Sayı çemberi. Koordinat düzleminde daire

Tanım. Sayı çemberinin M noktası t sayısına karşılık geliyorsa, M noktasının apsisine t sayısının kosinüsü denir ve gösterilir yani ve M noktasının ordinatına t sayısının sinüsü denir ve gösterilir günah.
Eğer M(t) = M(x;y), o zaman x = maliyet, y = sint.

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Koordinat düzlemindeki sayı çemberi

Tekrarlayalım: Birim çember, yarıçapı 1 olan bir sayı çemberidir. R=1 C=2 π + - y x

Sayı çemberinin M noktası t sayısına karşılık geliyorsa, bu aynı zamanda t+2 π k formundaki bir sayıya da karşılık gelir; burada k herhangi bir tam sayıdır (k ϵ Z). M(t) = M(t+2 π k), burada k ϵ Z

Temel düzenler Birinci düzen 0 π y x İkinci düzen y x

x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

M noktasının bu noktaya karşılık gelen koordinatlarını bulalım. 1) 2) x y MP 45° O A

İlk yerleşimin ana noktalarının koordinatları 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A Bu noktaya karşılık gelen M noktasının koordinatlarını bulalım. 1) 2) 30°

M P Noktaya karşılık gelen M noktasının koordinatlarını bulalım. 1) 2) 30° x y O A B

Simetri özelliğini kullanarak y x'in katları olan noktaların koordinatlarını buluruz

İkinci düzenin ana noktalarının koordinatları x y x y y x

Örnek Sayı çemberindeki bir noktanın koordinatlarını bulun. Çözüm: P y x

Örnek Sayı çemberinde ordinatı olan noktaları bulun Çözüm: y x ​​​​x y x y

Alıştırmalar: Sayı çemberi üzerindeki noktaların koordinatlarını bulun: a) , b) . Sayı çemberi üzerinde apsisli noktaları bulun.

Ana noktaların koordinatları 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 İlk yerleşimin ana noktalarının koordinatları x y x y Ana yerleşimin koordinatları ikinci düzenin noktaları

Konuyla ilgili: metodolojik gelişmeler, sunumlar ve notlar

Cebir üzerine didaktik materyal ve 10. sınıfta analizin başlangıcı (profil seviyesi) "Koordinat düzleminde sayı çemberi"

Seçenek 1.1. Sayı çemberi üzerindeki noktayı bulun: A) -2∏/3B) 72. Sayı çemberinin hangi çeyreği 16.3 noktasını oluşturur....

Birim numarası çemberini koordinat düzlemine yerleştirirseniz noktalarının koordinatlarını bulabilirsiniz. Sayı çemberi, merkezi düzlemin orijiniyle, yani O (0; 0) noktasıyla çakışacak şekilde konumlandırılır.

Genellikle birim numaralı daire üzerinde dairenin kökenine karşılık gelen noktalar işaretlenir

• çeyrekler - 0 veya 2π, π/2, π, (2π)/3,
• orta çeyrekler - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• çeyreğin üçte biri - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Yukarıdaki konumun bulunduğu koordinat düzleminde birim çemberçember üzerinde bu noktalara karşılık gelen koordinatları bulabilirsiniz.

Çeyreklerin uçlarının koordinatlarını bulmak çok kolaydır. Çemberin 0 noktasında x koordinatı 1, y koordinatı 0'dır. A(0) = A(1;0) şeklinde gösterebiliriz.

İlk çeyreğin sonu pozitif y ekseninde yer alacaktır. Bu nedenle B (π/2) = B (0; 1).

İkinci çeyreğin sonu negatif yarı eksendedir: C (π) = C (-1; 0).

Üçüncü çeyreğin sonu: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Peki çeyreklerin orta noktalarının koordinatları nasıl bulunur? Bunun için inşa ediyorlar dik üçgen. Hipotenüsü, dairenin merkezinden (veya orijininden) çeyrek dairenin orta noktasına kadar olan bir segmenttir. Bu dairenin yarıçapıdır. Daire birim olduğundan hipotenüs 1'e eşittir. Daha sonra daire üzerindeki bir noktadan herhangi bir eksene dik bir çizin. x eksenine doğru olsun. Sonuç, bacaklarının uzunlukları daire üzerindeki noktanın x ve y koordinatlarına eşit olan bir dik üçgendir.

Çeyrek daire 90°'dir. Ve çeyrekliğin yarısı 45°'dir. Hipotenüs çeyreğin orta noktasına çizildiği için hipotenüs ile orijinden uzanan kenar arasındaki açı 45° olur. Ancak herhangi bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir. Sonuç olarak hipotenüs ile diğer kenar arasındaki açı da 45° kalır. Bunun sonucunda ikizkenar dik üçgen elde edilir.

Pisagor teoreminden x 2 + y 2 = 1 2 denklemini elde ederiz. x = y ve 1 2 = 1 olduğundan, denklem x 2 + x 2 = 1 şeklinde sadeleşir. Çözdüğümüzde x = √½ = 1/√2 = √2/2 elde ederiz.

Böylece M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2) noktasının koordinatları elde edilir.

Diğer çeyreklerin orta noktalarının noktalarının koordinatlarında sadece işaretler değişecek ve sağ üçgen sadece ters çevrileceğinden değerlerin modülleri aynı kalacaktır. Şunu elde ederiz:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)

Bir dairenin çeyreklerinin üçüncü bölümlerinin koordinatlarını belirlerken aynı zamanda bir dik üçgen de oluşturulur. π/6 noktasını alıp x eksenine dik çizersek, hipotenüs ile x ekseni üzerinde bulunan kenar arasındaki açı 30° olacaktır. 30 derecelik bir açıyla karşı karşıya uzanan bacağın hipotenüsün yarısına eşit olduğu bilinmektedir. Bu, y koordinatını bulduğumuz anlamına gelir, ½'ye eşittir.

Hipotenüsün ve kenarlardan birinin uzunluğunu bildiğimizde, Pisagor teoremini kullanarak diğer kenarı buluruz:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Böylece T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

İlk çeyreğin ikinci üçte biri noktası için (π/3), y eksenine dik bir eksen çizmek daha iyidir. O zaman orijindeki açı da 30° olacaktır. Burada x koordinatı sırasıyla ½ ve y'ye eşit olacaktır, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Üçüncü çeyreğin diğer noktaları için koordinat değerlerinin işaretleri ve sırası değişecektir. X eksenine yakın olan tüm noktalar √3/2'ye eşit bir modül x koordinat değerine sahip olacaktır. Y eksenine daha yakın olan noktalar √3/2'ye eşit bir y modülü değerine sahip olacaktır.
T3 ((2π)/3) = T3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

10. sınıfta sayı çemberine oldukça fazla zaman ayrılıyor. Bunun nedeni, bu matematiksel nesnenin tüm matematik dersi için taşıdığı önemdir.

Materyalde iyi bir ustalık için öğretim yardımcılarının doğru seçimi büyük önem taşımaktadır. Bu tür araçların en etkilisi video eğitimlerini içerir. İÇİNDE Son zamanlarda popülerliğin zirvesine ulaşırlar. Bu nedenle yazar zamanın gerisinde kalmadı ve matematik öğretmenlerine yardımcı olmak için harika bir kılavuz geliştirdi - "Koordinat düzleminde sayı çemberi" konulu bir video dersi.

Bu ders 15:22 dakika sürmektedir. Bu, pratik olarak bir öğretmenin bir konudaki materyali bağımsız olarak açıklamak için harcayabileceği maksimum süredir. Yeni materyallerin açıklanması çok zaman aldığından, konsolidasyona en uygun olanların seçilmesi gerekmektedir. etkili görevler ve alıştırmaların yanı sıra öğrencilerin bu konuyla ilgili görevleri çözecekleri başka bir dersi vurgulayın.

Ders, koordinat sistemindeki bir sayı çemberinin görüntüsüyle başlar. Yazar bu çemberi kurar ve eylemlerini açıklar. Daha sonra yazar sayı çemberinin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını adlandırır. Aşağıda dairenin noktalarının farklı çeyreklerde hangi koordinatlara sahip olacağı açıklanmaktadır.

Bundan sonra yazar bize daire denkleminin neye benzediğini hatırlatıyor. Ve dinleyicilere çember üzerindeki bazı noktaları gösteren iki model sunuluyor. Bu sayede bir sonraki adımda yazar, şablonlarda işaretlenen belirli sayılara karşılık gelen daire üzerindeki noktaların koordinatlarının nasıl bulunacağını gösterir. Bu, bir daire denklemindeki x ve y değişkenleri için bir değerler tablosu üretir.

Daha sonra, bir daire üzerindeki noktaların koordinatlarını belirlemenin gerekli olduğu bir örneği düşünmeyi öneriyoruz. Örneği çözmeye başlamadan önce, çözümüne yardımcı olacak bazı açıklamalar yapılır. Daha sonra ekranda eksiksiz, net bir şekilde yapılandırılmış ve resimli bir çözüm belirir. Burada örneğin özünün anlaşılmasını kolaylaştıracak tablolar da bulunmaktadır.

Daha sonra, ilkinden daha az zaman alan ancak daha az önemli olmayan ve dersin ana fikrini yansıtan altı örnek daha ele alınır. Burada çözümler tam olarak sunulmaktadır. detaylı bir hikaye ve netlik unsurlarıyla. Yani çözüm, çözümün ilerleyişini gösteren çizimler ve öğrencilerin matematik okuryazarlığını oluşturan matematiksel notasyonu içerir.

Öğretmen kendisini derste tartışılan örneklerle sınırlayabilir ancak bu, materyalin kaliteli bir şekilde öğrenilmesi için yeterli olmayabilir. Bu nedenle güçlendirilecek görevlerin seçilmesi son derece önemlidir.

Ders sadece zamanı sürekli sınırlı olan öğretmenler için değil, öğrenciler için de faydalı olabilir. Özellikle aile eğitimi alanlar veya kendi kendine eğitim alanlar için. Materyaller bu konuyla ilgili bir dersi kaçıran öğrenciler tarafından kullanılabilir.

METİN KOD ÇÖZME:

Dersimizin konusu “KOORDİNAT DÜZLEMİNDE SAYISAL ÇEMBER”

Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemine xOy (x o y) zaten aşinayız. Bu koordinat sisteminde sayı çemberini, çemberin merkezi koordinatların orijini ile aynı hizada olacak şekilde konumlandıracağız ve yarıçapı ölçek parçası olarak alınacaktır.

Sayı çemberinin başlangıç ​​noktası A, koordinatları (1;0) olan bir noktayla, B - noktası (0;1), C - (-1;0) (eksi bir, sıfır) ve D ile birleştirilir - (0; - 1)(sıfır, eksi bir) ile.

(bkz. şekil 1)

Sayı çemberi üzerindeki her noktanın xOy (x o y) sisteminde kendi koordinatları olduğundan, ilk çeyreğin noktaları için yx sıfırdan büyüktür ve y sıfırdan büyüktür;

İkinci çeyrek ICH Sıfırdan daha az ve oyun sıfırdan büyüktür,

üçüncü çeyrek puanları için ikx sıfırdan küçüktür ve yk sıfırdan küçüktür,

ve dördüncü çeyrek için ikx sıfırdan büyük ve yk sıfırdan küçük

Sayı çemberinin herhangi bir E (x;y) noktası (x, y koordinatlarına sahip) için -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x eksi birden büyük veya ona eşit, ancak eksi birden küçüktür) eşitsizlikleri veya bire eşittir; y eksi birden büyük veya eşittir, fakat birden küçüktür veya eşittir).

Merkezi orijinde olan R yarıçaplı bir dairenin denkleminin x 2 + y 2 = R 2 (x kare artı y kare eşittir er kare) formuna sahip olduğunu hatırlayın. Ve birim çember R = 1 için x 2 + y 2 = 1 elde ederiz.

(x kare artı y kare eşittir bir).

İki düzende sunulan sayı çemberi üzerindeki noktaların koordinatlarını bulalım (bkz. Şekil 2, 3)

Karşılık gelen E noktası olsun

(pi'ye dört) - şekilde gösterilen ilk çeyreğin ortası. E noktasından EK dik açısını OA düz çizgisine indiriyoruz ve OEK üçgenini ele alıyoruz. AE yayı AB yayının yarısı olduğundan AOE açısı =45 0. Bu nedenle OEK üçgeni, OK = EC olan bir ikizkenar dik üçgendir. Bu, E noktasının apsisi ve ordinatının eşit olduğu anlamına gelir; x eşittir oyun. E noktasının koordinatlarını bulmak için denklem sistemini çözeriz: (x eşittir y - sistemin ilk denklemi ve x kare artı y kare eşittir bir - sistemin ikinci denklemi). sistemin denkleminde x yerine y'yi koyarız, 2y 2 = 1 elde ederiz (iki y karesi bire eşittir), dolayısıyla y = = (y eşittir bir bölü ikinin kökü eşittir) ikinin kökü ikiye bölünür) (ordinat pozitiftir). Bu, dikdörtgen koordinat sistemindeki E noktasının koordinatlara sahip olduğu anlamına gelir (,)(ikinin kökü ikiye bölünür, ikinin kökü ikiye bölünür).

Benzer şekilde akıl yürüterek, ilk düzenin diğer sayılarına karşılık gelen noktaların koordinatlarını buluruz ve elde ederiz: karşılık gelen nokta koordinatlarla (- ,) (eksi ikinin kökü ikiye bölünür, ikinin kökü ikiye bölünür) ; için - (- ,-) (eksi ikinin kökü bölü ikiye, eksi ikinin kökü bölü ikiye); for (yedi pi bölü dört) (,)(kök iki bölü ikiye, eksi kök iki bölü ikiye).

D noktasının (Şekil 5)'e karşılık gelmesine izin verin. DP(de pe)'den OA'ya dikmeyi bırakalım ve ODP üçgenini ele alalım. Bu üçgenin OD hipotenüsü birim çemberin yarıçapına eşittir, yani birdir ve DOP açısı otuz dereceye eşittir, çünkü AD yayı = rakam AB (a de a'nın üçte birine eşittir) ve AB yayı doksan dereceye eşittir. Dolayısıyla DP = (de pe yarıma eşittir O de yarıma eşittir) Otuz derecelik açının karşısında bulunan kenar hipotenüsün yarısına eşit olduğundan yani y = (y yarıma eşittir) . Pisagor teoremini uygulayarak OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe kare eşittir o de kare eksi de pe kare), ancak OR = x (o pe eşittir x) elde ederiz. Bu, x 2 = OD 2 - DP 2 = anlamına gelir

bu, x 2 = (x kare, dörtte üçe eşittir) ve x = (x, üç çarpı ikinin köküne eşittir) anlamına gelir.

X pozitiftir çünkü ilk çeyrekte bulunuyor. Dikdörtgen bir koordinat sisteminde D noktasının koordinatlarının (,) kök üç bölü ikiye bir yarım olduğunu bulduk.

Benzer şekilde akıl yürüterek, ikinci düzenin diğer sayılarına karşılık gelen noktaların koordinatlarını bulacağız ve elde edilen tüm verileri tablolara yazacağız:

Örneklere bakalım.

ÖRNEK 1. Sayı çemberindeki noktaların koordinatlarını bulun: a) C 1 ();

b) C2(); c) C3(41π); d) C4 (- 26π). (tse bir otuz beş pi x dört'e karşılık gelir, tse iki eksi kırk dokuz pi x üçe karşılık gelir, tse üç kırk bir pi'ye karşılık gelir, tse dört eksi yirmi altı pi'ye karşılık gelir).

Çözüm. Daha önce elde edilen ifadeyi kullanalım: Sayı çemberinin D noktası t sayısına karşılık geliyorsa, o zaman t + 2πk(te artı iki tepe noktası) formundaki herhangi bir sayıya karşılık gelir; burada ka herhangi bir tamsayıdır, yani. kϵZ (ka z'ye aittir).

a) = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4 elde ederiz. (otuz beş pi çarpı dört eşittir otuz beş çarpı dört, pi ile çarpım sekiz ve üç çeyreğin toplamı, çarpı pi eşittir üç pi çarpı dört artı iki pi çarpı dört) Bu, otuz beş pi x dört sayısının sayı çemberi üzerinde üç pi x dört sayısıyla aynı noktaya karşılık geldiği anlamına gelir. Tablo 1'i kullanarak C 1 () = C 1 (-;) elde ederiz.

b) C 2 koordinatlarına benzer: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). Bu, sayının şu anlama gelir:

sayı çemberi üzerinde sayıyla aynı noktaya karşılık gelir. Ve sayı, sayı çemberi üzerinde sayıyla aynı noktaya karşılık gelir

(ikinci düzeni ve tablo 2'yi gösterin). Bir nokta için x = , y = var.

c) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Bu, 41π sayısının sayı çemberi üzerinde π sayısıyla aynı noktaya karşılık geldiği anlamına gelir - bu, koordinatları (-1; 0) olan bir noktadır.

d) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), yani - 26π sayısı, sayı çemberi üzerinde sıfır sayısıyla aynı noktaya karşılık gelir - bu, koordinatları (1;0) olan bir noktadır.

ÖRNEK 2. Sayı çemberi üzerinde ordinatı y = olan noktaları bulun

Çözüm. y = düz doğrusu sayı çemberini iki noktada kesiyor. Bir nokta bir sayıya, ikinci nokta ise bir sayıya karşılık gelir,

Bu nedenle, tüm noktaları 2πk tam devrini ekleyerek elde ederiz; burada k, noktanın kaç tam devir yaptığını gösterir, yani. elde ederiz,

ve herhangi bir sayı için + 2πk formundaki tüm sayılar. Genellikle bu gibi durumlarda iki dizi değer aldıklarını söylerler: + 2πk, + 2πk.

ÖRNEK 3. Sayı çemberi üzerinde apsis x = olan noktaları bulun ve bunların hangi t sayılarına karşılık geldiğini yazın.

Çözüm. Dümdüz X= sayı çemberini iki noktada keser. Bir nokta bir sayıya karşılık gelir (ikinci düzene bakın),

ve dolayısıyla + 2πk formundaki herhangi bir sayı. Ve ikinci nokta bir sayıya ve dolayısıyla + 2πk formundaki herhangi bir sayıya karşılık gelir. Bu iki değer dizisi tek bir girişte kapsanabilir: ± + 2πk (artı eksi iki pi x üç artı iki pi).

ÖRNEK 4. Sayı çemberinde koordinatları olan noktaları bulun en> ve bunların hangi sayılara karşılık geldiğini yazın.

Düz çizgi y = sayı dairesini M ve P iki noktasında keser. Ve y > eşitsizliği, MR açık yayının noktalarına karşılık gelir, bu, daire etrafında saat yönünün tersine hareket ederken sonu olmayan (yani u olmayan) yaylar anlamına gelir , M noktasından başlayıp P noktasında biter. Bu, MR yayının analitik gösteriminin çekirdeğinin eşitsizlik olduğu anlamına gelir.< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

ÖRNEK5. Sayı çemberindeki koordinat noktalarını bulun en < и записать, каким числам t они соответствуют.

y = düz doğrusu sayı çemberini M ve P olmak üzere iki noktada keser. Ve y eşitsizliği< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

ÖRNEK 6. Sayı çemberinde apsisli noktaları bulun X> ve bunların hangi sayılara karşılık geldiğini yazın.

Düz çizgi x = sayı dairesini M ve P iki noktasında keser. X > eşitsizliği, daire boyunca saat yönünün tersine hareket ederken, karşılık gelen P noktasındaki başlangıç ​​ve bu noktada son ile açık yayın PM noktalarına karşılık gelir. M, karşılık gelir. Bu, PM yayının analitik gösteriminin çekirdeğinin eşitsizlik olduğu anlamına gelir.< t <

(te eksi ikiden büyük pi x üç, fakat ikiden küçük pi x üç) ve yayın kendisinin analitik gösterimi + 2πk biçimindedir< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

ÖRNEK 7. Sayı çemberinde apsisli noktaları bulun X < и записать, каким числам t они соответствуют.

Düz çizgi x = sayı çemberini M ve P olmak üzere iki noktada keser. Eşitsizlik x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(te iki pi'ye üçten fazla, ancak dört pi'ye üçten azdır) ve yayın kendisinin analitik gösterimi + 2πk biçimindedir< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).