bir sayı olduğunda, örneğin a = 2, 4, 6...

Açıklık sağlamak için, bu tür güç fonksiyonlarının grafiklerini gösteriyoruz: y = x 2 (grafik rengi siyah), y = x 4 (grafiğin mavi rengi), y = x 8 (grafiğin kırmızı rengi). a = 2 olduğunda, grafiği ikinci dereceden bir parabol olan ikinci dereceden bir fonksiyon elde ederiz.

Tanım 7

Üs çift pozitif olduğunda bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• x ∈ için azalan (- ∞ ; 0 ] ;
• fonksiyon x ∈ (- ∞ ; + ∞) için içbükeyliğe sahiptir;
• hiçbir dönüm noktası yok;
• asimptot yok;
• Fonksiyonun geçiş noktaları: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Aşağıdaki şekilde güç fonksiyonu grafiklerinin örnekleri gösterilmektedir a tek negatif bir sayı olduğunda y = x a: y = x - 9 (grafik rengi siyah); y = x - 5 (grafiğin mavi rengi); y = x - 3 (grafiğin kırmızı rengi); y = x - 1 (grafik rengi yeşil). a = - 1 olduğunda grafiği hiperbol olan ters orantı elde ederiz.

Tanım 8

Üs tek negatif olduğunda bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri:

x = 0 olduğunda ikinci türden bir süreksizlik elde ederiz, çünkü a = - 1, - 3, - 5, … için lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞. Dolayısıyla x = 0 düz çizgisi dikey bir asimptottur;

• aralık: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• fonksiyon tektir çünkü y (- x) = - y (x);
• fonksiyon x ∈ - ∞ için azalıyor; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• fonksiyon x ∈ (- ∞ ; 0) için dışbükeyliğe ve x ∈ (0 ; + ∞) için içbükeyliğe sahiptir;
• hiçbir dönüm noktası yoktur;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, a = - 1, - 3, - 5, olduğunda. . . .

• fonksiyonun geçiş noktaları: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Aşağıdaki şekilde a çift negatif bir sayı olduğunda y = x a kuvvet fonksiyonunun grafik örnekleri gösterilmektedir: y = x - 8 (grafik rengi siyah); y = x - 4 (grafiğin mavi rengi); y = x - 2 (grafiğin kırmızı rengi).

Tanım 9

Üs çift negatif olduğunda bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

x = 0 olduğunda ikinci türden bir süreksizlik elde ederiz, çünkü a = - 2, - 4, - 6, … için lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞. Dolayısıyla x = 0 düz çizgisi dikey bir asimptottur;

• fonksiyon çifttir çünkü y(-x) = y(x);
• fonksiyon x ∈ (- ∞ ; 0) için artıyor ve x ∈ 0 için azalıyor; + ∞ ;
• fonksiyonun x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) noktasında içbükeyliği vardır;
• hiçbir dönüm noktası yoktur;
• yatay asimptot – düz çizgi y = 0, çünkü:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 olduğunda a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• Fonksiyonun geçiş noktaları: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

En başından itibaren şu hususa dikkat edin: a'nın paydası tek olan pozitif bir kesir olması durumunda, bazı yazarlar - ∞ aralığını bu kuvvet fonksiyonunun tanım tanım kümesi olarak alırlar; + ∞ , a üssünün indirgenemez bir kesir olduğunu şart koşuyor. Şu anda, cebir ve analiz ilkeleri üzerine birçok eğitici yayının yazarları, üssün argümanın negatif değerleri için tek paydalı bir kesir olduğu güç fonksiyonlarını TANIMLAMAZ. Ayrıca tam olarak bu pozisyona bağlı kalacağız: [ 0 ; + ∞) . Öğrencilere öneri: Anlaşmazlıkları önlemek için öğretmenin bu konudaki görüşünü öğrenin.

Şimdi güç fonksiyonuna bakalım y = x a , üs rasyonel veya irrasyonel bir sayı olduğunda, 0 olması koşuluyla< a < 1 .

Güç fonksiyonlarını grafiklerle gösterelim a = 11 12 olduğunda y = x a (grafik rengi siyah); a = 5 7 (grafiğin kırmızı rengi); a = 1 3 (grafiğin mavi rengi); a = 2 5 (grafiğin yeşil rengi).

a üssünün diğer değerleri (0 şartıyla)< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Tanım 10

0'daki güç fonksiyonunun özellikleri< a < 1:

• aralık: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• fonksiyon x ∈ [ 0 için artıyor; + ∞) ;
• fonksiyon x ∈ (0 ; + ∞) için dışbükeydir;
• hiçbir dönüm noktası yoktur;
• asimptot yok;

Güç fonksiyonunu analiz edelim y = x a, a > 1 olması şartıyla üs tamsayı olmayan rasyonel veya irrasyonel bir sayı olduğunda.

Güç fonksiyonunu grafiklerle gösterelim Aşağıdaki fonksiyonları örnek olarak kullanarak verilen koşullar altında y = x a: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (grafiklerin siyah, kırmızı, mavi, yeşil rengi, sırasıyla).

a > 1 olması şartıyla a üssünün diğer değerleri de benzer bir grafik verecektir.

Tanım 11

a > 1 için kuvvet fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• aralık: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne tek ne de çifttir);
• fonksiyon x ∈ [ 0 için artıyor; + ∞) ;
• fonksiyonun x ∈ (0 ; + ∞) için içbükeyliği vardır (1 olduğunda)< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• hiçbir dönüm noktası yoktur;
• asimptot yok;
• Fonksiyonun geçiş noktaları: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Lütfen dikkat! a, paydası tek olan negatif bir kesir olduğunda, bazı yazarların çalışmalarında bu durumda tanım alanının - ∞ aralığı olduğu yönünde bir görüş vardır; 0 ∪ (0 ; + ∞), a üssünün indirgenemez bir kesir olduğu uyarısıyla. Şu anda, cebir ve analiz ilkeleri üzerine eğitim materyallerinin yazarları, argümanın negatif değerleri için tek paydalı bir kesir biçimindeki üslü güç fonksiyonlarını TANIMLAMAZ. Ayrıca, biz tam olarak bu görüşe bağlıyız: (0 ; + ∞) kümesini kesirli negatif üslü güç fonksiyonlarının tanım bölgesi olarak alıyoruz. Öğrencilere öneri: Anlaşmazlıkları önlemek için öğretmeninizin vizyonunu bu noktada netleştirin.

Konuya devam edelim ve güç fonksiyonunu analiz edelim y = x a şu şartla: - 1< a < 0 .

Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerinin bir çizimini sunalım: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (siyah, kırmızı, mavi, yeşil renk) sırasıyla satırlar).

Tanım 12

-1'deki güç fonksiyonunun özellikleri< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ - 1 olduğunda< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• aralık: y ∈ 0; + ∞ ;
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne tek ne de çifttir);
• hiçbir dönüm noktası yoktur;

Aşağıdaki çizimde güç fonksiyonlarının grafikleri y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (eğrilerin sırasıyla siyah, kırmızı, mavi, yeşil renkleri) gösterilmektedir.

Tanım 13

Bir güç fonksiyonunun özellikleri< - 1:

• tanım alanı: x ∈ 0; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ ne zaman a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• aralık: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne tek ne de çifttir);
• fonksiyon x ∈ 0 için azalıyor; + ∞ ;
• fonksiyonun x ∈ 0 için içbükeyliği vardır; + ∞ ;
• hiçbir dönüm noktası yoktur;
• yatay asimptot – düz çizgi y = 0;
• Fonksiyonun geçiş noktası: (1; 1) .

a = 0 ve x ≠ 0 olduğunda, (0; 1) noktasının hariç tutulduğu doğruyu tanımlayan y = x 0 = 1 fonksiyonunu elde ederiz (0 0 ifadesine herhangi bir anlam verilmeyeceği konusunda anlaşmaya varılmıştır) ).

Üstel fonksiyon şu şekildedir: y = a x, burada a > 0 ve a ≠ 1'dir ve bu fonksiyonun grafiği, a tabanının değerine bağlı olarak farklı görünür. Özel durumları ele alalım.

Öncelikle üstel fonksiyonun tabanının sıfırdan bire (0) kadar bir değere sahip olduğu duruma bakalım.< a < 1) . Buna iyi bir örnek, a = 1 2 (eğrinin mavi rengi) ve a = 5 6 (eğrinin kırmızı rengi) için fonksiyonların grafikleridir.

Üstel fonksiyonun grafikleri, 0 koşulu altında tabanın diğer değerleri için benzer bir görünüme sahip olacaktır.< a < 1 .

Tanım 14

Tabanı birden küçük olduğunda üstel fonksiyonun özellikleri:

• aralık: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne tek ne de çifttir);
• tabanı birden küçük olan üstel bir fonksiyon tüm tanım alanı boyunca azalmaktadır;
• hiçbir dönüm noktası yoktur;
• yatay asimptot - x değişkeninin + ∞'a yöneldiği düz çizgi y = 0;

Şimdi üstel fonksiyonun tabanının birden büyük olduğu durumu düşünün (a > 1).

Bu özel durumu y = 3 2 x (eğrinin mavi rengi) ve y = e x (grafiğin kırmızı rengi) üstel fonksiyonlarının grafiğiyle örnekleyelim.

Tabanın diğer değerleri, daha büyük birimler, üstel fonksiyonun grafiğine benzer bir görünüm verecektir.

Tanım 15

Taban birden büyük olduğunda üstel fonksiyonun özellikleri:

• tanım alanı - tüm gerçek sayılar kümesi;
• aralık: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne tek ne de çifttir);
• tabanı birden büyük olan bir üstel fonksiyon x ∈ - ∞ kadar artmaktadır; + ∞ ;
• fonksiyonun x ∈ - ∞'da içbükeyliği vardır; + ∞ ;
• hiçbir dönüm noktası yoktur;
• yatay asimptot - x değişkeninin - ∞'a yöneldiği düz çizgi y = 0;
• Fonksiyonun geçiş noktası: (0; 1) .

Logaritmik fonksiyon y = log a (x) formundadır; burada a > 0, a ≠ 1'dir.

Böyle bir işlev yalnızca argümanın pozitif değerleri için tanımlanır: x ∈ 0 için; + ∞ .

Logaritmik bir fonksiyonun grafiği, a tabanının değerine bağlı olarak farklı bir görünüme sahiptir.

Öncelikle 0 olduğu durumu ele alalım.< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Tabanın daha büyük birimler değil diğer değerleri de benzer türde bir grafik verecektir.

Tanım 16

Tabanı birden küçük olduğunda logaritmik bir fonksiyonun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ 0; + ∞ . X sağdan sıfıra doğru yöneldikçe fonksiyon değerleri +∞'a doğru yönelir;
• değer aralığı: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne tek ne de çifttir);
• logaritmik
• fonksiyonun x ∈ 0 için içbükeyliği vardır; + ∞ ;
• hiçbir dönüm noktası yoktur;
• asimptot yok;

Şimdi logaritmik fonksiyonun tabanının birden büyük olduğu özel duruma bakalım: a > 1 . Aşağıdaki çizimde y = log 3 2 x ve y = ln x logaritmik fonksiyonlarının grafikleri gösterilmektedir (grafiklerin sırasıyla mavi ve kırmızı renkleri).

Tabanın birden büyük diğer değerleri de benzer tipte bir grafik verecektir.

Tanım 17

Tabanı birden büyük olduğunda logaritmik bir fonksiyonun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ 0; + ∞ . X sağdan sıfıra doğru yöneldikçe fonksiyon değerleri - ∞'a doğru yönelir;
• değer aralığı: y ∈ - ∞ ; + ∞ (gerçek sayılar kümesinin tamamı);
• bu fonksiyon genel formun bir fonksiyonudur (ne tek ne de çifttir);
• x ∈ 0 için logaritmik fonksiyon artıyor; + ∞ ;
• fonksiyon x ∈ 0 için dışbükeydir; + ∞ ;
• hiçbir dönüm noktası yoktur;
• asimptot yok;
• Fonksiyonun geçiş noktası: (1; 0) .

Trigonometrik fonksiyonlar sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanttır. Her birinin özelliklerine ve karşılık gelen grafiklere bakalım.

Genel olarak, tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiklik özelliği ile karakterize edilir; fonksiyonların değerleri bağımsız değişkenin farklı değerleri için tekrarlandığında, f (x + T) = f (x) (T periyottur) dönemi kadar farklılık gösterir. Böylece trigonometrik fonksiyonların özellikleri listesine “en küçük pozitif periyot” maddesi eklenmiştir. Ek olarak, karşılık gelen fonksiyonun sıfır olduğu argümanın değerlerini de göstereceğiz.

1. Sinüs fonksiyonu: y = sin(x)

Bu fonksiyonun grafiğine sinüs dalgası denir.

Tanım 18

Sinüs fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ - ∞ gerçek sayılar kümesinin tamamı; + ∞ ;
• x = π · k olduğunda fonksiyon kaybolur; burada k ∈ Z (Z, tamsayılar kümesidir);
• fonksiyon x ∈ - π 2 + 2 π · k için artıyor; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ve x ∈ π 2 + 2 π · k için azalan; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• sinüs fonksiyonunun π 2 + 2 π · k noktalarında yerel maksimumları vardır; 1 ve yerel minimumlar - π 2 + 2 π · k noktalarında; - 1, k ∈ Z;
• x ∈ - π + 2 π · k olduğunda sinüs fonksiyonu içbükeydir; 2 π · k, k ∈ Z ve x ∈ 2 π · k olduğunda dışbükey; π + 2 π k, k ∈ Z;
• asimptot yoktur.

1. Kosinüs fonksiyonu: y = cos(x)

Bu fonksiyonun grafiğine kosinüs dalgası denir.

Tanım 19

Kosinüs fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• en küçük pozitif periyot: T = 2 π;
• değer aralığı: y ∈ - 1; 1;
• y (- x) = y (x) olduğundan bu fonksiyon çifttir;
• fonksiyon x ∈ - π + 2 π · k için artıyor; 2 π · k, k ∈ Z ve x ∈ 2 π · k için azalan; π + 2 π k, k ∈ Z;
• kosinüs fonksiyonu 2 π · k noktalarında yerel maksimuma sahiptir; 1, k ∈ Z ve π + 2 π · k noktalarındaki yerel minimumlar; - 1, k ∈ z;
• x ∈ π 2 + 2 π · k olduğunda kosinüs fonksiyonu içbükeydir; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ve x ∈ - π 2 + 2 π · k olduğunda dışbükey; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• bükülme noktalarının koordinatları π 2 + π · k'dir; 0 , k ∈ Z
• asimptot yoktur.

1. Teğet fonksiyonu: y = tg(x)

Bu fonksiyonun grafiği denir teğet.

Tanım 20

Teğet fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, burada k ∈ Z (Z tam sayılar kümesidir);
• Tanım tanım kümesinin sınırındaki teğet fonksiyonun davranışı lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Dolayısıyla, x = π 2 + π · k k ∈ Z düz çizgileri dikey asimptotlardır;
• k ∈ Z için x = π · k olduğunda fonksiyon kaybolur (Z tamsayılar kümesidir);
• değer aralığı: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• bu fonksiyon tektir, çünkü y (- x) = - y (x) ;
• fonksiyon - π 2 + π · k olarak artmaktadır; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• tanjant fonksiyonu x ∈ [π · k için içbükeydir; π 2 + π · k) , k ∈ Z ve x ∈ için dışbükey (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• bükülme noktalarının koordinatları π · k'dir; 0 , k ∈ Z ;

1. Kotanjant fonksiyonu: y = c t g (x)

Bu fonksiyonun grafiğine kotanjantoid denir. .

Tanım 21

Kotanjant fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ (π · k ; π + π · k) , burada k ∈ Z (Z, tam sayılar kümesidir);

Kotanjant fonksiyonunun tanım kümesinin sınırındaki davranışı lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Dolayısıyla, x = π · k k ∈ Z düz çizgileri dikey asimptotlardır;

• en küçük pozitif periyot: T = π;
• k ∈ Z için x = π 2 + π · k olduğunda fonksiyon kaybolur (Z tamsayılar kümesidir);
• değer aralığı: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• bu fonksiyon tektir, çünkü y (- x) = - y (x) ;
• fonksiyon x ∈ π · k için azalıyor; π + π k, k ∈ Z;
• kotanjant fonksiyonu x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z için içbükeydir ve x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z için dışbükeydir;
• bükülme noktalarının koordinatları π 2 + π · k'dir; 0 , k ∈ Z ;
• Eğik veya yatay asimptot yoktur.

Ters trigonometrik fonksiyonlar arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjanttır. Çoğu zaman, adında "yay" önekinin bulunması nedeniyle, ters trigonometrik fonksiyonlara yay fonksiyonları denir. .

1. Ark sinüs fonksiyonu: y = a r c sin (x)

Tanım 22

Arcsinüs fonksiyonunun özellikleri:

• bu fonksiyon tektir, çünkü y (- x) = - y (x) ;
• arksinüs fonksiyonunun x ∈ 0 için içbükeyliği vardır; 1 ve x ∈ - 1 için dışbükeylik; 0;
• bükülme noktalarının koordinatları (0; 0) vardır; bu aynı zamanda fonksiyonun sıfırıdır;
• asimptot yoktur.

1. Ark kosinüs fonksiyonu: y = a r c cos (x)

Tanım 23

Ark kosinüs fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ - 1; 1;
• aralık: y ∈ 0; π;
• bu fonksiyon genel bir formdadır (ne çift ne de tek);
• fonksiyon tüm tanım alanı boyunca azalmaktadır;
• ark kosinüs fonksiyonu x ∈ - 1'de içbükeydir; 0 ve x ∈ 0 için dışbükeylik; 1;
• bükülme noktalarının koordinatları 0'dır; π2;
• asimptot yoktur.

1. Ark tanjant fonksiyonu: y = a r c t g (x)

Tanım 24

Arktanjant fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• değer aralığı: y ∈ - π 2 ; π2;
• bu fonksiyon tektir, çünkü y (- x) = - y (x) ;
• fonksiyon tanımın tüm alanı boyunca artmaktadır;
• arktanjant fonksiyonu x ∈ (- ∞ ; 0 ] için içbükeyliğe ve x ∈ [ 0 ; + ∞) için dışbükeyliğe sahiptir;
• bükülme noktası aynı zamanda fonksiyonun sıfırı olan koordinatlara (0; 0) sahiptir;
• yatay asimptotlar x → - ∞ olarak y = - π 2 ve x → + ∞ olarak y = π 2 düz çizgilerdir (şekilde asimptotlar yeşil çizgilerdir).

1. Ark tanjant fonksiyonu: y = a r c c t g (x)

Tanım 25

Arkkotanjant fonksiyonunun özellikleri:

• tanım alanı: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• aralık: y ∈ (0; π) ;
• bu fonksiyon genel bir formdadır;
• fonksiyon tüm tanım alanı boyunca azalmaktadır;
• yay kotanjant fonksiyonu x ∈ [ 0 ; + ∞) ve x ∈ (- ∞ ; 0 ] için dışbükeylik;
• bükülme noktasının koordinatları 0'dır; π2;
• yatay asimptotlar x → - ∞'da (çizimdeki yeşil çizgi) y = π ve x → + ∞'da y = 0 düz çizgileridir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Güç fonksiyonu formun bir fonksiyonudur y = xp burada p belirli bir gerçek sayıdır.

Güç fonksiyonunun özellikleri

1. Eğer gösterge p = 2n- çift doğal sayı:
   • tanım alanı - tüm gerçek sayılar, yani R kümesi;
   • değerler kümesi - negatif olmayan sayılar, yani. y ≥ 0;
   • fonksiyon çifttir;
   • fonksiyon x ≤ 0 aralığında azalıyor ve x ≥ 0 aralığında artıyor.
   Üssü p = 2n olan bir fonksiyon örneği: y = x 4.


2. Eğer gösterge p = 2n - 1- tek doğal sayı:
   • tanım alanı - R kümesi;
   • değerler kümesi - R'yi ayarlayın;
   • fonksiyon tektir;
   • fonksiyon tüm reel eksende artmaktadır.
   Üssü p = 2n - 1 olan bir fonksiyon örneği: y = x 5.


3. Eğer gösterge p = -2n, Nerede N- doğal sayı:
   • değerler kümesi - pozitif sayılar y > 0;
   • fonksiyon çifttir;
   • fonksiyon x 0 aralığında artıyor.
   Üssü p = -2n olan bir fonksiyon örneği: y = 1/x2.


4. Eğer gösterge p = -(2n - 1), Nerede N- doğal sayı:
   • tanım alanı - x = 0 hariç R kümesi;
   • değerler kümesi - y = 0 hariç R'yi ayarlayın;
   • fonksiyon tektir;
   • fonksiyon x 0 aralıklarla azalmaktadır.
   Üssü p = -(2n - 1) olan bir fonksiyon örneği: y = 1/x3.


5. Eğer gösterge P- pozitif gerçek tam sayı olmayan sayı:
   • tanım alanı - negatif olmayan sayılar x ≥ 0;
   • değerler kümesi - negatif olmayan sayılar y ≥ 0;
   • fonksiyon x ≥ 0 aralığında artıyor.
   p'nin tamsayı olmayan pozitif bir reel sayı olduğu p üssüne sahip bir fonksiyon örneği: y = x 4/3.


6. Eğer gösterge P- tam sayı olmayan negatif gerçek sayı:
   • tanım alanı - pozitif sayılar x > 0;
   • değerler kümesi - pozitif sayılar y > 0;
   • fonksiyon x > 0 aralığında azalıyor.
   p'nin tamsayı olmayan negatif bir gerçek olduğu p üssüne sahip bir fonksiyon örneği: y = x -1/3.

İşlev nerede X– değişken miktar, A– belirli bir numara aranır Güç fonksiyonu .

Eğer o doğrusal bir fonksiyonsa, grafiği de düz bir çizgidir (bkz. paragraf 4.3, Şekil 4.7).

Eğer o ikinci dereceden bir fonksiyonsa, grafiği bir paraboldür (bkz. paragraf 4.3, Şekil 4.8).

O halde grafiği kübik bir parabol ise (bkz. paragraf 4.3, Şekil 4.9).

Güç fonksiyonu

Bu ters fonksiyondur

1. İhtisas:

2. Çoklu anlamlar:

3. Çift ve tek: fonksiyon tuhaftır.

4. Fonksiyon frekansı: düzenli olmayan.

5. Fonksiyon sıfırları: X= 0 – tek sıfır.

6. Fonksiyonun maksimum veya minimum değeri yoktur.

7.

8. Bir fonksiyonun grafiği Düz bir çizgiye göre kübik bir parabolün grafiğine simetrik Y=X ve Şekil 2'de gösterilmektedir. 5.1.

Güç fonksiyonu

1. İhtisas:

2. Çoklu anlamlar:

3. Çift ve tek: fonksiyon eşittir.

4. Fonksiyon frekansı: düzenli olmayan.

5. Fonksiyon sıfırları: tek sıfır X = 0.

6. Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri: için en küçük değeri alır X= 0, 0'a eşittir.

7. Artan ve azalan aralıklar: fonksiyon aralıkta azalıyor ve aralıkta artıyor

8. Bir fonksiyonun grafiği(her biri için N Î N) ikinci dereceden bir parabolün grafiğine “benzerdir” (fonksiyon grafikleri Şekil 5.2'de gösterilmiştir).

Güç fonksiyonu

1. İhtisas:

2. Çoklu anlamlar:

3. Çift ve tek: fonksiyon tuhaftır.

4. Fonksiyon frekansı: düzenli olmayan.

5. Fonksiyon sıfırları: X= 0 – tek sıfır.

6. En yüksek ve en düşük değerler:

7. Artan ve azalan aralıklar: fonksiyon tanımın tüm alanı boyunca artmaktadır.

8. Bir fonksiyonun grafiği(her biri için ) kübik bir parabolün grafiğine “benzerdir” (fonksiyon grafikleri Şekil 5.3'te gösterilmiştir).

Güç fonksiyonu

1. İhtisas:

2. Çoklu anlamlar:

3. Çift ve tek: fonksiyon tuhaftır.

4. Fonksiyon frekansı: düzenli olmayan.

5. Fonksiyon sıfırları: sıfırları yoktur.

6. Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri: fonksiyon herhangi biri için en büyük ve en küçük değerlere sahip değildir

7. Artan ve azalan aralıklar: fonksiyon tanım alanında azalıyor.

8. Asimptotlar:(eksen kuruluş birimi) – dikey asimptot;

(eksen Ah) - Yatay asimptot.

9. Bir fonksiyonun grafiği(herkes için N) bir hiperbol grafiğine “benzerdir” (fonksiyon grafikleri Şekil 5.4'te gösterilmiştir).

Güç fonksiyonu

1. İhtisas:

2. Çoklu anlamlar:

3. Çift ve tek: fonksiyon eşittir.

4. Fonksiyon frekansı: düzenli olmayan.

5. Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri: fonksiyon herhangi biri için en büyük ve en küçük değerlere sahip değildir

6. Artan ve azalan aralıklar: fonksiyon azalıyor ve artıyor

7. Asimptotlar: X= 0 (eksen kuruluş birimi) – dikey asimptot;

e= 0 (eksen Ah) - Yatay asimptot.

8. Fonksiyon grafikleri Bunlar ikinci dereceden hiperbollerdir (Şekil 5.5).

Güç fonksiyonu

1. İhtisas:

2. Çoklu anlamlar:

3. Çift ve tek: fonksiyonun çift ve tek özelliği yoktur.

4. Fonksiyon frekansı: düzenli olmayan.

5. Fonksiyon sıfırları: X= 0 – tek sıfır.

6. Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri: fonksiyon o noktada 0'a eşit en küçük değeri alır X= 0; pek önemli değil.

7. Artan ve azalan aralıklar: fonksiyon tanımın tüm alanı boyunca artmaktadır.

8. Belirli bir üs için bu tür fonksiyonların her biri, sağlanan fonksiyonun tersidir

9. Bir fonksiyonun grafiği herhangi bir fonksiyonun grafiğine "benzer" N ve Şekil 2'de gösterilmektedir. 5.6.

Güç fonksiyonu

1. İhtisas:

2. Çoklu anlamlar:

3. Çift ve tek: fonksiyon tuhaftır.

4. Fonksiyon frekansı: düzenli olmayan.

5. Fonksiyon sıfırları: X= 0 – tek sıfır.

6. Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri: fonksiyon herhangi biri için en büyük ve en küçük değerlere sahip değildir

7. Artan ve azalan aralıklar: fonksiyon tanımın tüm alanı boyunca artmaktadır.

8. Bir fonksiyonun grafiğiŞekil 2'de gösterilmiştir. 5.7.

Fonksiyonlara aşina mısınız? y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x vb. Tüm bu işlevler güç işlevinin özel durumlarıdır, yani işlev y=x P burada p belirli bir gerçek sayıdır. Bir güç fonksiyonunun özellikleri ve grafiği, gerçek üslü bir gücün özelliklerine ve özellikle de hangi değerlere önemli ölçüde bağlıdır? X Ve P derece mantıklı X P. Üsse bağlı olarak çeşitli durumları benzer şekilde ele alalım. P.

Dizin p=2n-çift bir doğal sayı.

Bu durumda güç fonksiyonu y=x 2n, Nerede N- bir doğal sayı, aşağıdakilere sahiptir

özellikler:

tanım alanı - tüm gerçek sayılar, yani R kümesi;

değerler kümesi - negatif olmayan sayılar, yani y, 0'dan büyük veya ona eşittir;

işlev y=x 2n hatta çünkü X 2n =(-x) 2n

fonksiyon aralıkta azalıyor X<0 ve aralıkta artıyor x>0.

Bir fonksiyonun grafiği y=x 2nörneğin bir fonksiyonun grafiğiyle aynı forma sahiptir y=x 4 .

2. Gösterge p=2n-1- tek doğal sayı Bu durumda kuvvet fonksiyonu y=x 2n-1 Bir doğal sayı olan , aşağıdaki özelliklere sahiptir:

tanım alanı - R kümesi;

değerler kümesi - R'yi ayarlayın;

işlev y=x 2n-1 tuhaf, çünkü (- X) 2n-1 =X 2n-1 ;

fonksiyon tüm reel eksende artmaktadır.

Bir fonksiyonun grafiği y=x2n-1örneğin bir fonksiyonun grafiğiyle aynı forma sahiptir y=x3.

3.Gösterge p=-2n, Nerede N- doğal sayı.

Bu durumda güç fonksiyonu y=x -2n =1/x 2n aşağıdaki özelliklere sahiptir:

değerler kümesi - pozitif sayılar y>0;

fonksiyon y =1/x 2n hatta çünkü 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

fonksiyon x aralığında artıyor<0 и убывающей на промежутке x>0.

y fonksiyonunun grafiği =1/x 2nörneğin y fonksiyonunun grafiğiyle aynı forma sahiptir =1/x 2 .

4.Gösterge p=-(2n-1), Nerede N- doğal sayı. Bu durumda güç fonksiyonu y=x -(2n-1) aşağıdaki özelliklere sahiptir:

tanım alanı - x=0 hariç R'yi ayarlayın;

değerler kümesi - y=0 hariç R'yi ayarlayın;

işlev y=x -(2n-1) tuhaf, çünkü (- X) -(2n-1) =-X -(2n-1) ;

fonksiyon aralıklarla azalıyor X<0 Ve x>0.

Bir fonksiyonun grafiği y=x -(2n-1)örneğin bir fonksiyonun grafiğiyle aynı forma sahiptir y=1/x 3 .

1. Ters trigonometrik fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri.

Ters trigonometrik fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleri.Ters trigonometrik fonksiyonlar (dairesel fonksiyonlar, yay fonksiyonları) - trigonometrik fonksiyonların tersi olan matematiksel fonksiyonlar.

1. arksin işlevi

Bir fonksiyonun grafiği .

arksinüs sayılar M bu açı değerine denir X, hangisi için

Fonksiyon süreklidir ve sayı doğrusu boyunca sınırlıdır. İşlev kesin olarak artıyor.

1. [Düzenle]Arcsin fonksiyonunun özellikleri

1. [Düzenle]Arcsin fonksiyonunu alma

Verilen fonksiyon Tümü boyunca tanım alanı o olur parçalı monoton ve dolayısıyla ters yazışma bir fonksiyon değildir. Bu nedenle kesinlikle arttığı ve tüm değerleri aldığı segmenti dikkate alacağız. değer aralığı- . Aralıktaki bir fonksiyon için argümanın her değeri fonksiyonun tek bir değerine karşılık geldiğinden, bu aralıkta ters fonksiyon grafiği, bir doğru parçasına göre bir parça üzerindeki bir fonksiyonun grafiğine simetrik olan

1.Kuvvet fonksiyonu, özellikleri ve grafiği;

2. Dönüşümler:

Paralel aktarım;

Koordinat eksenlerine göre simetri;

Kökenle ilgili simetri;

y = x düz çizgisine göre simetri;

Koordinat eksenleri boyunca germe ve sıkıştırma.

3. Üstel fonksiyon, özellikleri ve grafiği, benzer dönüşümler;

4. Logaritmik fonksiyon, özellikleri ve grafiği;

5. Trigonometrik fonksiyon, özellikleri ve grafiği, benzer dönüşümler (y = sin x; y = cos x; y = tan x);

Fonksiyon: y = x\n - özellikleri ve grafiği.

Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafiği

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1/x vb. Tüm bu işlevler güç fonksiyonunun özel durumlarıdır, yani fonksiyon y = xp burada p belirli bir gerçek sayıdır.
Bir güç fonksiyonunun özellikleri ve grafiği, gerçek üslü bir gücün özelliklerine ve özellikle de hangi değerlere önemli ölçüde bağlıdır? X Ve P derece mantıklı xp. Çeşitli durumlara ilişkin benzer değerlendirmeye devam edelim.
üs P.

1. Dizin p = 2n- çift doğal sayı.

y = x2n, Nerede N- bir doğal sayı, aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - tüm gerçek sayılar, yani R kümesi;
• değerler kümesi - negatif olmayan sayılar, yani y, 0'dan büyük veya ona eşittir;
• işlev y = x2n hatta çünkü x 2n = (-x) 2n
• fonksiyon aralıkta azalıyor X< 0 ve aralıkta artıyor x > 0.

Bir fonksiyonun grafiği y = x2nörneğin bir fonksiyonun grafiğiyle aynı forma sahiptir y = x 4.

2. Gösterge p = 2n - 1- tek doğal sayı

Bu durumda güç fonksiyonu y = x2n-1 Bir doğal sayı olan , aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - R kümesi;
• değerler kümesi - R'yi ayarlayın;
• işlev y = x2n-1 tuhaf, çünkü (- x) 2n-1= x2n-1;
• fonksiyon tüm reel eksende artmaktadır.

Bir fonksiyonun grafiği y = x2n-1 y = x 3.

3. Gösterge p = -2n, Nerede N- doğal sayı.

Bu durumda güç fonksiyonu y = x -2n = 1/x 2n aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• değerler kümesi - pozitif sayılar y>0;
• fonksiyon y = 1/x 2n hatta çünkü 1/(-x)2n= 1/x 2n;
• fonksiyon x0 aralığında artıyor.

y fonksiyonunun grafiği = 1/x 2nörneğin y fonksiyonunun grafiğiyle aynı forma sahiptir = 1/x2.

4. Gösterge p = -(2n-1), Nerede N- doğal sayı.
Bu durumda güç fonksiyonu y = x -(2n-1) aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• tanım alanı - x = 0 hariç R kümesi;
• değerler kümesi - y = 0 hariç R'yi ayarlayın;
• işlev y = x -(2n-1) tuhaf, çünkü (- x) -(2n-1) = -x -(2n-1);
• fonksiyon aralıklarla azalıyor X< 0 Ve x > 0.

Bir fonksiyonun grafiği y = x -(2n-1)örneğin bir fonksiyonun grafiğiyle aynı forma sahiptir y = 1/x3.