Y x 2 çift veya tek. İşlev paritesi

İşlev Matematiksel kavramların en önemlilerinden biridir. İşlev - değişken bağımlılığı en değişkenden X, eğer her değer X tek bir değerle eşleşiyor en. Değişken X bağımsız değişken veya argüman denir. Değişken en bağımlı değişken denir. Bağımsız değişkenin tüm değerleri (değişken X) fonksiyonun tanım alanını oluşturur. Bağımlı değişkenin aldığı tüm değerler (değişken sen), fonksiyonun değer aralığını oluşturur.

Fonksiyon grafiği tüm noktaların kümesini çağır koordinat uçağı apsisleri argümanın değerlerine eşit olan ve koordinatları fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşit olan, yani değişkenin değerleri apsis ekseni boyunca çizilmiştir X ve değişkenin değerleri ordinat ekseni boyunca çizilir sen. Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için fonksiyonun özelliklerini bilmeniz gerekir. Fonksiyonun ana özellikleri aşağıda tartışılacaktır!

Bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için, fonksiyonların çevrimiçi grafiğini çizme programımızı kullanmanızı öneririz. Bu sayfadaki materyali incelerken herhangi bir sorunuz olursa, bunları her zaman forumumuzda sorabilirsiniz. Ayrıca forumda matematik, kimya, geometri, olasılık teorisi ve diğer birçok konudaki problemleri çözmenize yardımcı olacaklar!

Fonksiyonların temel özellikleri.

1) Fonksiyon alanı ve fonksiyon aralığı.

Bir fonksiyonun tanım kümesi tüm geçerli olanların kümesidir. gerçek değerler argüman X(değişken X), bunun için fonksiyon y = f(x) azimli.
Bir fonksiyonun aralığı tüm gerçek değerlerin kümesidir sen, işlevin kabul ettiği.

İlköğretim matematikte fonksiyonlar yalnızca gerçek sayılar kümesi üzerinde incelenir.

2) Fonksiyon sıfırları.

Değerler X, hangi y=0, isminde fonksiyon sıfırları. Bunlar fonksiyon grafiğinin Ox ekseni ile kesişme noktalarının apsisleridir.

3) Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları.

Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları bu tür değer aralıklarıdır X, burada fonksiyon değerleri sen ya yalnızca olumlu ya da yalnızca olumsuz denir fonksiyonun sabit işaretli aralıkları.

4) Fonksiyonun monotonluğu.

Artan bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), bu aralıktaki argümanın daha büyük bir değerinin, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geldiği bir fonksiyondur.

Azalan bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), bu aralıktaki argümanın daha büyük bir değerinin, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geldiği bir fonksiyondur.

5) Çift (tek) işlevi.

Çift fonksiyon, tanım bölgesi orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için bir fonksiyondur. X f(-x) = f(x). Çift fonksiyonun grafiği ordinat etrafında simetriktir.

Tek fonksiyon, tanım bölgesi orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için X tanım alanından eşitlik doğrudur f(-x) = - f(x). Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

Eşit işlev
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir; yani eğer nokta A tanım alanına aitse, o zaman nokta -A aynı zamanda tanım alanına da aittir.
2) Herhangi bir değer için X f(-x)=f(x)
3) Çift fonksiyonun grafiği Oy eksenine göre simetriktir.

Tek işlev aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir.
2) herhangi bir değer için X tanım alanına ait olan eşitlik f(-x)=-f(x)
3) Tek bir fonksiyonun grafiği orijine (0; 0) göre simetriktir.

Her fonksiyon çift veya tek değildir. Fonksiyonlar Genel görünüm ne çift ne de tektir.

6) Sınırlı ve sınırsız işlevler.

|f(x)| olacak şekilde pozitif bir M sayısı varsa, bir fonksiyona sınırlı fonksiyon denir. X'in tüm değerleri için ≤ M. Eğer böyle bir sayı yoksa fonksiyon sınırsızdır.

7) Fonksiyonun periyodikliği.

Bir f(x) fonksiyonu, fonksiyonun tanım alanındaki herhangi bir x için aşağıdakileri tutacak şekilde sıfırdan farklı bir T sayısı varsa periyodiktir: f(x+T) = f(x). Bu en küçük sayı fonksiyonun periyodu denir. Tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir. (Trigonometrik formüller).

İşlev F herhangi biri için öyle bir sayı varsa periyodik olarak adlandırılır. X tanım alanından eşitlik f(x)=f(x-T)=f(x+T). T fonksiyonun periyodudur.

Her periyodik fonksiyonun sonsuz sayıda periyodu vardır. Pratikte genellikle en küçük pozitif periyot dikkate alınır.

Periyodik bir fonksiyonun değerleri, periyoda eşit bir aralıktan sonra tekrarlanır. Bu, grafikler oluşturulurken kullanılır.

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Hedefler:

• Bir fonksiyonun parite ve teklik kavramını oluşturma, bu özellikleri belirleme ve gerektiğinde kullanma becerisini öğretmek fonksiyon araştırması, komplo kurmak;
• Öğrencilerin yaratıcı aktivitelerini geliştirmek, mantıksal düşünme karşılaştırma, genelleme yeteneği;
• sıkı çalışmayı ve matematik kültürünü geliştirmek; iletişim becerilerini geliştirmek .

Teçhizat: multimedya kurulumu, interaktif tahta, Bildiri.

Çalışma biçimleri: arama ve araştırma faaliyetlerinin unsurları ile ön ve grup.

Bilgi kaynakları:

1. Cebir 9. sınıf A.G. Mordkovich. Ders kitabı.
2. Cebir 9. sınıf A.G. Mordkovich. Sorun kitabı.
3. Cebir 9. sınıf. Öğrenci öğrenmesi ve gelişimi için görevler. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DERSLER SIRASINDA

1. Organizasyon anı

Ders için amaç ve hedeflerin belirlenmesi.

2. Ödev kontrol ediliyor

10.17 (9. sınıf problem kitabı. A.G. Mordkovich).

A) en = F(X), F(X) =

B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1.D( F) = [– 2; + ∞)
2.E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 X ~ 0,4
4. F(X) >0 en X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Fonksiyon şu şekilde artar: X € [– 2; + ∞)
6. Fonksiyon aşağıdan sınırlandırılmıştır.
7. en isim = – 3, en naib mevcut değil
8. Fonksiyon süreklidir.

(Bir işlev keşfetme algoritması kullandınız mı?) Slayt.

2.Slayttan size sorulan tabloyu kontrol edelim.

Tabloyu doldurun
	İhtisas	Fonksiyon sıfırları	İşaret sabitliği aralıkları		Grafiğin Oy ile kesiştiği noktaların koordinatları
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U Ü (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U Ü (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Bilgiyi güncelleme

– Fonksiyonlar verilmiştir.
– Her fonksiyonun tanım kapsamını belirtin.
– Her bir bağımsız değişken değeri çifti için her işlevin değerini karşılaştırın: 1 ve – 1; 2 ve – 2.
– Tanım alanındaki bu işlevlerden hangisi için eşitlikler geçerlidir? F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (elde edilen verileri tabloya girin) Slayt

4. Yeni materyal

- Uygulamak bu iş Arkadaşlar, fonksiyonun size tanıdık gelmeyen ama diğerlerinden daha az önemli olmayan bir özelliğini daha belirledik - bu, fonksiyonun düzgünlüğü ve tuhaflığıdır. Dersin konusunu yazın: "Çift ve tek fonksiyonlar", görevimiz bir fonksiyonun düzgünlüğünü ve tekliğini belirlemeyi öğrenmek, bu özelliğin fonksiyonların incelenmesinde ve grafiklerin çizilmesinde önemini bulmaktır.
O halde ders kitabındaki tanımları bulalım ve okuyalım (s. 110) . Slayt

Def. 1İşlev en = F (X X kümesinde tanımlanan ) denir eşit herhangi bir değer için ise XЄ X yürütülür eşitlik f(–x)= f(x). Örnekler ver.

Def. 2İşlev y = f(x) X kümesinde tanımlanan , denir garip herhangi bir değer için ise X? X f(–х)= –f(х) eşitliği geçerlidir. Örnekler ver.

“Çift” ve “tek” terimlerini nerede karşıladık?
Bu işlevlerden hangisinin çift olacağını düşünüyorsunuz? Neden? Hangileri tuhaf? Neden?
Formun herhangi bir işlevi için en= xn, Nerede N– bir tamsayı olduğunda fonksiyonun tek olduğu iddia edilebilir. N– tek ve fonksiyon çift olduğunda N- eşit.
– İşlevleri görüntüle en= ve en = 2X– 3 ne çift ne de tektir çünkü eşitlikler tatmin edici değil F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunun incelenmesine fonksiyonun eşlik çalışması denir. Slayt

Tanım 1 ve 2'de fonksiyonun x ve –x'deki değerlerinden bahsediyorduk, dolayısıyla fonksiyonun aynı zamanda değerde de tanımlandığı varsayılıyor. X ve - X.

Def 3. Bir sayısal küme, x öğelerinin her biri ile birlikte, aynı zamanda karşıt öğe olan -x'i de içeriyorsa, o zaman küme X simetrik küme denir.

Örnekler:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) simetrik kümelerdir ve , [–5;4] asimetriktir.

– Fonksiyonların bile simetrik bir küme olan bir tanım alanı var mı? Garip olanlar mı?
– Eğer D( F) asimetrik bir küme ise fonksiyon nedir?
– Böylece, eğer fonksiyon en = F(X) – çift veya tek ise tanım alanı D('dir) F) simetrik bir kümedir. Tersi ifade doğru mu: Bir fonksiyonun tanım tanım kümesi simetrik bir küme ise, o zaman çift mi yoksa tek mi?
– Bu, tanım alanının simetrik bir kümesinin varlığının gerekli bir koşul olduğu ancak yeterli olmadığı anlamına gelir.
– Peki bir fonksiyonu eşlik açısından nasıl incelersiniz? Bir algoritma oluşturmaya çalışalım.

Slayt

Eşlik fonksiyonunu incelemek için algoritma

1. Fonksiyonun tanım tanım kümesinin simetrik olup olmadığını belirleyin. Değilse, o zaman fonksiyon ne çift ne de tektir. Cevabınız evet ise algoritmanın 2. adımına geçin.

2. için bir ifade yazın F(–X).

3. Karşılaştırın F(–X).Ve F(X):

• Eğer F(–X).= F(X), o zaman fonksiyon çifttir;
• Eğer F(–X).= – F(X), o zaman fonksiyon tektir;
• Eğer F(–X) ≠ F(X) Ve F(–X) ≠ –F(X), bu durumda fonksiyon ne çift ne de tektir.

Örnekler:

Eşlik açısından a) fonksiyonunu inceleyin en= x 5 +; B) en= ; V) en= .

Çözüm.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrik küme.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => fonksiyonu h(x)= x 5 + tek.

b) y =,

en = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrik bir kümedir; bu, fonksiyonun ne çift ne de tek olduğu anlamına gelir.

V) F(X) = , y = f(x),

1)D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

seçenek 2

1. Verilen küme simetrik midir: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

Karşılıklı kontrol açık slayt.

6. Ödev: №11.11, 11.21,11.22;

Parite özelliğinin geometrik anlamının kanıtı.

***(Birleşik Devlet Sınavı seçeneğinin atanması).

1. y = f(x) tek fonksiyonu sayı doğrusunun tamamında tanımlıdır. x değişkeninin negatif olmayan herhangi bir değeri için, bu fonksiyonun değeri, g( fonksiyonunun değeriyle çakışır. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( fonksiyonunun değerini bulun X) = en X = 3.

7. Özetleme

Bunlar size bir dereceye kadar tanıdık geliyordu. Burada ayrıca fonksiyon özellikleri stoğunun kademeli olarak yenileneceği de belirtildi. Bu bölümde iki yeni özellik ele alınacaktır.

Tanım 1.

y = f(x), x є X fonksiyonu, X kümesindeki herhangi bir x değeri için f(-x) = f(x) eşitliği sağlansa bile çağrılır.

Tanım 2.

X kümesindeki herhangi bir x değeri için f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanıyorsa, y = f(x), x є X fonksiyonuna tek fonksiyon denir.

y = x 4'ün çift fonksiyon olduğunu kanıtlayın.

Çözüm. Elimizde: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ama(-x) 4 = x 4. Bu, herhangi bir x için f(-x) = f(x) eşitliğinin geçerli olduğu anlamına gelir; fonksiyon eşittir.

Benzer şekilde y - x 2, y = x 6, y - x 8 fonksiyonlarının çift olduğu kanıtlanabilir.

y = x 3 ~ olduğunu kanıtlayın Tek işlev.

Çözüm. Elimizde: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ama (-x) 3 = -x 3. Bu, herhangi bir x için f(-x) = -f(x) eşitliğinin geçerli olduğu anlamına gelir; fonksiyon tuhaftır.

Benzer şekilde y = x, y = x 5, y = x 7 fonksiyonlarının tek olduğu kanıtlanabilir.

Siz ve ben, matematikteki yeni terimlerin çoğu zaman "dünyevi" bir kökene sahip olduğuna defalarca ikna olduk, yani. bir şekilde açıklanabilirler. Bu durum hem çift hem de tek fonksiyonlarda geçerlidir. Bakınız: y - x 3, y = x 5, y = x 7 tek fonksiyonlardır, y = x 2, y = x 4, y = x 6 ise çift fonksiyonlardır. Ve genel olarak, n'nin bir doğal sayı olduğu y = x" formundaki herhangi bir fonksiyon için (aşağıda bu fonksiyonları özellikle inceleyeceğiz), şu sonuca varabiliriz: eğer n tek bir sayı ise, o zaman y = x" fonksiyonu şu şekildedir: garip; eğer n bir çift sayıysa, o zaman y = xn fonksiyonu da çifttir.

Ayrıca ne çift ne de tek olan fonksiyonlar da vardır. Örneğin y = 2x + 3 fonksiyonu böyledir. Aslında f(1) = 5 ve f(-1) = 1. Dolayısıyla burada da görebildiğiniz gibi ne f(-x) = özdeşliği vardır f ( x), ne de f(-x) = -f(x) özdeşliği.

Yani bir fonksiyon çift olabilir, tek olabilir veya ikisi de olmayabilir.

Belirli bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunun incelenmesine genellikle eşlik çalışması denir.

Tanım 1 ve 2'de Hakkında konuşuyoruz fonksiyonun x ve -x noktalarındaki değerleri hakkında. Bu, fonksiyonun hem x noktasında hem de -x noktasında tanımlandığını varsayar. Bu, -x noktasının, x noktasıyla aynı anda fonksiyonun tanım bölgesine ait olduğu anlamına gelir. Eğer bir X sayısal kümesi, x elemanlarının her biri ile birlikte aynı zamanda karşıt eleman olan -x'i de içeriyorsa, X'e simetrik küme denir. Diyelim ki (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) simetrik kümeler, \).

\(x^2\geqslant 0\) olduğundan, denklemin sol tarafı (*) \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\)'den büyük veya ona eşittir.

Dolayısıyla eşitlik (*) yalnızca denklemin her iki tarafı da \(\mathrm(tg)^2\,1\) değerine eşit olduğunda doğru olabilir. Ve bu şu anlama geliyor \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(case) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Dolayısıyla \(a=-\mathrm(tg)\,1\) değeri bize uygundur.

Cevap:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Görev 2 #3923

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

Her biri için fonksiyonun grafiği olan \(a\) parametresinin tüm değerlerini bulun. \

orijine göre simetriktir.

Bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetrikse, bu durumda böyle bir fonksiyon tektir, yani \(f(-x)=-f(x)\) tanım kümesindeki herhangi bir \(x\) için geçerlidir fonksiyonun tanımı. Bu nedenle \(f(-x)=-f(x).\) olan parametre değerlerinin bulunması gerekmektedir.

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

Son denklem \(f(x)\'in tanım kümesindeki tüm \(x\)'ler için sağlanmalıdır, dolayısıyla, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Cevap:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Görev 3 #3069

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

\(a\) parametresinin tüm değerlerini bulun; her biri için \ denkleminin 4 çözümü vardır; burada \(f\), \(T=\dfrac(16)3\) periyoduna sahip çift periyodik bir fonksiyondur. tüm sayı doğrusunda tanımlıdır ve \(f(x)=ax^2\) için \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Abonelerden gelen görev)

\(f(x)\) çift fonksiyon olduğundan grafiği ordinat eksenine göre simetriktir, bu nedenle \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Böylece ne zaman \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) ve bu uzunluk \(\dfrac(16)3\) , işlev \(f(x)=ax^2\) olan bir segmenttir.

1) \(a>0\) olsun. O zaman \(f(x)\) fonksiyonunun grafiği şöyle görünecektir:


O halde denklemin 4 çözümü olması için \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) grafiğinin \(A\) noktasından geçmesi gerekir:


Buradan, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(hizalanmış)\end(toplandı)\sağ. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(toplandı)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( toplandı)\doğru.\]\(a>0\) olduğundan \(a=\dfrac(18)(23)\) uygundur.

2) \(a) olsun<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


\(g(x)\) grafiğinin \(B\) noktasından geçmesi gerekir: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(toplandı)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(gathered)\right.\]Çünkü \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) \(a=0\)'ın uygun olmadığı durum, o zamandan beri tüm \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) ve \(f(x)=0\) için Denklemin sadece 1 kökü olacaktır.

Cevap:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Görev 4 #3072

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

Denklemin her biri için \(a\)'nın tüm değerlerini bulun \

en az bir kökü vardır.

(Abonelerden gelen görev)

Denklemi formda yeniden yazalım. \ ve iki fonksiyonu düşünün: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) ve \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
\(g(x)\) fonksiyonu çifttir ve minimum noktası \(x=0\) (ve \(g(0)=49\) )'dir.
\(x>0\) için \(f(x)\) fonksiyonu azalıyor ve \(x) için<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Aslında, \(x>0\) olduğunda ikinci modül pozitif olarak açılacaktır (\(|x|=x\) ), dolayısıyla, ilk modülün nasıl açılacağına bakılmaksızın, \(f(x)\) eşit olacaktır \(kx+A\)'ye; burada \(A\), \(a\)'nın ifadesidir ve \(k\) \(-9\) veya \(-3\)'ye eşittir. Ne zaman \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Maksimum noktada \(f\) değerini bulalım: \

Denklemin en az bir çözümü olabilmesi için \(f\) ve \(g\) fonksiyonlarının grafiklerinin en az bir kesişim noktasına sahip olması gerekir. Bu nedenle şunlara ihtiyacınız var: \ \\]

Cevap:

\(a\in \(-7\)\fincan\)

Görev 5 #3912

Görev düzeyi: Birleşik Devlet Sınavına Eşit

Her biri için denklem olan \(a\) parametresinin tüm değerlerini bulun \

altı farklı çözümü vardır.

Değiştirmeyi \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) yapalım. O zaman denklem şu şekli alacaktır \ Orijinal denklemin altı çözüme sahip olacağı koşulları yavaş yavaş yazacağız.
İkinci dereceden denklem \((*)\)'in en fazla iki çözümü olabileceğini unutmayın. Herhangi bir kübik denklem \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) üçten fazla çözüme sahip olamaz. Bu nedenle, \((*)\) denkleminin iki farklı çözümü varsa (pozitif!, çünkü \(t\) sıfırdan büyük olmalıdır) \(t_1\) ve \(t_2\) o zaman bunun tersini yaparak yerine koyarsak şunu elde ederiz: \[\left[\begin(toplanmış)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(hizalanmış)\end(toplandı)\sağ.\] Herhangi bir pozitif sayı bir dereceye kadar \(\sqrt2\) olarak temsil edilebildiğinden, örneğin, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), daha sonra setin ilk denklemi formda yeniden yazılacaktır. \ Daha önce de söylediğimiz gibi, herhangi bir kübik denklemin üçten fazla çözümü yoktur, dolayısıyla kümedeki her denklemin üçten fazla çözümü olmayacaktır. Bu, tüm setin altıdan fazla çözümü olmayacağı anlamına gelir.
Bu, orijinal denklemin altı çözümü olması için, ikinci dereceden denklem \((*)\)'in iki farklı çözümü olması gerektiği ve sonuçta ortaya çıkan her kübik denklemin (kümeden) üç farklı çözümü olması gerektiği (ve tek bir çözüme sahip olmaması gerektiği anlamına gelir. bir denklem herhangi biriyle çakışmalıdır -ikincinin kararıyla!)
Açıkçası, eğer ikinci dereceden denklem \((*)\)'in bir çözümü varsa, o zaman orijinal denklemin altı çözümünü elde edemeyiz.

Böylece çözüm planı netleşir. Karşılanması gereken koşulları madde madde yazalım.

1) \((*)\) denkleminin iki farklı çözüme sahip olması için diskriminantının pozitif olması gerekir: \

2) Ayrıca her iki kökün de pozitif olması gerekir (çünkü \(t>0\) ). İki kökün çarpımı pozitifse ve toplamları pozitifse, o zaman köklerin kendisi de pozitif olacaktır. Bu nedenle şunlara ihtiyacınız var: \[\begin(case) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(case)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Böylece kendimize zaten iki farklı pozitif kök \(t_1\) ve \(t_2\) sağladık.

3) Bu denkleme bakalım \ Hangi \(t\) için üç farklı çözümü olacak?
\(f(x)=x^3-3x^2+4\) fonksiyonunu düşünün.
Faktörlere ayrılabilir: \ Bu nedenle sıfırları şöyledir: \(x=-1;2\) .
\(f"(x)=3x^2-6x\) türevini bulursak, iki uç nokta \(x_(max)=0, x_(min)=2\) elde ederiz.
Bu nedenle grafik şöyle görünür:


Herhangi bir yatay çizginin \(y=k\) olduğunu görüyoruz, burada \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\)üç farklı çözümü vardı, \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Böylece ihtiyacınız var: \[\begin(case) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Hemen şunu da belirtelim ki eğer \(t_1\) ve \(t_2\) sayıları farklıysa o zaman \(\log_(\sqrt2)t_1\) ve \(\log_(\sqrt2)t_2\) sayıları şöyle olacaktır: farklı, yani denklemler \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Ve \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) farklı kökleri olacaktır.
\((**)\) sistemi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir: \[\begin(case) 1

Böylece \((*)\) denkleminin her iki kökünün de \((1;4)\) aralığında olması gerektiğini belirledik. Bu durum nasıl yazılır?
Kökleri açıkça yazmayacağız.
\(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) fonksiyonunu düşünün. Grafiği, x ekseni ile iki kesişme noktasına sahip, yukarı doğru dalları olan bir paraboldür (bu koşulu paragraf 1'de yazdık)). X ekseniyle kesişme noktalarının \((1;4)\) aralığında olması için grafiği nasıl görünmelidir? Bu yüzden:


Birincisi, fonksiyonun \(1\) ve \(4\) noktalarındaki \(g(1)\) ve \(g(4)\) değerleri pozitif olmalı ve ikinci olarak, fonksiyonun tepe noktası olmalıdır. \(t_0\ ) parabolünün de \((1;4)\) aralığında olması gerekir. Bu nedenle sistemi yazabiliriz: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) her zaman en az bir köke sahiptir \(x=0\) . Bu, problemin koşullarını yerine getirmek için denklemin gerekli olduğu anlamına gelir. \

sıfırdan farklı dört farklı kökü vardı ve \(x=0\) ile birlikte bir aritmetik ilerlemeyi temsil ediyordu.

\(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) fonksiyonunun çift olduğuna dikkat edin; bu, \(x_0\)'ın \( denkleminin kökü olduğu anlamına gelir. (*)\ ) , o zaman \(-x_0\) da onun kökü olacaktır. O halde bu denklemin köklerinin artan sırada sıralanmış sayılar olması gerekir: \(-2d, -d, d, 2d\) (sonra \(d>0\)). İşte o zaman bu beş sayı bir aritmetik ilerleme oluşturacaktır (\(d\) farkıyla).

Bu köklerin \(-2d, -d, d, 2d\) sayıları olabilmesi için \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) sayılarının kökleri olması gerekir. \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) denklemi. O halde Vieta teoremine göre:

Denklemi formda yeniden yazalım. \ ve iki fonksiyonu düşünün: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) ve \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
\(g(x)\) fonksiyonunun bir maksimum noktası \(x=0\) vardır (ve \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Sıfır türevi: \(x=0\) . Ne zaman \(x<0\) имеем: \(g">0\) , \(x>0\) için : \(g"<0\) .
\(x>0\) için \(f(x)\) fonksiyonu artıyor ve \(x) için<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Aslında, \(x>0\) olduğunda ilk modül pozitif olarak açılacaktır (\(|x|=x\)), bu nedenle, ikinci modülün nasıl açılacağına bakılmaksızın, \(f(x)\) eşit olacaktır \(kx+A\)'ye; burada \(A\), \(a\)'nın ifadesidir ve \(k\) \(13-10=3\) veya \(13+10)'a eşittir =23\) . Ne zaman \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Minimum noktada \(f\) değerini bulalım: \

Denklemin en az bir çözümü olabilmesi için \(f\) ve \(g\) fonksiyonlarının grafiklerinin en az bir kesişim noktasına sahip olması gerekir. Bu nedenle şunlara ihtiyacınız var: \ Bu sistem kümesini çözerek şu cevabı alırız: \\]

Cevap:

\(a\in \(-2\)\fincan\)

Bir y değişkeninin, her bir x değerinin tek bir y değerine karşılık geldiği bir x değişkenine bağımlılığına fonksiyon denir. Gösterim için y=f(x) gösterimini kullanın. Her fonksiyonun monotonluk, eşlik, periyodiklik ve diğerleri gibi bir takım temel özellikleri vardır.

Parite özelliğine daha yakından bakın.

Aşağıdaki iki koşulu karşılasa bile y=f(x) fonksiyonu çağrılır:

2. Fonksiyonun tanım bölgesine ait olan fonksiyonun x noktasındaki değeri, fonksiyonun -x noktasındaki değerine eşit olmalıdır. Yani, herhangi bir x noktası için, fonksiyonun tanım bölgesinden aşağıdaki eşitliğin sağlanması gerekir: f(x) = f(-x).

Çift fonksiyonun grafiği

Çift fonksiyonun grafiğini çizerseniz, Oy eksenine göre simetrik olacaktır.

Örneğin, y=x^2 fonksiyonu çifttir. Hadi kontrol edelim. Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır, yani O noktasına göre simetriktir.

Keyfi bir x=3 alalım. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Dolayısıyla f(x) = f(-x). Böylece her iki koşul da sağlanır, yani fonksiyon çifttir. Aşağıda y=x^2 fonksiyonunun grafiği bulunmaktadır.

Şekil grafiğin Oy eksenine göre simetrik olduğunu göstermektedir.

Tek bir fonksiyonun grafiği

Bir y=f(x) fonksiyonu aşağıdaki iki koşulu karşılıyorsa tek fonksiyon olarak adlandırılır:

1. Belirli bir fonksiyonun tanım bölgesi, O noktasına göre simetrik olmalıdır. Yani, eğer bir a noktası, fonksiyonun tanım bölgesine aitse, o zaman karşılık gelen -a noktası da tanım alanına ait olmalıdır. verilen fonksiyonun

2. Herhangi bir x noktası için, fonksiyonun tanım bölgesinden aşağıdaki eşitliğin sağlanması gerekir: f(x) = -f(x).

Tek bir fonksiyonun grafiği, koordinatların orijini olan O noktasına göre simetriktir. Örneğin, y=x^3 fonksiyonu tektir. Hadi kontrol edelim. Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır, yani O noktasına göre simetriktir.

Keyfi bir x=2 alalım. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Dolayısıyla f(x) = -f(x). Yani her iki koşul da sağlanıyor, bu da fonksiyonun tek olduğu anlamına geliyor. Aşağıda y=x^3 fonksiyonunun grafiği bulunmaktadır.

Şekil y=x^3 tek fonksiyonunun orijine göre simetrik olduğunu açıkça göstermektedir.