Koordinat düzleminde daire çizin. Kesin integral

10. sınıfta sayı çemberine oldukça fazla zaman ayrılıyor. Bunun nedeni, bu matematiksel nesnenin tüm matematik dersi için taşıdığı önemdir.

Materyalde iyi bir ustalık için öğretim yardımcılarının doğru seçimi büyük önem taşımaktadır. Bu tür araçların en etkilisi video eğitimlerini içerir. İÇİNDE Son zamanlarda popülerliğin zirvesine ulaşırlar. Bu nedenle yazar zamanın gerisinde kalmadı ve matematik öğretmenlerine yardımcı olmak için harika bir kılavuz geliştirdi - "Koordinat düzleminde sayı çemberi" konulu bir video dersi.

Bu ders 15:22 dakika sürmektedir. Bu, pratikte bir öğretmenin bir konudaki materyali bağımsız olarak açıklamak için harcayabileceği maksimum süredir. Yeni materyallerin açıklanması çok zaman aldığından, konsolidasyona en uygun olanların seçilmesi gerekmektedir. etkili görevler ve alıştırmaların yanı sıra öğrencilerin bu konuyla ilgili görevleri çözecekleri başka bir dersi vurgulayın.

Ders, koordinat sistemindeki bir sayı çemberinin görüntüsüyle başlar. Yazar bu çemberi kurar ve eylemlerini açıklar. Daha sonra yazar sayı çemberinin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını adlandırır. Aşağıda dairenin noktalarının farklı çeyreklerde hangi koordinatlara sahip olacağı açıklanmaktadır.

Bundan sonra yazar bize daire denkleminin neye benzediğini hatırlatıyor. Ve dinleyicilere çember üzerindeki bazı noktaları gösteren iki model sunuluyor. Bu sayede bir sonraki adımda yazar, şablonlarda işaretlenen belirli sayılara karşılık gelen daire üzerindeki noktaların koordinatlarının nasıl bulunacağını gösterir. Bu, bir daire denklemindeki x ve y değişkenleri için bir değerler tablosu üretir.

Daha sonra, bir daire üzerindeki noktaların koordinatlarını belirlemenin gerekli olduğu bir örneği düşünmeyi öneriyoruz. Örneği çözmeye başlamadan önce, çözümüne yardımcı olacak bazı açıklamalar yapılır. Daha sonra ekranda eksiksiz, net bir şekilde yapılandırılmış ve resimli bir çözüm belirir. Burada örneğin özünün anlaşılmasını kolaylaştıracak tablolar da bulunmaktadır.

Daha sonra, ilkinden daha az zaman alan ancak daha az önemli olmayan ve dersin ana fikrini yansıtan altı örnek daha ele alınır. Burada çözümler tam olarak sunulmaktadır. detaylı bir hikaye ve netlik unsurlarıyla. Yani çözüm, çözümün ilerleyişini gösteren çizimler ve öğrencilerin matematik okuryazarlığını oluşturan matematiksel notasyonu içerir.

Öğretmen kendisini derste tartışılan örneklerle sınırlayabilir ancak bu, materyalin kaliteli bir şekilde öğrenilmesi için yeterli olmayabilir. Bu nedenle, güçlendirilecek görevlerin seçilmesi son derece önemlidir.

Ders sadece zamanı sürekli sınırlı olan öğretmenler için değil öğrenciler için de faydalı olabilir. Özellikle aile eğitimi alanlar veya kendi kendine eğitim alanlar için. Materyaller bu konuyla ilgili bir dersi kaçıran öğrenciler tarafından kullanılabilir.

METİN KOD ÇÖZME:

Dersimizin konusu “KOORDİNAT DÜZLEMİNDE SAYISAL ÇEMBER”

Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi xOy (x o y)'yi zaten biliyoruz. Bu koordinat sistemine yerleştireceğimiz sayı dairesi böylece dairenin merkezi koordinatların orijini ile aynı hizada olur ve yarıçapı bir ölçek parçası olarak alınır.

Sayı çemberinin başlangıç ​​noktası A, koordinatları (1;0) olan bir noktayla, B - noktası (0;1), C - (-1;0) (eksi bir, sıfır) ve D ile birleştirilir - (0; - 1)(sıfır, eksi bir) ile.

(bkz. şekil 1)

Sayı çemberi üzerindeki her noktanın xOy (x o y) sisteminde kendi koordinatları olduğundan, ilk çeyreğin noktaları için yx sıfırdan büyüktür ve y sıfırdan büyüktür;

İkinci çeyrek ICH Sıfırdan daha az ve oyun sıfırdan büyüktür,

üçüncü çeyrek puanları için ikx sıfırdan küçüktür ve yk sıfırdan küçüktür,

ve dördüncü çeyrek için ikx sıfırdan büyük ve yk sıfırdan küçük

Sayı çemberinin herhangi bir E (x;y) noktası (x, y koordinatlarına sahip) için -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x eksi birden büyük veya ona eşit, ancak eksi birden küçüktür) eşitsizlikleri veya bire eşittir; y eksi birden büyük veya eşittir, ancak birden küçüktür veya eşittir).

Merkezi orijinde olan R yarıçaplı bir dairenin denkleminin x 2 + y 2 = R 2 (x kare artı y kare eşittir er kare) formuna sahip olduğunu hatırlayın. Ve için birim çember R =1, yani x 2 + y 2 = 1 elde ederiz

(x kare artı y kare eşittir bir).

İki düzende sunulan sayı çemberi üzerindeki noktaların koordinatlarını bulalım (bkz. Şekil 2, 3)

Karşılık gelen E noktası olsun

(pi'ye dört) - şekilde gösterilen ilk çeyreğin ortası. E noktasından EK dik açısını OA düz çizgisine indiriyoruz ve OEK üçgenini ele alıyoruz. AE yayı AB yayının yarısı olduğundan AOE açısı =45 0. Bu nedenle OEK üçgeni, OK = EC olan bir ikizkenar dik üçgendir. Bu, E noktasının apsisi ve ordinatının eşit olduğu anlamına gelir; x eşittir oyun. E noktasının koordinatlarını bulmak için denklem sistemini çözüyoruz: (x eşittir y - sistemin ilk denklemi ve x kare artı y kare eşittir bir - sistemin ikinci denklemi). sistemin denkleminde x yerine y'yi koyarız, 2y 2 = 1 elde ederiz (iki y karesi bire eşittir), dolayısıyla y = = (y eşittir bir bölü ikinin kökü eşittir) ikinin kökü ikiye bölünür) (ordinat pozitiftir). Bu, dikdörtgen koordinat sisteminde E noktasının (,)(ikinin kökü ikiye bölünür, ikinin kökü ikiye bölünür) koordinatlarına sahip olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde akıl yürüterek, ilk düzenin diğer sayılarına karşılık gelen noktaların koordinatlarını buluruz ve şunu elde ederiz: karşılık gelen nokta koordinatlarla (- ,) (eksi ikinin kökü ikiye bölünür, ikinin kökü ikiye bölünür) ; için - (- ,-) (eksi ikinin kökü bölü ikiye, eksi ikinin kökü bölü ikiye); for (yedi pi bölü dört) (,)(kök iki bölü ikiye, eksi kök iki bölü ikiye).

D noktasının (Şekil 5)'e karşılık gelmesine izin verin. DP(de pe)'den OA'ya dikmeyi bırakalım ve ODP üçgenini ele alalım. Bu üçgenin OD hipotenüsü birim çemberin yarıçapına eşittir, yani birdir ve DOP açısı otuz dereceye eşittir, çünkü AD yayı = rakam AB (a de a'nın üçte birine eşittir) ve AB yayı doksan dereceye eşittir. Dolayısıyla DP = (de pe yarıma eşittir O de yarıma eşittir) Otuz derecelik açının karşısında bulunan kenar hipotenüsün yarısına eşit olduğundan yani y = (y yarıma eşittir) . Pisagor teoremini uygulayarak OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe kare eşittir o de kare eksi de pe kare), ancak OR = x (o pe eşittir x) elde ederiz. Bu, x 2 = OD 2 - DP 2 = anlamına gelir

bu, x 2 = (x kare, dörtte üçe eşittir) ve x = (x, üç çarpı ikinin köküne eşittir) anlamına gelir.

X pozitiftir çünkü ilk çeyrekte bulunuyor. Dikdörtgen bir koordinat sisteminde D noktasının koordinatlarının (,) kök üç bölü ikiye bir yarım olduğunu bulduk.

Benzer şekilde akıl yürüterek, ikinci düzenin diğer sayılarına karşılık gelen noktaların koordinatlarını bulacağız ve elde edilen tüm verileri tablolara yazacağız:

Örneklere bakalım.

ÖRNEK 1. Sayı çemberindeki noktaların koordinatlarını bulun: a) C 1 ();

b) C2(); c) C3(41π); d) C4 (- 26π). (tse bir otuz beş pi x dört'e karşılık gelir, tse iki eksi kırk dokuz pi x üçe karşılık gelir, tse üç kırk bir pi'ye karşılık gelir, tse dört eksi yirmi altı pi'ye karşılık gelir).

Çözüm. Daha önce elde ettiğimiz ifadeyi kullanalım: Sayı çemberinin D noktası t sayısına karşılık geliyorsa, o zaman t + 2πk(te artı iki tepe noktası) formundaki herhangi bir sayıya karşılık gelir; burada ka herhangi bir tamsayıdır, yani. kϵZ (ka z'ye aittir).

a) = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4 elde ederiz. (otuz beş pi çarpı dört eşittir otuz beş çarpı dört, pi ile çarpım sekiz ve üç çeyreğin toplamı, çarpı pi eşittir üç pi çarpı dört artı iki pi çarpı dört) Bu, otuz beş pi x dört sayısının sayı çemberinde üç pi x dört sayısıyla aynı noktaya karşılık geldiği anlamına gelir. Tablo 1'i kullanarak C 1 () = C 1 (-;) elde ederiz.

b) C 2 koordinatlarına benzer: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). Bu, sayının şu anlama gelir:

sayı çemberi üzerinde sayıyla aynı noktaya karşılık gelir. Ve sayı, sayı çemberi üzerinde sayıyla aynı noktaya karşılık gelir

(ikinci düzeni ve tablo 2'yi gösterin). Bir nokta için x = , y = var.

c) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Bu, 41π sayısının sayı çemberi üzerinde π sayısıyla aynı noktaya karşılık geldiği anlamına gelir - bu, koordinatları (-1; 0) olan bir noktadır.

d) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), yani - 26π sayısı, sayı çemberi üzerinde sıfır sayısıyla aynı noktaya karşılık gelir - bu, koordinatları (1;0) olan bir noktadır.

ÖRNEK 2. Sayı çemberi üzerinde ordinatı y = olan noktaları bulun

Çözüm. y = düz doğrusu sayı çemberini iki noktada kesiyor. Bir nokta bir sayıya, ikinci nokta ise bir sayıya karşılık gelir,

Bu nedenle, tüm noktaları 2πk tam devrini ekleyerek elde ederiz; burada k, noktanın kaç tam devir yaptığını gösterir, yani. elde ederiz,

ve herhangi bir sayı için + 2πk formundaki tüm sayılar. Genellikle bu gibi durumlarda iki dizi değer aldıklarını söylerler: + 2πk, + 2πk.

ÖRNEK 3. Sayı çemberi üzerinde apsis x = olan noktaları bulun ve bunların hangi t sayılarına karşılık geldiğini yazın.

Çözüm. Dümdüz X= sayı çemberini iki noktada keser. Bir nokta bir sayıya karşılık gelir (ikinci düzene bakın),

ve dolayısıyla + 2πk formundaki herhangi bir sayı. Ve ikinci nokta bir sayıya ve dolayısıyla + 2πk formundaki herhangi bir sayıya karşılık gelir. Bu iki değer dizisi tek bir girişte kapsanabilir: ± + 2πk (artı eksi iki pi x üç artı iki pi).

ÖRNEK 4. Sayı çemberinde koordinatları olan noktaları bulun en> ve hangi sayılara karşılık geldiklerini yazın.

Düz çizgi y = sayı dairesini M ve P iki noktasında keser. Ve y > eşitsizliği, MR açık yayının noktalarına karşılık gelir, bu, daire etrafında saat yönünün tersine hareket ederken sonu olmayan (yani u olmayan) yaylar anlamına gelir , M noktasından başlayıp P noktasında biter. Bu, MR yayının analitik gösteriminin çekirdeğinin eşitsizlik olduğu anlamına gelir.< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

ÖRNEK5. Sayı çemberindeki koordinat noktalarını bulun en < и записать, каким числам t они соответствуют.

y = düz doğrusu sayı çemberini M ve P olmak üzere iki noktada keser. Ve y eşitsizliği< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

ÖRNEK 6. Sayı çemberinde apsisli noktaları bulun X> ve hangi sayılara karşılık geldiklerini yazın.

Düz çizgi x = sayı dairesini M ve P iki noktasında keser. X > eşitsizliği, daire boyunca saat yönünün tersine hareket ederken, karşılık gelen P noktasındaki başlangıç ​​ve bu noktada son ile açık yayın PM noktalarına karşılık gelir. M, karşılık gelir. Bu, PM yayının analitik gösteriminin çekirdeğinin eşitsizlik olduğu anlamına gelir.< t <

(te eksi ikiden büyük pi x üç, fakat ikiden küçük pi x üç) ve yayın kendisinin analitik gösterimi + 2πk biçimindedir< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

ÖRNEK 7. Sayı çemberinde apsisli noktaları bulun X < и записать, каким числам t они соответствуют.

Düz çizgi x = sayı çemberini M ve P olmak üzere iki noktada keser. Eşitsizlik x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(te iki pi'ye üçten fazla, ancak dört pi'ye üçten azdır) ve yayın kendisinin analitik gösterimi + 2πk biçimindedir< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamusal önem amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Tarih: Ders1
konu: Koordinat doğrusundaki sayı çemberi

Hedefler: Kartezyen ve eğrisel koordinat sistemlerinde sayı çemberi modeli kavramını tanıtmak; bir sayı çemberi üzerindeki noktaların Kartezyen koordinatlarını bulma ve bunun tersi eylemi gerçekleştirme yeteneğini geliştirmek: bir noktanın Kartezyen koordinatlarını bilmek, sayı çemberi üzerindeki sayısal değerini belirlemek.

Dersler sırasında

I. Organizasyon anı.

II. Yeni malzemenin açıklanması.

1. Sayı çemberini Kartezyen koordinat sistemine yerleştirdikten sonra, sayı çemberi üzerinde farklı koordinat bölgelerinde bulunan noktaların özelliklerini ayrıntılı olarak analiz ediyoruz.

Bir noktaya kadar M sayı çemberi gösterimi kullanır M(T), eğer bir noktanın eğrisel koordinatından bahsediyorsak M, veya kayıt M (X;en), eğer bir noktanın Kartezyen koordinatlarından bahsediyorsak.

2. Sayı çemberindeki “iyi” noktaların Kartezyen koordinatlarının bulunması. Bu kayıttan devam etmekle ilgili M(T) İle M (X;en).

3. Sayı çemberindeki “kötü” noktaların koordinatlarının işaretlerini bulmak. Örneğin, M(2) = M (X;en), O X 0; en 0. (Okul çocukları sayı çemberinin dörtte birini kullanarak trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirlemeyi öğrenirler.)

1. Sayı 5.1 (a; b), Sayı 5.2 (a; b), Sayı 5.3 (a; b).

Bu görev grubu, sayı çemberindeki "iyi" noktaların Kartezyen koordinatlarını bulma yeteneğini geliştirmeyi amaçlamaktadır.

Çözüm:

№ 5.1 (A).

2. No. 5.4 (a; b), No. 5.5 (a; b).

Bu görev grubu, Kartezyen koordinatlarını kullanarak bir noktanın eğrisel koordinatlarını bulma becerilerini geliştirmeyi amaçlamaktadır.

Çözüm:

№ 5.5 (B).

3. No. 5.10 (a; b).

Bu alıştırma “kötü” noktaların Kartezyen koordinatlarını bulma yeteneğini geliştirmeyi amaçlamaktadır.

V. Ders özeti.

Öğrenciler için sorular:

– Model nedir – koordinat düzlemindeki sayı çemberi mi?

– Sayı çemberi üzerindeki bir noktanın eğrisel koordinatlarını bilerek, onun Kartezyen koordinatlarını ve bunun tersini nasıl buluruz?

Ev ödevi: No. 5.1 (c; d) – 5.5 (c; d), No. 5.10 (c; d).

Tarih: Ders2
KONU: “Koordinat düzlemindeki sayı çemberi” modelini kullanarak problem çözme

Hedefler: bir sayı çemberi üzerindeki bir noktanın eğrisel koordinatlarından Kartezyen koordinatlara geçme yeteneğini geliştirmeye devam etmek; Koordinatları belirli bir denklemi veya eşitsizliği karşılayan sayı çemberi üzerinde noktalar bulma becerisini geliştirmek.

Dersler sırasında

I. Organizasyon anı.

II. Sözlü çalışma.

1. Sayı çemberi üzerindeki noktaların eğrisel ve Kartezyen koordinatlarını adlandırın.

2. Çember üzerindeki yayı ve onun analitik gösterimini karşılaştırın.

III. Yeni malzemenin açıklanması.

2. Sayı çemberi üzerinde koordinatları verilen denklemi sağlayan noktaları bulmak.

Örnek 2 ve 3'e p ile bakalım. 41–42 ders kitapları.

Bu “oyunun” önemi açıktır: Öğrenciler formun en basit trigonometrik denklemlerini çözmeye hazırlanıyorlar. Konunun özünü anlamak için öğrencilere öncelikle bu denklemleri ilerlemeden sayı çemberini kullanarak çözmeleri öğretilmelidir. hazır formüllere.

Apsisli bir nokta bulma örneğini ele alırken, öğrencilerin dikkatini iki dizi cevabı tek bir formülde birleştirme olasılığına çekeriz:

3. Sayı çemberi üzerinde koordinatları belirli bir eşitsizliği sağlayan noktaları bulmak.

4-7 arasındaki örneklere bakalım. 43–44 ders kitapları. Bu tür problemleri çözerek öğrencileri formdaki trigonometrik eşitsizlikleri çözmeye hazırlıyoruz.

Örnekleri inceledikten sonra öğrenciler bağımsız olarak formüle edebilirler. algoritma belirtilen türdeki eşitsizliklerin çözümleri:

1) analitik modelden geometrik modele geçiyoruz - yay BAY sayı çemberi;

2) analitik kaydın özünü oluşturur BAY; elde ettiğimiz yay için

3) genel bir kayıt yapın:

IV. Beceri ve yeteneklerin oluşumu.

1. grup. Sayı çemberi üzerinde belirli bir denklemi sağlayan koordinata sahip bir noktanın bulunması.

No. 5.6 (a; b) – No. 5.9 (a; b).

Bu alıştırmalar üzerinde çalışma sürecinde adım adım uygulama yapıyoruz: bir noktanın özünü kaydetme, analitik kayıt.

2. grup. Sayı çemberi üzerinde belirli bir eşitsizliği karşılayan koordinatlara sahip noktaları bulma.

5.11(a;b) – 5.14(a;b).

Bu alıştırmaları yaparken okul çocuklarının kazanması gereken temel beceri, yayın analitik gösteriminin temelini oluşturmaktır.

V. Bağımsız çalışma.

Seçenek 1

1. Sayı çemberi üzerinde belirli bir sayıya karşılık gelen bir noktayı işaretleyin ve Kartezyen koordinatlarını bulun:

2. Verilen apsisli sayı çemberi üzerinde noktaları bulun ve hangi sayıların olduğunu yazın. T Eşleşiyorlar.

3. Eşitsizliği karşılayan bir ordinatla sayı çemberi noktalarını işaretleyin ve çift eşitsizliği kullanarak sayıların hangileri olduğunu yazın. T Eşleşiyorlar.

Seçenek 2

1. Sayı çemberi üzerinde belirli bir sayıya karşılık gelen bir noktayı işaretleyin ve Kartezyen koordinatlarını bulun:

2. Sayı çemberi üzerinde belirli bir ordinat ile noktaları bulun en= 0,5 ve hangi sayıları yazın T Eşleşiyorlar.

3. Eşitsizliği sağlayan apsisli noktaları sayı dairesi üzerine işaretleyin ve çift eşitsizliği kullanarak sayıların hangileri olduğunu yazın. T Eşleşiyorlar.

VI. Ders özeti.

Öğrenciler için sorular:

– Apsisi verilen denklemi sağlayan bir çember üzerinde bir nokta nasıl bulunur?

– Ordinatı belirli bir denklemi sağlayan bir daire üzerinde bir nokta nasıl bulunur?

– Eşitsizlikleri çözmek için kullanılan algoritmayı sayı çemberini kullanarak adlandırın.

Ev ödevi: Sayı 5.6 (c; d) – Sayı 5.9 (c; d),

No. 5.11 (c; d) – No. 5.14 (c; d).

Bu yazıda sayı çemberinin tanımını ayrıntılı olarak analiz edeceğiz, ana özelliğini bulacağız ve 1,2,3 vb. sayıları düzenleyeceğiz. Bir daire üzerindeki diğer sayıları (pi dahil) nasıl işaretleyeceğinizi öğrenin.

Sayı çemberi noktaları birbirine karşılık gelen birim yarıçaplı bir daire denir aşağıdaki kurallara göre düzenlenmiştir:

1) Başlangıç ​​noktası çemberin en sağ noktasındadır;

2) Saat yönünün tersine - pozitif yön; saat yönünde – negatif;

3) Eğer daire üzerindeki \(t\) mesafesini pozitif yönde çizersek, o zaman \(t\) değerine sahip bir noktaya ulaşacağız;

4) Eğer daire üzerindeki \(t\) mesafesini negatif yönde çizersek, o zaman \(–t\) değerine sahip bir noktaya ulaşacağız.

Çembere neden sayı çemberi deniyor?
Çünkü üzerinde numaralar var. Bu şekilde daire sayı eksenine benzer - daire üzerinde de eksende olduğu gibi her sayı için belirli bir nokta vardır.

Sayı çemberinin ne olduğunu neden biliyorsunuz?
Sayı çemberi kullanılarak sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantların değerleri belirlenir. Bu nedenle trigonometriyi bilmek ve Birleşik Devlet Sınavını 60+ puanla geçmek için sayı dairesinin ne olduğunu ve üzerine noktaların nasıl yerleştirileceğini anlamalısınız.

Tanımdaki “...birim yarıçap…” kelimeleri ne anlama geliyor?
Bu, bu dairenin yarıçapının \(1\)'e eşit olduğu anlamına gelir. Ve eğer merkezi orijinde olacak şekilde böyle bir daire inşa edersek, o zaman eksenlerle \(1\) ve \(-1\) noktalarında kesişecektir.

Küçük çizilmesine gerek yoktur; eksenler boyunca bölümlerin "boyutunu" değiştirebilirsiniz, o zaman resim daha büyük olacaktır (aşağıya bakınız).

Yarıçap neden tam olarak bir? Bu daha uygundur, çünkü bu durumda çevreyi \(l=2πR\) formülünü kullanarak hesaplarken şunu elde ederiz:

Sayı çemberinin uzunluğu \(2π\) veya yaklaşık olarak \(6,28\)'dir.

“...noktaları gerçek sayılara karşılık gelenler” ne anlama geliyor?
Yukarıda söylediğimiz gibi, herhangi bir gerçek sayının sayı çemberinde kesinlikle onun “yer”i olacaktır - bu sayıya karşılık gelen bir nokta.

Sayı çemberinin kökenini ve yönünü neden belirlemelisiniz?
Sayı çemberinin temel amacı her sayının noktasını benzersiz bir şekilde belirlemektir. Ancak nereden sayacağınızı ve nereye hareket edeceğinizi bilmiyorsanız, noktayı nereye koyacağınızı nasıl belirleyebilirsiniz?

Burada orijini koordinat çizgisi ile sayı çemberi üzerinde karıştırmamak önemlidir - bunlar iki farklı referans sistemidir! Ayrıca \(x\) eksenindeki \(1\) ile daire üzerindeki \(0\)'yi karıştırmayın; bunlar farklı nesneler üzerindeki noktalardır.

Hangi noktalar \(1\), \(2\), vb. sayılarına karşılık gelir?
Sayı çemberinin yarıçapının \(1\) olduğunu varsaydığımızı hatırlıyor musunuz? Bu, dairenin üzerine çizeceğimiz birim segmentimiz olacak (sayı eksenine benzetilerek).

1 sayısına karşılık gelen sayı çemberi üzerinde bir noktayı işaretlemek için 0'dan pozitif yönde yarıçapa eşit bir mesafeye gitmeniz gerekir.

\(2\) sayısına karşılık gelen daire üzerinde bir noktayı işaretlemek için, başlangıç ​​noktasından iki yarıçapa eşit bir mesafe kat etmeniz gerekir, böylece \(3\) üç yarıçapa eşit bir mesafe olur, vb.

Bu resme baktığınızda aklınıza 2 soru gelebilir:
1. Çember “bittiğinde” (yani tam bir devrim yaptığımızda) ne olur?
Cevap: ikinci tura çıkalım! İkincisi bittiğinde üçüncüye geçeceğiz ve böyle devam edecek. Bu nedenle bir daire üzerine sonsuz sayıda sayı çizilebilir.

2. Negatif sayılar nerede olacak?
Cevap: işte orada! Ayrıca, gerekli sayıda yarıçapı sıfırdan sayarak, ancak şimdi negatif yönde de düzenlenebilirler.

Ne yazık ki sayı çemberinde tam sayıları belirtmek zordur. Bunun nedeni sayı çemberinin uzunluğunun bir tamsayıya eşit olmamasıdır: \(2π\). Ve en uygun yerlerde (eksenler ile kesişme noktalarında) tam sayılar değil kesirler de olacaktır.

Tanım 1. Sayı ekseni ( sayı doğrusu, koordinat doğrusu) Ox, O noktasının seçildiği düz çizgidir orijin (koordinatların orijini)(Şekil 1), yön

Ö → X

Olarak listelenmiş olumlu yön ve uzunluğu kabul edilen bir parça işaretlenir. uzunluk birimi.

Tanım 2. Uzunluğu uzunluk birimi olarak alınan doğru parçasına ölçek denir.

Sayı eksenindeki her noktanın gerçek sayı olan bir koordinatı vardır. O noktasının koordinatı sıfırdır. Ox ışını üzerinde bulunan rastgele bir A noktasının koordinatı, OA segmentinin uzunluğuna eşittir. Sayısal eksenin Ox ışını üzerinde yer almayan rastgele bir A noktasının koordinatı negatiftir ve mutlak değerde OA segmentinin uzunluğuna eşittir.

Tanım 3. Düzlemde dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxy ikisini karşılıklı ara dik sayısal eksenler Öküz ve Oy ile aynı ölçek Ve ortak referans noktası O noktasında ve Ox ışınından Oy ışınına 90° açıyla dönme yönünde gerçekleştirilecek şekilde saat yönünün tersine(İncir. 2).

Not. Şekil 2'de gösterilen dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxy'ye denir doğru koordinat sistemi, Farklı sol koordinat sistemleri burada Ox ışınının Oy ışınına 90° açıyla dönmesi saat yönünde gerçekleştirilir. Bu kılavuzda biz yalnızca sağ elini kullanan koordinat sistemlerini dikkate alıyoruz, özellikle belirtmeden.

Düzlemde bazı dikdörtgen Kartezyen koordinatlar Oxy sistemini tanıtırsak, o zaman düzlemin her noktası elde edilecektir. iki koordinat – apsis Ve koordine etmek aşağıdaki gibi hesaplanır. A düzlem üzerinde keyfi bir nokta olsun. A noktasından dik açıları bırakalım A.A. 1 ve A.A. 2'den sırasıyla Ox ve Oy düz çizgileri (Şek. 3).

Tanım 4. A noktasının apsisi noktanın koordinatıdır A Ox sayı ekseninde 1, A noktasının koordinatı noktanın koordinatıdır A Oy sayı ekseninde 2.

Tanım Noktanın koordinatları (apsis ve koordinat) Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde Oxy (Şekil 4) genellikle gösterilir A(X;sen) veya A = (X; sen).

Not. O noktası denir Menşei, koordinatları var Ö(0 ; 0) .

Tanım 5. Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxy'de, Ox sayısal eksenine apsis ekseni, Oy sayısal eksenine ise ordinat ekseni adı verilir (Şekil 5).

Tanım 6. Her dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi, düzlemi numaralandırması Şekil 5'te gösterilen 4 çeyreğe (çeyreğe) böler.

Tanım 7. Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin verildiği düzleme denir. koordinat uçağı.

Not. Apsis ekseni koordinat düzleminde denklemle belirtilir sen= 0, koordinat ekseni koordinat düzleminde denklemle verilir X = 0.

Açıklama 1. İki nokta arasındaki mesafe koordinat uçağı

A 1 (X 1 ;sen 1) Ve A 2 (X 2 ;sen 2)

hesaplanmış formüle göre

Kanıt . Şekil 6'yı düşünün.

Buradan,

Q.E.D.

Koordinat düzleminde bir dairenin denklemi

Oxy koordinat düzleminde (Şekil 7), R yarıçaplı, merkezi bu noktada olan bir daire düşünelim. A 0 (X 0 ;sen 0) .