Çift ve tek fonksiyon ne anlama geliyor? İşlev paritesi

Hatta işlev.

Eşit işareti değiştiğinde işareti değişmeyen bir fonksiyondur X.

X eşitlik geçerlidir F(–X) = F(X). İmza X işareti etkilemez sen.

Çift fonksiyonun grafiği koordinat eksenine göre simetriktir (Şekil 1).

Çift fonksiyon örnekleri:

sen=çünkü X

sen = X 2

sen = –X 2

sen = X 4

sen = X 6

sen = X 2 + X

Açıklama:
Fonksiyonu ele alalım sen = X 2 veya sen = –X 2 .
Herhangi bir değer için X fonksiyon pozitiftir. İmza X işareti etkilemez sen. Grafik koordinat eksenine göre simetriktir. Bu eşit işlev.

Tek işlev.

Garip işareti değiştiğinde işareti değişen bir fonksiyondur X.

Başka bir deyişle, herhangi bir değer için X eşitlik geçerlidir F(–X) = –F(X).

Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir (Şekil 2).

Tek fonksiyon örnekleri:

sen= günah X

sen = X 3

sen = –X 3

Açıklama:

y = – fonksiyonunu alalım X 3 .
Tüm anlamlar en eksi işareti olacaktır. Bu bir işaret X işareti etkiler sen. Bağımsız değişken pozitif bir sayı ise fonksiyon pozitiftir, bağımsız değişken negatif bir sayı ise fonksiyon negatiftir: F(–X) = –F(X).
Fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir. Bu Tek işlev.

Çift ve tek fonksiyonların özellikleri:

NOT:

Tüm işlevler çift veya tek değildir. Böyle bir derecelendirmeye uymayan işlevler vardır. Örneğin kök işlevi en = √Xçift ​​veya tek işlevler için geçerli değildir (Şekil 3). Bu tür fonksiyonların özellikleri listelenirken uygun bir açıklama verilmelidir: ne çift ne tek.

Periyodik fonksiyonlar.

Bildiğiniz gibi periyodiklik, belirli süreçlerin belirli aralıklarla tekrarlanmasıdır. Bu süreçleri tanımlayan fonksiyonlara denir. periyodik fonksiyonlar. Yani bunlar, grafiklerinde belirli sayısal aralıklarla tekrar eden elemanların bulunduğu fonksiyonlardır.

Tanım 1. Fonksiyon çağrılır eşit (garip ), eğer her değişken değeriyle birlikte ise
Anlam - X aynı zamanda ait
ve eşitlik geçerlidir

Bu nedenle, bir fonksiyon ancak tanım bölgesi sayı doğrusundaki koordinatların (sayı) orijinine göre simetrikse çift veya tek olabilir. X Ve - X aynı zamanda ait
). Örneğin, fonksiyon
tanım alanı olduğundan ne çift ne de tektir
orijine göre simetrik değildir.

İşlev
hatta çünkü
orijine göre simetriktir ve.

İşlev
tuhaf çünkü
Ve
.

İşlev
çift ​​ve tek değil, çünkü
ve orijine göre simetrik olduğundan eşitlikler (11.1) sağlanmaz. Örneğin,.

Çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir kuruluş birimiçünkü eğer amaç

aynı zamanda programa aittir. Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir, çünkü eğer
grafiğe aitse, o zaman nokta
aynı zamanda programa aittir.

Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu kanıtlarken aşağıdaki ifadeler faydalıdır.

Teorem 1. a) İki çift (tek) fonksiyonun toplamı bir çift (tek) fonksiyondur.

b) İki çift (tek) fonksiyonun çarpımı bir çift fonksiyondur.

c) Çift ve tek bir fonksiyonun çarpımı tek bir fonksiyondur.

d) Eğer F– sette eşit işlev X ve fonksiyon G sette tanımlanmış
, ardından fonksiyon
- eşit.

d) Eğer F– setteki tek fonksiyon X ve fonksiyon G sette tanımlanmış
ve çift (tek), o zaman fonksiyon
- tek çift).

Kanıt. Örneğin b) ve d)'yi kanıtlayalım.

b) izin ver
Ve
– hatta işlevler. O zaman bu nedenle. Tek fonksiyonların durumu da benzer şekilde ele alınır
Ve
.

d) izin ver F eşit bir fonksiyondur. Daha sonra.

Teoremin geri kalan ifadeleri benzer şekilde kanıtlanabilir. Teorem kanıtlandı.

Teorem 2. Herhangi bir işlev
, sette tanımlı X Orijine göre simetrik olan , çift ve tek fonksiyonların toplamı olarak temsil edilebilir.

Kanıt. İşlev
şeklinde yazılabilir

.

İşlev
– hatta çünkü
ve fonksiyon
– tuhaf çünkü. Böylece,
, Nerede
– hatta ve
– garip işlevler. Teorem kanıtlandı.

Tanım 2. İşlev
isminde periyodik bir sayı varsa
, öyle ki herhangi biri için
sayılar
Ve
aynı zamanda tanım alanına da aittir
ve eşitlikler sağlanıyor

Böyle bir sayı T isminde dönem işlevler
.

Tanım 1'den şu sonuç çıkıyor: T– fonksiyonun süresi
, ardından sayı – T Aynı fonksiyonun periyodu
(değiştirildiğinden beri T Açık - T eşitlik korunur). Matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak şu şekilde gösterilebilir: T– fonksiyonun süresi F, Daha sonra
, aynı zamanda bir dönemdir. Buradan, eğer bir fonksiyonun bir periyodu varsa, o zaman sonsuz sayıda periyodu olduğu sonucu çıkar.

Tanım 3. Bir fonksiyonun pozitif periyotlarının en küçüğüne denir ana dönem.

Teorem 3. Eğer T– işlevin ana dönemi F, bu durumda kalan periyotlar bunun katlarıdır.

Kanıt. Bunun tersini varsayalım, yani bir periyot var işlevler F (>0), çoklu değil T. Daha sonra bölme Açık T geri kalanıyla şunu elde ederiz
, Nerede
. Bu yüzden

yani – fonksiyonun süresi F, Ve
ve bu şu gerçekle çelişiyor: T– işlevin ana dönemi F. Teoremin ifadesi sonuçta ortaya çıkan çelişkiden kaynaklanmaktadır. Teorem kanıtlandı.

Trigonometrik fonksiyonların periyodik olduğu iyi bilinmektedir. Ana dönem
Ve
eşittir
,
Ve
. Fonksiyonun periyodunu bulalım
. İzin vermek
- bu işlevin süresi. Daha sonra

(Çünkü
.

yada yada
.

Anlam T Birinci eşitlikten belirlenen , aşağıdakilere bağlı olduğundan bir nokta olamaz: X yani bir fonksiyonudur X ve sabit bir sayı değil. Dönem ikinci eşitlikten belirlenir:
. Sonsuz sayıda dönem vardır
en küçük pozitif periyot elde edilir
:
. Bu fonksiyonun ana dönemidir
.

Daha karmaşık bir periyodik fonksiyonun örneği Dirichlet fonksiyonudur

şunu unutmayın: T bir rasyonel sayıdır o halde
Ve
rasyonel sayılar rasyoneldir X ve mantıksızken mantıksız X. Bu yüzden

herhangi bir rasyonel sayı için T. Bu nedenle herhangi bir rasyonel sayı T Dirichlet fonksiyonunun periyodudur. Sıfıra keyfi olarak yakın olan pozitif rasyonel sayılar olduğundan (örneğin, seçilerek rasyonel bir sayı yapılabilir) bu fonksiyonun bir ana periyodu olmadığı açıktır. N keyfi olarak sıfıra yakın).

Teorem 4. Eğer fonksiyon F sette tanımlanmış X ve bir dönemi var T ve fonksiyon G sette tanımlanmış
, o zaman karmaşık bir fonksiyon
bir de dönemi var T.

Kanıt. Bu nedenle elimizde

yani teoremin ifadesi kanıtlanmıştır.

Örneğin, o zamandan beri çünkü X bir dönemi var
, ardından işlevler
bir dönemim var
.

Tanım 4. Periyodik olmayan fonksiyonlar çağrılır düzenli olmayan .

Bir y değişkeninin, her bir x değerinin tek bir y değerine karşılık geldiği bir x değişkenine bağımlılığına fonksiyon denir. Gösterim için y=f(x) gösterimini kullanın. Her fonksiyonun monotonluk, eşlik, periyodiklik ve diğerleri gibi bir takım temel özellikleri vardır.

Parite özelliğine daha yakından bakın.

Aşağıdaki iki koşulu karşılasa bile y=f(x) fonksiyonu çağrılır:

2. Fonksiyonun tanım bölgesine ait olan fonksiyonun x noktasındaki değeri, fonksiyonun -x noktasındaki değerine eşit olmalıdır. Yani, herhangi bir x noktası için, fonksiyonun tanım bölgesinden aşağıdaki eşitliğin sağlanması gerekir: f(x) = f(-x).

Çift fonksiyonun grafiği

Çift fonksiyonun grafiğini çizerseniz, Oy eksenine göre simetrik olacaktır.

Örneğin, y=x^2 fonksiyonu çifttir. Hadi kontrol edelim. Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır, yani O noktasına göre simetriktir.

Keyfi bir x=3 alalım. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Dolayısıyla f(x) = f(-x). Böylece her iki koşul da sağlanır, yani fonksiyon çifttir. Aşağıda y=x^2 fonksiyonunun grafiği bulunmaktadır.

Şekil grafiğin Oy eksenine göre simetrik olduğunu göstermektedir.

Tek bir fonksiyonun grafiği

Bir y=f(x) fonksiyonu aşağıdaki iki koşulu karşılıyorsa tek fonksiyon olarak adlandırılır:

1. Belirli bir fonksiyonun tanım bölgesi, O noktasına göre simetrik olmalıdır. Yani, eğer bir a noktası, fonksiyonun tanım bölgesine aitse, o zaman karşılık gelen -a noktası da tanım alanına ait olmalıdır. verilen fonksiyonun

2. Herhangi bir x noktası için, fonksiyonun tanım bölgesinden aşağıdaki eşitliğin sağlanması gerekir: f(x) = -f(x).

Tek bir fonksiyonun grafiği, koordinatların orijini olan O noktasına göre simetriktir. Örneğin, y=x^3 fonksiyonu tektir. Hadi kontrol edelim. Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır, yani O noktasına göre simetriktir.

Keyfi bir x=2 alalım. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Dolayısıyla f(x) = -f(x). Yani her iki koşul da sağlanıyor, bu da fonksiyonun tek olduğu anlamına geliyor. Aşağıda y=x^3 fonksiyonunun grafiği bulunmaktadır.

Şekil y=x^3 tek fonksiyonunun orijine göre simetrik olduğunu açıkça göstermektedir.

Fonksiyon çalışması.

1) D(y) – Tanım alanı: x değişkeninin tüm değerlerinin kümesi. bunun için f(x) ve g(x) cebirsel ifadeleri anlamlıdır.

Bir fonksiyon bir formülle veriliyorsa, tanım alanı, formülün anlamlı olduğu bağımsız değişkenin tüm değerlerinden oluşur.

2) Fonksiyonun özellikleri: çift/tek, periyodiklik:

Garip Ve eşit argümanın işaretindeki değişikliklere göre grafikleri simetrik olan fonksiyonlara denir.

Tek işlev- bağımsız değişkenin işareti değiştiğinde (koordinatların merkezine göre simetrik) değeri tersine değiştiren bir fonksiyon.

Eşit işlev- bağımsız değişkenin işareti değiştiğinde değeri değişmeyen bir fonksiyon (ordinatına göre simetrik).

Ne çift ne de tek fonksiyon (işlev Genel görünüm) - simetriye sahip olmayan bir fonksiyon. Bu kategori önceki 2 kategoriye girmeyen işlevleri içerir.

Yukarıdaki kategorilerin hiçbirine ait olmayan işlevlere denir ne çift ne de tek(veya genel işlevler).

Tek işlevler

Rastgele bir tamsayı olan tek güç.

Eşit işlevler

Hatta güç keyfi bir tamsayıdır.

Periyodik fonksiyon- değerlerini düzenli bir argüman aralığında tekrarlayan, yani argümana sıfır olmayan sabit bir sayı eklerken değerini değiştirmeyen bir işlev ( dönem işlevler) tanımın tüm alanı boyunca.

3) Bir fonksiyonun sıfırları (kökleri), sıfır olduğu noktalardır.

Grafiğin eksenle kesişme noktasını bulma Oy. Bunu yapmak için değeri hesaplamanız gerekir. F(0). Grafiğin eksenle kesişme noktalarını da bulun Öküz, neden denklemin köklerini buluyoruz? F(X) = 0 (veya kök olmadığından emin olun).

Grafiğin ekseni kestiği noktalara denir fonksiyon sıfırları. Bir fonksiyonun sıfırlarını bulmak için denklemi çözmeniz gerekir; "x"in anlamları burada fonksiyon sıfır olur.

4) İşaretlerin sabitlik aralıkları, içlerindeki işaretler.

f(x) fonksiyonunun işaretini koruduğu aralıklar.

İşaretin değişmezlik aralığı aralıktır her noktasında fonksiyon pozitif veya negatiftir.

x ekseninin ÜSTÜNDE.

Aksın ALTINDA.

5) Süreklilik (süreksizlik noktaları, süreksizliğin doğası, asimptotlar).

Sürekli işlev- "sıçramaların" olmadığı, yani argümandaki küçük değişikliklerin fonksiyonun değerinde küçük değişikliklere yol açtığı bir fonksiyon.

Çıkarılabilir Kırılma Noktaları

Fonksiyonun limiti ise var ancak fonksiyon bu noktada tanımlı değil veya limit, fonksiyonun bu noktadaki değeriyle çakışmıyor:

,

o zaman nokta çağrılır çıkarılabilir kırılma noktası fonksiyonlar (karmaşık analizde çıkarılabilir tekil nokta).

Eğer fonksiyonu çıkarılabilir süreksizlik noktasında “düzeltirsek” ve Böylece belirli bir noktada sürekli olan bir fonksiyon elde ederiz. Bir fonksiyon üzerinde yapılan bu işleme denir fonksiyonun sürekli hale getirilmesi veya fonksiyonun süreklilik yoluyla yeniden tanımlanması, bu noktanın adını bir nokta olarak haklı çıkarır çıkarılabilir yırtılma.

Birinci ve ikinci türden süreksizlik noktaları

Bir fonksiyonun belirli bir noktada süreksizliği varsa (yani, fonksiyonun belirli bir noktadaki limiti mevcut değilse veya fonksiyonun belirli bir noktadaki değeriyle çakışmıyorsa), o zaman sayısal fonksiyonlar için iki olası seçenek vardır. sayısal fonksiyonların varlığıyla ilişkili tek taraflı sınırlar:

Her iki tek taraflı limit de mevcutsa ve sonluysa, böyle bir noktaya denir. birinci türden süreksizlik noktası. Çıkarılabilir süreksizlik noktaları birinci türden süreksizlik noktalarıdır;

Tek taraflı limitlerden en az biri mevcut değilse veya sonlu bir değer değilse, böyle bir noktaya denir. ikinci türün süreksizlik noktası.

Asimptot - dümdüz, eğri üzerindeki bir noktadan bu noktaya olan mesafenin şu şekilde olması özelliğine sahiptir: dümdüz nokta dal boyunca sonsuza doğru ilerledikçe sıfıra doğru yönelir.

Dikey

Dikey asimptot - limit çizgisi .

Kural olarak, dikey asimptotu belirlerken, bir limit değil, iki tek taraflı limit (sol ve sağ) ararlar. Bu, fonksiyonun dikey asimptot'a farklı yönlerden yaklaşırken nasıl davrandığını belirlemek için yapılır. Örneğin:

Yatay

Yatay asimptot - dümdüz türlerin varlığına bağlı olarak sınır

.

Eğimli

Eğik asimptot - dümdüz türlerin varlığına bağlı olarak sınırlar

Not: Bir fonksiyonun ikiden fazla eğik (yatay) asimptotu olamaz.

Not: Yukarıda bahsedilen iki limitten en az biri mevcut değilse (veya eşitse), bu durumda (veya ) noktasındaki eğik asimptot mevcut değildir.

eğer madde 2.), o zaman ve limit yatay asimptot formülü kullanılarak bulunur, .

6) Monotonluk aralıklarını bulma. Bir fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulma F(X)(yani artan ve azalan aralıklar). Bu türevin işareti incelenerek yapılır. F(X). Bunu yapmak için türevi bulun F(X) ve eşitsizliği çözeriz F(X)0. Bu eşitsizliğin geçerli olduğu aralıklarda fonksiyon F(X)artışlar. Ters eşitsizliğin geçerli olduğu yer F(X)0, fonksiyon F(X) azalıyor.

Yerel bir ekstremum bulma. Monotonluk aralıklarını bulduktan sonra, bir artışın bir azalmayla yer değiştirdiği, yerel maksimumların bulunduğu ve bir azalmanın bir artışla değiştirildiği yerde yerel minimumların bulunduğu yerel uç noktaları hemen belirleyebiliriz. Bu noktalardaki fonksiyonun değerini hesaplayın. Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları olmayan kritik noktaları varsa, fonksiyonun değerini bu noktalarda da hesaplamak faydalı olacaktır.

Bir parça üzerinde y = f(x) fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulma(devam)

Gösteriyi Gizle

Bir işlevi belirtme yöntemleri

Fonksiyon şu formülle verilsin: y=2x^(2)-3. Bağımsız değişken x'e herhangi bir değer atayarak, bu formülü kullanarak bağımlı değişken y'nin karşılık gelen değerlerini hesaplayabilirsiniz. Örneğin, eğer x=-0,5 ise, formülü kullanarak, y'nin karşılık gelen değerinin y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 olduğunu buluruz.

Y=2x^(2)-3 formülündeki x argümanının aldığı herhangi bir değeri alarak, ona karşılık gelen fonksiyonun yalnızca bir değerini hesaplayabilirsiniz. Fonksiyon bir tablo olarak temsil edilebilir:

Bu tabloyu kullanarak, −1 argüman değeri için −3 fonksiyon değerinin karşılık geleceğini görebilirsiniz; ve x=2 değeri y=0'a karşılık gelecektir, vb. Tablodaki her bağımsız değişken değerinin yalnızca bir işlev değerine karşılık geldiğini bilmek de önemlidir.

Grafikler kullanılarak daha fazla fonksiyon belirtilebilir. Bir grafik kullanılarak, fonksiyonun hangi değerinin belirli bir x değeriyle ilişkili olduğu belirlenir. Çoğu zaman bu, fonksiyonun yaklaşık değeri olacaktır.

Çift ve tek fonksiyon

İşlev eşit işlev, tanım alanındaki herhangi bir x için f(-x)=f(x) olduğunda. Böyle bir fonksiyon Oy eksenine göre simetrik olacaktır.

İşlev Tek işlev, tanım alanındaki herhangi bir x için f(-x)=-f(x) olduğunda. Böyle bir fonksiyon O(0;0) orijinine göre simetrik olacaktır.

İşlev bile, ne tuhaf ve denir genel fonksiyon eksen veya orijin etrafında simetriye sahip olmadığında.

Eşlik için aşağıdaki fonksiyonu inceleyelim:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) orijine göre simetrik bir tanım alanıyla. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Bu, f(x)=3x^(3)-7x^(7) fonksiyonunun tek olduğu anlamına gelir.

Periyodik fonksiyon

Herhangi bir x için f(x+T)=f(x-T)=f(x) eşitliğinin geçerli olduğu tanım kümesindeki y=f(x) fonksiyonuna denir periyodik fonksiyon T \neq 0 periyodu ile.

Bir fonksiyonun grafiğini x ekseninin T uzunluğuna sahip herhangi bir parçası üzerinde tekrarlamak.

Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklar, yani f(x) > 0, apsis ekseninin, fonksiyon grafiğinin apsis ekseninin üzerinde yer alan noktalarına karşılık gelen bölümleridir.

f(x) > 0 açık (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Fonksiyonun negatif olduğu aralıklar, yani f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Sınırlı işlev

Aşağıdan sınırlanmış Herhangi bir x \in X için f(x) \geq A eşitsizliğinin geçerli olduğu bir A sayısı olduğunda y=f(x), x \in X fonksiyonunu çağırmak gelenekseldir.

Aşağıdan sınırlanan bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1+x^(2)) çünkü herhangi bir x için y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1.

Yukarıdan sınırlanmış f(x) \neq B eşitsizliğinin herhangi bir x \in X için geçerli olduğu bir B sayısı olduğunda, y=f(x), x \in X fonksiyonu çağrılır.

Aşağıda sınırlandırılmış bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1-x^(2))), x \in [-1;1]çünkü herhangi bir x için y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 \in [-1;1] .

Sınırlı\left | eşitsizliğinin olduğu bir K > 0 sayısı olduğunda y=f(x), x \in X fonksiyonunu çağırmak gelenekseldir. f(x)\sağ | \neq K herhangi bir x için \in X .

Sınırlı bir fonksiyon örneği: y=\sin x tüm sayı ekseninde sınırlıdır, çünkü \sol | \sin x \sağ | \neq 1.

Arttırma ve azaltma fonksiyonu

Söz konusu aralıkta artan bir fonksiyondan şu şekilde bahsetmek gelenekseldir: artan fonksiyon o zaman, daha büyük bir x değeri, y=f(x) fonksiyonunun daha büyük bir değerine karşılık geldiğinde. Buradan, x_(1) ve x_(2) argümanının x_(1) > x_(2) ile söz konusu aralıktan iki keyfi değeri alındığında sonuç y(x_(1)) > olacaktır. y(x_(2)).

Söz konusu aralıkta azalan bir fonksiyona denir azalan fonksiyon x'in daha büyük bir değeri, y(x) fonksiyonunun daha küçük bir değerine karşılık geldiğinde. Söz konusu aralıktan, x_(1) ve x_(2) ve x_(1) > x_(2) argümanlarının iki keyfi değeri alındığında, sonuç y(x_(1)) olacaktır.< y(x_{2}) .

Fonksiyon Kökleri F=y(x) fonksiyonunun apsis ekseniyle kesiştiği noktaları çağırmak gelenekseldir (bunlar y(x)=0 denkleminin çözülmesiyle elde edilir).

a) Eğer x > 0 için çift fonksiyon artarsa, x için azalır< 0

b) Bir çift fonksiyon x > 0'da azalıyorsa, x'te artar< 0

c) Tek bir fonksiyon x > 0'da arttığında, x'te de artar< 0

d) Bir tek fonksiyon x > 0 için azalıyorsa, o zaman x için de azalacaktır< 0

Fonksiyonun ekstremum değerleri

Fonksiyonun minimum noktası y=f(x) genellikle komşuluğu başka noktalara sahip olacak (x=x_(0) noktası hariç) bir x=x_(0) noktası olarak adlandırılır ve bunlar için f(x) > f eşitsizliği şu şekilde olur: memnun (x_(0)) . y_(min) - fonksiyonun min noktasında atanması.

Fonksiyonun maksimum noktası y=f(x) genellikle komşuluğu başka noktalara sahip olacak (x=x_(0) noktası hariç) bir x=x_(0) noktası olarak adlandırılır ve onlar için f(x) eşitsizliği o zaman karşılanır< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Önkoşul

Fermat teoremine göre: f"(x)=0 olduğunda, x_(0) noktasında türevi olabilen f(x) fonksiyonu bu noktada bir ekstrema sahip olacaktır.

Yeterli koşul

1. Türevin işareti artıdan eksiye değiştiğinde, x_(0) minimum nokta olacaktır;
2. x_(0) - yalnızca sabit x_(0) noktasından geçerken türevin işareti eksiden artıya değiştiğinde maksimum nokta olacaktır.

Bir fonksiyonun bir aralıktaki en büyük ve en küçük değeri

Hesaplama adımları:

1. f"(x) türevi aranır;
2. Fonksiyonun durağan ve kritik noktaları bulunarak segmente ait olanlar seçilir;
3. f(x) fonksiyonunun değerleri segmentin durağan ve kritik noktalarında ve uçlarında bulunur. Elde edilen sonuçlardan daha küçük olanı en düşük değer işlevler, ve dahası - en büyük.