Задание 3 три. Структурирование информации и информационные модели

В задании №3 ЕГЭ по математике нам предстоит решить простую задачу на проценты или часть от целого. Данные задачи в большинстве случаев интуитивно понятны, так как взяты из реальных жизненных ситуаций, тем не менее необходимо быть внимательным при их выполнении.

Разбор типовых вариантов заданий №3 ЕГЭ по математике базового уровня

Первый вариант задания

Банк начисляет на срочный вклад 8% годовых. Вкладчик положил на счёт 7000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет?

Алгоритм выполнения:

• Вариант 1.

• Вариант 2.

1. Сложить 100% и процент годовых.

Решение:

• Вариант 1.

Вычислим 108% от 7000, получим:

1. 7000: 100 = 70(рублей) – составит 1 %.
2. 70 · 108 = 7560(рублей) – составит вклад через год.

• Вариант 2.

Вклад 8 % годовых означает, что начальная сумма 7000 рублей через год увеличится на 8%, то есть составит 100+8=108% от исходной суммы.

Способ нахождения процента от числа №2. Для того, чтобы найти процент от числа, нужно перевести искомый процент в десятичную дробь(разделить на сто), затем умножит число на полученную десятичную дробь.

108% = 108: 100 = 1,08

7000 · 1,08 или

Выполнив умножение столбиком, имеем:

Ответ: 7560.

Второй вариант задания

Банк начисляет на срочный вклад 7 % годовых. Вкладчик положил на счёт 3000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет?

Алгоритм выполнения:

• Вариант 1.

1. Сложить 100% и процент годовых.
2. Найти 1% от суммы, для этого сумму разделить на 100.
3. Умножить стоимость 1% на искомое количество процентов.

• Вариант 2.

1. Сложить 100% и процент годовых.
2. Полученные проценты перевести в десятичную дробь (разделить на сто).
3. Найти процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).

Решение:

• Вариант 1.

Способ нахождения процента от числа №1. Для того, чтобы найти процент от числа нужно данное число разделить на 100(узнать сколько составляет 1 %), а затем умножить на искомое количество процентов.

Вычислим 107% от 3000, получим:

1. 3000: 100 = 30(рублей) – составит 1 %.
2. 30 · 107 = 3210(рублей) – составит вклад через год.

• Вариант 2.

Вклад 7 % годовых означает, что начальная сумма 3000 рублей через год увеличится на 7%, то есть составит 100+7=107% от исходной суммы.

Способ нахождения процента от числа №2. Для того, чтобы найти процент от числа, нужно перевести искомый процент в десятичную дробь (разделить на сто), затем умножит число на полученную десятичную дробь.

107% = 107: 100 = 1,07

3000 · 1,07 или

Ответ: 3210.

Третий вариант задания

В сентябре 1 кг слив стоил 40 рублей, в октябре сливы подорожали на 40%, а в ноябре ещё на 15%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в ноябре?

Алгоритм выполнения:

1. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.

Решение с пояснениями:

40: 100 = 0,4 (рублей) – составляет 1 % от начальной стоимости.

100 + 40 = 140 (%) – составила стоимость от начальной цены после первого подорожания.

140 · 0,4 = 56 (рублей) – стали стоить сливы в октябре.

56: 100 = 0,56 (рубля) – 1% от новой стоимости.

100 + 15 = 115 (%) – составила стоимость в ноябре от цены в октябре.

Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.

115 · 0,56 = 64,4 (рубля) – конечная стоимость.

Решение в общем виде:

Подорожание на 40% означает увеличение стоимости на 140%, то есть, 40 рублей становятся равными

рублей.

Затем, в ноябре стоимость слив увеличилась еще на 15%, что составило

рублей.

Замечание: обратите внимание, что в данной задаче нельзя просто складывать проценты 40+15=55% и вычислять 155% от 40 рублей! Это будет приводить к неверным решениям.

Ответ: 64,4.

Четвертый вариант задания

В сентябре 1 кг винограда стоил 90 рублей, в октябре виноград подорожал на 20 %, а в ноябре ещё на 25 %. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

Алгоритм выполнения:

1. Найти сколько составляет один процент от начальной стоимости.
2. Сложить 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.
3. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.
4. Найти стоимость 1% от новой стоимости.
5. Сложить 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.
6. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.

Решение с пояснениями:

Найдем сколько составляет один процент от начальной стоимости:

90: 100 = 0,9 (рублей) – составляет 1 % от начальной стоимости.

Сложим 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.

100 + 20 = 120 (%) – составила стоимость от начальной цены после первого подорожания.

Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.

120 · 0,9 = 108 (рублей) – стали стоить сливы в октябре.

Найдем стоимость 1% от новой стоимости.

108: 100 = 1,08 (рубля) – 1% от новой стоимости.

Сложим 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.

100 + 25 = 125 (%) – составила стоимость в ноябре от цены в октябре.

Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.

125 · 1,08 = 135 (рублей) – конечная стоимость.

Решение в общем виде:

Подорожание на 20% означает увеличение стоимости на 120%, то есть, для 90 рублей имеем:

рублей.

Затем, в ноябре стоимость слив увеличилась еще на 25%, что составило

рублей.

Замечание: обратите внимание, что в данной задаче нельзя просто складывать проценты 20+25=45% и вычислять 145% от 90 рублей! Это будет приводить к неверным решениям.

Ответ: 135.

Пятый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Ивану Кузьмичу начислена заработная плата 20000 рублей. Из этой суммы вычитается налог на доход физических лиц в размере 13 %. Сколько рублей он получит после уплаты подоходного налога?

Алгоритм выполнения:

• Вариант 1.

1. Найти 1% от начальной суммы, для этого сумму разделить на 100.
2. Умножить стоимость 1% на искомое количество процентов.

• Вариант 2.

1. Вычесть из 100% налог в процентах.
2. Полученные проценты перевести в десятичную дробь (разделить на сто).
3. Найти процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).

Решение:

• Вариант 1.

Вычтем из 100% налог в процентах.

100 – 13 = 87 (%) – получит Иван Кузьмич после вычета налога.

Найдем 1 % от начальной суммы.

20000: 100 = 200 (рублей) – составит 1%.

Найдем 87% от 20000.

87 · 200 = 17400 (рублей) – получит Иван Кузьмич.

• Вариант 2.

Вычтем из 100% налог в процентах. 100 – 13 = 87 (%)

Полученные проценты переведем в десятичную дробь (разделить на сто). 87: 100 = 0,87

Найдем процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).

20000 · 0,87 = 17400 (рублей)

Ответ: 17400 рублей получит Иван Кузьмич.

Вариант третьего задания из ЕГЭ 2017 (1)

ЕГЭ по физике сдавали 25 выпускников школы, что составляет треть от общего числа выпускников. Сколько выпускников этой школы не сдавали экзамен по физике?

Решение:

Нам известно, что количество учеников, сдававших ЕГЭ по физике равно 25, и это составляет 1/3 от общего числа выпускников. Значит 25 - это 1/3, тогда общее число учеников:

Количество учеников, не сдававших ЕГЭ по физике, равно:

Вариант третьего задания 2019 года (1)

Алгоритм выполнения

1. От 800 отнимаем 680. Узнаем, сколько рублей составило снижение.
2. Делим результат вычитания на 800. Это даст нам долю, которую составляет скидка от первоначальной стоимости.
3. Полученное число умножаем на 100. Получаем снижение в процентах.

Решение:

800 – 680 = 120 (руб.) – составляет снижение

120: 800 = 0,15 – доля скидки

0,15 ·100 = 15 %

Вариант третьего задания 2019 года (2)

Алгоритм выполнения

1. Определяем, сколько составляет 5% от стоимости мебели. Для этого 3500 делит на 100 и умножаем на 5.
2. К 3500 прибавляем полученное число.

Решение:

3500: 100 · 5 = 175 (руб.) – стоимость сборки мебели

3500 + 175 = 3675 (руб.) стоит мебель со сборкой

Ответ: 3675

Вариант третьего задания 2019 года (3)

Алгоритм выполнения

1. От 100 % вычитаем 40 %, чтобы найти, сколько процентов составляет уцененная стоимость. Получим 60 %.
2. Воспользуемся правилом нахождения целого по его части. Для этого 840 разделим на 60 и умножим на 100.

Решение:

100 – 40 = 60 % – составляет цена товара после его уценки.

840: 60 · 100 = 1400 (руб.)

Вариант третьего задания 2019 года (4)

Алгоритм выполнения

1. От 15 руб. отнимаем 14 руб.40 коп. Так найдем сумму скидки. Выразим эту сумму в рублях.
2. Полученное число разделим на 15 и умножим на 100 %.

Решение:

15 руб. – 14 руб.40 коп. = 60 коп. = 0,6 руб.

0,6: 15 ·100 % = 4 %.

Вариант третьего задания 2019 года (5)

Алгоритм выполнения

1. Суммируем 93 и 7, чтобы найти общее кол-во деревьев в парке.
2. Кол-во лиственных деревьев (7) делим на общее кол-во деревьев и умножаем на 100 %.

Решение:

93 + 7 = 100 (шт.) – деревьев всего в парке.

7: 100 ·100 = 7 %

Вариант третьего задания 2019 года (6)

Алгоритм выполнения

Нужно применить правило нахождения части от целого по ее проценту. Для этого целое делится на 100 и умножается на кол-во процентов.

Решение:

48: 100 · 40 = 19,2 (млн.руб.)

Ответ: 19,2

Вариант третьего задания 2019 года (7)

Алгоритм выполнения

1. Из 1800 вычитаем 1530. Определяем, сколько рублей составила скидка.
2. Полученное число делим на первоначальную цену и умножаем на 100 %.

Решение:

1800 – 1530 = 270 (руб.) – скидка

270: 1800 · 100 = 15 %

Вариант третьего задания 2019 года (8)

Алгоритм выполнения

1. Определяем, сколько (в руб.) составляет 10 % от стоимости чайника. Для этого 1600 делим на 100 и умножаем на 10.
2. От первоначальной стоимости отнимаем сумму скидки, составляющей 10 %.
3. Полученную цену со скидкой делим на 100 и умножаем на 25. Так найдем величину скидки (в руб.) после второго снижения цены.
4. От числа, полученного в п.2 отнимаем число, полученное в п.3.

Решение:

1600: 100 · 10 = 160 (руб.) – составляет скидка в 10 %

1600 – 160 = 1440 (руб.) – стал стоить чайник после понижения цены на 10 %

1400: 100 · 25 = 350 (руб.) составляет скидка в 25 %

1400 – 350 = 1050 (руб.)

Ответ: 1050

Вариант третьего задания 2019 года (9)

Алгоритм выполнения

1. Определяем, сколько рублей составляет наценка в 30 %. Для этого закупочную стоимость делим на 100 и умножаем на 30.
2. К закупочной стоимости прибавляет сумму наценки.
3. Полученное число умножаем на 4.

Решение:

110: 100 · 30 = 33 (руб.) – равна наценка

110 + 33 = 143 (руб.) – стоит погремушка в магазине

143 · 4 = 572 (руб.) – стоят 4 погремушки

Вариант третьего задания 2019 года (10)

Алгоритм выполнения

1. Обозначим число больных через х. Тогда кол-во больных через месяц станет равным х/2.
2. х/2 делим на х и умножаем на 100 %. Так найдем кол-во процентов, которое составит число больных через месяц по отношению к первоначальному их кол-ву. В процессе вычисления х сократится.

х / 2: х · 100 % = х / 2· 1 / х· 100 % =1 / 2 · 100 % = 0,5 · 100 % = 50 %

Как я говорил ранее, в посте "" , начал посты о том, как решать не простые тестовые задания. Конечно, задания части В теста ЕГЭ не такие уж и сложные для продвинутых абитуриентов. Но заострю ваше внимание на том, что без качественного выполнения этой части, как и части А, невозможно набрать максимальное количество баллов как по истории, так и по обществознанию.

Задание 3 теста ЕГЭ по истории сложно тем для абитуриентов, что они, как правило, не могут привязать конкретный термин к конкретному периоду отечественной истории. То есть знание термина в этом задании важно лишь постольку, поскольку ты умеешь его связывать с актуальной для него исторической эпохой!

Зачастую же учащиеся учат термины, но не работают над такими вот заданиями, и не обладают навыком сопоставления термина и события.

Вот например задание 3 из реального теста ЕГЭ по истории (по старой классификации задание 3 соответствует заданию B4, поэтому не пугайтесь ):

Нужно выбрать один термин (событие или явление), не относящийся к периоду XVI - XVII (16 — 17) векам. Толковые пацаны и девчонки, прошедшие мой видеокурс "История России. Подготовка к ЕГЭ по истории на 100 баллов " не путаются в таких заданиях, потому что курс построен как раз по ключевым периодам отечественной истории. Даже при желании не запутаешься. Ну а всем остальным я рекомендую после каждого изученного периода отечественной истории выписывать наиболее важные термины и само собой учить их: не знаю, там от пола отжиматься, если не правильно вспомнишь:).

Касаемо этого же задания, то ясно, что лишним будет ответ «ордынский выход». Даже имея смутное представление об истории можно догадаться что ордынский относится к Золотой Орде (государство монголо-татар) , и относится к ордынскому игу. А как известно, ордынское иго существовало до XV века, точнее до 1480 года — стояния на р. Угре. Всем толковым пацанам и девчонкам уже давно стало ясно, что нельзя путать века: XV (15) и XVI (16) — это РАЗНЫЕ века!

Не очень же толковые пацаны и девчонки начинают сомневаться, подгонять другие термины, додумывать историю, вспоминать так или не так... и в результате отмечают какую-нибудь «подворную подать», и само собой допускают ошибку, так как подворная подать как раз существовала в этот период, и только Петр Первый Великий ее заменил на подушную. Между тем правильный ответ только один! То есть если его знаешь, и видишь, на остальные термины можно даже не смотреть, чтобы не искушать свою глупость! 😉

Разберем другое задание 3 из реального ЕГЭ по истории, уже по сложнее! Простые-то задания не интересные для толковых-то пацанов и девчонок!

Понятно, что из указанных вариантов надо записать цифру 5 — Карибский кризис , так как он произошел в 1963 году, а не в указанный период. Однако в этом вопросе есть опасность для дополнительных сомнений для особо знающих историю. Вот причина:

«Холодная война» — хронологические рамки — 1946/49 — 1989 годы.

Коминформбюро существовало в период 1947 — 1957 годы.

То есть вторая граница существования исторического явления выходит за пределы обозначенного в задании В4 периода. Тут надо просто знать, что спрашивается именно то, существовали ли указанные явления в период с 1945 по 1953 годы или нет.

Да, не забывайте, что в ответ надо писать не буквами, а его порядковый номер ! Вообще настоятельно рекомендую посмотреть статью и мой видеоурок по решению заданий по этому периоду.

Выполним ещё одно задание 3 ЕГЭ по истории для ровного счета!

Тут уже ключевой период связан с правлением Н.С. Хрущева: 1953 — 1964 годы. Не вдаваясь в излишние рассуждения, понятно, что лишним будет «Пражская весна», так как это событие произошло в 1968 году. Но с материалами поста по я все равно рекомендую ознакомиться!

Как видим, задания 3 ЕГЭ по истории довольно простые: в них даже не спрашивается месяц события, а просто век, или год!

Вместе с тем при выполнении таких заданий надо понимать, что история — наука точная и путаница в том, к какому веку или году относится то или иное событие может привести к путанице и ошибке! Поэтому крайне рекомендую ознакомиться с моей статьей о том .

На этом всё. Если есть желание порешать тесты, то поставьте лайк и тестовые задания откроются:

Помни, что в современном тестировании ЕГЭ по истории в задании 3 надо выбрать два ответа, а не один. Свежие разборы заданий ты можешь найти в нашей VIP-комнате .

За третьим заданием негласно закрепилось название «фигура на бумаге в клетку». В задании представлена какая-либо фигура (круг, четырехугольник, треугольник или угол) на клетчатой бумаге.

Проверяется знание основ планиметрии: определений, наиболее известных теорем и формул.

Тип задания: с кратким ответом
Уровень сложности: базовый
Количество баллов: 1
Примерное время на выполнение: 2 минуты

В заданиях встречаются фигуры: угол, все виды треугольников, произвольный выпуклый четырехугольник, трапеция (в том числе равнобедренная и прямоугольная), параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, круг.

При решении надо учитывать, что размер клетки 1*1см. В заданиях это указано. Очень редко попадаются другие размеры клетки – надо внимательно читать задание.

По умолчанию считается, что ученик легко находит на бумаге в клетку углы в 180, 135, 90 и 45 градусов.

Вершины многоугольников и центры окружностей во всех заданиях лежат в вершинах клеток (имеют целые координаты). Однако концы искомых отрезков, например, средней линии трапеции, могут иметь произвольные координаты. Но всё очень легко вычисляется по формулам.

При подготовке полезно пользоваться прилагающимися к билету справочными материалами, даже если вам все это давно и отлично знакомо. В самый ответственный момент эта привычка может оказаться полезной. Во время решения третьего задания на экзамене большинство сдающих еще находятся в состоянии стресса от процедуры начала экзамена. Поэтому навык использования справочных материалов снижает риск ошибки и даже оказывает некоторую психологическую поддержку.

Определения, а также свойства фигур и их элементов, в справочных материалах не даются. Их надо знать. Все они изучаются в курсе геометрии за 7-8 класс. При подготовке к экзамену полезно выписать из учебника теоремы и время от времени перечитывать их.

Сложных вычислений в третьем задании нет. Бываю задания, где достаточно знать определение, а искомую величину можно отсчитать по клеточкам. Если решение получается в несколько действий – ищите способ проще.

Большинство задач можно решить несколькими способами.

Пример №1

Найдите большую диагональ ромба.

Решение: Собственно, все, что нужно знать – определение диагонали и понятие больше-меньше.

Ответ: 4 см.

Удивительно, что в профильной математике встречаются такие задания. И в них тоже допускают ошибки. Видимо, от неожиданности уровня сложности.

Пример №2

Найдите площадь треугольника.

Решение:

1) Достроим фигуру до прямоугольника. Его площадь равна 6*4=24

2) Найдем площади «лишних» прямоугольных треугольников

(4*4)/2=8 (зеленый)
(2*2)/2=2 (синий)
(6*2)/2=6 (красный)

3) Вычтем из площади прямоугольника лишние площади треугольников: 24-8-2-6=8

Ответ: 8.

Эту же задачу можно решить другим способом.

1) Треугольник является прямоугольным, так как его катеты расположены под углом 45 градусов к вертикальной линии.

2) Катеты найдем из прямоугольных треугольников

Sqrt(4^2+4^2)=4sqrt2 (четыре корня из двух)
Sqrt(2^2+2^2)=2sqrt2 (два корня из двух)

3) Площадь искомого треугольника равна половине произведения катетов: (4sqrt2*2sqrt2)/2=(4*2*2)/2=8

Ответ: 8.

Пример №3

Найдите площадь многоугольника

Решение: Разобьем многоугольник на удобные фигуры и найдем их площади.

Площадь зеленого треугольника 1*3/2=1,5
Площадь синего треугольника 2*1/2=1
Площадь красного треугольника 1*2/2=1
Площадь квадрата 2*2=4
Площадь многоугольника равна их сумме: 1,5+1+1+4=7,5

Ответ: 7,5.

Эту задачу можно решить и вычитанием из площади прямоугольника.

Ответ: 7,5.

Пример №4

Найти площадь многоугольника.

Решение: Можно найти площадь вычитанием, как и в предыдущих заданиях.

Но быстрее можно получить результат с помощью формулы Пика. Для этого нужно сосчитать точки с целыми координатами внутри фигуры (синие) и точки с целыми координатами на контуре фигуры (красные).

Ответ: 10,5

Формула Пика не указана в кодификаторе, применять ее при решении заданий с развернутым ответом нельзя. Но в заданиях с кратким ответом она позволяет сэкономить время. Проверьте справедливость формулы на предыдущих примерах.

Пример № 5

Найдите градусную меру угла АВС.

Решение: Точка А имеет нецелые координаты, однако теорема о вписанном и центральном углах позволяет легко решить задачу.

Проведем радиусы в точки А и С.

По рисунку видно, что центральный угол АОС равен 135 градусам. Вписанный угол АВС опирается на те же точки окружности А и С. Согласно теореме, он в два раза меньше центрального.

Ответ: 67,5.

Пример №6

Найдите тангенс угла.

Решение: Выделим смежный острый угол.

Выделим прямоугольный треугольник с целочисленными координатами вершин, содержащий этот угол. Найдем тангенс острого угла как отношение противолежащего (зеленого) катета к прилежащему (синему).

Тангенс смежного тупого угла противоположен по знаку.

Ответ: -4.

В завершении хочется еще раз напомнить: листы с заданиями не проверяются . Можно все необходимые построения и вычисления делать прямо на рисунке. Это позволяет избежать ошибок по невнимательности.

Профессиональный преподаватель также сделал подробный разбор и задания, с которыми можно ознакомиться по ссылкам.

В задании №3 профильного уровня ЕГЭ по математике мы будем работать с фигурами на квадратных решетках - вычислять параметры фигур - стороны или площади, а также расстояния между точками. Приступим непосредственно к разбору типовых вариантов.

Разбор типовых вариантов заданий №3 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник. Найдите площадь.

Алгоритм решения:

1. Подсчитываем длину основания и высоты.
2. Записываем формулу вычисления площади.
3. Вычисляем площадь.
4. Записываем ответ.

Решение:

1. Подсчитываем длины основания и высоты:

основание = 6,

высота = 2.

2. Записываем формулу площади треугольника: S= ah|2.

3. Вычисляем площадь: S= 6∙2/2=6

Второй вариант задания (из Ященко, №1)

Алгоритм решения:

1. Вычисляем среднюю линию.
2. Записываем ответ.

Решение:

1. По условию задачи каждая клетка представляет одну единицу длины. Тогда меньшее основание равно 3, большее – 4.

.

4. Значит, средняя линия равна 3,5.

Ответ: 3,5.

Третий вариант задания (из Ященко, №2)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Алгоритм решения:

1. Подсчитываем длину каждого основания и высоты трапеции.
2. Записываем формулу длины средней линии трапеции.
3. Вычисляем среднюю линию.
4. Записываем ответ.

Решение:

1. По условию задачи каждая клетка представляет одну единицу длины. Тогда меньшее основание равно 2, большее – 6.

2. Длина средней линии трапеции находится по формуле

Где a и b – длина верхнего и нижнего оснований трапеции.

4. Значит, средняя линия равна 4.

Четвертый вариант задания (из Ященко, №4)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины В.

Алгоритм решения:

1. Проведем перпендикуряры из вершин Аи С.
2. Построим биссектрису угла В.
3. Покажем, что биссектриса параллельна высотам.
4. Измерим длину биссектрисы.
5. Запишем ответ.

Решение:

1. Проведем из вершин А и С отрезки АВ 1 иСВ 2 , перпендикулярные прямой, содержащей вершину В на рисунке.

2. Построим биссектрису угла B.

3. Рассмотрим треугольники АВВ 1 иВВ 2 С. Они прямоугольные, тогда из соотношений в прямоугольных треугольниках

Это означает, что углы АВB 1 и СВB 2 равны, так как равны тангенсы этих углов.

Раз равны углы, то стороны AB и BC расположены под одним углом относительно вертикали (На рисунке она проведена синим). Эта вертикаль является биссектрисой. Длина биссектрисы по рисунку равна 3.

Пятый вариант задания (из Ященко, №7)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Алгоритм решения:

1. Рассмотрим рисунок и измерим основания.
2. Проведем высоту.
3. Запишем формулу площади трапеции.
4. Вычислим площадь по формуле.

Решение:

1. На рисунке основания равны 3 и 8.

2. Опустим высоту. Она рана 3.

3. Формула трапеции: S=h(a+b)/2, где a,b – основания, h – высота.

4. Вычислим площадь, подставив значения: S=3∙(3+8)/2=16,5

Следовательно, площадь данной трапеции равна 16,5.

Среднее общее образование

Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)

Математика

Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения

Экзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут).

Минимальный порог - 27 баллов.

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий.

Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:

• часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
• часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Панова Светлана Анатольевна , учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:

«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».

Задание № 1 - проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 - 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.

Пример 1. В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня - 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.

Решение:

1) Найдем количество потраченной воды за месяц:

177 - 172 = 5 (куб м)

2) Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Ответ: 170,85.

Задание № 2 -является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований - это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.

#ADVERTISING_INSERT#

Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?

Решение:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акций) - составляют 3/4 от всех купленных акций.

6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) - бизнесмен получил после продажи 1000 акций.

7) 340000 – 325000 = 15000 (руб) - потерял бизнесмен в результате всех операций.

Ответ: 15000.

Задание № 3 - является заданием базового уровня первой части, проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами по содержанию курса «Планиметрия». В задании 3 проверяется умение вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге, умение вычислять градусные меры углов, вычислять периметры и т.п.

Пример 3. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: Для вычисления площади данной фигуры можно воспользоваться формулой Пика:

Для вычисления площади данного прямоугольника воспользуемся формулой Пика:

Пример 4. На окружности отмечены 5 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.

Решение: 1) Воспользуемся формулой числа сочетаний из n элементов по k :

у которых все вершины красные.

3) Один пятиугольник, у которого все вершины красные.

4) 10 + 5 + 1 = 16 многоугольников, у которых все вершины красные.

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

8) Один шестиуголник, у которого вершины красные с одной синей вершиной.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоуголника, у которых все вершины красные или с одной синей вершиной.

10) 42 – 16 = 26 многоугольников, в которых используется синяя точка.

11) 26 – 16 = 10 многоугольников – на сколько многоугольников, у которых одна из вершин - синяя точка, больше, чем многоугольников, у которых все вершины только красные.

Ответ: 10.

Задание № 5 - базового уровня первой части проверяет умения решать простейшие уравнения (иррациональные, показательные, тригонометрические, логарифмические).

Пример 5. Решите уравнение 2 3 + x = 0,4 · 5 3 + x .

Решение. Разделим обе части данного уравнения на 5 3 + х ≠ 0, получим

откуда следует, что 3 + x = 1, x = –2.

Ответ: –2.

Задание № 6 по планиметрии на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), моделирование реальных ситуаций на языке геометрии. Исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем. Источником трудностей является, как правило, незнание или неверное применение необходимых теорем планиметрии.

Площадь треугольника ABC равна 129. DE – средняя линия, параллельная стороне AB . Найдите площадь трапеции ABED .

Решение. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам, так как угол при вершине C общий, угол СDE равен углу CAB как соответственные углы при DE || AB секущей AC . Так как DE – средняя линия треугольника по условию, то по свойству средней линии | DE = (1/2)AB . Значит, коэффициент подобия равен 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, S ABED = S ΔABC – S ΔCDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Задание № 7 - проверяет применение производной к исследованию функции. Для успешного выполнения необходимо содержательное, не формальное владение понятием производной.

Пример 7. К графику функции y = f (x ) в точке с абсциссой x 0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1) этого графика. Найдите f ′(x 0).

Решение. 1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и найдём уравнение прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x + 16| · (–1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x – 13, где k 1 = 4.

2) Найдём угловой коэффициент касательной k 2 , которая перпендикулярна прямой y = 4x – 13, где k 1 = 4, по формуле:

3) Угловой коэффициент касательной – производная функции в точке касания. Значит, f ′(x 0) = k 2 = –0,25.

Ответ: –0,25.

Задание № 8 - проверяет у участников экзамена знания по элементарной стереометрии, умение применять формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур, двугранных углов, сравнивать объемы подобных фигур, уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами и т.п.

Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Решение. 1) V куба = a 3 (где а – длина ребра куба), поэтому

а 3 = 216

а = 3 √216

2) Так как сфера вписана в куб, значит, длина диаметра сферы равна длине ребра куба, поэтому d = a , d = 6, d = 2R , R = 6: 2 = 3.

Задание № 9 - требует от выпускника навыков преобразования и упрощения алгебраических выражений. Задание № 9 повышенного уровня сложности с кратким ответом. Задания из раздела «Вычисления и преобразования» в ЕГЭ подразделяются на несколько видов:

преобразования числовых рациональных выражений;

преобразования алгебраических выражений и дробей;

преобразования числовых/буквенных иррациональных выражений;

действия со степенями;

преобразование логарифмических выражений;

1. преобразования числовых/буквенных тригонометрических выражений.

Пример 9. Вычислите tgα, если известно, что cos2α = 0,6 и

Решение. 1) Воспользуемся формулой двойного аргумента: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и найдём

Значит, tg 2 α = ± 0,5.

3) По условию

значит, α – угол II четверти и tgα < 0, поэтому tgα = –0,5.

Ответ: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Задание № 10 - проверяет у учащихся умение использовать приобретенные раннее знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Можно сказать, что это задачи по физике, а не по математике, но все необходимые формулы и величины даны в условии. Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства. Поэтому необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства, и определять ответ. Ответ должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Два тела массой m = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 10 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q = mv 2 sin 2 α. Под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Решение. Для решения задачи нам необходимо решить неравенство Q ≥ 50, на интервале 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2· 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 · sin 2 α ≥ 50

Так как α ∈ (0°; 90°), то будем решать только

Изобразим решение неравенства графически:

Так как по условию α ∈ (0°; 90°), значит 30° ≤ α < 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Задание № 11 - является типовым, но оказывается непростым для учащихся. Главным источником затруднений является построение математической модели (составление уравнения). Задание № 11 проверяет умение решать текстовые задачи.

Пример 11. На весенних каникулах 11-классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.

560 = (5 + a 16) · 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Ответ: 65.

Задание № 12 - проверяют у учащихся умение выполнять действия с функциями, уметь применять производную к исследованию функции.

Найти точку максимума функции y = 10ln(x + 9) – 10x + 1.

Решение: 1) Найдем область определения функции: x + 9 > 0, x > –9, то есть x ∈ (–9; ∞).

2) Найдем производную функции:

4) Найденная точка принадлежит промежутку (–9; ∞). Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума x = –8.

а) Решите уравнение 2log 3 2 (2cosx ) – 5log 3 (2cosx ) + 2 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение: а) Пусть log 3 (2cosx ) = t , тогда 2t 2 – 5t + 2 = 0,

б) Найдём корни, лежащие на отрезке .

Из рисунка видно, что заданному отрезку принадлежат корни

Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между хордами равно 2√197.

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Решение: а) Хорда длиной 12 находится на расстоянии = 8 от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, – на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14, либо 8 − 6 = 2.

Тогда расстояние между хордами составляет либо

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее. Что требовалось доказать.

б) Обозначим центры оснований за О 1 и О 2 . Проведем из центра основания с хордой длины 12 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 8, как уже отмечалось) и из центра другого основания - к другой хорде. Они лежат в одной плоскости β, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды B, большей A и проекцию A на второе основание - H (H ∈ β). Тогда AB,AH ∈ β и значит, AB,AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.

Значит, искомый угол равен

Задание № 15 - повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяет умение решать неравенства, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.

Пример 15. Решите неравенство |x 2 – 3x | · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Решение: Областью определения данного неравенства является интервал (–1; +∞). Рассмотри отдельно три случая:

1) Пусть x 2 – 3x = 0, т.е. х = 0 или х = 3. В этом случае данное неравенство превращается в верное, следовательно, эти значения входят в решение.

2) Пусть теперь x 2 – 3x > 0, т.е. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При этом данное неравенство можно переписать в виде (x 2 – 3x ) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 и разделить на положительное выражение x 2 – 3x . Получим log 2 (x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 –1 или x ≤ –0,5. Учитывая область определения, имеем x ∈ (–1; –0,5].

3) Наконец, рассмотрим x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). При этом исходное неравенство перепишется в виде (3x – x 2) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 . После деления на положительное выражение 3x – x 2 , получим log 2 (x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Учитывая область, имеем x ∈ (0; 1].

Объединяя полученные решения, получаем x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Ответ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Задание № 16 - повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E – на отрезке AB. а) Докажите, что FH = 2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.

Решение: а)

1) ΔBEF – прямоугольный, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тогда EF = BE по свойству катета, лежащего против угла 30°.

2) Пусть EF = DH = x , тогда BE = 2x , BF = x √3 по теореме Пифагора.

3) Так как ΔABC равнобедренный, значит, ∠B = ∠C = 30˚.

BD – биссектриса ∠B, значит ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Рассмотрим ΔDBH – прямоугольный, т.к. DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3 ) · 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Ответ: 24 – 12√3.

Пример 17. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн. рублей, где х - целое число. Найдите наибольшее значение х , при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.

Решение: В конце первого года вклад составит 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублей, а в конце второго – 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублей. В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит (24,2 + х ), а в конце - (24,2 + х) + (24,2 + х) · 0,1 = (26,62 + 1,1х ). В начале четвёртого года вклад составит (26,62 + 2,1х) , а в конце - (26,62 + 2,1х ) + (26,62 + 2,1х ) · 0,1 = (29,282 + 2,31х ). По условию, нужно найти наибольшее целое х, для которого выполнено неравенство

(29,282 + 2,31x ) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Наибольшее целое решение этого неравенства - число 24.

Ответ: 24.

При каких a система неравенств

имеет ровно два решения?

Решение: Данную систему можно переписать в виде

Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства, получится внутренность круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, а ). Множество решений второго неравенства – часть плоскости, лежащая под графиком функции y = | x | – a , причём последний есть график функции
y = | x | , сдвинутый вниз на а . Решение данной системы есть пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Следовательно, два решения данная система будет иметь лишь в случае, изображённом на рис. 1.

Точки касания круга с прямыми и будут двумя решениями системы. Каждая из прямых наклонена к осям под углом 45°. Значит, треугольник PQR – прямоугольный равнобедренный. Точка Q имеет координаты (0, а ), а точка R – координаты (0, –а ). Кроме того, отрезки PR и PQ равны радиусу окружности, равному 1. Значит,

Пусть Sn сумма п членов арифметической прогрессии (а п ). Известно, что S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

а) Укажите формулу п -го члена этой прогрессии.

б) Найдите наименьшую по модулю сумму S n .

в) Найдите наименьшее п , при котором S n будет квадратом целого числа.

Решение : а) Очевидно, что a n = S n – S n – 1 . Используя данную формулу, получаем:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n ,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n + 27

значит, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

Б) Так как S n = 2n 2 – 25n , то рассмотрим функцию S (x ) = | 2x 2 – 25x| . Ее график можно увидеть на рисунке.

Очевидно, что наименьшее значение достигается в целочисленных точках, расположенных наиболее близко к нулям функции. Очевидно, что это точки х = 1, х = 12 и х = 13. Поскольку, S (1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S (12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S (13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, то наименьшее значение равно 12.

в) Из предыдущего пункта вытекает, что Sn положительно, начиная с n = 13. Так как S n = 2n 2 – 25n = n (2n – 25), то очевидный случай, когда данное выражение является полным квадратом, реализуется при n = 2n – 25, то есть при п = 25.

Осталось проверить значения с 13 до 25:

S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.

Получается, что при меньших значениях п полный квадрат не достигается.

Ответ: а) a n = 4n – 27; б) 12; в) 25.

________________

*С мая 2017 года объединенная издательская группа «ДРОФА-ВЕНТАНА» входит в корпорацию «Российский учебник». В корпорацию также вошли издательство «Астрель» и цифровая образовательная платформа «LECTA». Генеральным директором назначен Александр Брычкин, выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук, руководитель инновационных проектов издательства «ДРОФА» в сфере цифрового образования (электронные формы учебников, «Российская электронная школа», цифровая образовательная платформа LECTA). До прихода в издательство «ДРОФА» занимал позицию вице-президента по стратегическому развитию и инвестициям издательского холдинга «ЭКСМО-АСТ». Сегодня издательская корпорация «Российский учебник» обладает самым крупным портфелем учебников, включенных в Федеральный перечень - 485 наименований (примерно 40%, без учета учебников для коррекционной школы). Издательствам корпорации принадлежат наиболее востребованные российскими школами комплекты учебников по физике, черчению, биологии, химии, технологии, географии, астрономии - областям знаний, которые нужны для развития производственного потенциала страны. В портфель корпорации входят учебники и учебные пособия для начальной школы, удостоенные Премии Президента в области образования. Это учебники и пособия по предметным областям, которые необходимы для развития научно-технического и производственного потенциала России.