Ne çift ne de tektir. Parite işlevi

Bir web sitesine matematiksel formüller nasıl eklenir?

Bir web sayfasına bir veya iki matematik formülü eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede anlatıldığı gibidir: matematiksel formüller, Wolfram Alpha tarafından otomatik olarak oluşturulan resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. . Bu evrensel yöntem, basitliğin yanı sıra sitenin arama motorlarındaki görünürlüğünün artırılmasına da yardımcı olacaktır. Uzun zamandır çalışıyor (ve sanırım sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki açıdan zaten modası geçmiş.

Sitenizde düzenli olarak matematik formülleri kullanıyorsanız, MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesini kullanarak web tarayıcılarında matematiksel gösterimleri görüntüleyen özel bir JavaScript kitaplığı olan MathJax'i kullanmanızı öneririm.

MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, uzak bir sunucudan doğru zamanda (sunucu listesi) otomatik olarak yüklenecek bir MathJax komut dosyasını web sitenize hızlı bir şekilde bağlayabilirsiniz; (2) MathJax betiğini uzak bir sunucudan sunucunuza indirin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. Daha karmaşık ve zaman alıcı olan ikinci yöntem, sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandıracaktır ve eğer ana MathJax sunucusu herhangi bir nedenle geçici olarak kullanılamaz hale gelirse, bu durum kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlarına rağmen daha basit, hızlı olması ve teknik beceri gerektirmemesi nedeniyle ilk yöntemi tercih ettim. Örneğimi takip edin ve sadece 5 dakika içinde MathJax'in tüm özelliklerini sitenizde kullanabileceksiniz.

MathJax kütüphane komut dosyasını, ana MathJax web sitesinden veya dokümantasyon sayfasından alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan bağlayabilirsiniz:

Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketlerin arasına ve/veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılması gerekir. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yükleniyor ve sayfayı daha az yavaşlatıyor. Ancak ikinci seçenek MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu girerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir ancak sürekli MathJax güncellemelerini takip etmenize gerek kalmaz.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıda sunulan indirme kodunun birinci veya ikinci sürümünü buraya kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin şablonun başına (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç de gerekli değil). Bu kadar. Artık MathML, LaTeX ve ASCIIMathML'in işaretleme sözdizimini öğrenin ve sitenizin web sayfalarına matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.

Herhangi bir fraktal şuna göre inşa edilir: belli bir kural sınırsız sayıda ardışık olarak uygulanır. Bu tür zamanların her birine yineleme adı verilir.

Bir Menger süngeri oluşturmanın yinelemeli algoritması oldukça basittir: Kenarı 1 olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27 eşit küpe bölünür. Bir merkezi küp ve yüzleri boyunca ona bitişik 6 küp ondan çıkarılır. Sonuç, kalan 20 küçük küpten oluşan bir settir. Bu küplerin her biriyle aynı işlemi yaparak 400 küçük küpten oluşan bir set elde ediyoruz. Bu işlemi sonsuza kadar sürdürerek Menger süngeri elde ediyoruz.

Gösteriyi Gizle

Fonksiyon şu formülle verilsin: y=2x^(2)-3. Bağımsız değişken x'e herhangi bir değer atayarak, bu formülü kullanarak bağımlı değişken y'nin karşılık gelen değerlerini hesaplayabilirsiniz. Örneğin, eğer x=-0,5 ise, formülü kullanarak, y'nin karşılık gelen değerinin y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 olduğunu buluruz.

Y=2x^(2)-3 formülündeki x argümanının aldığı herhangi bir değeri alarak, ona karşılık gelen fonksiyonun yalnızca bir değerini hesaplayabilirsiniz. Fonksiyon bir tablo olarak temsil edilebilir:

Bu tabloyu kullanarak, −1 argüman değeri için −3 fonksiyon değerinin karşılık geleceğini görebilirsiniz; ve x=2 değeri y=0'a karşılık gelecektir, vb. Tablodaki her bağımsız değişken değerinin yalnızca bir işlev değerine karşılık geldiğini bilmek de önemlidir.

Grafikler kullanılarak daha fazla fonksiyon belirtilebilir. Bir grafik kullanılarak, fonksiyonun hangi değerinin belirli bir x değeriyle ilişkili olduğu belirlenir. Çoğu zaman bu, fonksiyonun yaklaşık değeri olacaktır.

Tanım kümesindeki herhangi bir x için f(-x)=f(x) olduğunda fonksiyon çift fonksiyondur. Böyle bir fonksiyon Oy eksenine göre simetrik olacaktır.

Bir fonksiyon, tanım kümesindeki herhangi bir x için f(-x)=-f(x) olduğunda tek fonksiyondur. Böyle bir fonksiyon O(0;0) orijinine göre simetrik olacaktır.

Fonksiyon ne çift ne de tektir ve fonksiyon olarak adlandırılır Genel görünüm eksen veya orijin etrafında simetriye sahip olmadığında.

Eşlik için aşağıdaki fonksiyonu inceleyelim:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) orijine göre simetrik tanım alanıyla. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3) -7x^(7))= -f(x) .

Bu, f(x)=3x^(3)-7x^(7) fonksiyonunun tek olduğu anlamına gelir.

Herhangi bir x için f(x+T)=f(x-T)=f(x) eşitliğinin sağlandığı tanım kümesindeki y=f(x) fonksiyonuna periyodu T \neq 0 olan periyodik bir fonksiyon denir.

Bir fonksiyonun grafiğini x ekseninin T uzunluğuna sahip herhangi bir parçası üzerinde tekrarlamak.

Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklar, yani f(x) > 0, apsis ekseninin, fonksiyon grafiğinin apsis ekseninin üzerinde yer alan noktalarına karşılık gelen bölümleridir.

f(x) > 0 on (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Fonksiyonun negatif olduğu aralıklar, yani f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})

Herhangi bir x \in X için f(x) \geq A eşitsizliğinin geçerli olduğu bir A sayısı olduğunda, y=f(x), x \in X fonksiyonuna genellikle sınırlı aşağıda denir.

Aşağıdan sınırlanan bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1+x^(2)) çünkü herhangi bir x için y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1.

Herhangi bir x \in X için f(x) \neq B eşitsizliğinin geçerli olduğu bir B sayısı varsa, y=f(x), x \in X fonksiyonuna yukarıda sınırlı denir.

Aşağıdan sınırlanan bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1-x^(2))), x \in [-1;1] beri y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 for [-1;1] içindeki herhangi bir x \.

Bir y=f(x), x \in X fonksiyonuna genellikle \left | eşitsizliğinin olduğu bir K > 0 sayısı olduğunda sınırlı denir. f(x)\sağ | \neq K herhangi bir x için \in X .

Sınırlı fonksiyon örneği: y=\sin x tüm sayı doğrusunda sınırlıdır, çünkü \left | \sin x \sağ | \neq 1 .

Daha büyük bir x değeri, y=f(x) fonksiyonunun daha büyük bir değerine karşılık geldiğinde, söz konusu aralıkta artan bir fonksiyondan artan bir fonksiyon olarak bahsetmek gelenekseldir. Buradan, x_(1) ve x_(2) argümanının x_(1) > x_(2) ile söz konusu aralıktan iki keyfi değeri alındığında sonuç y(x_(1)) > olacaktır. y(x_(2)).

Söz konusu aralıkta azalan bir fonksiyona, daha büyük bir x değeri, y(x) fonksiyonunun daha küçük bir değerine karşılık geldiğinde, azalan fonksiyon adı verilir. Söz konusu aralıktan, x_(1) ve x_(2) ve x_(1) > x_(2) argümanlarının iki keyfi değeri alındığında, sonuç y(x_(1)) olacaktır.< y(x_{2}) .

Bir fonksiyonun köklerine genellikle F=y(x) fonksiyonunun apsis eksenini kestiği noktalar denir (bunlar y(x)=0 denkleminin çözülmesiyle elde edilir).

a) Eğer x > 0 için çift fonksiyon artarsa, x için azalır< 0

b) Bir çift fonksiyon x > 0'da azalıyorsa, x'te artar< 0

c) Tek bir fonksiyon x > 0'da arttığında, x'te de artar< 0

d) Bir tek fonksiyon x > 0 için azalıyorsa, o zaman x için de azalacaktır< 0

y=f(x) fonksiyonunun minimum noktasına genellikle komşuluğu başka noktalara sahip olacak (x=x_(0) noktası hariç) bir x=x_(0) noktası denir ve bunlar için f( eşitsizliği x ) > f(x_(0)) . y_(min) - fonksiyonun min noktasında atanması.

y=f(x) fonksiyonunun maksimum noktasına genellikle komşuluğu başka noktalara sahip olacak (x=x_(0) noktası hariç) bir x=x_(0) noktası denir ve bunlar için f( eşitsizliği X )< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Fermat teoremine göre: f"(x)=0 olduğunda, x_(0) noktasında türevi olabilen f(x) fonksiyonu bu noktada bir ekstrema sahip olacaktır.

Hesaplama adımları:

tanım alanındaki tüm \(x\) için şu doğru olsa bile: \(f(-x)=f(x)\) .

Çift fonksiyonun grafiği \(y\) eksenine göre simetriktir:

Örnek: \(f(x)=x^2+\cos x\) fonksiyonu çifttir, çünkü \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Bir \(f(x)\) fonksiyonuna, tanım alanındaki tüm \(x\)'ler için aşağıdakiler doğruysa tek fonksiyon denir: \(f(-x)=-f(x) \).

Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir:

Örnek: \(f(x)=x^3+x\) fonksiyonu tektir çünkü \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Ne çift ne de tek olan fonksiyonlara genel formdaki fonksiyonlar denir. Böyle bir fonksiyon her zaman benzersiz bir şekilde bir çift ve tek fonksiyonun toplamı olarak temsil edilebilir.

Örneğin, \(f(x)=x^2-x\) işlevi, çift işlev \(f_1=x^2\) ile tek \(f_2=-x\) işlevinin toplamıdır.

\(\siyahüçgensağ\) Bazı özellikler:

1) Aynı paritedeki iki fonksiyonun çarpımı ve bölümü çift bir fonksiyondur.

2) Pariteleri farklı iki fonksiyonun çarpımı ve bölümü tek fonksiyondur.

3) Çift fonksiyonların toplamı ve farkı - çift fonksiyon.

4) Tek fonksiyonların toplamı ve farkı - tek fonksiyon.

5) Eğer \(f(x)\) bir çift fonksiyon ise, o zaman \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) denkleminin benzersiz bir kökü vardır ancak ve ancak \( x =0\) .

6) Eğer \(f(x)\) çift veya tek bir fonksiyonsa ve \(f(x)=0\) denkleminin bir \(x=b\) kökü varsa, o zaman bu denklemin zorunlu olarak ikinci bir fonksiyonu olacaktır. kök \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) \(f(x)\) fonksiyonuna \(X\) üzerinde periyodik denir, eğer bir \(T\ne 0\) sayısı için aşağıdakiler geçerliyse: \(f(x)=f( x+T) \) , burada \(x, x+T\in X\) . Bu eşitliğin sağlandığı en küçük \(T\) fonksiyonun ana (ana) periyodu olarak adlandırılır.

Periyodik bir fonksiyon \(nT\) biçiminde herhangi bir sayıya sahiptir; burada \(n\in \mathbb(Z)\) da bir periyot olacaktır.

Örnek: herhangi biri trigonometrik fonksiyon periyodiktir;
\(f(x)=\sin x\) ve \(f(x)=\cos x\) fonksiyonları için ana periyot \(2\pi\'ye eşittir), \(f(x) fonksiyonları için )=\mathrm( tg)\,x\) ve \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) ana periyot \(\pi\)'ye eşittir.

Periyodik bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için, grafiğini \(T\) uzunluğundaki herhangi bir parça (ana periyot) üzerine çizebilirsiniz; daha sonra tüm fonksiyonun grafiği, oluşturulan parçanın tam sayıdaki periyotlarla sağa ve sola kaydırılmasıyla tamamlanır:

\(\blacktriangleright\) \(f(x)\) fonksiyonunun \(D(f)\) alanı, fonksiyonun anlamlı olduğu \(x\) argümanının tüm değerlerinden oluşan bir kümedir (tanımlanmış).

Örnek: \(f(x)=\sqrt x+1\) fonksiyonunun bir tanım alanı vardır: \(x\in

Görev 1 #6364

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

Denklem \(a\) parametresinin hangi değerlerinde yapılır?

tek bir çözümü var mı?

\(x^2\) ve \(\cos x\) çift fonksiyonlar olduğundan, denklemin \(x_0\) kökü varsa, aynı zamanda \(-x_0\) köküne de sahip olacağını unutmayın.
Aslında \(x_0\) bir kök olsun, yani \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) eşitliği doğrudur. \(-x_0\) yerine koy : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .

Dolayısıyla, eğer \(x_0\ne 0\) ise denklemin zaten en az iki kökü olacaktır. Bu nedenle, \(x_0=0\) . Daha sonra:

\(a\) parametresi için iki değer aldık. \(x=0\)'ın tam olarak orijinal denklemin kökü olduğu gerçeğini kullandığımızı unutmayın. Ama onun tek olduğu gerçeğini hiçbir zaman kullanmadık. Bu nedenle, \(a\) parametresinin elde edilen değerlerini orijinal denklemde değiştirmeniz ve \(x=0\) kökünün hangi belirli \(a\)'nın gerçekten benzersiz olacağını kontrol etmeniz gerekir.

1) Eğer \(a=0\) ise denklem \(2x^2=0\) formunu alacaktır. Açıkçası, bu denklemin yalnızca bir kökü \(x=0\) var. Dolayısıyla \(a=0\) değeri bize uygundur.

2) Eğer \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ise denklem şu şekli alacaktır \ Denklemi şu şekilde yeniden yazıyoruz \ Çünkü \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , sonra \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . Sonuç olarak denklemin (*) sağ tarafındaki değerler \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) segmentine aittir.

\(x^2\geqslant 0\) olduğundan, denklemin sol tarafı (*) \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\)'den büyük veya ona eşittir.

Dolayısıyla eşitlik (*) yalnızca denklemin her iki tarafı da \(\mathrm(tg)^2\,1\) değerine eşit olduğunda doğru olabilir. Bu şu anlama gelir: \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(case) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Dolayısıyla \(a=-\mathrm(tg)\,1\) değeri bize uygundur.

Cevap:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Görev 2 #3923

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

Her biri için fonksiyonun grafiği olan \(a\) parametresinin tüm değerlerini bulun.

orijine göre simetriktir.

Bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetrikse, bu durumda böyle bir fonksiyon tektir, yani \(f(-x)=-f(x)\) tanım kümesindeki herhangi bir \(x\) için geçerlidir fonksiyonun tanımı. Bu nedenle \(f(-x)=-f(x).\) olan parametre değerlerinin bulunması gerekmektedir.

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

Son denklem, \(f(x)\) tanım alanındaki tüm \(x\)'ler için sağlanmalıdır, dolayısıyla \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .

Cevap:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Görev 3 #3069

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

\(a\) parametresinin tüm değerlerini bulun; her biri için \ denkleminin 4 çözümü vardır; burada \(f\), \(T=\dfrac(16)3\) periyoduna sahip çift periyodik bir fonksiyondur. sayı satırının tamamında tanımlıdır ve \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\) için \(f(x)=ax^2\)

(Abonelerden gelen görev)

\(f(x)\) çift fonksiyon olduğundan grafiği ordinat eksenine göre simetriktir, bu nedenle \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ için) 2\) . Böylece, \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) için ve bu \(\dfrac(16)3\) uzunluğunda bir parçadır, fonksiyon \(f(x)=ax^2\ ).

1) \(a>0\) olsun. O zaman \(f(x)\) fonksiyonunun grafiği şöyle görünecektir:


O halde denklemin 4 çözümü olması için \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) grafiğinin \(A\) noktasından geçmesi gerekir:


Bu nedenle, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\end(hizalanmış)\end(toplandı)\sağ. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(toplandı)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( Collected)\right.\] \(a>0\) olduğundan, \(a=\dfrac(18)(23)\) uygundur.

2) \(a0\) olsun. İki kökün çarpımı pozitifse ve toplamları pozitifse, o zaman köklerin kendisi de pozitif olacaktır. Bu nedenle, şunlara ihtiyacınız vardır: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a