a açısının sinüsü nedir? Bir dar açının sinüs, kosinüs, tanjantı, kotanjantı

Bence sen bundan fazlasını hak ediyorsun. İşte benim trigonometri anahtarım:

• Kubbeyi, duvarı ve tavanı çizin
• Trigonometrik fonksiyonlar, bu üç formun yüzdelerinden başka bir şey değildir.

Sinüs ve kosinüs metaforu: kubbe

Sadece üçgenlerin kendilerine bakmak yerine, bazılarını bularak onları hareket halinde hayal edin. özel örnek hayattan.

Bir kubbenin ortasında olduğunuzu ve bir film projektörü perdesini asmak istediğinizi hayal edin. Parmağınızı kubbeye bir "x" açısıyla doğrultursunuz ve bu noktadan bir ekran asılmalıdır.

İşaret ettiğiniz açı şunları belirler:

• sinüs(x) = sin(x) = perde yüksekliği (yerden kubbeye montaj noktası)
• kosinüs(x) = cos(x) = sizden ekrana olan uzaklık (zemine göre)
• hipotenüs, sizden ekranın tepesine olan mesafe, her zaman aynı, kubbenin yarıçapına eşit

Ekranın mümkün olduğunca büyük olmasını ister misiniz? Hemen üstünüze asın.

Ekranın sizden olabildiğince uzağa asılmasını mı istiyorsunuz? Düz dik olarak asın. Ekran bu konumda sıfır yüksekliğe sahip olacak ve istediğiniz kadar geride kalacaktır.

Ekrandan yükseklik ve mesafe ters orantılıdır: ekran ne kadar yakın durursa, yüksekliği o kadar yüksek olur.

Sinüs ve kosinüs yüzdelerdir

Ne yazık ki, çalışma yıllarımda hiç kimse bana sinüs ve kosinüs trigonometrik fonksiyonlarının yüzdelerden başka bir şey olmadığını açıklamadı. Değerleri, +%100 ila %0 ila -%100 arasında veya pozitif bir maksimumdan sıfıra ve bir negatif maksimuma kadar değişir.

Diyelim ki 14 ruble vergi ödedim. Ne kadar olduğunu bilmiyorsun. Ama %95 vergi ödedim derseniz, bir yapışkan gibi derisi yüzüldüğümü anlayacaksınız.

Mutlak yükseklik hiçbir şey ifade etmez. Ama sinüs değeri 0.95 ise TV'nin neredeyse kubbenizin tepesinde asılı olduğunu anlıyorum. Çok yakında ulaşacak maksimum yükseklik kubbenin ortasında ve ardından tekrar düşmeye başlar.

Bu yüzdeyi nasıl hesaplayabiliriz? Çok basit: mevcut ekran yüksekliğini mümkün olan maksimum değere bölün (kubbenin yarıçapı, hipotenüs olarak da adlandırılır).

Bu yüzden bize “kosinüs = karşı bacak / hipotenüs” olduğu söylendi. Bunların hepsi bir yüzde almak için! Sinüs'ü tanımlamanın en iyi yolu, "mümkün olan maksimumdan mevcut yüksekliğin yüzdesidir". (Açınız "yeraltını" gösteriyorsa sinüs negatif olur. Açı arkanızdaki kubbe noktasını gösterirse kosinüs negatif olur.)

Merkezde olduğumuzu varsayarak hesaplamaları sadeleştirelim. birim çember(yarıçap = 1). Bölmeyi atlayabilir ve sinüsü yüksekliğe eşit olarak alabiliriz.

Her daire, esas olarak, yukarı veya aşağı ölçeklenen tek bir dairedir. doğru beden. Bu nedenle, birim çember üzerindeki ilişkileri belirleyin ve sonuçları kendi daire boyutunuza uygulayın.

Deney: Herhangi bir köşeyi alın ve yüksekliğin genişliğin yüzde kaçını gösterdiğini görün:

Sinüs değerinin büyümesinin grafiği sadece düz bir çizgi değildir. İlk 45 derece yüksekliğin %70'ini kaplar ve son 10 derece (80°'den 90°'ye kadar) yalnızca %2'sini kaplar.

Bu sizin için daha net hale getirecektir: Bir daire çizerseniz, 0 ° 'de neredeyse dikey olarak yükselirsiniz, ancak kubbenin tepesine yaklaştıkça yükseklik daha az ve daha az değişir.

Tanjant ve sekant. duvar

Bir gün bir komşu bir duvar ördü. arka arkaya senin kubbene. Pencereden bakışını ağladı ve iyi fiyat yeniden satış için!

Ancak bu durumda bir şekilde kazanmak mümkün mü?

Tabii ki evet. Ya komşunun duvarına bir sinema perdesi asarsak? (x) köşesine nişan alır ve şunları elde edersiniz:

• tan(x) = tan(x) = duvardaki ekran yüksekliği
• sizden duvara uzaklık: 1 (bu, kubbenizin yarıçapıdır, duvar sizden hiçbir yere hareket etmez, değil mi?)
• secant(x) = sec(x) = kubbenin ortasında duran sizden asılı perdenin tepesine kadar "merdivenin uzunluğu"

Teğet veya ekran yüksekliği hakkında birkaç şeyi açıklığa kavuşturalım.

• 0'dan başlar ve sonsuz derecede yükseğe çıkabilir. En sevdiğiniz filmi izlemek için sonsuz bir tuval elde etmek için ekranı duvarda daha yükseğe uzatabilirsiniz! (Bu kadar büyük bir şey için elbette çok para harcamanız gerekecek).
• tanjant, sinüsün sadece büyütülmüş bir versiyonudur! Ve kubbenin tepesine doğru ilerledikçe sinüsün büyümesi yavaşlarken, teğet büyümeye devam ediyor!

Sekansu'nun ayrıca övünecek bir şeyi var:

• sekant 1'den başlar (merdiven yerde, sizden duvara doğru) ve oradan yukarı çıkmaya başlar
• Sekant her zaman tanjanttan daha uzundur. Ekranınıza astığınız eğimli merdivenin ekranın kendisinden daha uzun olması gerekiyor değil mi? (Gerçekçi olmayan boyutlar için, ekran çok uzun olduğunda ve merdivenin neredeyse dikey olarak yerleştirilmesi gerektiğinde, boyutları hemen hemen aynıdır. Ancak o zaman bile sekant biraz daha uzun olacaktır).

Değerlerin olduğunu unutmayın yüzde. Ekranı 50 derecelik bir açıyla asmaya karar verirseniz, tan(50)=1.19. Ekranınız duvara olan mesafeden (kubbe yarıçapı) %19 daha büyüktür.

(x=0 girin ve sezginizi test edin - tan(0) = 0 ve sec(0) = 1.)

Kotanjant ve kosekant. Tavan

İnanılmaz bir şekilde, komşunuz şimdi kubbenizin üzerine bir tavan inşa etmeye karar verdi. (Onun nesi var? Görünüşe göre bahçede çıplak dolaşırken onu gözetlemenizi istemiyor...)

Pekala, çatıya bir çıkış yapma ve komşuyla konuşma zamanı. Eğim açısını seçiyorsunuz ve inşa etmeye başlıyorsunuz:

• çatı çıkışı ile zemin arasındaki dikey mesafe her zaman 1'dir (kubbe yarıçapı)
• kotanjant(x) = cot(x) = kubbe tepesi ile çıkış noktası arasındaki mesafe
• cosekant(x) = csc(x) = çatıya giden yolun uzunluğu

Tanjant ve sekant duvarı, kotanjant ve kosekant ise zemini tanımlar.

Bu seferki sezgisel sonuçlarımız öncekilere benzer:

• 0°'lik bir açı alırsanız, tavana asla ulaşamayacağı için çatıya çıkışınız sonsuza kadar sürecektir. Sorun.
• Zemine 90 derecelik bir açıyla inşa ederseniz, çatıya en kısa “merdiven” elde edilecektir. Kotanjant 0'a eşit olacaktır (çatı boyunca hiç hareket etmiyoruz, kesinlikle dikey olarak çıkıyoruz) ve kosekant 1'e eşit olacaktır (“merdivenin uzunluğu” minimum olacaktır).

Bağlantıları Görselleştirin

Her üç durum da kubbe-duvar-zemin kombinasyonunda çizilirse, aşağıdakiler elde edilecektir:

Vay canına, hepsi aynı üçgen, duvara ve tavana ulaşacak şekilde büyütülmüş. Sahibiz dikey kenarlar(sinüs, tanjant), yatay kenarlar (kosinüs, kotanjant) ve “hipotenüsler” (sekant, kosekant). (Her bir elemanın ne kadar uzağa ulaştığını oklardan görebilirsiniz. Kosekant, sizden çatıya olan toplam mesafedir).

Biraz sihir. Tüm üçgenler aynı eşitlikleri paylaşır:

Pisagor teoreminden (a 2 + b 2 = c 2) her üçgenin kenarlarının nasıl bağlantılı olduğunu görüyoruz. Ayrıca, tüm üçgenler için yükseklik-genişlik oranları da aynı olmalıdır. (En büyük üçgenden küçüğe doğru geri adım atmanız yeterli. Evet, boyut değişti, ancak kenarların oranları aynı kalacak).

Her üçgende hangi tarafın 1 (kubbenin yarıçapı) olduğunu bilerek, "sin/cos = tan/1" olduğunu kolayca hesaplayabiliriz.

Bu gerçekleri her zaman basit görselleştirme yoluyla hatırlamaya çalıştım. Resimde bu bağımlılıkları açıkça görebilir ve nereden geldiklerini anlayabilirsiniz. Bu teknik, kuru formülleri ezberlemekten çok daha iyidir.

Diğer Açıları Unutma

Şşşt… Teğetin her zaman 1'den küçük olduğunu düşünerek tek bir grafiğe takılmaya gerek yok. Açıyı arttırırsanız duvara ulaşmadan tavana ulaşabilirsiniz:

Pisagor bağlantıları her zaman çalışır, ancak göreceli boyutlar farklı olabilir.

(Muhtemelen sinüs ve kosinüs oranının her zaman en küçük olduğunu fark etmişsinizdir, çünkü bunlar bir kubbe ile çevrelenmiştir.)

Özetlemek gerekirse: neyi hatırlamamız gerekiyor?

Çoğumuz için bunun yeterli olacağını söyleyebilirim:

• trigonometri, daireler ve tekrar eden aralıklar gibi matematiksel nesnelerin anatomisini açıklar.
• kubbe/duvar/çatı analojisi farklı trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkiyi gösterir
• trigonometrik fonksiyonların sonucu, senaryomuza uyguladığımız yüzdelerdir.

1 2 + cot 2 = csc 2 gibi formülleri ezberlemenize gerek yok. Yalnızca bir olgunun bilgisinin onu anlıyormuş gibi sunulduğu aptal testler için uygundurlar. Bir dakikanızı ayırın, kubbe, duvar ve çatı şeklinde yarım daire çizin, elemanları imzalayın ve kağıt üzerinde tüm formüller sizden istenecektir.

Uygulama: Ters Fonksiyonlar

Herhangi bir trigonometrik işlev, girdi olarak bir açı alır ve sonucu yüzde olarak döndürür. günah(30) = 0,5. Bu, 30 derecelik bir açının maksimum yüksekliğin %50'sini kapladığı anlamına gelir.

Ters trigonometrik fonksiyon sin -1 veya arcsin (“arxine”) olarak yazılır. İçinde asin yazmak da yaygındır. çeşitli diller programlama.

Yüksekliğimiz kubbe yüksekliğinin %25'i ise açımız nedir?

Oranlar tablomuzda, sekantın 1'e bölündüğü oranı bulabilirsiniz. Örneğin, 1'e sekant (yatay hipotenüs) 1 bölü kosinüs olacaktır:

Diyelim ki sekantımız 3.5, yani. Birim daire yarıçapının %350'si. Bu değer duvara hangi eğim açısına karşılık gelir?

Ek: Bazı örnekler

Sıkıcı görev. Banal “sinüsünü bul” ifadesini “Maksimum (hipotenüs) yüzdesi olarak yükseklik nedir?” İle karmaşıklaştıralım.

İlk olarak, üçgenin döndürüldüğüne dikkat edin. Bunda yanlış bir şey yok. Üçgenin de bir yüksekliği vardır, şekilde yeşil ile gösterilmiştir.

Hipotenüs neye eşittir? Pisagor teoremi ile şunu biliyoruz:

3 2 + 4 2 = hipotenüs 2 25 = hipotenüs 2 5 = hipotenüs

İyi! Sinüs, üçgenin veya hipotenüsün en uzun kenarından yüksekliğin yüzdesidir. Örneğimizde sinüs 3/5 veya 0.60'tır.

Tabii ki, birkaç yoldan gidebiliriz. Artık sinüsün 0,60 olduğunu biliyoruz ve basitçe ark sinüsünü bulabiliriz:

Asin(0.6)=36.9

Ve işte başka bir yaklaşım. Üçgenin "duvarla karşı karşıya" olduğuna dikkat edin, bu nedenle sinüs yerine teğet kullanabiliriz. Yükseklik 3, duvara uzaklık 4, yani teğet ¾ veya %75'tir. Yüzdeden açıya dönmek için yay tanjantını kullanabiliriz:

Tan = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 Örnek: Kıyıya yüzecek misiniz?

Bir teknedesiniz ve 2 km yol gidecek kadar yakıtınız var. Artık kıyıdan 0.25 km uzaktasınız. Yeterli yakıtınız olması için kıyıya maksimum hangi açıyla yüzebilirsiniz? Sorunun durumuna ek olarak: elimizde sadece ark kosinüs değerleri tablosu var.

Neyimiz var? kıyı şeridiünlü üçgenimizde bir “duvar” olarak hayal edilebilir ve duvara bağlı “merdiven uzunluğu”, tekneyle kıyıya mümkün olan maksimum aşılabilir mesafedir (2 km). Bir sekant ortaya çıkar.

İlk olarak, yüzdelere geçmeniz gerekir. 2 / 0.25 = 8'imiz var, bu da kıyıya (veya duvara) olan düz mesafenin 8 katı yüzebileceğimiz anlamına geliyor.

Soru ortaya çıkıyor “sekant 8 nedir?”. Ancak elimizde sadece ark kosinüsleri olduğu için buna bir cevap veremiyoruz.

Sekantı kosinüsle eşleştirmek için önceden türetilmiş bağımlılıklarımızı kullanırız: "sn/1 = 1/cos"

8'in sekantı, ⅛'nin kosinüsüne eşittir. Kosinüsü ⅛ olan bir açı acos(1/8) = 82.8'dir. Ve bu, belirtilen miktarda yakıtla bir teknede karşılayabileceğimiz en büyük açıdır.

Fena değil, değil mi? Kubbe-duvar-tavan analojisi olmasaydı, bir sürü formül ve hesaplamada kafam karışırdı. Problemin görselleştirilmesi, bir çözüm aramayı büyük ölçüde basitleştirir, ayrıca hangi trigonometrik fonksiyonun sonunda yardımcı olacağını görmek ilginçtir.

Her sorunu düşün Aşağıdaki şekilde: Bir kubbe (sin/cos), duvar (tan/sn) veya tavan (karyola/csc) ile ilgileniyor muyum?

Ve trigonometri çok daha keyifli hale gelecek. Sizin için kolay hesaplamalar!

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant kavramları trigonometrinin ana kategorileridir - matematiğin bir dalı ve bir açının tanımıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Bu matematiksel bilime sahip olmak, formüllerin ve teoremlerin ezberlenmesini ve anlaşılmasını ve ayrıca gelişmiş mekansal düşünmeyi gerektirir. Bu nedenle trigonometrik hesaplamalar genellikle okul çocukları ve öğrenciler için zorluklara neden olur. Bunların üstesinden gelmek için trigonometrik fonksiyonlara ve formüllere daha aşina olmalısınız.

trigonometride kavramlar

Trigonometrinin temel kavramlarını anlamak için önce ne olduğuna karar vermelisiniz. sağ üçgen ve bir dairedeki açı ve neden tüm temel trigonometrik hesaplamaların bunlarla ilişkili olduğu. Açılarından biri 90 derece olan üçgen dik üçgendir. Tarihsel olarak, bu rakam genellikle insanlar tarafından mimari, navigasyon, sanat, astronomide kullanılmıştır. Buna göre, bu rakamın özelliklerini inceleyen ve analiz eden insanlar, parametrelerinin karşılık gelen oranlarının hesaplanmasına geldi.

Dik üçgenlerle ilgili ana kategoriler hipotenüs ve bacaklardır. Hipotenüs bir üçgenin zıt tarafıdır dik açı. Bacaklar sırasıyla diğer iki taraftır. Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180 derecedir.

Küresel trigonometri, okulda çalışılmayan, ancak astronomi ve jeodezi gibi uygulamalı bilimlerde bilim adamlarının kullandığı bir trigonometri bölümüdür. Küresel trigonometride bir üçgenin bir özelliği, her zaman 180 dereceden daha büyük bir açı toplamına sahip olmasıdır.

Bir üçgenin açıları

Bir dik üçgende, bir açının sinüsü, istenen açının karşısındaki bacağın üçgenin hipotenüsüne oranıdır. Buna göre kosinüs, bitişik bacak ve hipotenüsün oranıdır. Hipotenüs her zaman bacaktan daha uzun olduğu için bu değerlerin her ikisi de her zaman birden küçük bir değere sahiptir.

Bir açının tanjantı, istenen açının karşı bacağının bitişik bacağına veya sinüsün kosinüs oranına eşit bir değerdir. Kotanjant, sırayla, istenen açının bitişik bacağının zıt kakteye oranıdır. Bir açının kotanjantı, birimin tanjant değerine bölünmesiyle de elde edilebilir.

birim çember

Geometride birim çember, yarıçapı bire eşit olan çemberdir. Böyle bir daire, Kartezyen koordinat sisteminde, dairenin merkezi başlangıç ​​noktası ile çakışacak şekilde oluşturulur ve yarıçap vektörünün ilk konumu, X ekseninin (apsis ekseni) pozitif yönü ile belirlenir. Dairenin her noktasının iki koordinatı vardır: XX ve YY, yani apsis ve ordinat koordinatları. XX düzleminde daire üzerinde herhangi bir noktayı seçip dikini ondan apsis eksenine bırakarak, seçilen noktaya bir yarıçap tarafından oluşturulan bir dik üçgen elde ederiz (bunu C harfi ile gösterelim), bir dik çizilir. X ekseni (kesişim noktası G harfi ile gösterilir) ve orijin (nokta A harfi ile gösterilir) ile kesişme noktası G arasındaki apsis ekseninin bir parçası. Ortaya çıkan üçgen ACG, içinde yazılı bir dik üçgendir. AG'nin hipotenüs ve AC ve GC'nin bacaklar olduğu bir daire. AC çemberinin yarıçapı ile AG adı verilen apsis ekseninin parçası arasındaki açıyı α (alfa) olarak tanımlarız. Yani, cos α = AG/AC. AC'nin birim çemberin yarıçapı olduğu ve bire eşit olduğu göz önüne alındığında, cos α=AG olduğu ortaya çıkıyor. Benzer şekilde, sin α=CG.

Ayrıca, bu verileri bilerek, cos α=AG ve sin α=CG olduğundan daire üzerindeki C noktasının koordinatını belirlemek mümkündür, bu da C noktasının verilen koordinatlara sahip olduğu anlamına gelir (cos α; sin α). Tanjantın sinüsün kosinüs oranına eşit olduğunu bilerek, tg α \u003d y / x ve ctg α \u003d x / y olduğunu belirleyebiliriz. Negatif bir koordinat sisteminde açılar göz önüne alındığında, bazı açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin negatif olabileceği hesaplanabilir.

Hesaplamalar ve temel formüller

Trigonometrik fonksiyonların değerleri

Birim çember üzerinden trigonometrik fonksiyonların özünü göz önüne alarak, bazı açılar için bu fonksiyonların değerlerini türetebiliriz. Değerler aşağıdaki tabloda listelenmiştir.

En basit trigonometrik kimlikler

Trigonometrik fonksiyonun işaretinin altında değeri bilinmeyen denklemlere trigonometrik denir. sin x = α değerine sahip özdeşlikler, k herhangi bir tam sayıdır:

1. günah x = 0, x = πk.
2. 2. günah x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. günah x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. günah x = a, |a| > 1, çözüm yok.
5. günah x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arksin α + πk.

cos x = a değerine sahip özdeşlikler, burada k herhangi bir tam sayıdır:

1. çünkü x = 0, x = π/2 + πk.
2. çünkü x = 1, x = 2πk.
3. çünkü x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. çünkü x = a, |a| > 1, çözüm yok.
5. çünkü x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

tg x = a değerine sahip kimlikler, burada k herhangi bir tam sayıdır:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arktg α + πk.

ctg x = a değerine sahip kimlikler, burada k herhangi bir tam sayıdır:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Döküm formülleri

Bu kategori sabit formüller formun trigonometrik işlevlerinden argümanın işlevlerine geçebileceğiniz, yani herhangi bir değerin sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını 0'dan aralığın açısının karşılık gelen göstergelerine dönüştürebileceğiniz yöntemleri belirtir. Daha fazla hesaplama kolaylığı için 90 derece.

Bir açının sinüsü için fonksiyonları azaltma formülleri şöyle görünür:

• günah(900 - α) = α;
• günah(900 + α) = cos α;
• günah(1800 - a) = günah a;
• günah(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• günah(3600 + α) = günah α.

Bir açının kosinüsü için:

• cos(900 - α) = günah α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - a) = -cos a;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - a) = -sin a;
• cos(2700 + α) = günah α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Yukarıdaki formüllerin kullanımı iki kurala tabidir. İlk olarak, açı bir değer (π/2 ± a) veya (3π/2 ± a) olarak gösterilebiliyorsa, fonksiyonun değeri değişir:

• günahtan cos'a;
• günahtan günaha;
• tg'den ctg'ye;
• ctg'den tg'ye.

Açı (π ± a) veya (2π ± a) olarak gösterilebiliyorsa, fonksiyonun değeri değişmeden kalır.

İkincisi, indirgenmiş fonksiyonun işareti değişmez: başlangıçta pozitifse, öyle kalır. Aynısı negatif fonksiyonlar için de geçerlidir.

Toplama Formülleri

Bu formüller iki dönme açısının toplamı ve farkının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade eder. Açılar genellikle α ve β olarak gösterilir.

Formüller şöyle görünür:

1. günah(α ± β) = günah α * cos β ± cos α * günah.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ günah α * günah.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Bu formüller herhangi bir α ve β açısı için geçerlidir.

Çift ve üçlü açı formülleri

Bir çift ve üçlü açının trigonometrik formülleri, sırasıyla 2α ve 3α açılarının fonksiyonlarını, α açısının trigonometrik fonksiyonlarıyla ilişkilendiren formüllerdir. Toplama formüllerinden türetilmiştir:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Toplamdan ürüne geçiş

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) olduğunu düşünürsek, bu formülü sadeleştirerek, sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 özdeşliğini elde ederiz. Benzer şekilde, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = günah(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = günah(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Üründen toplama geçiş

Bu formüller, toplamın ürüne geçişi için kimliklerden gelir:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Azaltma Formülleri

Bu özdeşliklerde sinüs ve kosinüsün kare ve kübik güçleri, bir çoklu açının birinci kuvvetinin sinüs ve kosinüsü cinsinden ifade edilebilir:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• günah^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

evrensel ikame

Evrensel trigonometrik ikame formülleri, trigonometrik fonksiyonları yarım açının tanjantı cinsinden ifade eder.

• günah x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), x \u003d π + 2πn;
• çünkü x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), burada x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), burada x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), x \u003d π + 2πn.

Özel durumlar

En basit özel durumlar trigonometrik denklemler aşağıda verilmiştir (k herhangi bir tamsayıdır).

Sinüs için özel:

kosinüs bölümleri:

Teğet için özel:

Kotanjant bölümleri:

teoremler

sinüs teoremi

Teoremin iki versiyonu vardır - basit ve genişletilmiş. Basit sinüs teoremi: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Bu durumda a, b, c üçgenin kenarları ve α, β, γ sırasıyla zıt açılardır.

için genişletilmiş sinüs teoremi keyfi üçgen: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Bu özdeşlikte R, verilen üçgenin yazılı olduğu dairenin yarıçapını gösterir.

kosinüs teoremi

Özdeşlik şu şekilde gösterilir: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formülde a, b, c üçgenin kenarlarıdır ve α, a kenarının karşısındaki açıdır.

teğet teoremi

Formül, iki açının tanjantları ile karşı tarafların uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eder. Kenarlar a, b, c olarak etiketlenmiştir ve karşılık gelen karşıt açılar α, β, γ'dir. Tanjant teoreminin formülü: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

kotanjant teoremi

Bir üçgende yazılı bir dairenin yarıçapını, kenarlarının uzunluğuyla ilişkilendirir. a, b, c bir üçgenin kenarları ve sırasıyla A, B, C bunların karşılıklı açıları ise, r yazılı dairenin yarıçapı ve p üçgenin yarım çevresi ise, aşağıdaki özdeşlikler tutmak:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Uygulamalar

Trigonometri sadece teorik bilim matematiksel formüllerle ilişkilidir. Özellikleri, teoremleri ve kuralları pratikte çeşitli endüstriler tarafından kullanılmaktadır. insan aktivitesi- astronomi, hava ve deniz navigasyonu, müzik teorisi, jeodezi, kimya, akustik, optik, elektronik, mimari, ekonomi, makine mühendisliği, ölçüm çalışmaları, bilgisayar grafikleri, haritacılık, oşinografi ve diğerleri.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant, bir üçgende açılar ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade edebileceğiniz ve özdeşlikler, teoremler ve kurallar aracılığıyla istenen miktarları bulabileceğiniz trigonometrinin temel kavramlarıdır.

Öğretmenler her öğrencinin hesaplama yapabilmesi, trigonometrik formülleri bilmesi gerektiğine inanır, ancak her öğretmen sinüs ve kosinüsün ne olduğunu açıklamaz. Anlamları nedir, nerede kullanılırlar? Neden üçgenlerden bahsediyoruz, ama ders kitabında bir daire çiziliyor? Tüm gerçekleri birbirine bağlamaya çalışalım.

Okul konusu

Trigonometri çalışması genellikle 7-8. sınıflarda başlar. lise. Bu sırada öğrencilere sinüs ve kosinüsün ne olduğu anlatılır, bu fonksiyonları kullanarak geometrik problemleri çözmeleri sunulur. Daha sonra, cebirsel bir şekilde dönüştürülmesi gereken daha karmaşık formüller ve ifadeler ortaya çıkar (çift ve yarım açı formülleri, güç fonksiyonları), trigonometrik bir daire ile iş yapılıyor.

Ancak öğretmenler kullanılan kavramların anlamını ve formüllerin uygulanabilirliğini her zaman net bir şekilde açıklayamamaktadır. Bu nedenle öğrenci bu konudaki noktayı çoğu zaman görmez ve ezberlenen bilgiler çabuk unutulur. Bununla birlikte, bir lise öğrencisine, örneğin bir işlev ile salınım hareketi arasındaki bağlantıyı bir kez açıklamaya değer ve mantıksal bağlantı uzun yıllar hatırlanacak ve konunun yararsızlığı hakkında şakalar bir şey haline gelecektir. geçmiş.

kullanım

Merak uğruna, fiziğin çeşitli dallarına bakalım. Bir merminin menzilini belirlemek ister misiniz? Yoksa bir nesne ile belirli bir yüzey arasındaki sürtünme kuvvetini mi hesaplıyorsunuz? Sarkaç sallamak, camdan geçen ışınları izlemek, indüksiyonu hesaplamak? Trigonometrik kavramlar hemen hemen her formülde görünür. Peki sinüs ve kosinüs nedir?

Tanımlar

Bir açının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranıdır, kosinüs ise bitişik bacağın aynı hipotenüse oranıdır. Burada kesinlikle karmaşık bir şey yok. Belki de öğrenciler genellikle trigonometrik tabloda gördükleri değerlerle karıştırılmaktadır, çünkü orada karekökler görünmektedir. Evet, onlardan ondalık kesirler almak pek uygun değil ama matematikteki tüm sayıların çift olması gerektiğini kim söyledi?

Aslında, trigonometri problem kitaplarında komik bir ipucu bulabilirsiniz: Buradaki cevapların çoğu eşittir ve en kötü durumda iki veya üçün kökünü içerir. Sonuç basit: Cevabınızda "çok katlı" bir kesir varsa, çözümü hesaplamalarda veya akıl yürütmede hatalar için iki kez kontrol edin. Ve büyük olasılıkla onları bulacaksınız.

Hatırlanması gerekenler

Her bilimde olduğu gibi trigonometride de öğrenilmesi gereken veriler vardır.

İlk olarak, 0 ve 90 dik üçgenin sinüsleri, kosinüsleri ve ayrıca 30, 45 ve 60 derece için sayısal değerleri hatırlamalısınız. Bu göstergeler, on okul görevinden dokuzunda bulunur. Ders kitabında bu değerleri gözetleyerek çok zaman kaybedersiniz ve kontrole ya da sınava bakacak hiçbir yer kalmaz.

Unutulmamalıdır ki, her iki fonksiyonun değeri bir taneyi geçemez. Hesaplamanın herhangi bir yerinde 0-1 aralığı dışında bir değer alırsanız, durun ve sorunu tekrar çözün.

Sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı bire eşittir. Değerlerden birini zaten bulduysanız, geri kalanını bulmak için bu formülü kullanın.

teoremler

Temel trigonometride iki ana teorem vardır: sinüsler ve kosinüsler.

Birincisi, üçgenin her bir kenarının karşı açının sinüsüne oranının aynı olduğunu söylüyor. İkincisi, herhangi bir kenarın karesi, kalan iki kenarın karelerini toplayıp, çarpımlarının iki katının aralarındaki açının kosinüsüyle çarpımından çıkarılarak elde edilebilir.

Böylece, 90 derecelik açı değerini kosinüs teoreminin yerine koyarsak, Pisagor teoremini elde ederiz. Şimdi, dik üçgen olmayan bir şeklin alanını hesaplamanız gerekiyorsa, artık endişelenmenize gerek yok - dikkate alınan iki teorem, sorunun çözümünü büyük ölçüde basitleştirecektir.

Hedefler ve hedefler

Basit bir gerçeği fark ettiğinizde, trigonometri çalışması büyük ölçüde basitleşecektir: Yaptığınız tüm eylemler tek bir hedefe ulaşmaya yöneliktir. Bir üçgenin herhangi bir parametresi, onunla ilgili en az bilgiyi biliyorsanız bulunabilir - bir açının değeri ve iki kenarın uzunluğu veya örneğin üç kenar olabilir.

Herhangi bir açının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını belirlemek için bu veriler yeterlidir, onların yardımıyla şeklin alanını kolayca hesaplayabilirsiniz. Hemen hemen her zaman, cevap olarak belirtilen değerlerden biri gereklidir ve bunları aynı formülleri kullanarak bulabilirsiniz.

Trigonometri çalışmasında tutarsızlıklar

Okul çocuklarının kaçınmayı tercih ettiği belirsiz sorulardan biri, aralarında bir bağlantının keşfedilmesidir. farklı konseptler trigonometride. Görünüşe göre üçgenler açıların sinüslerini ve kosinüslerini incelemek için kullanılıyor, ancak bazı nedenlerden dolayı semboller genellikle bir daire ile şekilde bulunur. Ek olarak, ne bir daireye ne de üçgenlere dışsal bir benzerliği olmayan, sinüzoid adı verilen tamamen anlaşılmaz dalga benzeri bir grafik vardır.

Ayrıca, açılar ya derece ya da radyan cinsinden ölçülür ve basitçe 3,14 (birimsiz) olarak yazılan Pi sayısı, bir nedenden dolayı formüllerde 180 dereceye karşılık gelen görünür. Hepsi nasıl bağlantılı?

Birimler

Pi sayısı neden tam olarak 3.14'tür? Bu değerin ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bu, çemberin yarısındaki yaya uyan yarıçapların sayısıdır. Dairenin çapı 2 santimetre ise çevresi 3,14 * 2 veya 6,28 olacaktır.

İkinci nokta: "radyan" ve "yarıçap" kelimelerinin benzerliğini fark etmiş olabilirsiniz. Gerçek şu ki, bir radyan, çemberin merkezinden bir yarıçap uzunluğundaki bir yaya bırakılan açının değerine sayısal olarak eşittir.

Şimdi elde edilen bilgileri birleştirip trigonometride koordinat ekseninin üst kısmına neden “Pi ikiye”, solda ise “Pi” yazıldığını anlıyoruz. Bu açısal büyüklük, radyan cinsinden ölçülür, çünkü yarım daire 180 derece veya 3.14 radyandır. Ve derecelerin olduğu yerde sinüsler ve kosinüsler vardır. Üçgenden çizmek kolaydır istenen nokta, segmentleri merkeze ve koordinat eksenine erteleme.

Geleceğe bakalım

Okulda öğrenilen trigonometri, kulağa ne kadar garip gelse de bir çizginin bir çizgi olduğu doğrusal bir koordinat sistemi ile ilgilenir.

Ama dahası var zor yollar boşlukla çalışın: buradaki üçgenin açılarının toplamı 180 dereceden fazla olacak ve görüşümüze göre düz çizgi gerçek bir yay gibi görünecektir.

Sözlerden eylemlere geçelim! Bir elma al. Yukarıdan bakıldığında bir üçgen elde etmek için bıçakla üç kesim yapın. Ortaya çıkan elma parçasını çıkarın ve kabuğun bittiği "kaburgalara" bakın. Hiç düz değiller. Elinizdeki meyve şartlı olarak yuvarlak olarak adlandırılabilir ve şimdi, kesilen parçanın alanını bulabileceğiniz formüllerin ne kadar karmaşık olması gerektiğini hayal edin. Ancak bazı uzmanlar bu tür sorunları günlük olarak çözmektedir.

Gerçek hayatta trigonometrik fonksiyonlar

Gezegenimizin yüzeyinde A noktasından B noktasına bir uçak için en kısa rotanın belirgin bir yay şekline sahip olduğunu fark ettiniz mi? Nedeni basit: Dünya küreseldir, yani üçgenleri kullanarak fazla hesap yapamazsınız - burada daha karmaşık formüller kullanmanız gerekir.

Sinüs / kosinüs olmadan yapmayın dar açı uzayla ilgili herhangi bir konuda. İlginç bir şekilde, burada birkaç faktör bir araya geliyor: gezegenlerin daire, elips ve çeşitli yörüngelerdeki hareketini birden fazla kez hesaplarken trigonometrik fonksiyonlar gereklidir. karmaşık şekiller; roketlerin, uyduların, mekiklerin fırlatılması, araştırma araçlarının yerinden çıkarılması süreci; uzak yıldızları gözlemlemek ve insanların yakın gelecekte ulaşamayacakları galaksileri incelemek.

Genel olarak, trigonometriye sahip bir kişinin faaliyet alanı çok geniştir ve görünüşe göre sadece zamanla genişleyecektir.

Çözüm

Bugün sinüs ve kosinüsün ne olduğunu öğrendik veya her halükarda tekrarladık. Bunlar korkmanıza gerek olmayan kavramlardır - sadece istersiniz ve anlamlarını anlayacaksınız. Trigonometrinin bir hedef olmadığını, yalnızca gerçek insan ihtiyaçlarını karşılamak için kullanılabilecek bir araç olduğunu unutmayın: evler inşa edin, trafik güvenliğini sağlayın, hatta evrenin geniş alanlarında ustalaşın.

Aslında, bilimin kendisi sıkıcı görünebilir, ancak kendi hedeflerinize ulaşmanın, kendinizi gerçekleştirmenin bir yolunu bulur bulmaz, öğrenme süreci ilginç hale gelecek ve kişisel motivasyonunuz artacaktır.

Olarak ev ödevi kişisel olarak ilginizi çeken bir faaliyet alanında trigonometrik işlevleri uygulamanın yollarını bulmaya çalışın. Hayal kurun, hayal gücünüzü açın ve o zaman kesinlikle yeni bilgilerin gelecekte sizin için yararlı olacağı ortaya çıkacaktır. Ve ayrıca, matematik için yararlıdır genel gelişme düşünmek.

Trigonometri, trigonometrik fonksiyonları ve bunların geometrideki kullanımını inceleyen bir matematik dalıdır. Trigonometrinin gelişimi antik Yunan günlerinde başladı. Orta Çağ boyunca Orta Doğu ve Hindistan'dan bilim adamları bu bilimin gelişimine önemli katkılarda bulundular.

Bu makale hakkında temel konseptler ve trigonometrinin tanımları. Ana trigonometrik fonksiyonların tanımlarını tartışır: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant. Geometri bağlamındaki anlamları açıklanmış ve gösterilmiştir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Başlangıçta, argümanı bir açı olan trigonometrik fonksiyonların tanımları, bir dik üçgenin kenarlarının oranı ile ifade edildi.

trigonometrik fonksiyonların tanımları

Bir açının sinüsü (sin α), bu açının karşısındaki bacağın hipotenüse oranıdır.

Açının kosinüsü (cos α), bitişik bacağın hipotenüse oranıdır.

Açının tanjantı (t g α), karşı bacağın bitişik olana oranıdır.

Açının kotanjantı (c t g α), bitişik bacağın karşıdakine oranıdır.

Bu tanımlar bir dik üçgenin dar açısı için verilmiştir!

Bir örnek verelim.

Dik açısı C olan ABC üçgeninde, A açısının sinüsü, BC ayağının AB hipotenüsüne oranına eşittir.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları, bir üçgenin kenarlarının bilinen uzunluklarından bu fonksiyonların değerlerini hesaplamayı mümkün kılar.

Hatırlamak önemli!

Sinüs ve kosinüs değerlerinin aralığı: -1'den 1'e kadar Diğer bir deyişle, sinüs ve kosinüs -1'den 1'e kadar değerler alır. Tanjant ve kotanjant değerlerinin aralığı tam sayı doğrusudur, yani bunlar fonksiyonlar herhangi bir değer alabilir.

Yukarıda verilen tanımlar, dar açılara ilişkindir. Trigonometride, değeri dar açılardan farklı olarak 0 ila 90 derece arasındaki çerçevelerle sınırlı olmayan dönme açısı kavramı tanıtılır.Derece veya radyan cinsinden dönme açısı, herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilir - ∞ ila + ∞.

Bu bağlamda, keyfi büyüklükteki bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı tanımlanabilir. Kartezyen koordinat sisteminin orijininde merkezlenmiş bir birim çember hayal edin.

(1 , 0) koordinatlarına sahip A başlangıç ​​noktası, birim çemberin merkezi etrafında α açısı kadar döner ve A1 noktasına gider. Tanım, A 1 (x, y) noktasının koordinatları aracılığıyla verilir.

Dönme açısının sinüsü (günahı)

α dönme açısının sinüsü, A1 (x, y) noktasının ordinatıdır. sinα = y

Dönme açısının kosinüsü (cos)

α dönme açısının kosinüsü, A1 (x, y) noktasının apsisidir. çünkü α = x

Dönme açısının tanjantı (tg)

Dönme açısının tanjantı α, A 1 (x, y) noktasının ordinatının apsisine oranıdır. t g α = yx

Kotanjant (ctg) dönüş açısı

Dönme açısının α kotanjantı, A 1 (x, y) noktasının apsisinin ordinatına oranıdır. c t g α = x y

Sinüs ve kosinüs, herhangi bir dönüş açısı için tanımlanmıştır. Bu mantıklıdır, çünkü dönmeden sonraki noktanın apsisi ve ordinatı herhangi bir açıda belirlenebilir. Durum tanjant ve kotanjant ile farklıdır. Döndürmeden sonraki nokta sıfır apsisi (0 , 1) ve (0 , - 1) olan noktaya gittiğinde tanjant tanımlanmaz. Bu gibi durumlarda, t g α = y x tanjantının ifadesi, sıfıra bölme içerdiğinden, bir anlam ifade etmez. Durum kotanjant ile benzer. Aradaki fark, kotanjantın, noktanın koordinatının kaybolduğu durumlarda tanımlanmamasıdır.

Hatırlamak önemli!

Sinüs ve kosinüs, herhangi bir α açısı için tanımlanmıştır.

Tanjant, α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.

Kotanjant, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.

karar verirken pratik örnekler"a açısının sinüsü" demeyin. "Dönme açısı" kelimeleri basitçe atlanmıştır, bu da bağlamdan neyin tehlikede olduğunun zaten açık olduğunu ima eder.

sayılar

Bir sayının dönme açısı değil de sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımına ne dersiniz?

Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjantı, kotanjantı

Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjantı ve kotanjantı T sırasıyla sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjanta eşit olan bir sayı denir. T radyan.

Örneğin, 10 π'nin sinüsü, 10 π rad dönüş açısının sinüsüne eşittir.

Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının tanımına başka bir yaklaşım daha vardır. Daha ayrıntılı olarak düşünelim.

herhangi bir gerçek sayı T birim çember üzerindeki bir nokta, dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin başlangıç ​​noktasındaki merkeze karşılık gelecek şekilde konur. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant bu noktanın koordinatları cinsinden tanımlanır.

Daire üzerindeki başlangıç ​​noktası, (1 , 0) koordinatlarına sahip A noktasıdır.

pozitif sayı T

negatif sayı T daire etrafında saat yönünün tersine hareket ederse ve t yolunu geçerse başlangıç ​​noktasının hareket edeceği noktaya karşılık gelir.

Çember üzerindeki sayı ile nokta arasındaki bağlantı kurulduğuna göre, sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımına geçiyoruz.

t sayısının sinüsü (günahı)

Bir sayının sinüsü T- sayıya karşılık gelen birim çemberin noktasının ordinatı T. günah t = y

t'nin kosinüsü (cos)

bir sayının kosinüsü T- sayıya karşılık gelen birim çemberin noktasının apsisi T. çünkü t = x

t'nin tanjantı (tg)

bir sayının tanjantı T- ordinatın sayıya karşılık gelen birim çember noktasının apsisine oranı T. t g t = y x = günah t cos t

Sonraki tanımlar, bu bölümün başında verilen tanımla tutarlıdır ve bunlarla çelişmez. Bir sayıya karşılık gelen bir dairenin üzerine gelin T, açıyı geçtikten sonra başlangıç ​​noktasının geçtiği nokta ile çakışır T radyan.

Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları

α açısının her değeri, bu açının sinüs ve kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir. Tıpkı α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) dışındaki tüm α açıları gibi tanjantın belirli bir değerine karşılık gelir. Yukarıda bahsedildiği gibi kotanjant, α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z) hariç tüm α için tanımlanmıştır.

sin α , cos α , t g α , c t g α'nın alfa açısının fonksiyonları veya açısal argümanın fonksiyonları olduğunu söyleyebiliriz.

Benzer şekilde, sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjanttan sayısal bir argümanın fonksiyonları olarak bahsedilebilir. Her gerçek sayı T bir sayının sinüsünün veya kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir T. π 2 + π · k , k ∈ Z dışındaki tüm sayılar tanjant değerine karşılık gelir. Kotanjant, π · k , k ∈ Z hariç tüm sayılar için benzer şekilde tanımlanır.

Trigonometrinin temel işlevleri

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant temel trigonometrik fonksiyonlardır.

Trigonometrik fonksiyonun hangi argümanıyla (açısal argüman veya sayısal argüman) uğraştığımız genellikle bağlamdan açıktır.

Tanımların en başındaki verilere ve 0 ile 90 derece aralığında yer alan alfa açısına dönelim. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın trigonometrik tanımları ile tamamen tutarlıdır. geometrik tanımlar, bir dik üçgenin kenarlarının oranları ile verilir. Hadi gösterelim.

Dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi merkezli bir birim çember alın. A (1, 0) başlangıç ​​noktasını 90 dereceye kadar döndürelim ve elde edilen A 1 (x, y) noktasından x eksenine dik çizelim. Ortaya çıkan dik üçgende, A 1 O H açısı, α dönme açısına eşittir, OH bacağının uzunluğu, A 1 (x, y) noktasının apsisine eşittir. Köşenin karşısındaki bacağın uzunluğu, A1 (x, y) noktasının ordinatına eşittir ve hipotenüsün uzunluğu, birim dairenin yarıçapı olduğu için bire eşittir.

Geometriden gelen tanıma göre, α açısının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranına eşittir.

günah α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Bu, bir dik üçgendeki dar açının sinüsünün en-boy oranı yoluyla tanımının, alfa 0 ila 90 derece aralığında yer aldığı, dönüş açısının α sinüsünün tanımına eşdeğer olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde, tanımların karşılıkları kosinüs, tanjant ve kotanjant için gösterilebilir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Ders: Sinüs, kosinüs, tanjant, keyfi bir açının kotanjantı

Sinüs, keyfi bir açının kosinüsü

Trigonometrik fonksiyonların ne olduğunu anlamak için birim yarıçaplı bir daireye dönelim. Bu daire koordinatların orijininde ortalanır. koordinat uçağı. Verilen fonksiyonları belirlemek için yarıçap vektörünü kullanacağız. VEYA, dairenin merkezinden başlar ve nokta r daire üzerinde bir noktadır. Bu yarıçap vektörü, eksenle bir alfa açısı oluşturur. EY. Çemberin yarıçapı bire eşit olduğundan, o zaman VEYA = R = 1.

Eğer noktadan r eksen üzerinde bir dikey bırakın EY, sonra hipotenüsü bire eşit olan bir dik üçgen elde ederiz.

Yarıçap vektörü saat yönünde hareket ederse, bu yöne denir. olumsuz, ancak saat yönünün tersine hareket ederse - pozitif.

Bir açının sinüsü VEYA, noktanın koordinatıdır r bir daire üzerinde vektörler.

Yani, belirli bir alfa açısının sinüsünün değerini elde etmek için koordinatını belirlemek gerekir. saat yüzeyde.

Bu değer nasıl elde edildi? Bir dik üçgende keyfi bir açının sinüsünün, karşı bacağın hipotenüse oranı olduğunu bildiğimiz için, şunu elde ederiz:

Dan beri R=1, sonra günah(α) = y 0 .

Birim çemberde ordinat değeri -1'den küçük ve 1'den büyük olamaz, yani

Sinüs kabul eder pozitif değer birim çemberin birinci ve ikinci çeyreğinde ve üçüncü ve dördüncü çeyreğinde negatif.

bir açının kosinüsü yarıçap vektörü tarafından oluşturulan verilen daire VEYA, noktanın apsisi r bir daire üzerinde vektörler.

Yani, belirli bir alfa açısının kosinüs değerini elde etmek için koordinatını belirlemek gerekir. x yüzeyde.

Bir dik üçgende keyfi bir açının kosinüsü, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır, bunu elde ederiz.

Dan beri R=1, sonra cos(α) = x 0 .

Birim çemberde apsisin değeri -1'den küçük ve 1'den büyük olamaz, yani

Kosinüs, birim çemberin birinci ve dördüncü çeyreğinde pozitif, ikinci ve üçüncü çeyreğinde ise negatiftir.

teğetkeyfi açı sinüsün kosinüs oranına oranı hesaplanır.

Bir dik üçgen düşünürsek, bu karşı bacağın bitişik olana oranıdır. Eğer Konuşuyoruz birim çember hakkında, o zaman bu, ordinatın apsise oranıdır.

Bu ilişkilere bakılarak, apsisin değeri sıfırsa, yani 90 derecelik bir açıyla tanjantın var olamayacağı anlaşılabilir. Tanjant diğer tüm değerleri alabilir.

Teğet birim çemberin birinci ve üçüncü çeyreğinde pozitif, ikinci ve dördüncü çeyreğinde negatiftir.