Birim çember üzerindeki noktalar nasıl hatırlanır? Trigonometrik daire

Genel olarak, bu konu özel ilgiyi hak ediyor, ancak burada her şey basit: derecelik bir açıyla hem sinüs hem de kosinüs pozitiftir (şekle bakın), o zaman "artı" işaretini alırız.

Şimdi yukarıdakilere dayanarak açıların sinüsünü ve kosinüsünü bulmayı deneyin: ve

Hile yapabilirsiniz: özellikle derece cinsinden bir açı için. Çünkü bir dik üçgenin bir açısı dereceye eşitse, ikincisi de dereceye eşittir. Artık tanıdık formüller yürürlüğe giriyor:

O zamandan beri, o zamandan beri ve. O zamandan beri ve. Dereceler söz konusu olduğunda durum daha da basittir: Eğer bir dik üçgenin açılarından biri dereceye eşitse, diğeri de dereceye eşittir, bu da üçgenin ikizkenar olduğu anlamına gelir.

Bu, bacaklarının eşit olduğu anlamına gelir. Bu, sinüs ve kosinüsün eşit olduğu anlamına gelir.

Şimdi yeni tanımı kullanarak (X ve Y'yi kullanarak!), açıların sinüs ve kosinüsünü derece ve derece cinsinden bulun. Burada herhangi bir üçgen çizemezsiniz! Çok düz olacaklar!

Şunu almalıydın:

Aşağıdaki formülleri kullanarak teğet ve kotanjantı kendiniz bulabilirsiniz:

Lütfen sıfıra bölemeyeceğinizi unutmayın!!

Artık elde edilen tüm sayılar tablolaştırılabilir:

İşte açıların sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri 1.çeyrek. Kolaylık olması açısından açılar hem derece hem de radyan cinsinden verilmiştir (ancak artık aralarındaki ilişkiyi biliyorsunuz!). Tablodaki 2 çizgiye dikkat edin: sıfırın kotanjantı ve derecelerin tanjantı. Bu bir tesadüf değil!

Özellikle:

Şimdi sinüs ve kosinüs kavramını tamamen keyfi bir açıya genelleştirelim. Burada iki durumu ele alacağım:

1. Açı ila derece arasında değişir
2. Dereceden büyük açı

Genel olarak “kesinlikle tüm” açılardan bahsederken biraz kalbimi burktum. Ayrıca olumsuz da olabilirler! Ancak bu durumu başka bir yazımızda ele alacağız. Önce ilk duruma bakalım.

Açı 1. çeyrekte yer alıyorsa, o zaman her şey açıktır, bu durumu zaten değerlendirdik ve hatta tablolar çizdik.

Şimdi açımız dereceden fazla olsun, fazla olmasın. Bu, 2., 3. veya 4. çeyrekte yer aldığı anlamına gelir.

Biz ne yaptık? Evet, tamamen aynı!

Hadi bir bakalım böyle bir şey yerine...

...bunun gibi:

Yani ikinci çeyrekteki açıyı düşünün. Onun hakkında ne söyleyebiliriz?

Işın ile dairenin kesiştiği noktanın hala 2 koordinatı vardır (doğaüstü bir şey değil, değil mi?). Bunlar koordinatlar ve.

Üstelik ilk koordinat negatif, ikincisi pozitif! Bu demektir ikinci çeyreğin köşelerinde kosinüs negatif ve sinüs pozitiftir!

Şaşırtıcı, değil mi? Bundan önce hiç negatif kosinüsle karşılaşmamıştık.

Ve prensipte trigonometrik fonksiyonları bir üçgenin kenarlarının oranı olarak ele aldığımızda durum böyle olamaz. Bu arada, hangi açıların aynı kosinüse sahip olduğunu düşünün? Hangileri aynı sinüse sahip?

Benzer şekilde diğer tüm çeyreklerdeki açıları da düşünebilirsiniz. Açının saat yönünün tersine sayıldığını hatırlatmama izin verin! (son resimde gösterildiği gibi!).

Elbette diğer yönde de sayabilirsiniz ancak bu tür açılara yaklaşım biraz farklı olacaktır.

Yukarıdaki mantığa dayanarak, dört çeyreğin tamamı için sinüs, kosinüs, teğet (sinüs bölü kosinüs olarak) ve kotanjant (kosinüs bölü sinüs olarak) işaretlerini düzenleyebiliriz.

Ama bir kez daha söylüyorum, bu çizimi ezberlemenin bir anlamı yok. Bilmen gereken her şey:

Hadi seninle biraz pratik yapalım. Çok basit görevler:

Aşağıdaki niceliklerin hangi işarete sahip olduğunu öğrenin:

Kontrol edelim mi?

1. derece, daha büyük ve daha küçük bir açıdır, yani 3 çeyrekte yer alır. 3. çeyrekte herhangi bir korner çizin ve nasıl bir oyuncuya sahip olduğunu görün. Olumsuz olduğu ortaya çıkacak. Daha sonra.
   derece - 2 çeyrek açı. Buradaki sinüs pozitif ve kosinüs negatiftir. Artı bölü eksi eşittir eksi. Araç.
   derece - açı, daha büyük ve daha küçük. Bu da 4. çeyrekte olduğu anlamına geliyor. Dördüncü çeyreğin herhangi bir açısı için "x" pozitif olacaktır, bu da şu anlama gelir:
2. Radyanlarla da aynı şekilde çalışıyoruz: bu ikinci çeyreğin açısıdır (ve'den beri. İkinci çeyreğin sinüsü pozitiftir.
   .
   , burası dördüncü çeyreğin köşesi. Burada kosinüs pozitiftir.
   - yine dördüncü çeyreğin köşesi. Orada kosinüs pozitif ve sinüs negatiftir. O zaman teğet sıfırdan küçük olacaktır:

Belki de çeyrekleri radyan cinsinden belirlemek sizin için zordur. Bu durumda her zaman derecelere gidebilirsiniz. Cevap elbette tamamen aynı olacaktır.

Şimdi başka bir noktaya çok kısaca değinmek istiyorum. Temel trigonometrik özdeşliği tekrar hatırlayalım.

Daha önce de söylediğim gibi, sinüsü kosinüs yoluyla veya tersini ifade edebiliriz:

Burç seçimi yalnızca alfa açımızın bulunduğu çeyrekten etkilenecektir. Birleşik Devlet Sınavındaki son iki formülde pek çok sorun var, örneğin:

Görev

Eğer ve ise bulun.

Aslında bu çeyrek görev! Bakın nasıl çözüldü:

Çözüm

O zaman buradaki değeri yerine koyalım. Artık geriye kalan tek şey tabelayla ilgilenmek. Bunun için neye ihtiyacımız var? Köşemizin hangi çeyrekte olduğunu bilin. Sorunun koşullarına göre: . Bu hangi çeyrek? Dördüncü. Dördüncü çeyrekte kosinüsün işareti nedir? Dördüncü çeyrekteki kosinüs pozitiftir. Daha sonra tek yapmamız gereken öndeki artı işaretini seçmek. , Daha sonra.

Şimdi bu tür görevler üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağım, bunların ayrıntılı bir analizini “” makalesinde bulabilirsiniz. Sadece şu veya bu trigonometrik fonksiyonun çeyreğe bağlı olarak hangi işareti aldığının önemine dikkat çekmek istedim.

Dereceden büyük açılar

Bu yazıda belirtmek istediğim son şey, dereceden büyük açılarda ne yapılması gerektiğidir.

Bu nedir ve boğulmayı önlemek için neyle yiyebilirsiniz? Diyelim ki derece (radyan) cinsinden bir açı alalım ve ondan saat yönünün tersine gidelim...

Resimde bir spiral çizdim ama anlıyorsunuz ki aslında spiralimiz yok: sadece bir dairemiz var.

Peki belli bir açıdan başlayıp tüm daireyi (derece veya radyan) yürürsek nereye varırız?

Nereye gideceğiz? Ve aynı köşeye geleceğiz!

Aynı şey elbette diğer açılar için de geçerlidir:

Rastgele bir açı alıp tüm daireyi yürüyerek aynı açıya döneceğiz.

Bu bize ne verecek? İşte şu: eğer öyleyse

Nihayet geldiğimiz nokta:

Herhangi bir bütün için. Bu demektir sinüs ve kosinüs periyotlu periyodik fonksiyonlardır.

Bu nedenle, artık keyfi bir açının işaretini bulmakta hiçbir sorun yoktur: sadece açımıza uyan tüm "tam daireleri" atmamız ve geri kalan açının hangi çeyrekte olduğunu bulmamız gerekir.

Örneğin bir işaret bulun:

Kontrol ediyoruz:

1. Derece olarak zamanlar derecelere (dereceye) uyar:
   derece kaldı. Bu 4 çeyreklik bir açıdır. Orada sinüs negatiftir, yani
2. . derece. Bu 3 çeyrek açıdır. Burada kosinüs negatiftir. Daha sonra
3. . . O zamandan beri - ilk çeyreğin açısı. Burada kosinüs pozitiftir. O zaman çünkü
4. . . Çünkü açımız sinüsün pozitif olduğu ikinci çeyrekte yatıyor.

Aynısını teğet ve kotanjant için de yapabiliriz. Ancak aslında daha da basittirler: aynı zamanda periyodik fonksiyonlardır, yalnızca periyotları 2 kat daha azdır:

Yani trigonometrik dairenin ne olduğunu ve ne için gerekli olduğunu anlıyorsunuz.

Ancak hâlâ birçok sorumuz var:

1. Negatif açılar nelerdir?
2. Bu açılarda trigonometrik fonksiyonlar nasıl hesaplanır
3. Diğer çeyreklerdeki fonksiyonların değerlerini aramak için 1. çeyreğin trigonometrik fonksiyonlarının bilinen değerleri nasıl kullanılır (tabloyu sıkıştırmak gerçekten gerekli mi?!)
4. Trigonometrik denklemlerin çözümlerini basitleştirmek için daireyi nasıl kullanabilirsiniz?

ORTALAMA SEVİYE

Bu yazıda trigonometrik çemberle ilgili çalışmamıza devam edeceğiz ve aşağıdaki noktaları tartışacağız:

1. Negatif açılar nelerdir?
2. Trigonometrik fonksiyonların değerleri bu açılarda nasıl hesaplanır?
3. Diğer çeyreklerdeki fonksiyonların değerlerini aramak için 1 çeyreğe ait trigonometrik fonksiyonların bilinen değerleri nasıl kullanılır?
4. Teğet eksen ve kotanjant eksen nedir?

Birim çemberle çalışırken temel beceriler dışında herhangi bir ek bilgiye ihtiyacımız yok (önceki makale). Gelelim ilk soruya: Negatif açılar nedir?

Negatif açılar

Trigonometride negatif açılar trigonometrik daire üzerinde baştan aşağıya doğru saat yönünde hareket yönünde çizilir:

Daha önce trigonometrik bir daire üzerinde açıları nasıl çizdiğimizi hatırlayalım: Eksenin pozitif yönünden başladık. saat yönünün tersine:

Daha sonra çizimimizde eşit bir açı oluşturulur. Bütün köşeleri aynı şekilde yaptık.

Ancak hiçbir şey eksenin pozitif yönünden hareket etmemizi engellemez saat yönünde.

Ayrıca farklı açılar da elde edeceğiz, ancak bunlar olumsuz olacaktır:

Aşağıdaki resimde mutlak değeri eşit fakat işareti zıt olan iki açı gösterilmektedir:

Genel olarak kural şu ​​şekilde formüle edilebilir:

• Saat yönünün tersine gidiyoruz - pozitif açılar elde ediyoruz
• Saat yönünde gidiyoruz - negatif açılar elde ediyoruz

Kural bu şekilde şematik olarak gösterilmektedir:

Bana tamamen makul bir soru sorabilirsiniz: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerlerini ölçmek için açılara ihtiyacımız var.

Peki açımızın pozitif olmasıyla negatif olması arasında bir fark var mı? Size cevap vereceğim: kural olarak var.

Ancak trigonometrik fonksiyonun hesaplanmasını her zaman negatif açıdan fonksiyonun açısına göre hesaplamaya azaltabilirsiniz. pozitif.

Aşağıdaki resme bakın:

İki açı çizdim, mutlak değerleri eşit ama işaretleri ters. Her açının sinüsünü ve kosinüsünü eksenlerde işaretleyin.

Ne görüyoruz? İşte şu:

• Sinüsler açılarda ve zıt işaretlidir! O zaman eğer
• Açıların kosinüsleri çakışıyor! O zaman eğer
• O zamandan beri:
• O zamandan beri:

Böylece, herhangi bir trigonometrik fonksiyonun içindeki negatif işaretten her zaman kurtulabiliriz: ya kosinüsde olduğu gibi basitçe onu ortadan kaldırarak ya da sinüs, teğet ve kotanjantta olduğu gibi onu fonksiyonun önüne yerleştirerek.

Bu arada, herhangi bir geçerli değer için çalıştırılan fonksiyonun adını unutmayın: ?

Böyle bir fonksiyona tek denir.

Ancak kabul edilebilir herhangi biri için aşağıdakiler doğrudur: ? Daha sonra bu durumda fonksiyon çift olarak çağrılır.

Yani, sen ve ben az önce şunu gösterdik:

Bu nedenle, anladığınız gibi, pozitif bir açının sinüsünü veya negatif bir açının sinüsünü aramamızın hiçbir önemi yoktur: eksi ile uğraşmak çok basittir. Yani negatif açılar için ayrı ayrı tablolara ihtiyacımız yok.

Öte yandan, yalnızca ilk çeyreğin açılarının trigonometrik fonksiyonlarını bilerek, geri kalan çeyrekler için benzer fonksiyonları hesaplayabilmenin çok uygun olacağını kabul etmelisiniz. Bunu yapmak mümkün mü? Tabi ki yapabilirsin! En az 2 yolunuz var: Birincisi bir üçgen oluşturmak ve Pisagor teoremini uygulamak (siz ve ben ilk çeyreğin ana açıları için trigonometrik fonksiyonların değerlerini bu şekilde bulduk) ve ikincisi ise ilk çeyrekte açılara ait fonksiyonların değerlerini hatırlamak ve bazı basit kuralları hatırlamak, diğer tüm çeyrekler için trigonometrik fonksiyonları hesaplayabilmektir.İkinci yöntem sizi üçgenler ve Pisagor karmaşasından kurtaracak, bu yüzden onu daha umut verici görüyorum:

Dolayısıyla bu yönteme (veya kurala) indirgeme formülleri denir.

Azaltma formülleri

Kabaca söylemek gerekirse, bu formüller bu tabloyu hatırlamamanıza yardımcı olacaktır (bu arada, 98 rakamdan oluşuyor!):

eğer bunu hatırlıyorsanız (sadece 20 sayı):

Yani tamamen gereksiz 78 sayıyla kendinizi rahatsız edemezsiniz! Mesela hesaplama yapmamız gerekiyor. Küçük bir tabloda durumun böyle olmadığı açıktır. Biz ne yaptık? İşte şu:

Öncelikle aşağıdaki bilgilere ihtiyacımız olacak:

1. Sinüs ve kosinüsün bir periyodu (derece) vardır, yani

   Teğet (kotanjant) bir noktaya (derece) sahiptir

   Herhangi bir tamsayı

2. Sinüs ve teğet tek fonksiyonlardır, kosinüs ise çift fonksiyondur:

İlk ifadeyi sizinle zaten kanıtladık ve ikincisinin geçerliliği oldukça yakın zamanda kanıtlandı.

Gerçek döküm kuralı şuna benzer:

1. Bir trigonometrik fonksiyonun değerini negatif açıdan hesaplarsak, bir grup formül (2) kullanarak onu pozitif yaparız. Örneğin:
2. Sinüs ve kosinüs için dönemlerini atıyoruz: (derece olarak) ve teğet için - (derece olarak). Örneğin:
3. Kalan "köşe" dereceden azsa sorun çözülür: onu "küçük masada" ararız.
4. Aksi takdirde köşemizin hangi çeyrekte olduğuna bakıyoruz: 2., 3. veya 4. çeyrek olacak. Çeyrekteki gerekli fonksiyonun işaretine bakalım. Bu işareti unutmayın!!!
5. Açıyı aşağıdaki formlardan biriyle temsil ediyoruz:

   (ikinci çeyrekte ise)
   (ikinci çeyrekte ise)
   (üçüncü çeyrekte ise)
   (üçüncü çeyrekte ise)
   
   (dördüncü çeyrekte ise)

   böylece kalan açı sıfırdan büyük ve dereceden küçük olur. Örneğin:

   Prensip olarak açıyı her çeyrek için iki alternatif biçimden hangisinde temsil ettiğiniz önemli değildir. Bu nihai sonucu etkilemeyecektir.

6. Şimdi ne elde ettiğimize bir bakalım: veya derece artı eksi bir şey cinsinden yazmayı seçerseniz, fonksiyonun işareti değişmeyecektir: basitçe or'u çıkarır ve kalan açının sinüsünü, kosinüsünü veya tanjantını yazarsınız. Gösterimi veya derece olarak seçtiyseniz sinüsü kosinüse, kosinüsü sinüse, teğeti kotanjanta, kotanjantı teğete değiştirin.
7. Ortaya çıkan ifadenin önüne 4. noktanın işaretini koyuyoruz.

Yukarıdakilerin tümünü örneklerle gösterelim:

1. Hesaplamak
2. Hesaplamak
3. Anlamınızı bulun:

Sırayla başlayalım:

1. Algoritmamıza göre hareket ediyoruz. Aşağıdakiler için tamsayı sayıda daire seçin:

   Genel olarak köşenin tamamının 5 kez sığdığı sonucuna varıyoruz ama geriye ne kadar kaldı? Sol. Daha sonra

   Neyse, fazlalıkları attık. Şimdi işarete bakalım. 4. çeyrekte yatıyor. Dördüncü çeyreğin sinüsünde eksi işareti var ve bunu cevaba koymayı unutmamalıyım. Daha sonra, azaltma kurallarının 5. paragrafındaki iki formülden birine göre sunuyoruz. Seçeceğim:

   Şimdi ne olduğuna bir bakalım: Dereceli bir durumumuz var, sonra onu atıyoruz ve sinüsü kosinüse çeviriyoruz. Ve önüne eksi işareti koyduk!

   derece - ilk çeyrekteki açı. Anlamını biliyoruz (bana küçük bir masa öğreneceğime söz vermiştin!):

   Sonra son cevabı alıyoruz:

   Cevap:

2. her şey aynı, ancak derece yerine radyan. Önemli değil. Hatırlanması gereken en önemli şey şu ki

   Ancak radyanları derecelerle değiştirmenize gerek yok. Bu sizin zevkinize kalmış bir durum. Hiçbir şeyi değiştirmeyeceğim. Tüm çevreleri atarak yeniden başlayacağım:

   Hadi atalım - bunlar iki tam daire. Geriye sadece hesaplamak kalıyor. Bu açı üçüncü çeyrekte. Üçüncü çeyreğin kosinüsü negatiftir. Cevaba eksi işareti koymayı unutmayın. nasıl olduğunu hayal edebilirsiniz. Kuralı tekrar hatırlayalım: “tamsayı” (veya) sayısı söz konusu olduğunda fonksiyon değişmez:

   Daha sonra.
   Cevap: .

3. . Aynı şeyi yapmanız gerekir, ancak iki işlevle. Biraz daha kısa konuşacağım: ve dereceler – ikinci çeyreğin açıları. İkinci çeyreğin kosinüsü eksi işaretine, sinüs artı işaretine sahiptir. şu şekilde temsil edilebilir: ve nasıl, o zaman

   Her iki durum da “bütünün yarısıdır”. Daha sonra sinüs kosinüse, kosinüs de sinüse dönüşür. Ayrıca kosinüsün önünde bir eksi işareti vardır:

Cevap: .

Şimdi aşağıdaki örnekleri kullanarak kendi başınıza pratik yapın:

Ve işte çözümler:

1. 
   Öncelikle sinüsün önüne yerleştirerek eksiden kurtulalım (çünkü sinüs tek bir fonksiyondur!!!). Şimdi açılara bakalım:

   Tamsayı sayıda daireyi (yani üç daireyi ()) atıyoruz.
   Geriye hesaplamak kalıyor: .
   Aynısını ikinci köşe için de yapıyoruz:

   Tamsayı sayıda daireyi sileriz - 3 daire () sonra:

   Şimdi şunu düşünüyoruz: Geriye kalan açı hangi çeyrekte? Her şeyden “yetersiz kalıyor”. Peki bu hangi çeyrek? Dördüncü. Dördüncü çeyreğin kosinüsünün işareti nedir? Pozitif. Şimdi hayal edelim. Tam miktardan çıkarma yaptığımız için kosinüsün işaretini değiştirmeyiz:

   Elde edilen tüm verileri formülde değiştiriyoruz:

   Cevap: .

2. 
   Standart: gerçeğini kullanarak kosinüsteki eksiyi kaldırın.
   Geriye kalan tek şey derecelerin kosinüsünü hesaplamaktır. Tüm daireleri kaldıralım: . Daha sonra

   Daha sonra.
   Cevap: .

3. Önceki örnekte olduğu gibi ilerliyoruz.

   Teğetin periyodunun kosinüs veya sinüsten farklı (veya) farklı olduğunu (veya) 2 kat daha büyük olduğunu hatırladığınız için tamsayı miktarını kaldıracağız.

   derece - ikinci çeyrekteki açı. İkinci çeyreğin tanjantı negatif, o halde sondaki “eksi”yi de unutmayalım! olarak yazılabilir. Teğet kotanjanta dönüşür. Sonunda şunu elde ederiz:

   Daha sonra.
   Cevap: .

Neyse, az kaldı!

Teğet eksen ve kotanjant eksen

Burada değinmek istediğim son şey iki ek eksendir. Daha önce de tartıştığımız gibi iki eksenimiz var:

1. Eksen - kosinüs ekseni
2. Eksen - sinüslerin ekseni

Aslında koordinat eksenlerimiz bitti değil mi? Peki ya teğetler ve kotanjantlar?

Gerçekten bunların grafiksel bir yorumu yok mu?

Aslında var, bu resimde görebilirsiniz:

Özellikle bu resimlerden şunu söyleyebiliriz:

1. Teğet ve kotanjant aynı çeyrek işaretlerine sahiptir
2. 1. ve 3. çeyrekte pozitifler
3. 2. ve 4. çeyrekte negatifler
4. Teğet açılarda tanımlı değil
5. Kotanjant köşelerde tanımlanmadı

Bu resimler başka ne için? Trigonometrik denklemlerin çözümlerini basitleştirmek için trigonometrik çemberi nasıl kullanabileceğinizi anlatacağım ileri düzeyde öğreneceksiniz!

İLERİ DÜZEY

Bu yazıda nasıl yapılacağını anlatacağım birim çember (trigonometrik çember) trigonometrik denklemlerin çözümünde faydalı olabilir.

Yararlı olabileceği iki durum aklıma geliyor:

1. Cevapta "güzel" bir açı elde edemiyoruz ama yine de kökleri seçmemiz gerekiyor
2. Cevap çok fazla kök dizisi içeriyor

Konuyla ilgili bilgi dışında herhangi bir özel bilgiye ihtiyacınız yoktur:

“Trigonometrik denklemler” konusunu çemberlere başvurmadan yazmaya çalıştım. Çoğu kişi böyle bir yaklaşımdan dolayı beni övmez.

Ama ben formülü tercih ediyorum, peki ne yapabilirim? Ancak bazı durumlarda yeterli formül bulunmamaktadır. Aşağıdaki örnek beni bu makaleyi yazmaya motive etti:

Denklemi çözün:

İyi o zaman. Denklemin kendisini çözmek zor değil.

Ters değiştirme:

Dolayısıyla orijinal denklemimiz dört basit denkleme eşdeğerdir! Gerçekten 4 dizi kök yazmamız gerekiyor mu:

Prensip olarak burada durabiliriz. Ancak bir tür “karmaşıklık” olduğunu iddia eden bu makalenin okuyucuları için durum böyle değil!

İlk önce ilk kök serisine bakalım. Böylece birim çemberi alıyoruz, şimdi bu kökleri çembere uygulayalım (için ve için ayrı ayrı):

Dikkat edin: köşeler arasında hangi açı var? Burası köşe. Şimdi aynı işlemi seri için yapalım: .

Denklemin kökleri arasındaki açı yine . Şimdi bu iki resmi birleştirelim:

Ne görüyoruz? Aksi takdirde köklerimiz arasındaki tüm açılar eşittir. Bu ne anlama geliyor?

Eğer bir köşeden başlarsak ve eşit açılar alırsak (herhangi bir tamsayı için), o zaman her zaman üst çemberdeki dört noktadan birine ulaşırız! Böylece 2 dizi kök:

Tek bir şekilde birleştirilebilir:

Ne yazık ki, kök seri için:

Bu argümanlar artık geçerli olmayacak. Bir çizim yapın ve bunun neden böyle olduğunu anlayın. Ancak aşağıdaki gibi birleştirilebilirler:

O halde orijinal denklemin kökleri vardır:

Oldukça kısa ve öz bir cevap. Kısalık ve özlülük ne anlama geliyor? Matematik okuryazarlığınızın düzeyi hakkında.

Bu, trigonometrik çemberin kullanımının yararlı sonuçlar ürettiği ilk örnekti.

İkinci örnek ise “çirkin kökleri” olan denklemlerdir.

Örneğin:

1. Denklemi çözün.
2. Boşluğa ait köklerini bulun.

İlk bölüm hiç de zor değil.

Konuya zaten aşina olduğunuz için açıklamalarımı kısa kesmeme izin vereceğim.

sonra veya

Denklemin köklerini bu şekilde bulduk. Karmaşık bir şey yok.

Eksi çeyrek ark kosinüsünün tam olarak ne olduğunu bilmeden görevin ikinci bölümünü çözmek daha zordur (bu bir tablo değeri değildir).

Ancak bulunan kök dizilerini birim çember üzerinde gösterebiliriz:

Ne görüyoruz? İlk olarak şekil bize ark kosinüsün hangi sınırlar dahilinde olduğunu açıkça ortaya koydu:

Bu görsel yorum, segmente ait kökleri bulmamıza yardımcı olacaktır: .

İlk önce sayının kendisi buna düşer, sonra (şekle bakın).

aynı zamanda segmente aittir.

Böylece birim çember “çirkin” açıların nereye düştüğünün belirlenmesine yardımcı olur.

En az bir sorunuz daha olmalı: Peki teğetler ve kotanjantlarla ne yapmalıyız?

Aslında, biraz spesifik bir görünüme sahip olmalarına rağmen, kendi eksenleri de vardır:

Aksi takdirde bunları ele almanın yolu sinüs ve kosinüs ile aynı olacaktır.

Örnek

Denklem verilmiştir.

• Bu denklemi çözün.
• Bu denklemin aralığa ait köklerini belirtiniz.

Çözüm:

Bir birim çember çiziyoruz ve çözümlerimizi bunun üzerine işaretliyoruz:

Şekilden şunu anlayabilirsiniz:

Veya daha da fazlası: o zamandan beri

Daha sonra segmente ait kökleri buluyoruz.

, (Çünkü)

Denklemin aralığa ait başka köklerinin olmadığını kendiniz doğrulamayı size bırakıyorum.

ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER

Trigonometrinin ana aracı trigonometrik daire, açıları ölçmenizi, sinüslerini, kosinüslerini vb. bulmanızı sağlar.

Açıları ölçmenin iki yolu vardır.

1. Dereceler arası
2. Radyanlar aracılığıyla

Ve tam tersi: radyandan dereceye:

Bir açının sinüsünü ve kosinüsünü bulmak için ihtiyacınız olan:

1. Merkezi açının tepe noktasına denk gelecek şekilde bir birim çember çizin.
2. Bu açının daireyle kesişme noktasını bulun.
3. “X” koordinatı istenen açının kosinüsüdür.
4. "Oyun" koordinatı istenen açının sinüsüdür.

Azaltma formülleri

Bunlar trigonometrik fonksiyonun karmaşık ifadelerini basitleştirmenize olanak tanıyan formüllerdir.

Bu formüller bu tabloyu hatırlamamanıza yardımcı olacaktır:

Özetleme

Trigonometriyi kullanarak evrensel bir mahmuzun nasıl yapıldığını öğrendiniz.

Sorunları çok daha kolay, daha hızlı ve en önemlisi hatasız çözmeyi öğrendiniz.

Hiçbir masayı tıka basa doldurmanıza gerek olmadığını ve hiçbir şeyi tıka basa doldurmanıza gerek olmadığını fark ettiniz!

Şimdi seni duymak istiyorum!

Bu karmaşık konuyu anlamayı başardınız mı?

Neyi sevdin? Neyi beğenmedin?

Belki bir hata buldun?

Yorumlara yazın!

Ve sınavda iyi şanslar!

Okulda trigonometri çalışırken her öğrenci çok ilginç bir kavram olan “sayı çemberi” ile karşı karşıya kalır. Öğrencinin daha sonra trigonometriyi ne kadar iyi öğreneceği, okul öğretmeninin trigonometrinin ne olduğunu ve neden gerekli olduğunu açıklama becerisine bağlıdır. Ne yazık ki her öğretmen bu materyali net bir şekilde açıklayamıyor. Sonuç olarak, birçok öğrencinin nasıl işaretleneceği konusunda bile kafası karışıyor sayı çemberindeki noktalar. Bu makaleyi sonuna kadar okursanız, bunu sorunsuz bir şekilde nasıl yapacağınızı öğreneceksiniz.

Öyleyse başlayalım. Yarıçapı 1 olan bir daire çizelim. Bu dairenin “en sağdaki” noktasını harfle gösterelim. Ö:

Tebrikler, az önce bir birim çember çizdiniz. Bu dairenin yarıçapı 1 olduğundan uzunluğu 0 olur.

Her gerçek sayı, noktadan itibaren sayı çemberi boyunca yörüngenin uzunluğu ile ilişkilendirilebilir. Ö. Saat yönünün tersine hareket yönü pozitif yön olarak alınır. Negatif için – saat yönünde:

Sayı çemberindeki noktaların konumu

Daha önce de belirttiğimiz gibi sayı çemberinin (birim çember) uzunluğu eşittir. O halde sayı bu dairenin neresinde yer alacak? Açıkçası, noktadan Ö saat yönünün tersine dairenin uzunluğunun yarısı kadar gitmemiz gerekiyor ve kendimizi istenilen noktada bulacağız. Bunu harfle belirtelim B:

Aynı noktaya negatif yönde yarım daire çizerek ulaşılabileceğini unutmayın. Daha sonra sayıyı birim çemberin üzerine çizerdik. Yani sayılar aynı noktaya karşılık gelmektedir.

Üstelik bu aynı nokta aynı zamanda , , , sayılarına ve genel olarak şeklinde yazılabilen sonsuz bir sayı kümesine de karşılık gelir; burada tamsayılar kümesine aittir. Bütün bunların nedeni şu noktadan itibaren B herhangi bir yönde (çevreyi toplayıp veya çıkararak) "dünyanın etrafında" bir gezi yapabilir ve aynı noktaya ulaşabilirsiniz. Anlaşılması ve hatırlanması gereken önemli bir sonuca varıyoruz.

Her sayı, sayı çemberi üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir. Ancak sayı çemberindeki her nokta sonsuz sayıda sayıya karşılık gelir.

Şimdi sayı çemberinin üst yarım dairesini bir nokta ile eşit uzunlukta yaylara bölelim. C. Yay uzunluğunu görmek kolaydır OC eşittir . Artık asıl konuyu erteleyelim C saat yönünün tersine aynı uzunlukta bir yay. Sonuç olarak asıl noktaya geleceğiz. B. Sonuç oldukça bekleniyor, çünkü . Bu yayı tekrar aynı yöne koyalım, ama şimdi noktadan itibaren B. Sonuç olarak asıl noktaya geleceğiz. D, bu zaten sayıya karşılık gelecektir:

Bu noktanın yalnızca sayıya değil aynı zamanda örneğin sayıya da karşılık geldiğini tekrar unutmayın, çünkü bu noktaya noktadan uzaklaşarak ulaşılabilir. Ö saat yönünde çeyrek daire (negatif yön).

Ve genel olarak bu noktanın şu şekilde yazılabilecek sonsuz sayıda sayıya karşılık geldiğini bir kez daha not ediyoruz: . Ancak formda da yazılabilirler. Veya dilerseniz şeklinde. Bu kayıtların tamamı birbirinin aynısıdır ve birbirlerinden elde edilebilirler.

Şimdi yayı ikiye bölelim OC yarım nokta M. Şimdi yayın uzunluğunun ne olduğunu bulun OM? Bu doğru, yayın yarısı OC. Yani . Nokta hangi sayılara karşılık geliyor? M sayı çemberinde mi? Eminim artık bu sayıların şeklinde yazılabileceğini fark edeceksiniz.

Ancak farklı şekilde yapılabilir. Hadi alalım . O zaman bunu anlıyoruz . Yani bu sayılar şu şekilde yazılabilir: . Aynı sonuç sayı çemberi kullanılarak da elde edilebilir. Daha önce de söylediğim gibi her iki kayıt da eşdeğerdir ve birbirlerinden elde edilebilirler.

Artık noktaların karşılık geldiği sayılara kolayca örnek verebilirsiniz N, P Ve k sayı çemberinde. Örneğin sayılar , ve :

Çoğu zaman sayı çemberinde karşılık gelen noktaları belirlemek için minimum pozitif sayılar alınır. Her ne kadar bu hiç de gerekli olmasa da, nokta N Zaten bildiğiniz gibi sonsuz sayıda başka sayıya karşılık gelir. Örneğin sayı dahil.

Eğer arkı kırarsan OC noktalarla üç eşit yay halinde S Ve L yani mesele bu S noktalar arasında uzanacak Ö Ve L, daha sonra yay uzunluğu işletim sistemi eşit olacak ve yay uzunluğu OL eşit olacaktır. Dersin önceki bölümünde edindiğiniz bilgileri kullanarak sayı çemberinde kalan noktaların nasıl ortaya çıktığını kolayca anlayabilirsiniz:

Sayı çemberinde π'nin katı olmayan sayılar

Şimdi kendimize şu soruyu soralım: 1 sayısına karşılık gelen noktayı sayı doğrusunda nereye işaretlemeliyiz? Bunu yapmak için birim çemberin en “doğru” noktasından başlamanız gerekir. Ö uzunluğu 1'e eşit olacak bir yay çizin. İstenilen noktanın konumunu ancak yaklaşık olarak belirtebiliriz. Aşağıdaki gibi ilerleyelim.

5. HERHANGİ BİR ARGÜMANIN TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI

§ 20. BİRİM DAİRE

948. Birim çemberin yay uzunluğu ile radyan ölçüsü arasındaki ilişki nedir?

949. Birim çember üzerinde şu sayılara karşılık gelen noktalar oluşturun: 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... Bu noktalardan herhangi biri örtüşebilir mi? Neden?

950. Sayılar α = 1/2 formülüyle verilir k, Nerede k= 0; ±1; ±2; ....
Sayı doğrusu üzerinde ve birim çember üzerinde bu sayılara karşılık gelen noktalar oluşturun. Sayı doğrusunda kaç tane ve birim çemberde kaç tane böyle nokta olacak?

951. Birim çember üzerinde ve sayı ekseninde sayılara karşılık gelen noktaları işaretleyin:
1) α = π k, k= 0; ±1, ±2, ...;
2) α = π / 2 (2k + 1), k= 0; ± 1; ±2; ...;
3) α = π k / 6 , k= 0; ±1; ±2; ... .
Sayı doğrusu üzerinde kaç tane ve birim çember üzerinde kaç tane böyle nokta var?

952. Sayı ekseninde ve birim çemberde sayılara karşılık gelen noktalar nasıl yerleştirilmiştir:
1) A Ve - A; 2) A Ve A±π; 3) A+ π ve A- π; 4) A Ve A+ 2π k, k= 0; ±1; ±2; ...?

953. Sayıların sayı eksenindeki noktalarla gösterilmesi ile birim çemberdeki noktalarla gösterilmesi arasındaki temel fark nedir?

954. 1) Birim çemberin kesişme noktalarına karşılık gelen negatif olmayan en küçük sayıları bulun: a) koordinat eksenleriyle; b) koordinat açılarının bisektörleri ile.

2) Her durumda birim çemberin belirtilen noktalarına karşılık gelen sayılar için genel bir formül yazın.

955. Bilerek A birim çember üzerinde belirli bir noktaya karşılık gelen sayılardan biridir, bulun:
1) belirli bir noktaya karşılık gelen tüm sayılar;
2) birim çember üzerinde verilene simetrik bir noktaya karşılık gelen tüm sayılar:
a) x eksenine göre; b) ordinat eksenine göre; c) kökene göre.
Sorunu kabul ederek çözün A = 0; π / 2; 1; 2; π / 6; - π / 4 .

956. Sayıların karşıladığı koşulu bulun A, karşılık gelen:
1) birim çemberin 1. çeyreğinin puanları;
2) birim çemberin 2. çeyreğinin noktaları;
3) birim çemberin 3. çeyreğinin noktaları;
4) Birim çemberin 4. çeyreğinin noktaları.

957. Birim çember içine yazılan ABCDEFKL düzgün sekizgeninin A köşesinin koordinatları (1; 0)'dır (Şekil 39).

1) Sekizgenin geri kalan köşelerinin koordinatlarını belirleyin.
2) Birim çemberin son yayları için genel bir formül oluşturun:
a) A, C, E ve K noktalarında; b) B, D, F ve L noktalarında; c) A, B, C, D, E, F, K ve L noktalarında.

958. 1) Birim çember üzerinde ordinatı 0,5 olan bir nokta oluşturun. Birim çember üzerinde belirli bir koordinata sahip kaç nokta vardır? Bu noktalar ordinat eksenine göre nasıl konumlandırılır?

2) Bir iletki (1° doğrulukla) ile ucu 0,5 ordinatına sahip olan mutlak değerdeki en küçük yayı ölçün ve ordinatı 0,5 olan noktalarda biten birim daire yayları için genel bir formül çizin 0,5.

959. Ordinatı alarak 958. problemi çözün en eşittir:

1) - 0,5; 2) 0 4; 3) 0,5√3 .

960. 1) Birim çember üzerinde apsisi 0,5 olan bir nokta oluşturun. Birim çember üzerinde kaç noktada belirli bir apsis var? Bu noktalar x eksenine göre nasıl konumlandırılır?

2) Ucu 0,5'e eşit bir apsise sahip olan en küçük pozitif yayı bir iletki (1° doğrulukla) ile ölçün ve apsisi 0,5 olan noktalarda biten birim daire yayları için genel bir formül çizin.

961. Apsisleri alarak 960. problemi çözün X eşittir:

1) - 2 / 3 ; 2) 0,4; 3) 0,5√2 .

962. Formülle verilen birim çember yaylarının uçlarının koordinatlarını belirleyin ( k= 0; ±1; ±2; ...):

1) α = 30°(2 k+ 1); 2) α = π k / 3 .

963. Aşağıdaki açı dizisini ifade edin ( k= 0; ±1; ±2; ...):

1) α 1 = 180° k+ 120° ve α 2 = 180° k+ 30°;

2) α 1 = π k + π / 6 ve α 2 = π k - π / 3 ;

3) a 1 = 90° k ve α2 = 45° (2 k + 1);

4) α 1 = π k ve α 2 = π / 3 (3k± 1);

5) a 1 = 120° k± 15° ve α 2 = 120° k± 45°;

6) α 1 = π k; α2 = 2π k ± π / 3 ve α 3 = 2l k± 2π / 3 ;

7) a 1 = 180° k+ 140°; a2 = 180° k+ 80° ve α 3 = 180° k+ 20°;

8) a 1 = 180° k + (-1)k 60° ve α 2 = 180° k - (-1)k 60°.

964. Aşağıdaki formüllerde yinelenen açıları ortadan kaldırın ( k= 0-±1; ±2; ...):

1) a 1 = 90° k ve a2 = 60° k+ 30°;

2) α 1 = π k / 2 ve α 2 = π k / 5 ;

3) α 1 = 1/4 π k ve α 2 = 1/2 π k± 1/4π;

4) α 1 = π (2 k+ 1) - π / 6 ve α 2 = 2/5 π k+ 1/30π;

5) a 1 = 72° k+ 36° ve α 2 = 120° k+ 60°.

Çözüm:

1) 7π = 3٠2π + π olduğundan, 7π ile döndürüldüğünde π ile döndürüldüğünde elde edilen noktanın aynısı elde edilir, yani. sonuç, koordinatları (- 1; 0) olan bir noktadır. (Şek.9)

2) = -2π - olduğundan , o zaman dönerken -'ye dönerken elde edilenle aynı noktaya ulaşılır, yani. sonuç, koordinatları (0; 1) olan bir noktadır (Şekil 10)

Şekil 9 Şekil 10

Sorun No. 2

Noktayı elde etmek için (1;0) noktasını döndürmeniz gereken tüm açıları yazın

N
.

Çözüm:

AON dik üçgeninden (Şekil 11), AON açısının eşit olduğu sonucu çıkar, yani. olası dönme açılarından biri 'dir. Sonuç olarak, noktayı elde etmek için (1;0) noktasının döndürülmesi gereken tüm açılar şu şekilde ifade edilir: + 2πk, burada k herhangi bir tamsayıdır.

Şekil 11

Bağımsız çözüm için alıştırmalar:

1°. Birim çember üzerinde, (1;0) noktasının belirli bir açıyla döndürülmesiyle elde edilen bir nokta oluşturun:

a) 4π; b) - 225°; V)-; G) - ; D)
; e)
.

2°. P(1;0) noktasının bir açıyla döndürülmesiyle elde edilen noktanın koordinatlarını bulun:

a) 3π; B) -
; c) 540°;

d) 810°; D)
, k – tamsayı; e)
.

3°. P(1;0) noktasının bir açıyla döndürülmesiyle elde edilen noktanın bulunduğu çeyreği belirleyin:

a) 1; b) 2,75; c) 3.16; d) 4,95.

4*. Birim çember üzerinde, P(1;0) noktasının bir açıyla döndürülmesiyle elde edilen bir nokta oluşturun:

A)
; B)
; c) 4,5π; d) - 7π.

5*. P (1;0) noktasının bir açıyla (k bir tam sayıdır) döndürülmesiyle elde edilen noktanın koordinatlarını bulun:

A)
; B)
; V)
; G)
.

6*. Koordinatları olan bir nokta elde etmek için P (1;0) noktasını döndürmeniz gereken tüm açıları yazın:

A)
; B)
;

V)
; G)
.

SİNÜS TANIMI, AÇININ KOSİNESİ

Şekil 12

Bu tanımlarda açı α derece veya radyan cinsinden ifade edilebilir. Örneğin, bir noktayı (1;0) bir açıyla döndürürken; açı 90° ise sonuç (0;1) noktasıdır. Nokta koordinatı ( 0 ;1 ) eşittir 1 yani sin = sin 90° = 1; Bu noktanın apsisi eşittir 0 yani cos = cos 90° = 0

Görev No.1

Günahı (- π) ve cos (- π)'yu bulun.

Çözüm:

(1;0) noktası – π açısıyla döndürüldüğünde (-1; 0) noktasına gidecektir (Şekil 13), dolayısıyla sin (- π) = 0, cos (- π) = - 1.

Şekil 13

Görev No.2

Sin x = 0 denklemini çözün.

Çözüm:

Sin x = 0 denklemini çözmek, sinüsü sıfıra eşit olan tüm açıları bulmak anlamına gelir. Birim çemberin iki noktası (1; 0 )ve 1; 0 ). Bu noktalar (1;0) noktasından 0, π, 2π, 3π vb. açıların yanı sıra - π, - 2π, - 3π vb. açılardan döndürülerek elde edilir. dolayısıyla sin x = 0 x = πk. için, burada k herhangi bir tam sayıdır; çözüm şu şekilde yazılabilir:

x = πk., k
.

Cevap: x = πk., k

(Z, bir tamsayılar kümesinin gösterimidir; "k, Z'ye aittir" şeklinde okunur).

Benzer akıl yürütmeyi kullanarak trigonometrik denklemlerin aşağıdaki çözümlerini elde edebiliriz:

İşte sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın ortak değerlerinin bir tablosu.

Görev No.1

Hesapla: 4sin +
çünkü - tg.

Çözüm:

Tabloyu kullanarak şunu elde ederiz

4 sin + cos - tg = 4 ٠+ ٠ -1 = 2 + 1,5 = 2,5.

:

1°. Hesaplamak:

a) günah + günah; b) günah - çünkü π; c) günah 0 - cos 2π; d) sin3 - çünkü .

2°. İfadenin anlamını bulun:

a) 3 sin + 2 cos - tg; B)
;

V)
; d) cos 0 – sin 3π.

3°. Denklemi çözün:

a) 2 günah x = 0; b) çünkü x = 0; c) çünkü x - 1 = 0; d) 1 – günah x = 0.

4*. İfadenin anlamını bulun:

a) 2 günah α +
çünkü α'da α = ; b) 0,5 cos α - sin α, α = 60°'de;

c) sin 3 α – cos 2 α ile α = ; çünkü + günah en α = .

5*. Denklemi çözün:

a) günah x = - 1; b) çünkü x = 0; c) günah
; d) sin3 x = 0.

Sinüs, kosinüs ve tanjant işaretleri

Noktanın birim çember boyunca saat yönünün tersine hareket etmesine izin verin, ardından sinüs pozitif birinci ve ikinci koordinat çeyrekleri (Şekil 14); kosinüs pozitif birinci ve dördüncü koordinat çeyrekleri (Şekil 15); teğet ve kotanjant pozitif birinci ve üçüncüçeyrekleri koordine edin (Şekil 16).

Şekil 14 Şekil 15 Şekil 16

Görev No.1

Bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantının işaretlerini öğrenin:

1) ; 2) 745°; 3)
.

Çözüm:

1) Açı, birim çember üzerinde bulunan bir noktaya karşılık gelir. ikinci çeyrekler. Bu nedenle günah > 0, çünkü

2) 745° = 2 ٠360° + 25° olduğundan, (1;0) noktasının 745°'lik bir açıyla dönmesi, şu konumda bulunan bir noktaya karşılık gelir: Birinci çeyrekler.

Bu nedenle sin 745° > 0, cos 745° > 0, tg 745° > 0.

3) Nokta saat yönünde hareket eder, bu nedenle – π, ardından (1;0) noktası bir açıyla döndürüldüğünde nokta elde edilir üçüncüçeyrekler. Bu nedenle günah

Bağımsız çözüm için alıştırmalar :

1°. P(1;0) noktasının bir açıyla döndürülmesiyle elde edilen nokta hangi çeyrektedir? α, Eğer:

A) α = ; B) α = - ; V) α = ;Belge

Onun kararı. Kontrol İşöğrenci tarafından imzalanmalıdır. Ölçekİle kontrol iş sonuçlara göre atanır... altı özdeş kartlar. Kartlar rastgele bir sırayla arka arkaya yerleştirilir. Ne...