Trigonometrik formüller cos a cos. Temel trigonometrik özdeşlikler, formülasyonları ve türetilmesi

“A Alın” video kursu başarılı olmak için gerekli tüm konuları içerir Birleşik Devlet Sınavını geçmek matematikte 60-65 puan. Tamamen tüm problemler 1-13 Profil Birleşik Devlet Sınavı matematik. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Hızlı yollar Birleşik Devlet Sınavının çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans malzemesi, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.

Temel trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant) arasındaki ilişkiler verilmiştir. trigonometrik formüller. Trigonometrik fonksiyonlar arasında oldukça fazla bağlantı olduğu için bu, trigonometrik formüllerin bolluğunu açıklamaktadır. Bazı formüller aynı açının trigonometrik fonksiyonlarını birbirine bağlar, diğerleri - çok açılı fonksiyonlar, diğerleri - dereceyi azaltmanıza izin verir, dördüncü - tüm fonksiyonları yarım açının tanjantı ile ifade eder, vb.

Bu yazıda trigonometri problemlerinin büyük çoğunluğunu çözmeye yeterli olan tüm temel trigonometrik formülleri sırayla listeleyeceğiz. Ezberleme ve kullanım kolaylığı açısından bunları amaçlarına göre gruplandırıp tablolara koyacağız.

Sayfada gezinme.

Temel trigonometrik kimlikler

Temel trigonometrik kimlikler Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bunlar sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımlarının yanı sıra birim çember kavramından kaynaklanır. Bir trigonometrik fonksiyonu diğerine göre ifade etmenize izin verirler.

Bu trigonometri formüllerinin ayrıntılı bir açıklaması, bunların türetilmesi ve uygulama örnekleri için makaleye bakın.

Azaltma formülleri

Azaltma formülleri sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın özelliklerinden kaynaklanır, yani trigonometrik fonksiyonların periyodiklik özelliğini, simetri özelliğini ve ayrıca belirli bir açıyla kayma özelliğini yansıtırlar. Bu trigonometrik formüller, rastgele açılarla çalışmaktan sıfır ila 90 derece arasındaki açılarla çalışmaya geçiş yapmanızı sağlar.

Bu formüllerin mantığı, bunları ezberlemek için anımsatıcı bir kural ve uygulama örnekleri makalede incelenebilir.

Toplama formülleri

Trigonometrik toplama formülleriİki açının toplamı veya farkının trigonometrik fonksiyonlarının bu açıların trigonometrik fonksiyonları cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu formüller aşağıdaki trigonometrik formüllerin türetilmesi için temel oluşturur.

İkili, üçlü vb. formüller. açı

İkili, üçlü vb. formüller. açı (bunlara çoklu açı formülleri de denir) ikili, üçlü vb. trigonometrik fonksiyonların nasıl olduğunu gösterir. açılar (), tek bir açının trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade edilir. Bunların türetilmesi toplama formüllerine dayanmaktadır.

Daha detaylı bilgi makale formüllerinde ikili, üçlü vb. için toplanır. açı

Yarım açı formülleri

Yarım açı formülleri yarım açının trigonometrik fonksiyonlarının tam açının kosinüsü cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu trigonometrik formüller çift açı formüllerinden kaynaklanmaktadır.

Sonuçları ve uygulama örnekleri makalede bulunabilir.

Derece azaltma formülleri

Dereceleri azaltmak için trigonometrik formüller trigonometrik fonksiyonların doğal kuvvetlerinden birinci dereceden sinüs ve kosinüslere, ancak çoklu açılara geçişi kolaylaştırmak için tasarlanmıştır. Başka bir deyişle trigonometrik fonksiyonların kuvvetlerini birinciye düşürmenize olanak tanırlar.

Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller

Asıl amaç trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller Trigonometrik ifadeleri basitleştirirken çok yararlı olan fonksiyonların çarpımına gitmektir. Bu formüller aynı zamanda çözümde de yaygın olarak kullanılmaktadır. trigonometrik denklemlerçünkü sinüs ve kosinüslerin toplamını ve farkını çarpanlara ayırmanıza izin verirler.

Sinüs, kosinüs ve sinüs-kosinüs çarpımı için formüller

Trigonometrik fonksiyonların çarpımından bir toplam veya farka geçiş, sinüs, kosinüs ve sinüs kosinüs çarpımı formülleri kullanılarak gerçekleştirilir.

Telif hakkı akıllı öğrencilere aittir

Her hakkı saklıdır.
Telif hakkı yasasıyla korunmaktadır. www.sitenin hiçbir kısmı dahil iç malzemeler ve görünümü, telif hakkı sahibinin önceden yazılı izni olmaksızın hiçbir biçimde çoğaltılamaz veya kullanılamaz.

Bu yazımızda kapsamlı bir şekilde ele alacağız. Temel trigonometrik kimlikler, bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasında bağlantı kuran ve bu trigonometrik fonksiyonlardan herhangi birinin bilinen bir diğeri aracılığıyla bulunmasını sağlayan eşitliklerdir.

Bu yazımızda analiz edeceğimiz ana trigonometrik özdeşlikleri hemen listeleyelim. Bunları bir tablo halinde yazalım ve aşağıda bu formüllerin çıktılarını verip gerekli açıklamaları yapacağız.

Sayfada gezinme.

Bir açının sinüsü ve kosinüsü arasındaki ilişki

Bazen yukarıdaki tabloda listelenen ana trigonometrik özdeşlikler hakkında değil, tek bir tane hakkında konuşurlar. temel trigonometrik kimlik tür . Bu gerçeğin açıklaması oldukça basittir: Eşitlikler, ana trigonometrik özdeşliğin her iki parçasını da sırasıyla ve'ye bölerek elde edilir ve eşitlikler Ve sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarından takip edin. Bunu aşağıdaki paragraflarda daha ayrıntılı olarak konuşacağız.

Yani, trigonometrik özdeşliğin adı verilen, özellikle ilgi çekici olan eşitliktir.

Ana trigonometrik özdeşliği kanıtlamadan önce formülasyonunu veriyoruz: bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı aynı şekilde bire eşittir. Şimdi bunu kanıtlayalım.

Temel trigonometrik özdeşlik şu durumlarda sıklıkla kullanılır: trigonometrik ifadeleri dönüştürme. Bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının bir ile değiştirilmesine olanak sağlar. Daha az sıklıkla, temel trigonometrik özdeşlik ters sırada kullanılır: birimin yerini herhangi bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı alır.

Sinüs ve kosinüs yoluyla teğet ve kotanjant

Bir bakış açısının sinüs ve kosinüsü ile teğet ve kotanjantı birleştiren kimlikler ve sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarını hemen takip edin. Aslında, tanım gereği sinüs, y'nin ordinatıdır, kosinüs, x'in apsisidir, teğet, ordinatın apsise oranıdır, yani, ve kotanjant apsisin koordinata oranıdır, yani, .

Kimliklerin bu kadar açık olması sayesinde Teğet ve kotanjant genellikle apsis ve ordinat oranıyla değil, sinüs ve kosinüs oranıyla tanımlanır. Yani bir açının tanjantı, sinüsün bu açının kosinüsüne oranıdır ve kotanjant da kosinüsün sinüse oranıdır.

Bu paragrafın sonunda belirtmek gerekir ki, kimlikler ve İçerdiği trigonometrik fonksiyonların anlamlı olduğu tüm açılarda gerçekleşir. Dolayısıyla formül, (aksi halde payda sıfır olur ve sıfıra bölmeyi tanımlamadık) dışında herhangi biri için geçerlidir ve formül - hepsi için, farklı, burada z herhangi bir değerdir.

Teğet ve kotanjant arasındaki ilişki

Önceki ikisinden daha belirgin bir trigonometrik özdeşlik, formun bir açısının teğetini ve kotanjantını birleştiren özdeşliktir. . Bunun dışındaki tüm açılar için geçerli olduğu açıktır, aksi takdirde teğet veya kotanjant tanımlanmaz.

Formülün kanıtı Çok basit. Tanım gereği ve nereden . Kanıt biraz daha farklı bir şekilde gerçekleştirilebilirdi. O zamandan beri , O .

Yani anlamlı oldukları aynı açının teğet ve kotanjantı .

Teğet (tg x) ve kotanjant (ctg x) için referans verileri. Geometrik tanım, özellikler, grafikler, formüller. Teğet ve kotanjant tablosu, türevler, integraller, seri açılımları. Karmaşık değişkenler aracılığıyla ifadeler. Hiperbolik fonksiyonlarla bağlantı.

Geometrik tanım

|BD| - A noktasında merkezi olan bir daire yayının uzunluğu.
α, radyan cinsinden ifade edilen açıdır.

Teğet ( ten rengi α) - Bu trigonometrik fonksiyon hipotenüs ile bacak arasındaki α açısına bağlı olarak dik üçgen, karşı kenarın uzunluğunun oranına eşit |BC| bitişik bacağın uzunluğuna |AB| .

Kotanjant ( ctg α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısına bağlı olan ve bitişik kenarı |AB|'nin uzunluğunun oranına eşit olan trigonometrik bir fonksiyondur. karşı bacağın uzunluğuna |BC| .

Teğet

Nerede N- tüm.

Batı literatüründe teğet şu şekilde ifade edilir:
.
;
;
.

Teğet fonksiyonunun grafiği, y = tan x

Kotanjant

Nerede N- tüm.

Batı literatüründe kotanjant şu şekilde ifade edilir:
.
Aşağıdaki gösterimler de kabul edilir:
;
;
.

Kotanjant fonksiyonunun grafiği, y = ctg x

Teğet ve kotanjantın özellikleri

Periyodiklik

Fonksiyonlar y = tg x ve y = ctgxπ periyodu ile periyodiktir.

Parite

Teğet ve kotanjant fonksiyonlar tektir.

Tanım ve değer alanları, artan, azalan

Teğet ve kotanjant fonksiyonlar kendi tanım alanlarında süreklidir (bkz. süreklilik kanıtı). Teğet ve kotanjantın temel özellikleri tabloda sunulmaktadır ( N- tüm).

Formüller

Sinüs ve kosinüs kullanan ifadeler

; ;
; ;
;

Toplam ve farktan teğet ve kotanjant formülleri

Geriye kalan formüllerin elde edilmesi kolaydır; örneğin

Teğetlerin çarpımı

Teğetlerin toplamı ve farkı için formül

Bu tablo, argümanın belirli değerleri için teğet ve kotanjant değerlerini sunar.

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler

Hiperbolik fonksiyonlar aracılığıyla ifadeler

;
;

Türevler

; .

.
Fonksiyonun x değişkenine göre n'inci dereceden türevi:
.
Teğet formüllerinin türetilmesi > > >; kotanjant için > > >

İntegraller

Seri genişletmeler

Teğetin x'in kuvvetleri cinsinden açılımını elde etmek için, fonksiyonlara yönelik bir kuvvet serisindeki açılımın birkaç terimini almanız gerekir. günah x Ve çünkü x ve bu polinomları birbirine bölelim, . Bu, aşağıdaki formülleri üretir.

tarihinde.

.
Nerede Bn- Bernoulli sayıları. Bunlar ya yineleme ilişkisinden belirlenir:
;
;
Nerede .
Veya Laplace'ın formülüne göre:

Ters fonksiyonlar

Teğet ve kotanjantın ters fonksiyonları sırasıyla arktanjant ve arkkotanjanttır.

Arktanjant, arktg

, Nerede N- tüm.

Arkotanjant, arkctg

, Nerede N- tüm.

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.
G. Korn, Bilim Adamları ve Mühendisler için Matematik El Kitabı, 2012.