Bir çokgenin çevre alanını hesaplayın. Bir çokgenin alanını nasıl bulurum? Benzer üçgenlerin alanlarının oranı

Çokgen, kesişen çizgilerden (3'ten fazla) oluşan ve çok sayıda çizgi kesişim noktası oluşturan düz veya dışbükey bir şekildir. Bir çokgen, kapanan bir çoklu çizgi olarak da tanımlanabilir. Başka bir deyişle, kesişme noktaları şeklin üstleri olarak adlandırılabilir. Köşelerin sayısına bağlı olarak, şekil beşgen, altıgen vb. Bir çokgenin açısı, bir köşede birleşen kenarların oluşturduğu açıdır. Köşe çokgenin içindedir. Ayrıca açılar 180 dereceye kadar farklı olabilir. Genellikle iç köşelere bitişik olan dış köşeler de vardır.

Daha sonra kesişen düz çizgilere çokgenin kenarları denir. Bitişik, bitişik ve bitişik olmayabilirler. Sunulan geometrik şeklin çok önemli bir özelliği, bitişik olmayan kenarlarının kesişmemesi, yani ortak noktalarının olmamasıdır. Bir şeklin bitişik kenarları aynı düz çizgi üzerinde olamaz.

Şeklin aynı düz çizgiye ait olan köşeleri bitişik olarak adlandırılabilir. Bitişik olmayan iki köşe arasına bir çizgi çizerseniz, çokgenin köşegenini elde edersiniz. Şeklin alanına gelince, onu bölen çokgen bölümleri tarafından oluşturulan çok sayıda köşeye sahip geometrik figürün düzleminin iç kısmıdır.

Şekil için sonsuz sayıda seçenek olabileceğinden ve her seçeneğin kendi çözümü olduğundan, sunulan geometrik şeklin alanını belirlemek için tek bir çözüm yoktur. Bununla birlikte, bir figürün alanını bulmak için en yaygın seçeneklerden bazılarının hala dikkate alınması gerekir (en sık pratikte kullanılırlar ve hatta okul müfredatına dahil edilirler).

Her şeyden önce, düzgün bir çokgen, yani eşit kenarların oluşturduğu tüm açıların da eşit olduğu bir şekil düşünün. Peki, belirli bir örnekte bir çokgenin alanını nasıl buluyorsunuz? Bu durumda, bir çokgen şeklin alanını bulmak, şekilde yazılı veya çevresinde tarif edilen bir dairenin yarıçapı verilirse mümkündür. Bunu yapmak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

S = ½ ∙ P ∙ r, burada r bir dairenin yarıçapıdır (çizgili veya çerçeveli) ve P geometrik bir çokgen şeklin çevresidir ve şeklin kenar sayısı uzunluklarıyla çarpılarak bulunabilir.

Bir çokgenin alanı nasıl bulunur

Bir çokgenin alanının nasıl bulunacağı sorusunu cevaplamak için, bir zamanlar ünlü Avusturyalı matematikçi Georg Pieck tarafından bulunan bir çokgen şeklin aşağıdaki ilginç özelliğini takip etmek yeterlidir. Örneğin, S = N + M / 2 -1 formülünü kullanarak, köşeleri kare bir ızgaranın düğümlerinde bulunan böyle bir çokgenin alanını bulabilirsiniz. Bu durumda S sırasıyla alandır; N, birçok köşesi olan bir şeklin içinde bulunan kare ızgara düğümlerinin sayısıdır; M - çokgenin köşelerinde ve kenarlarında bulunan kare ızgara düğümlerinin sayısı. Bununla birlikte, güzelliğine rağmen, Pick'in formülü pratik geometride pek uygulanmaz.

Okulda çalışılan alanı belirlemenin en basit ve en iyi bilinen yöntemi, çokgen bir geometrik şeklin daha basit parçalara (yamuklar, dikdörtgenler, üçgenler) bölünmesidir. Bu rakamların alanını bulmak zor değil. Bu durumda, çokgenin alanı basitçe belirlenir: çokgenin bölündüğü tüm şekillerin alanlarını bulmanız gerekir.

Temel olarak, bir çokgenin alanının tanımı mekanikte (parçaların boyutları) belirlenir.

\ [(\ Büyük (\ metin (Temel Alan Gerçekleri))) \]

Bir çokgenin alanı, düzlemin belirli bir çokgenin kapladığı kısmını belirten bir niceliktir diyebiliriz. Alan ölçü birimi, bir kenarı \ (1 \) cm, \ (1 \) mm, vb. olan bir karenin alanıdır. (birim kare). Daha sonra alan sırasıyla cm \ (^ 2 \), mm \ (^ 2 \) cinsinden ölçülecektir.

Başka bir deyişle, bir şeklin alanı, sayısal değeri bir birim karenin belirli bir şekle kaç kez sığdığını gösteren bir niceliktir diyebiliriz.

Alan özellikleri

1. Herhangi bir çokgenin alanı pozitif bir değerdir.

2. Eşit çokgenlerin alanları eşittir.

3. Bir çokgen birkaç çokgenden oluşuyorsa, alanı bu çokgenlerin alanlarının toplamına eşittir.

4. Kenarı \ (a \) olan bir karenin alanı \ (a ^ 2 \) dir.

\ [(\ Büyük (\ metin (Dikdörtgen ve paralelkenar alanı))) \]

Teorem: bir dikdörtgenin alanı

Kenarları \ (a \) ve \ (b \) olan bir dikdörtgenin alanı \ (S = ab \).

Kanıt

\ (ABCD \) dikdörtgenini şekilde gösterildiği gibi bir kenarı \ (a + b \) olan bir kareye tamamlayalım:

Bu kare bir dikdörtgen \ (ABCD \), ona eşit başka bir dikdörtgen ve kenarları \ (a \) ve \ (b \) olan iki kareden oluşur. Böylece,

\ (\ başlangıç ​​(çok satırlı *) S_ (a + b) = 2S _ (\ metin (pr-k)) + S_a + S_b \ Sağ ok (a + b) ^ 2 = 2S _ (\ metin (pr-k) ) + a ^ 2 + b ^ 2 \ Leftrightarrow \\ a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2S _ (\ text (pr-k)) + a ^ 2 + b ^ 2 \ Rightarrow S _ (\ metin ( pr-k) ) = ab \ bitiş (çok satırlı *) \)

Tanım

Paralelkenarın yüksekliği, paralelkenarın tepe noktasından bu tepe noktası içermeyen tarafa (veya kenarın uzantısına) çizilen bir diktir.
Örneğin, \ (BK \) yüksekliği \ (AD \) tarafına düşer ve \ (BH \) yüksekliği \ (CD \) tarafının uzantısına düşer:

Teorem: bir paralelkenarın alanı

Paralelkenarın alanı, yüksekliğin ve bu yüksekliğin çizildiği kenarın ürününe eşittir.

Kanıt

Şekilde gösterildiği gibi \ (AB "\) ve \ (DC" \) diklerini çizelim. Bu diklerin paralelkenarın \ (ABCD \) yüksekliğine eşit olduğuna dikkat edin.

O zaman \ (AB "C" D \) bir dikdörtgendir, bu nedenle \ (S_ (AB "C" D) = AB "\ cdot AD \).

Dik açılı üçgenlerin \ (ABB "\) ve \ (DCC" \) eşit olduğuna dikkat edin. Böylece,

\ (S_ (ABCD) = S_ (ABC "D) + S_ (DCC") = S_ (ABC "D) + S_ (ABB") = S_ (AB "C" D) = AB "\ cdot AD. \)

\ [(\ Büyük (\ metin (Üçgen Alan))) \]

Tanım

Üçgende yüksekliğin çizildiği tarafa üçgenin tabanı diyeceğiz.

teorem

Bir üçgenin alanı, bu tabana çizilen yükseklik ile tabanının çarpımının yarısına eşittir.

Kanıt

\ (S \) \ (ABC \) üçgeninin alanı olsun. \ (AB \) tarafını üçgenin tabanı olarak alın ve \ (CH \) yüksekliğini çizin. bunu kanıtlayalım \ \ (ABC \) üçgenini şekildeki gibi paralelkenara \ (ABDC \) ​​​​tamamlayalım:

Üçgenler \ (ABC \) ve \ (DCB \) üç tarafta eşittir (\ (BC \) onların ortak tarafıdır, \ (AB = CD \) ve \ (AC = BD \) paralelkenarın zıt kenarlarıdır \ (ABDC \ )), yani alanları eşittir. Bu nedenle, \ (ABC \) üçgeninin \ (S \) alanı, paralelkenar \ (ABDC \) ​​alanının yarısına eşittir, yani \ (S = \ dfrac (1) (2) AB \ cdot CH \).

teorem

İki üçgen \ (\ ABC üçgeni \) ve \ (\ üçgen A_1B_1C_1 \) eşit yüksekliğe sahipse, alanları bu yüksekliklerin çizildiği tabanlar olarak adlandırılır.

Sonuç

Bir üçgenin medyanı, onu eşit alanlı iki üçgene böler.

teorem

İki üçgen \ (\ ABC üçgeni \) ve \ (\ üçgen A_2B_2C_2 \) eşit açıya sahipse, alanları bu açıyı oluşturan kenarların ürünleri olarak ilişkilidir.

Kanıt

\ (\ açı A = \ açı A_2 \) olsun. Bu açıları şekilde gösterildiği gibi birleştirelim (nokta \ (A \) ile \ (A_2 \) noktası hizalı):

\ (BH \) ve \ (C_2K \) yüksekliklerini çizelim.

\ (AB_2C_2 \) ve \ (ABC_2 \) üçgenleri aynı yüksekliğe \ (C_2K \) sahiptir, bu nedenle: \ [\ dfrac (S_ (AB_2C_2)) (S_ (ABC_2)) = \ dfrac (AB_2) (AB) \]

\ (ABC_2 \) ve \ (ABC \) üçgenleri aynı yüksekliğe \ (BH \) sahiptir, bu nedenle: \ [\ dfrac (S_ (ABC_2)) (S_ (ABC)) = \ dfrac (AC_2) (AC) \]

Son iki eşitliği çarparsak: \ [\ dfrac (S_ (AB_2C_2)) (S_ (ABC)) = \ dfrac (AB_2 \ cdot AC_2) (AB \ cdot AC) \ qquad \ metin (veya) \ qquad \ dfrac (S_ (A_2B_2C_2)) (S_ (ABC)) = \ dfrac (A_2B_2 \ cdot A_2C_2) (AB \ cdot AC) \]

Pisagor teoremi

Dik açılı bir üçgende hipotenüsün uzunluğunun karesi, bacak uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir:

Bunun tersi de doğrudur: Bir üçgende bir kenarın uzunluğunun karesi diğer iki kenarın uzunluklarının karelerinin toplamına eşitse, böyle bir üçgen dikdörtgendir.

teorem

Dik açılı bir üçgenin alanı, bacakların çarpımının yarısıdır.

Teorem: Heron formülü

\ (p \) bir üçgenin yarı çevresi, \ (a \), \ (b \), \ (c \) kenarlarının uzunlukları olsun, o zaman alanı \

\ [(\ Büyük (\ metin (eşkenar dörtgen ve yamuk alanı))) \]

Yorum Yap

Çünkü eşkenar dörtgen bir paralelkenardır, o zaman aynı formül onun için de geçerlidir, yani. eşkenar dörtgen alanı, yüksekliğin ve bu yüksekliğin çizildiği tarafın ürününe eşittir.

teorem

Köşegenleri dik olan dışbükey bir dörtgenin alanı, köşegenlerin çarpımının yarısıdır.

Kanıt

Dörtgeni \ (ABCD \) düşünün. \ (AO = a, CO = b, BO = x, DO = y \) gösteririz:

Bu dörtgenin dört dik açılı üçgenden oluştuğuna dikkat edin, bu nedenle alanı bu üçgenlerin alanlarının toplamına eşittir:

\ (\ başlangıç ​​(çok satırlı *) S_ (ABCD) = \ frac12ax + \ frac12xb + \ frac12by + \ frac12ay = \ frac12 (ax + xb + by + ay) = \\ \ frac12 ((a + b) x + ( a + b) y) = \ frac12 (a + b) (x + y) \ bitiş (çok satırlı *) \)

Sonuç: bir eşkenar dörtgen alanı

Bir eşkenar dörtgen alanı, köşegenlerinin çarpımının yarısına eşittir: \

Tanım

Bir yamuğun yüksekliği, bir tabanın tepesinden başka bir tabana çizilen bir diktir.

Teorem: bir yamuğun alanı

Yamuğun alanı, tabanların ve yüksekliğin yarısının çarpımına eşittir.

Kanıt

Tabanları \ (BC \) ve \ (AD \) olan bir yamuk \ (ABCD \) düşünün. Şekilde gösterildiği gibi \ (CD "\ paralel AB \) çizelim:

O zaman \ (ABCD "\) bir paralelkenardır.

Ayrıca \ (BH "\ perp AD, CH \ perp AD \) (\ (BH" = CH \) - yamuğun yüksekliklerini de çizelim).

O zamanlar \ (S_ (ABCD ") = BH" \ cdot AD "= BH" \ cdot BC, \ dörtlü S_ (CDD ") = \ dfrac12CH \ cdot D" D \)

Çünkü bir yamuk bir paralelkenar \ (ABCD "\) ve bir üçgen \ (CDD" \'den oluşur), daha sonra alanı bir paralelkenar ve bir üçgenin alanlarının toplamına eşittir, yani:

\ \ [= \ dfrac12 CH \ sol (BC + AD "+ D" D \ sağ) = \ dfrac12 CH \ sol (BC + AD \ sağ) \]

Bu yazımızda, içine bir dairenin yazılabileceği bir çokgenin alanını bu dairenin yarıçapı üzerinden nasıl ifade edeceğimizden bahsedeceğiz. Her çokgenin bir daire ile yazılamayacağına hemen dikkat edilmelidir. Bununla birlikte, mümkünse, böyle bir çokgenin alanının hesaplandığı formül çok basit hale gelir. Bu makaleyi sonuna kadar okuyun veya beraberindeki video eğitimini izleyin ve bir çokgenin alanını, içinde yazılı bir dairenin yarıçapı boyunca nasıl ifade edeceğinizi öğreneceksiniz.

Yazılı dairenin yarıçapı cinsinden bir çokgenin alanı için formül

bir çokgen çizelim A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, mutlaka doğru değil, ancak içine bir dairenin yazılabileceği bir tane. Yazılı bir dairenin çokgenin tüm kenarlarına değen bir daire olduğunu hatırlatmama izin verin. Şekilde, bu noktada ortalanmış yeşil bir dairedir. Ö:

Burada örnek olarak 5 gon aldık. Ama aslında bu gerekli değildir, çünkü daha fazla kanıt hem 6-gon hem de 8-gon için ve genel olarak herhangi bir keyfi "gon" için geçerlidir.

Yazılı dairenin merkezini çokgenin tüm köşeleriyle birleştirirsek, bu çokgendeki köşe sayısı kadar üçgene bölünecektir. Bizim durumumuzda: 5 üçgen. Eğer noktayı bağlarsan Öçokgenin kenarları ile yazılı dairenin tüm teğet noktaları ile, o zaman 5 segment elde edersiniz (aşağıdaki şekilde bunlar segmentlerdir) EY 1 , EY 2 , EY 3 , EY 4 ve EY 5) çemberin yarıçapına eşit ve çizildikleri çokgenin kenarlarına dik olan. İkincisi doğrudur, çünkü teğet noktasına çizilen yarıçap teğete diktir:

Tanımladığımız çokgenin alanını nasıl buluruz? Cevap basit. Bölme sonucunda elde edilen tüm üçgenlerin alanlarını toplamak gerekir:

Bir üçgenin alanının ne olduğunu düşünün. Aşağıdaki resimde sarı renkle vurgulanmıştır:

Tabanın çarpımının yarısına eşittir A 1 A 2 yüksekliğe EY 1 bu temele çekildi. Ancak, daha önce öğrendiğimiz gibi, bu yükseklik yazılı dairenin yarıçapına eşittir. Yani, bir üçgenin alan formülü şu şekildedir: , nerede r Yazılı dairenin yarıçapıdır. Kalan tüm üçgenlerin alanları benzer şekilde bulunur. Sonuç olarak, çokgenin gerekli alanı şuna eşittir:

Bu toplamın tüm terimlerinde parantezlerden çıkarılabilecek bir ortak çarpanın olduğu görülmektedir. Sonuç olarak, aşağıdaki ifadeyi alırsınız:

Yani, parantez içinde çokgenin tüm kenarlarının toplamı, yani çevresi vardır. P... Çoğu zaman, bu formülde ifade basitçe şu şekilde değiştirilir: P ve bu mektuba "yarı çevre" denir. Sonuç olarak, nihai formül şu şekli alır:

Yani, yarıçapı bilinen bir dairenin yazılı olduğu bir çokgenin alanı, bu yarıçapın çokgenin yarım çevresiyle çarpımına eşittir. Uğraştığımız sonuç buydu.

Son olarak, bir çokgenin özel bir durumu olan bir üçgenin içine her zaman bir daire çizilebileceğini unutmayın. Bu nedenle, bir üçgen için bu formül her zaman uygulanabilir. 3'ten fazla kenarı olan diğer çokgenler için, önce içlerine bir daire yazılabildiğinden emin olmanız gerekir. Eğer öyleyse, bu basit formülü güvenle kullanabilir ve bu çokgenin alanını ondan bulabilirsiniz.

Sergey Valerievich tarafından hazırlanmıştır.

Mesafe ve Uzunluk Birimleri Dönüştürücü Alan Birimleri Dönüştürücü Üyelik © 2011-2017 Mikhail Dovzhik Materyallerin kopyalanması yasaktır. Çevrimiçi hesap makinesinde aynı birimlerdeki değerleri kullanabilirsiniz! Ölçü birimlerini dönüştürmekte zorluk çekiyorsanız, Mesafe ve Uzunluk Birimi Dönüştürücü ve Alan Birimi Dönüştürücü'yü kullanın. Dörtgen alanını hesaplamak için hesap makinesinin ek özellikleri

• Klavyede sağ ve sol tuşlara basarak giriş alanları arasında gezinebilirsiniz.

teori. Bir dörtgenin alanı Dörtgen, üçü bir düz çizgi üzerinde olmayan dört noktadan (köşelerden) ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren dört parçadan (yanlardan) oluşan geometrik bir şekildir. Bu dörtgenin herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası onun içinde olacaksa, dörtgene dışbükey denir.

Bir çokgenin alanını nasıl bilirsiniz?

Alanı belirleme formülü, AB poligonunun her bir kenarı alınarak ve ABO üçgeninin alanı O orijinindeki tepe noktası ile köşelerin koordinatları üzerinden hesaplanarak belirlenir. Bir çokgenin etrafında dolaşırken, çokgenin içini içeren ve dışında yer alan üçgenler oluşur. Bu alanların toplamı arasındaki fark, çokgenin alanıdır.

Bu nedenle, "haritacı" kökende olduğu için formüle bilirkişi formülü denir; saat yönünün tersine yürüyorsa, orijine göre soldaysa alan eklenir, sağdaysa çıkarılır. Alan formülü, dışbükey veya içbükey olabilen, kendisiyle kesişmeyen (basit) herhangi bir çokgen için geçerlidir. İçerik

• 1 Tanım
• 2 Örnek
• 3 Daha karmaşık bir örnek
• 4 isim açıklaması
• 5 Bkz.

çokgen alanı

Dikkat

Bu olabilir:

• üçgen;
• dörtgen;
• beşgen veya altıgen vb.

Böyle bir rakam kesinlikle iki konumla karakterize edilecektir:

1. Bitişik kenarlar aynı düz çizgiye ait değildir.
2. Bitişik olmayanların ortak noktaları yoktur, yani kesişmezler.

Hangi köşelerin bitişik olduğunu anlamak için, aynı tarafa ait olup olmadıklarına bakmanız gerekir. Evet ise, o zaman komşular. Aksi takdirde, diyagonal olarak adlandırılması gereken bir segment ile bağlanabilirler. Sadece köşeleri üçten fazla olan çokgenlerde çizilebilirler.

Düzenli ve düzensiz altıgenin alanı nasıl bulunur?

• Kenar uzunluğunu bilerek 6 ile çarpın ve altıgenin çevresini bulun: 10 cm x 6 = 60 cm
• Elde edilen sonuçları formülümüzde yerine koyalım:
Alan = 1/2 * çevre * özet Alan = ½ * 60cm * 5√3 Çözme: Şimdi kareköklerden kurtulmak için cevabı basitleştirmek ve sonucu santimetre kare olarak belirtmek kalıyor: ½ * 60 cm * 5 √3 cm = 30 * 5√3 cm = 150 √3 cm = 259.8 cm² Düzgün altıgenin alanının nasıl bulunacağına ilişkin video Düzensiz altıgenin alanını belirlemek için birkaç seçenek vardır:

• Trapez yöntemi.
• Bir koordinat ekseni kullanarak düzensiz çokgenlerin alanını hesaplama yöntemi.
• Bir altıgeni diğer şekillere bölmek için bir yöntem.

Bildiğiniz ilk verilere bağlı olarak uygun yöntem seçilir.

Önemli

Bazı düzensiz altıgenler iki paralelkenardan oluşur. Bir paralelkenarın alanını belirlemek için, uzunluğunu genişliğiyle çarpın ve daha sonra bilinen iki alanı ekleyin. Bir çokgenin alanının nasıl bulunacağına ilişkin video Eşkenar altıgenin altı eşit kenarı vardır ve normal bir altıgendir.

Bir eşkenar altıgenin alanı, içine düzenli bir altıgen şeklin bölündüğü 6 üçgen alanına eşittir. Düzgün şekilli bir altıgendeki tüm üçgenler eşittir, bu nedenle böyle bir altıgenin alanını bulmak için en az bir üçgenin alanını bilmek yeterli olacaktır. Bir eşkenar altıgenin alanını bulmak için, elbette, yukarıda açıklanan düzenli bir altıgenin alan formülünü kullanın.

404 Bulunamadı

Bir evi dekore etmek, giyinmek, resim çizmek, o zamanların insanlarının ampirik olarak azar azar elde ettiği ve nesilden nesile aktardığı geometri alanındaki bilgilerin oluşmasına ve birikmesine katkıda bulunmuştur. Bugün, bir kesici, bir inşaatçı, bir mimar ve günlük yaşamdaki her sıradan insan için geometri bilgisi gereklidir. Bu nedenle, çeşitli şekillerin alanını nasıl hesaplayacağınızı öğrenmeniz ve düzenli bir altıgen formülü de dahil olmak üzere formüllerin her birinin pratikte daha sonra yararlı olabileceğini hatırlamanız gerekir.
Altıgen, toplam altı köşesi olan çokgen bir şekildir. Düzgün altıgen, kenarları eşit olan altıgen bir şekildir. Düzgün altıgenin açıları da birbirine eşittir.
Günlük yaşamda, düzenli bir altıgen şeklindeki nesneleri sıklıkla bulabiliriz.

Düzensiz çokgen yan alan hesaplayıcısı

İhtiyacın olacak

• - rulet;
• - elektronik telemetre;
• - bir yaprak kağıt ve bir kalem;
• - hesap makinesi.

Talimat 1 Bir dairenin veya ayrı bir odanın toplam alanına ihtiyacınız varsa, sadece bir daire veya ev için teknik pasaportu okuyun, her odanın görüntüsünü ve dairenin toplam görüntüsünü gösterir. 2 Dikdörtgen veya kare bir odanın alanını ölçmek için bir mezura veya elektronik telemetre alın ve duvarların uzunluğunu ölçün. Mesafe ölçer ile mesafeleri ölçerken, ışın yönünün dikliğine dikkat ettiğinizden emin olun, aksi takdirde ölçüm sonuçları bozulabilir. 3 Ardından odanın elde edilen uzunluğunu (metre olarak) genişlikle (metre olarak) çarpın. Ortaya çıkan değer taban alanı olacaktır, metrekare olarak ölçülür.

Gauss alan formülü

Daha karmaşık bir yapının taban alanını hesaplamanız gerekiyorsa, örneğin beşgen bir oda veya yuvarlak kemerli bir oda, bir kağıda bir taslak çizin. Ardından karmaşık şekli birkaç basit şekle bölün, örneğin bir kare ve bir üçgen veya bir dikdörtgen ve bir yarım daire. Ortaya çıkan şekillerin tüm taraflarının boyutunu bir mezura veya telemetre ile ölçün (bir daire için çapı bulmanız gerekir) ve sonuçları çiziminize girin.

5 Şimdi her şeklin alanını ayrı ayrı hesaplayın. Kenarları çarparak dikdörtgen ve karelerin alanını hesaplayın. Bir dairenin alanını hesaplamak için çapı ikiye ve kareye bölün (kendinizle çarpın), ardından elde edilen değeri 3.14 ile çarpın.
Yalnızca yarım daireye ihtiyacınız varsa, elde edilen alanı ikiye bölün. Bir üçgenin alanını hesaplamak için P'yi bulun, bunun için tüm kenarların toplamını 2'ye bölün.

Düzensiz bir çokgenin alanını hesaplamak için formül

Noktalar saat yönünün tersine sırayla numaralandırılırsa, yukarıdaki formüldeki belirleyiciler pozitiftir ve içindeki modül atlanabilir; saat yönünde numaralandırılırlarsa, belirleyiciler negatif olacaktır. Bunun nedeni, formülün Green teoreminin özel bir durumu olarak görülebilmesidir. Formülü uygulamak için Kartezyen düzlemindeki çokgenin köşelerinin koordinatlarını bilmeniz gerekir.

Örneğin, koordinatları ((2, 1), (4, 5), (7, 8) olan bir üçgen alalım). İlk tepe noktasının ilk x-koordinatını alın ve ikinci tepe noktasının y-koordinatıyla çarpın ve ardından ikinci tepe noktasının x-koordinatını üçüncü tepe noktasının y ile çarpın. Bu işlemi tüm köşeler için tekrarlıyoruz. Sonuç, aşağıdaki formül kullanılarak belirlenebilir: A tri.

Düzensiz bir dörtgenin alanını hesaplama formülü

A) _ (\ metin (üç.)) = (1 \ üzerinde 2) | x_ (1) y_ (2) + x_ (2) y_ (3) + x_ (3) y_ (1) -x_ (2) y_ (1) -x_ (3) y_ (2) -x_ (1) y_ (3) |) burada xi ve yi karşılık gelen koordinatı gösterir. Bu formül, n = 3 durumu için genel formüldeki parantezler açılarak elde edilebilir. Bu formülle, üçgenin alanının 10 + 32 + 7 - 4 - toplamının yarısına eşit olduğunu bulabilirsiniz. 35 - 16, yani 3'ü verir. Formüldeki değişkenlerin sayısı çokgenin kenar sayısına bağlıdır. Örneğin, bir beşgenin alan formülü, x5 ve y5'e kadar olan değişkenleri kullanır: A pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 - x 2 y 1 - x 3 y 2 - x 4 y 3 - x 5 y 4 - x 1 y 5 | (\ displaystyle \ mathbf (A) _ (\ metin (pent.)) = (1 \ üzerinde 2) | x_ (1) y_ (2) + x_ (2) y_ (3) + x_ (3) y_ (4 ) + x_ (4) y_ (5) + x_ (5) y_ (1) -x_ (2) y_ (1) -x_ (3) y_ (2) -x_ (4) y_ (3) -x_ (5 ) y_ (4) -x_ (1) y_ (5) |) Dörtgen için A - x4 ve y4'e kadar değişkenler: A dörtlü.

1.1 Antik çağdaki alanların hesaplanması

1.2 "Alan", "çokgen", "çokgenin alanı" kavramlarının incelenmesine farklı yaklaşımlar

1.2.1 Alan kavramı. Alan özellikleri

1.2.2 Çokgen kavramı

1.2.3 Bir çokgenin alanı kavramı. açıklayıcı tanım

1.3 Çokgenlerin alanları için çeşitli formüller

1.4 Çokgenlerin alanları için formüllerin türetilmesi

1.4.1 Bir üçgenin alanı. balıkçıl formülü

1.4.2 Bir dikdörtgenin alanı

1.4.3 Yamuğun alanı

1.4.4 Bir dörtgenin alanı

1.4.5 Evrensel formül

1.4.6 Bir n-gon'un alanı

1.4.7 Bir çokgenin alanını köşelerinin koordinatlarına göre hesaplama

1.4.8 Tepe Formülü

1.5 Bir dik üçgenin ayakları üzerine kurulmuş karelerin alanları toplamı üzerine Pisagor teoremi

1.6 Üçgenlerin eşit bileşimi. Bolyai-Gerwin teoremi

1.7 Benzer Üçgenlerin Alan Oranı

1.8 En geniş alana sahip şekiller

1.8.1 Yamuk veya dikdörtgen

1.8.2 Karenin dikkat çekici özelliği

1.8.3 Farklı şekildeki alanlar

1.8.4 En büyük alana sahip üçgen

Bölüm 2. Matematik sınıflarında çokgen alanlarını çalışmanın metodolojik özellikleri

2.1 İleri matematik sınıflarında tematik planlama ve öğretim

2.2 Dersleri yürütmek için metodoloji

2.3 Deneysel çalışmanın sonuçları

Çözüm

Edebiyat

Tanıtım

"Çokgen alanları" konusu, oldukça doğal olan okul matematik dersinin ayrılmaz bir parçasıdır. Gerçekten de, tarihsel olarak, geometrinin ortaya çıkışı, şu veya bu şekildeki arazi parsellerini karşılaştırma ihtiyacı ile ilişkilidir. Aynı zamanda, ortaokulda bu konunun açıklanması için eğitim fırsatlarının tam olarak kullanılmaktan uzak olduğu belirtilmelidir.

Okulda matematik öğretiminin ana görevi, öğrencilerin modern toplumun her üyesi için günlük yaşamda ve iş aktivitesinde gerekli olan, ilgili disiplinleri incelemek ve sürekli eğitim için yeterli olan matematiksel bilgi ve beceriler sistemine sağlam ve bilinçli bir hakimiyet sağlamaktır.

Ana problemi çözmenin yanı sıra, derinlemesine matematik çalışması, öğrencilerde konuya istikrarlı bir ilginin oluşmasını, matematiksel yeteneklerinin tanımlanmasını ve geliştirilmesini, matematikle önemli ölçüde ilgili mesleklere yönelmesini ve üniversite çalışmalarına hazırlık yapılmasını sağlar. .

Nitelikli çalışma, bir genel eğitim okulundaki matematik dersinin içeriğini ve bu dersle doğrudan ilgili ve onu ana ideolojik çizgiler boyunca derinleştiren bir dizi ek soruyu içerir.

Ek soruların dahil edilmesi birbiriyle ilişkili iki amaca hizmet eder. Bu, bir yandan, dersin ana bölümleriyle birlikte, matematiğe meraklı öğrencilerin ilgi ve yeteneklerinin geliştirilmesi için bir temel oluşturmak, diğer yandan içeriğin yerine getirilmesidir. Ana dersteki boşluklar, derinlemesine çalışmanın içeriğine gerekli bütünlük kazandırılır.

Yeterlilik belgesi bir giriş, iki bölüm, bir sonuç ve alıntı yapılan literatürden oluşur. İlk bölüm, çokgen alanlarının çalışmasının teorik temellerini ve ikinci bölümde - doğrudan alanların çalışmasının metodolojik özelliklerini tartışmaktadır.

Bölüm 1. Çokgen alanlarının çalışmasının teorik temelleri

1.1 Antik çağdaki alanların hesaplanması

Alanların ölçümüyle ilgili geometrik bilginin temelleri bin yılın derinliklerinde kaybolmuştur.

4-5 bin yıl kadar erken bir tarihte, Babilliler bir dikdörtgenin ve bir yamuğun alanını kare birimlerde nasıl belirleyeceklerini biliyorlardı. Kare, dikkate değer birçok özelliğinden dolayı uzun zamandır alanları ölçmek için bir standart olarak hizmet etmiştir: eşit kenarlar, eşit ve dik açılar, simetri ve şeklin genel mükemmelliği. Karelerin çizilmesi kolaydır veya bir düzlemi boşluksuz doldurabilirsiniz.

Antik Çin'de alan ölçüsü bir dikdörtgendi. Duvar ustaları bir evin dikdörtgen duvarının alanını belirlerken duvarın yüksekliğini ve genişliğini çoğaltmışlardır. Bu, geometride kabul edilen tanımdır: bir dikdörtgenin alanı, bitişik kenarlarının ürününe eşittir. Bu tarafların her ikisi de aynı doğrusal birimlerde ifade edilmelidir. Ürünleri, karşılık gelen kare birimlerinde ifade edilen dikdörtgenin alanını oluşturacaktır. Diyelim ki, duvarın yüksekliği ve genişliği desimetre cinsinden ölçülürse, her iki ölçümün ürünü de desimetre kare olarak ifade edilecektir. Ve her bir kaplama radyesinin alanı bir desimetre kare ise, ortaya çıkan ürün, kaplama için gereken karo sayısını gösterecektir. Bu, alanların ölçülmesinin altında yatan ifadeden kaynaklanmaktadır: Kesişmeyen şekillerden oluşan bir şeklin alanı, alanlarının toplamına eşittir.

4000 yıl önce eski Mısırlılar bir dikdörtgenin, üçgenin ve yamuğun alanını ölçmek için kullandığımız tekniklerin hemen hemen aynısını kullandılar: üçgenin tabanı ikiye bölündü ve yükseklikle çarpıldı; bir yamuk için, paralel kenarların toplamı ikiye bölünür ve yükseklikle çarpılır, vb. Alanı hesaplamak için

şunlar. karşılıklı kenarların yarımları çarpılır.

Bu formül herhangi bir dörtgen için kesinlikle doğru değildir; özellikle, tüm eşkenar dörtgenlerin alanlarının aynı olduğunu ima eder. Bu arada, bu tür eşkenar dörtgenlerin alanlarının köşelerdeki açıların büyüklüğüne bağlı olduğu açıktır. Bu formül sadece bir dikdörtgen için geçerlidir. Onun yardımıyla, açıların sağa yakın olduğu dörtgenlerin yaklaşık alanını hesaplayabilirsiniz.

Alanı belirlemek için

Ancak eski Yunanlılar, çokgen alanlarını doğru bir şekilde nasıl bulacağını zaten biliyorlardı. Öklid "Başlangıçlar"ında "alan" kelimesini kullanmaz, çünkü "şekil" kelimesinden, bir düzlemin şu veya bu kapalı hatla sınırlanmış bir bölümünü anlar. Öklid, alanı bir sayı ile ölçmenin sonucunu ifade etmez, ancak farklı şekillerin alanlarını birbiriyle karşılaştırır.

Antik çağın diğer bilim adamları gibi, Öklid de bazı figürlerin kendilerine eşit olan diğerlerine dönüştürülmesiyle ilgilenir. Bileşik şeklin alanı, parçaları farklı şekilde konumlandırılırsa, ancak kesişme olmadan değişmez. Bu nedenle, örneğin, bir dikdörtgenin alanı için formüllere dayanarak, diğer şekillerin alanları için formüller bulmak mümkündür. Böylece, bir üçgen, daha sonra aynı boyutta bir dikdörtgen oluşturabileceğiniz bu tür parçalara bölünür. Bu yapıdan, bir üçgenin alanının, tabanının ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşit olduğu sonucu çıkar. Benzer bir yeniden çizime başvurarak, paralelkenarın alanının tabanın ve yüksekliğin çarpımına eşit olduğunu ve yamuğun alanının tabanların yarısının çarpımına eşit olduğunu bulurlar ve yükseklik.

Duvar ustaları karmaşık konfigürasyonlu bir duvar kaplamak zorunda kaldıklarında, kaplamaya giren karoların sayısını sayarak duvarın alanını belirleyebilirler. Elbette bazı karoların, kaplamanın kenarlarının duvarın kenarıyla çakışması için yontulması gerekecektir. İşe giren tüm karoların sayısı, duvarın alanını fazla, kırılmamış karoların sayısını - bir eksiklikle tahmin eder. Hücrelerin boyutu küçüldükçe atık miktarı azalmakta ve karo sayısı ile belirlenen duvar alanı daha doğru hesaplanmaktadır.

Çalışmaları esas olarak uygulamalı bir yapıya sahip olan geç Yunan matematikçilerinden - ansiklopedistlerden biri, MÖ 1. yüzyılda yaşayan İskenderiyeli Heron'du. n. e. Üstün bir mühendis olarak "Heron Tamircisi" olarak da adlandırıldı. Heron, "Dioptrica" ​​adlı çalışmasında çeşitli makineleri ve pratik ölçüm cihazlarını anlatıyor.

Heron'un kitaplarından birine "Geometri" adı verildi ve bir tür formüller ve ilgili problemler koleksiyonu. Kareler, dikdörtgenler ve üçgenlerin alanlarını hesaplamak için örnekler içerir. Kenarları boyunca bir üçgenin alanını bulma konusunda Heron şöyle yazıyor: “Örneğin, bir üçgenin bir tarafının 13 boyutlu kordon uzunluğuna sahip olduğunu varsayalım, ikincisi 14 ve üçüncüsü 15. Alanı bulmak için şu şekilde ilerleyin: takip eder. 13, 14 ve 15 ekleyin; 42 olacak. Bunun yarısı 21 olacak. Bu üç taraftan birbiri ardına çıkarın; önce 13 - 8 kalır, sonra 14 - 7 kalır ve son olarak 15 - 6. Şimdi bunları çarpın: 21 çarpı 8 168 verir, bunu 7 kez alın - 1176 ve bu 6 kez daha - 7056 elde edersiniz. Dolayısıyla. karekök 84 olacaktır. Bu, üçgenin alanında kaç tane ölçülen kordon olacağıdır. "