Resimlerden çift ve tek fonksiyon örnekleri. Çift ve tek fonksiyonların grafiği

Bir y değişkeninin, her bir x değerinin tek bir y değerine karşılık geldiği bir x değişkenine bağımlılığına fonksiyon denir. Gösterim için y=f(x) gösterimini kullanın. Her fonksiyonun monotonluk, eşlik, periyodiklik ve diğerleri gibi bir takım temel özellikleri vardır.

Parite özelliğine daha yakından bakın.

Aşağıdaki iki koşulu karşılasa bile y=f(x) fonksiyonu çağrılır:

2. Fonksiyonun tanım bölgesine ait olan fonksiyonun x noktasındaki değeri, fonksiyonun -x noktasındaki değerine eşit olmalıdır. Yani, herhangi bir x noktası için, fonksiyonun tanım bölgesinden aşağıdaki eşitliğin sağlanması gerekir: f(x) = f(-x).

Çift fonksiyonun grafiğini çizerseniz, Oy eksenine göre simetrik olacaktır.

Örneğin, y=x^2 fonksiyonu çifttir. Hadi kontrol edelim. Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır, yani O noktasına göre simetriktir.

Keyfi bir x=3 alalım. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Dolayısıyla f(x) = f(-x). Böylece her iki koşul da sağlanır, yani fonksiyon çifttir. Aşağıda y=x^2 fonksiyonunun grafiği bulunmaktadır.

Şekil grafiğin Oy eksenine göre simetrik olduğunu göstermektedir.

Aşağıdaki iki koşulu karşılıyorsa, y=f(x) fonksiyonu tek olarak adlandırılır:

1. Belirli bir fonksiyonun tanım bölgesi, O noktasına göre simetrik olmalıdır. Yani, eğer bir a noktası, fonksiyonun tanım bölgesine aitse, o zaman karşılık gelen -a noktası da tanım alanına ait olmalıdır. verilen fonksiyonun

2. Herhangi bir x noktası için, fonksiyonun tanım bölgesinden aşağıdaki eşitliğin sağlanması gerekir: f(x) = -f(x).

Tek bir fonksiyonun grafiği, koordinatların orijini olan O noktasına göre simetriktir. Örneğin, y=x^3 fonksiyonu tektir. Hadi kontrol edelim. Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır, yani O noktasına göre simetriktir.

Keyfi bir x=2 alalım. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Dolayısıyla f(x) = -f(x). Yani her iki koşul da sağlanıyor, bu da fonksiyonun tek olduğu anlamına geliyor. Aşağıda y=x^3 fonksiyonunun grafiği bulunmaktadır.

Şekil açıkça şunu gösteriyor eşit işlev y=x^3 orijine göre simetriktir.

Gösteriyi Gizle

Fonksiyon şu formülle verilsin: y=2x^(2)-3. Bağımsız değişken x'e herhangi bir değer atayarak, bu formülü kullanarak bağımlı değişken y'nin karşılık gelen değerlerini hesaplayabilirsiniz. Örneğin, eğer x=-0,5 ise, formülü kullanarak, y'nin karşılık gelen değerinin y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 olduğunu buluruz.

Y=2x^(2)-3 formülündeki x argümanının aldığı herhangi bir değeri alarak, ona karşılık gelen fonksiyonun yalnızca bir değerini hesaplayabilirsiniz. Fonksiyon bir tablo olarak temsil edilebilir:

Bu tabloyu kullanarak, −1 argüman değeri için −3 fonksiyon değerinin karşılık geleceğini görebilirsiniz; ve x=2 değeri y=0'a karşılık gelecektir, vb. Tablodaki her bağımsız değişken değerinin yalnızca bir işlev değerine karşılık geldiğini bilmek de önemlidir.

Grafikler kullanılarak daha fazla fonksiyon belirtilebilir. Bir grafik kullanılarak, fonksiyonun hangi değerinin belirli bir x değeriyle ilişkili olduğu belirlenir. Çoğu zaman bu, fonksiyonun yaklaşık değeri olacaktır.

Tanım kümesindeki herhangi bir x için f(-x)=f(x) olduğunda fonksiyon çift fonksiyondur. Böyle bir fonksiyon Oy eksenine göre simetrik olacaktır.

Bir fonksiyon, tanım kümesindeki herhangi bir x için f(-x)=-f(x) olduğunda tek fonksiyondur. Böyle bir fonksiyon O(0;0) orijinine göre simetrik olacaktır.

Fonksiyon ne çift ne de tektir ve fonksiyon olarak adlandırılır Genel görünüm eksen veya orijin etrafında simetriye sahip olmadığında.

Eşlik için aşağıdaki fonksiyonu inceleyelim:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) orijine göre simetrik tanım alanıyla. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3) -7x^(7))= -f(x) .

Bu, f(x)=3x^(3)-7x^(7) fonksiyonunun tek olduğu anlamına gelir.

Herhangi bir x için f(x+T)=f(x-T)=f(x) eşitliğinin sağlandığı tanım kümesindeki y=f(x) fonksiyonuna periyodu T \neq 0 olan periyodik bir fonksiyon denir.

Bir fonksiyonun grafiğini x ekseninin T uzunluğuna sahip herhangi bir parçası üzerinde tekrarlamak.

Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklar, yani f(x) > 0, apsis ekseninin, fonksiyon grafiğinin apsis ekseninin üzerinde yer alan noktalarına karşılık gelen bölümleridir.

f(x) > 0 on (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Fonksiyonun negatif olduğu aralıklar, yani f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})

Herhangi bir x \in X için f(x) \geq A eşitsizliğinin geçerli olduğu bir A sayısı olduğunda, y=f(x), x \in X fonksiyonuna genellikle sınırlı aşağıda denir.

Aşağıdan sınırlanan bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1+x^(2)) çünkü herhangi bir x için y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1.

Herhangi bir x \in X için f(x) \neq B eşitsizliğinin geçerli olduğu bir B sayısı varsa, y=f(x), x \in X fonksiyonuna yukarıda sınırlı denir.

Aşağıdan sınırlanan bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1-x^(2))), x \in [-1;1] beri y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 for [-1;1] içindeki herhangi bir x \.

Bir y=f(x), x \in X fonksiyonuna genellikle \left | eşitsizliğinin olduğu bir K > 0 sayısı olduğunda sınırlı denir. f(x)\sağ | \neq K herhangi bir x için \in X .

Sınırlı fonksiyon örneği: y=\sin x sayı doğrusu üzerinde sınırlıdır, çünkü \left | \sin x \sağ | \neq 1 .

Daha büyük bir x değeri, y=f(x) fonksiyonunun daha büyük bir değerine karşılık geldiğinde, söz konusu aralıkta artan bir fonksiyondan artan bir fonksiyon olarak bahsetmek gelenekseldir. Buradan, x_(1) ve x_(2) argümanının x_(1) > x_(2) ile söz konusu aralıktan iki keyfi değeri alındığında sonuç y(x_(1)) > olacaktır. y(x_(2)).

Söz konusu aralıkta azalan bir fonksiyona, daha büyük bir x değeri, y(x) fonksiyonunun daha küçük bir değerine karşılık geldiğinde, azalan fonksiyon adı verilir. Söz konusu aralıktan, x_(1) ve x_(2) ve x_(1) > x_(2) argümanlarının iki keyfi değeri alındığında, sonuç y(x_(1)) olacaktır.< y(x_{2}) .

Bir fonksiyonun köklerine genellikle F=y(x) fonksiyonunun apsis eksenini kestiği noktalar denir (bunlar y(x)=0 denkleminin çözülmesiyle elde edilir).

a) Eğer x > 0 için çift fonksiyon artarsa, x için azalır< 0

b) Bir çift fonksiyon x > 0'da azalıyorsa, x'te artar< 0

c) Tek bir fonksiyon x > 0'da arttığında, x'te de artar< 0

d) Bir tek fonksiyon x > 0 için azalıyorsa, o zaman x için de azalacaktır< 0

y=f(x) fonksiyonunun minimum noktasına genellikle komşuluğu başka noktalara sahip olacak (x=x_(0) noktası hariç) bir x=x_(0) noktası denir ve bunlar için f( eşitsizliği x ) > f(x_(0)) . y_(min) - fonksiyonun min noktasında atanması.

y=f(x) fonksiyonunun maksimum noktasına genellikle komşuluğu başka noktalara (x=x_(0) noktası hariç) sahip olacak bir x=x_(0) noktası denir ve bunlar için f( eşitsizliği X )< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Fermat teoremine göre: f"(x)=0 olduğunda, x_(0) noktasında türevi olabilen f(x) fonksiyonu bu noktada bir ekstrema sahip olacaktır.

Hesaplama adımları:

Fonksiyon çalışması.

1) D(y) – Tanım alanı: x değişkeninin tüm değerlerinin kümesi. bunun için f(x) ve g(x) cebirsel ifadeleri anlamlıdır.

Bir fonksiyon bir formülle veriliyorsa, tanım alanı, formülün anlamlı olduğu bağımsız değişkenin tüm değerlerinden oluşur.

2) Fonksiyonun özellikleri: çift/tek, periyodiklik:

Bağımsız değişkenin işaretindeki değişikliklere göre grafikleri simetrik olan fonksiyonlara tek ve çift denir.

Tek fonksiyon, bağımsız değişkenin işareti değiştiğinde (koordinatların merkezine göre simetrik) değerini tersine değiştiren bir fonksiyondur.

Çift fonksiyon, bağımsız değişkenin işareti değiştiğinde (ordina göre simetrik) değeri değişmeyen bir fonksiyondur.

Ne çift ne de tek fonksiyon (genel formda bir fonksiyon), simetriye sahip olmayan bir fonksiyon değildir. Bu kategori önceki 2 kategoriye girmeyen işlevleri içerir.

Yukarıdaki kategorilerin hiçbirine ait olmayan işlevlere denir ne çift ne de tek(veya genel işlevler).

Tek işlevler

Rastgele bir tamsayı olan tek güç.

Eşit işlevler

Hatta güç keyfi bir tamsayıdır.

Periyodik bir fonksiyon, belirli bir düzenli argüman aralığından sonra değerlerini tekrarlayan bir fonksiyondur, yani argümana tüm alan boyunca sıfır olmayan sabit bir sayı (fonksiyon periyodu) eklerken değerini değiştirmez. tanım.

3) Bir fonksiyonun sıfırları (kökleri), sıfır olduğu noktalardır.

Grafiğin eksenle kesişme noktasını bulma Oy. Bunu yapmak için değeri hesaplamanız gerekir. F(0). Grafiğin eksenle kesişme noktalarını da bulun Öküz, neden denklemin köklerini buluyoruz? F(X) = 0 (veya kök olmadığından emin olun).

Grafiğin eksenle kesiştiği noktalara fonksiyonun sıfırları denir. Bir fonksiyonun sıfırlarını bulmak için denklemi çözmeniz, yani fonksiyonun sıfır olduğu "x" değerlerini bulmanız gerekir.

4) İşaretlerin sabitlik aralıkları, içlerindeki işaretler.

f(x) fonksiyonunun işaretini koruduğu aralıklar.

Sabit işaretli bir aralık, fonksiyonun pozitif veya negatif olduğu her noktada bir aralıktır.

x ekseninin ÜSTÜNDE.

Aksın ALTINDA.

5) Süreklilik (süreksizlik noktaları, süreksizliğin doğası, asimptotlar).

Sürekli bir fonksiyon, "atlamaların" olmadığı, yani argümandaki küçük değişikliklerin fonksiyonun değerinde küçük değişikliklere yol açtığı bir fonksiyondur.

Fonksiyonun limiti ise var ancak fonksiyon bu noktada tanımlı değil veya limit, fonksiyonun bu noktadaki değeriyle çakışmıyor:

,

o zaman nokta çağrılır çıkarılabilir kırılma noktası fonksiyonlar (karmaşık analizde çıkarılabilir tekil nokta).

Eğer fonksiyonu çıkarılabilir süreksizlik noktasında “düzeltirsek” ve Böylece belirli bir noktada sürekli olan bir fonksiyon elde ederiz. Bir fonksiyon üzerinde yapılan bu işleme denir fonksiyonun sürekli hale getirilmesi veya fonksiyonun süreklilik yoluyla yeniden tanımlanması, bu noktanın adını bir nokta olarak haklı çıkarır çıkarılabilir yırtılma.

Birinci ve ikinci türden süreksizlik noktaları

Bir fonksiyonun belirli bir noktada süreksizliği varsa (yani, fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti mevcut değilse veya fonksiyonun belirli bir noktadaki değeriyle çakışmıyorsa), o zaman sayısal fonksiyonlar için iki olası seçenek vardır. sayısal fonksiyonların varlığıyla ilişkili tek taraflı sınırlar:

Her iki tek taraflı limit de mevcutsa ve sonluysa, böyle bir noktaya birinci türden süreksizlik noktası denir. Çıkarılabilir süreksizlik noktaları birinci türden süreksizlik noktalarıdır;

tek taraflı limitlerden en az biri mevcut değilse veya sonlu bir değer değilse, böyle bir noktaya ikinci türden süreksizlik noktası denir.

Asimptot - dümdüz, eğri üzerindeki bir noktadan bu noktaya olan mesafenin şu şekilde olması özelliğine sahiptir: dümdüz nokta dal boyunca sonsuza doğru ilerledikçe sıfıra doğru yönelir.

Dikey

Dikey asimptot - limit çizgisi .

Kural olarak, dikey asimptotu belirlerken, bir limit değil, iki tek taraflı (sol ve sağ) limit ararlar. Bu, fonksiyonun dikey asimptot'a farklı yönlerden yaklaşırken nasıl davrandığını belirlemek için yapılır. Örneğin:

Yatay asimptot - dümdüz türlerin varlığına bağlı olarak sınır

.

Eğik asimptot - dümdüz türlerin varlığına bağlı olarak sınırlar

Not: Bir fonksiyonun ikiden fazla eğik (yatay) asimptotu olamaz.

Not: Yukarıda bahsedilen iki limitten en az biri mevcut değilse (veya eşitse), bu durumda (veya ) noktasındaki eğik asimptot mevcut değildir.

eğer madde 2.), o zaman ve limit yatay asimptot formülü kullanılarak bulunur, .

6) Monotonluk aralıklarını bulma. Bir fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulma F(X)(yani artan ve azalan aralıklar). Bu türevin işareti incelenerek yapılır. F(X). Bunu yapmak için türevi bulun F(X) ve eşitsizliği çözeriz F(X)0. Bu eşitsizliğin geçerli olduğu aralıklarda fonksiyon F(X)artışlar. Ters eşitsizliğin geçerli olduğu yer F(X)0, fonksiyon F(X) azalıyor.

Yerel bir ekstremum bulma. Monotonluk aralıklarını bulduktan sonra, bir artışın bir azalmayla yer değiştirdiği, yerel maksimumların bulunduğu ve bir azalmanın bir artışla değiştirildiği yerde yerel minimumların bulunduğu yerel uç noktaları hemen belirleyebiliriz. Bu noktalardaki fonksiyonun değerini hesaplayın. Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları olmayan kritik noktaları varsa, fonksiyonun değerini bu noktalarda da hesaplamak faydalı olacaktır.

Bir doğru parçası üzerinde y = f(x) fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulma (devamı)

Bir web sitesine matematiksel formüller nasıl eklenir?

Bir web sayfasına bir veya iki matematik formülü eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede anlatıldığı gibidir: matematiksel formüller, Wolfram Alpha tarafından otomatik olarak oluşturulan resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. . Bu evrensel yöntem, basitliğin yanı sıra sitenin arama motorlarındaki görünürlüğünün artırılmasına da yardımcı olacaktır. Uzun zamandır çalışıyor (ve sanırım sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki açıdan zaten modası geçmiş.

Sitenizde düzenli olarak matematik formülleri kullanıyorsanız, MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesini kullanarak web tarayıcılarında matematiksel gösterimleri görüntüleyen özel bir JavaScript kitaplığı olan MathJax'i kullanmanızı öneririm.

MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, uzak bir sunucudan doğru zamanda (sunucu listesi) otomatik olarak yüklenecek bir MathJax komut dosyasını web sitenize hızlı bir şekilde bağlayabilirsiniz; (2) MathJax betiğini uzak bir sunucudan sunucunuza indirin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. Daha karmaşık ve zaman alıcı olan ikinci yöntem, sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandıracaktır ve eğer ana MathJax sunucusu herhangi bir nedenle geçici olarak kullanılamaz hale gelirse, bu durum kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlarına rağmen daha basit, hızlı olması ve teknik beceri gerektirmemesi nedeniyle ilk yöntemi tercih ettim. Örneğimi takip edin ve sadece 5 dakika içinde MathJax'in tüm özelliklerini sitenizde kullanabileceksiniz.

MathJax kütüphane komut dosyasını, ana MathJax web sitesinden veya dokümantasyon sayfasından alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan bağlayabilirsiniz:

Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketlerin arasına ve/veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılması gerekir. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yükleniyor ve sayfayı daha az yavaşlatıyor. Ancak ikinci seçenek MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu girerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir ancak sürekli MathJax güncellemelerini takip etmenize gerek kalmaz.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıda sunulan indirme kodunun birinci veya ikinci sürümünü buraya kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin şablonun başına (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç de gerekli değil). Bu kadar. Artık MathML, LaTeX ve ASCIIMathML'in işaretleme sözdizimini öğrenin ve sitenizin web sayfalarına matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.

Herhangi bir fraktal şuna göre inşa edilir: belli bir kural, sınırsız sayıda ardışık olarak uygulanır. Bu tür zamanların her birine yineleme adı verilir.

Bir Menger süngeri oluşturmanın yinelemeli algoritması oldukça basittir: Kenarı 1 olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27 eşit küpe bölünür. Bir merkezi küp ve yüzleri boyunca ona bitişik 6 küp ondan çıkarılır. Sonuç, kalan 20 küçük küpten oluşan bir settir. Bu küplerin her biriyle aynı işlemi yaparak 400 küçük küpten oluşan bir set elde ediyoruz. Bu işlemi sonsuza kadar sürdürerek Menger süngeri elde ediyoruz.