Açıklanan yarıçap yaklaşık. Çevrel çember

Çoğu zaman geometrik problemleri çözerken yardımcı şekillerle eylemler yapmanız gerekir. Örneğin, yazılı veya çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını bulma vb. Bu makale size üçgenle çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını nasıl bulacağınızı gösterecek. Veya başka bir deyişle üçgenin yazılı olduğu dairenin yarıçapı.

Bir üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı nasıl bulunur - genel formül

Genel formül şuna benziyor Aşağıdaki şekilde: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), burada R, çevrelenen dairenin yarıçapıdır, p, üçgenin çevresinin 2'ye bölümüdür (yarı çevre). a, b, c – üçgenin kenarları.

a = 3, b = 6, c = 7 ise üçgenin çevre yarıçapını bulun.

Böylece yukarıdaki formüle dayanarak yarı çevreyi hesaplıyoruz:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Değerleri formülde yerine koyarız ve şunu elde ederiz:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Cevap: R = 126/16√5

Eşkenar üçgeni çevreleyen dairenin yarıçapı nasıl bulunur?

Çevresi çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını bulmak için eşkenar üçgen oldukça basit bir formül vardır: R = a/√3, burada a, kenarının boyutudur.

Örnek: Eşkenar üçgenin bir kenarı 5'tir. Çevrel dairenin yarıçapını bulun.

Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit olduğundan, sorunu çözmek için değerini formüle girmeniz yeterlidir. Şunu elde ederiz: R = 5/√3.

Cevap: R = 5/√3.

Dik üçgeni çevreleyen dairenin yarıçapı nasıl bulunur?

Formül şu şekildedir: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, burada a ve b kenarlar ve c hipotenüstür. Bacakların karelerini içine eklerseniz dik üçgen sonra hipotenüsün karesini elde ederiz. Formülden de anlaşılacağı üzere bu ifade kökün altındadır. Hipotenüsün karesinin kökünü hesaplayarak uzunluğu elde ederiz. Ortaya çıkan ifadeyi 1/2 ile çarpmak sonuçta bizi 1/2 × c = c/2 ifadesine götürür.

Örnek: Üçgenin bacakları 3 ve 4 ise çevrelenen dairenin yarıçapını hesaplayın. Değerleri formülde değiştirin. Şunu elde ederiz: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

Bu ifadede 5 hipotenüsün uzunluğudur.

Cevap: R = 2,5.

Bir ikizkenar üçgeni çevreleyen dairenin yarıçapı nasıl bulunur?

Formül şu şekildedir: R = a²/√(4a² – b²), burada a, üçgenin uyluğunun uzunluğu ve b, tabanın uzunluğudur.

Örnek: Bir dairenin kalçası = 7 ve tabanı = 8 ise yarıçapını hesaplayın.

Çözüm: Bu değerleri formülde yerine koyun ve şunu elde edin: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Cevap doğrudan bu şekilde yazılabilir.

Cevap: R = 49/√132

Bir dairenin yarıçapını hesaplamak için çevrimiçi kaynaklar

Tüm bu formüllerde kafa karıştırmak çok kolay olabilir. Bu nedenle gerekirse kullanabilirsiniz. çevrimiçi hesap makineleri yarıçapı bulma problemlerini çözmenize yardımcı olacaktır. Bu tür mini programların çalışma prensibi oldukça basittir. Yan değeri uygun alana yazın ve hazır bir cevap alın. Cevabınızı yuvarlamak için çeşitli seçenekler seçebilirsiniz: ondalık sayılara, yüzde birlere, binde birlere vb.

İlk seviye

Sınırlandırılmış daire. Görsel Kılavuz (2019)

Ortaya çıkabilecek ilk soru şudur: Ne anlatılıyor - neyin etrafında?

Aslında bazen herhangi bir şeyin etrafında oluyor ama biz bir üçgenin etrafını saran bir daireden (bazen "hakkında" da diyorlar) bahsedeceğiz. Nedir?

Ve hayal edin, inanılmaz bir olay gerçekleşiyor:

Bu gerçek neden şaşırtıcı?

Ama üçgenler farklıdır!

Ve herkes için içinden geçecek bir daire var her üç zirve boyunca yani sınırlandırılmış daire.

Bunun kanıtı Muhteşem gerçek Teorinin aşağıdaki düzeylerinde bulunabilir, ancak burada yalnızca, örneğin bir dörtgen alırsak, o zaman dört köşeden geçen bir dairenin herkes için olmayacağını not ediyoruz. Örneğin, bir paralelkenar mükemmel bir dörtgendir, ancak dört köşesinin tamamından geçen bir daire yoktur!

Ve sadece bir dikdörtgen için var:

Hadi bakalım, ve her üçgenin her zaman kendi çevrelenmiş dairesi vardır! Hatta bu çemberin merkezini bulmak her zaman oldukça kolaydır.

Bunun ne olduğunu biliyor musun dik açıortay?

Şimdi üçgenin kenarlarına dik olan en fazla üç ortayı düşünürsek ne olacağını görelim.

Görünüşe göre (ve biz kanıtlamasak da tam olarak kanıtlanması gereken şey bu) üç dik doğru da bir noktada kesişiyor. Resme bakın - üç dik açıortayın tümü bir noktada kesişiyor.

Sınırlandırılmış dairenin merkezinin her zaman üçgenin içinde olduğunu mu düşünüyorsunuz? Hayal edin - her zaman değil!

Ama eğer dar açılı, sonra - içeride:

Dik üçgenle ne yapmalı?

Ve ek bir bonusla:

Sınırlandırılmış dairenin yarıçapından bahsettiğimize göre: neye eşittir? keyfi üçgen? Ve bu sorunun bir cevabı var: sözde .

Yani:

Ve tabi ki,

1. Varoluş ve çember merkezi

Burada şu soru ortaya çıkıyor: Her üçgen için böyle bir daire var mı? Herkes için evet olduğu ortaya çıktı. Üstelik şimdi çevrelenen dairenin merkezinin nerede olduğu sorusuna da cevap veren bir teorem formüle edeceğiz.

Bunun gibi:

Cesur olalım ve bu teoremi kanıtlayalım. "" konusunu zaten okuduysanız ve üç açıortayın neden bir noktada kesiştiğini anladıysanız, o zaman sizin için daha kolay olacaktır, ancak okumadıysanız endişelenmeyin: şimdi çözeceğiz.

İspatı noktaların yeri (GLP) kavramını kullanarak gerçekleştireceğiz.

Peki, örneğin toplar kümesi yuvarlak nesnelerin “geometrik yeri” midir? Hayır, elbette, çünkü yuvarlak... karpuzlar var. Konuşabilen bir grup insan mı, “geometrik bir yer” mi? Hayır, çünkü konuşamayan bebekler de var. Hayatta, gerçek bir "noktaların geometrik konumu" örneğini bulmak genellikle zordur. Geometride daha kolaydır. Örneğin tam olarak ihtiyacımız olan şey şu:

Burada küme dik açıortaydır ve " " özelliği "doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta (bir nokta) olmaktır."

Kontrol edelim mi? Bu nedenle iki şeyden emin olmanız gerekir:

1. Bir parçanın uçlarından eşit uzaklıkta olan herhangi bir nokta, ona dik açıortay üzerinde bulunur.

C ile c'yi bağlayalım. O halde doğrunun ortancası ve yüksekliği b'dir. Bu, - ikizkenar - dik açıortay üzerinde bulunan herhangi bir noktanın ve noktalarından eşit uzaklıkta olmasını sağladığımız anlamına gelir.

Ortasını alıp birleştirelim ve. Sonuç medyandır. Ancak duruma göre sadece orta kenar ikizkenar değil aynı zamanda yükseklik yani dik açıortaydır. Bu, noktanın tam olarak dik açıortay üzerinde olduğu anlamına gelir.

Tüm! Bu gerçeği tam olarak doğruladık Bir parçanın dik açıortayı, parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki noktaların yeridir.

Bunların hepsi iyi hoş da, çevrelenmiş çemberi unuttuk mu? Hiç de değil, kendimize bir “saldırı için sıçrama tahtası” hazırladık.

Bir üçgen düşünün. Diyelim ki bölümlere iki iki dik dik çizelim ve. Adını vereceğimiz bir noktada kesişecekler.

Şimdi dikkat edin!

Nokta dik açıortayın üzerindedir;
nokta dik açıortay üzerindedir.
Bu da ve demektir.

Bundan birkaç şey çıkar:

İlk olarak nokta, parçaya dik olan üçüncü açıortay üzerinde bulunmalıdır.

Yani, dik açıortayın da noktadan geçmesi gerekir ve üç dik açıortay da bir noktada kesişir.

İkincisi: Merkezi bir noktada ve yarıçapı olan bir daire çizersek, o zaman bu daire de hem noktadan hem de noktadan geçecektir, yani çevrelenmiş bir daire olacaktır. Bu, herhangi bir üçgen için üç dik açıortayın kesişiminin çevrelenen dairenin merkezi olmasının zaten mevcut olduğu anlamına gelir.

Ve son şey: benzersizlik hakkında. Noktanın benzersiz bir şekilde elde edilebileceği (neredeyse) açıktır, dolayısıyla daire benzersizdir. Peki, "neredeyse" ifadesini sizin düşüncenize bırakacağız. Böylece teoremi kanıtladık. “Yaşasın!” diye bağırabilirsiniz.

Peki ya problem "sınırlandırılmış dairenin yarıçapını bulun" diye sorarsa? Veya tam tersi, yarıçap verilmiştir, ancak başka bir şey bulmanız mı gerekiyor? Çevrel dairenin yarıçapını üçgenin diğer elemanlarıyla ilişkilendiren bir formül var mı?

Lütfen dikkat: sinüs teoremi şunu belirtir: Sınırlandırılmış dairenin yarıçapını bulmak için bir tarafa (herhangi bir!) ve onun karşısındaki açıya ihtiyacınız vardır.. Bu kadar!

3. Çemberin merkezi - içeride veya dışarıda

Şimdi soru şu: Sınırlandırılmış dairenin merkezi üçgenin dışında olabilir mi?
Cevap: Mümkün olduğu kadar. Üstelik bu her zaman geniş bir üçgende olur.

Ve genel olarak konuşursak:

DAİRESEL DAİRE. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

1. Bir üçgenin çevrelediği daire

Bu, bu üçgenin üç köşesinden de geçen dairedir.

2. Varoluş ve çember merkezi

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Başarılı olmak için Birleşik Devlet Sınavını geçmek, düşük bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu üniversiteye kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha açık yollar olduğu için daha fazla olasılık ve hayat daha mı parlaklaşıyor? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın - 299 ovmak.
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 499 ovmak.

Evet, ders kitabımızda bu tür 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

“Üçgenlerde yazılı ve çevrelenmiş daireler” konusu geometri dersinde en zor konulardan biridir. Derste çok az vakit geçiriyor.

Bu konunun geometrik problemleri sınavın ikinci bölümünde yer almaktadır. Birleşik Devlet Sınavı çalışması kurs başına lise. Bu ödevlerin başarıyla tamamlanması, temel geometrik gerçekler hakkında sağlam bir bilgi ve geometrik problemlerin çözümünde biraz deneyim gerektirir.
Her üçgen için yalnızca bir çevrel çember vardır. Bu, verilen parametrelere sahip bir üçgenin üç köşesinin de bulunduğu bir dairedir. Yarıçapını bulmak sadece geometri dersinde gerekli olmayabilir. Tasarımcılar, kesiciler, tamirciler ve diğer birçok mesleğin temsilcileri sürekli olarak bununla uğraşmak zorundadır. Yarıçapını bulmak için üçgenin parametrelerini ve özelliklerini bilmeniz gerekir. Çevrel çemberin merkezi, üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktasındadır.
Sadece bir üçgenin değil, çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını bulmanın tüm formüllerini dikkatinize sunuyorum. Yazılı dairenin formülleri görüntülenebilir.

a, b. İle -üçgenin kenarları

α - ters açıA,
S-bir üçgenin alanı,

P- yarı çevre

Daha sonra yarıçapı bulmak için ( R) formülleri kullanarak çevrel çemberin:

Buna karşılık üçgenin alanı aşağıdaki formüllerden biri kullanılarak hesaplanabilir:

İşte birkaç formül daha.

1. Eşkenar üçgenin etrafındaki dairenin yarıçapı. Eğer A o zaman üçgenin kenarı

2. Bir ikizkenar üçgen etrafındaki çevrel çemberin yarıçapı. İzin vermek a, b- üçgenin kenarları, o zaman

Dersin Hedefleri:

• “Üçgenlerde daire” konusundaki bilginizi derinleştirin

Dersin Hedefleri:

• Bu konudaki bilgiyi sistematize edin
• Artan karmaşıklıktaki sorunları çözmeye hazırlanın.

Ders planı:

1. Giriiş.
2. Teorik kısım.
3. Bir üçgen için.
4. Pratik kısım.

Giriiş.

“Üçgenlerde yazılı ve çevrelenmiş daireler” konusu geometri dersinde en zor konulardan biridir. Derste çok az vakit geçiriyor.

Bu konunun geometrik problemleri ikinci bölümde yer almaktadır. sınav kağıdı Lise kursu için Birleşik Devlet Sınavı.
Bu ödevlerin başarıyla tamamlanması, temel geometrik gerçekler hakkında sağlam bir bilgi ve geometrik problemlerin çözümünde biraz deneyim gerektirir.

Teorik kısım.

Bir çokgenin çevresi- bir çokgenin tüm köşelerini içeren bir daire. Merkez, çokgenin kenarlarına dik açıortayların kesiştiği noktadır (genellikle O ile gösterilir).

Özellikler.

Dışbükey bir n-gon'un çevrel merkezi, yanlara dik açıortayların kesişme noktasında bulunur. Sonuç olarak: eğer bir çember bir n-gon'un yanında çevrelenmişse, o zaman hepsi dik açıortaylar kenarları bir noktada (dairenin merkezi) kesişir.
Herhangi bir normal çokgenin etrafına bir daire çizilebilir.

Bir üçgen için.

Bir daire, tüm köşelerinden geçiyorsa, bir üçgenin etrafında çevrelenmiş daire olarak adlandırılır.

Herhangi bir üçgenin etrafında bir daire tanımlanabilir ve sadece bir. Merkezi, açıortay diklerinin kesişme noktası olacaktır.

Dar bir üçgen için, çevrelenen dairenin merkezi içeri, geniş açılı biri için - üçgenin dışında, dikdörtgen olan için - hipotenüsün ortasında.

Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

Nerede:
ABC- üçgenin kenarları,
α - a tarafının karşısındaki açı,
S- bir üçgenin alanı.

Kanıtlamak:

t.O - dik açıortayların ΔABC kenarlarına kesişme noktası

Kanıt:

1. ΔAOC - ikizkenar, çünkü OA=OC (yarıçap olarak)
2. ΔAOC - ikizkenar, dikey OD - medyan ve yükseklik, yani. yani O, AC kenarına dik açıortay üzerinde yer alır
3. Benzer şekilde t.O'nun AB ve BC kenarlarına dik açıortaylarda olduğu kanıtlanmıştır.

Q.E.D.

Yorum.

Kendisine dik bir parçanın ortasından geçen düz bir çizgiye genellikle dik açıortay adı verilir. Bu bağlamda, bazen bir üçgenin çevrelediği bir dairenin merkezinin, üçgenin kenarlarına dik açıortayların kesişme noktasında yer aldığı söylenir.

Tanım 2

Tanım 1'in koşulunu karşılayan bir çokgene bir daire etrafında çevrelenmiş çokgen denir.

Şekil 1. Yazılı daire

Teorem 1 (bir üçgenin içine yazılan bir daire hakkında)

Teorem 1

Herhangi bir üçgene yalnızca bir daire yazabilirsiniz.

Kanıt.

$ABC$ üçgenini düşünün. İçine $O$ noktasında kesişen açıortaylar çizelim ve bundan üçgenin kenarlarına dikler çizelim (Şekil 2)

Şekil 2. Teorem 1'in Gösterimi

Varlık: Merkezi $O$ noktasında ve yarıçapı $OK olan bir daire çizelim.\ $$O$ noktası üç açıortay üzerinde bulunduğundan, $ABC$ üçgeninin kenarlarına eşit uzaklıktadır. Yani $OM=OK=OL$. Sonuç olarak, oluşturulan daire aynı zamanda $M\ ve\ L$ noktalarından da geçmektedir. $OM,OK\ ve\ OL$ üçgenin kenarlarına dik olduğundan, daire teğet teoremine göre oluşturulan daire üçgenin üç kenarına da dokunur. Bu nedenle, bir üçgenin keyfiliği nedeniyle herhangi bir üçgene bir daire yazılabilir.

Teklik: Merkezi $O"$ noktasında olan başka bir dairenin $ABC$ üçgenine yazılabileceğini varsayalım. Merkezi üçgenin kenarlarından eşit uzaklıkta ve bu nedenle $O$ noktasıyla çakışıyor ve yarıçapı şuna eşit: uzunluk $OK$ Ama o zaman bu daire ilkiyle çakışacak.

Teorem kanıtlandı.

Sonuç 1: Bir üçgenin içine yazılan dairenin merkezi, açıortaylarının kesişme noktasında bulunur.

Yazılı daire kavramıyla ilgili birkaç gerçek daha:

Her dörtgen bir daireye sığmaz.

Herhangi bir çevrelenmiş dörtgende, karşılıklı kenarların toplamları eşittir.

Dışbükey bir dörtgenin karşıt kenarlarının toplamları eşitse, içine bir daire yazılabilir.

Tanım 3

Bir çokgenin tüm köşeleri bir daire üzerinde yer alıyorsa, o zaman daireye çokgenin etrafında çevrelenmiş daire denir (Şekil 3).

Tanım 4

Tanım 2'yi karşılayan bir çokgenin bir daire içine yazıldığı söylenir.

Şekil 3. Çevreleyen daire

Teorem 2 (bir üçgenin çevrel çemberi hakkında)

Teorem 2

Herhangi bir üçgenin etrafında bir daire tanımlayabilirsiniz, hem de yalnızca bir tane.

Kanıt.

$ABC$ üçgenini düşünün. İçine $O$ noktasında kesişen dik açıortaylar çizelim ve bunu üçgenin köşelerine bağlayalım (Şekil 4)

Şekil 4. Teorem 2'nin Gösterimi

Varlık: Merkezi $O$ noktasında ve yarıçapı $OC$ olan bir daire inşa edelim. $O$ noktası üçgenin köşelerine eşit uzaklıktadır, yani $OA=OB=OC$. Sonuç olarak, oluşturulan daire belirli bir üçgenin tüm köşelerinden geçer, bu da onun bu üçgenin etrafında çevrelendiği anlamına gelir.

Teklik: $ABC$ üçgeninin etrafında, merkezi $O"$ noktasında olan başka bir dairenin tanımlanabildiğini varsayalım. Merkezi, üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta olup, dolayısıyla $O$ noktasıyla çakışır ve $OC uzunluğuna eşit bir yarıçap.$ Ancak bu durumda bu daire ilkiyle çakışacaktır.

Teorem kanıtlandı.

Sonuç 1: Üçgenin çevrelediği dairenin merkezi, orta dikmelerin kesişme noktasıyla çakışmaktadır.

Çevrel daire kavramıyla ilgili birkaç gerçek daha:

Bir dörtgenin etrafındaki daireyi tanımlamak her zaman mümkün değildir.

Herhangi bir döngüsel dörtgende zıt açıların toplamı $(180)^0$'dır.

Bir dörtgenin karşılıklı açılarının toplamı $(180)^0$ ise etrafına bir daire çizilebilir.

Yazılı ve sınırlı daire kavramlarına ilişkin bir problem örneği

örnek 1

Bir ikizkenar üçgenin tabanı 8 cm, kenarı 5 cm olup, içinde yazılı dairenin yarıçapını bulunuz.

Çözüm.

$ABC$ üçgenini düşünün. Sonuç 1'e göre, iç çemberin merkezinin açıortayların kesişme noktasında yer aldığını biliyoruz. $O$ noktasında kesişen $AK$ ve $BM$ açıortaylarını çizelim. $O$ noktasından $BC$ kenarına dik bir $OH$ çizelim. Bir resim çizelim:

Şekil 5.

Üçgen ikizkenar olduğundan $BM$ hem ortanca hem de yüksekliktir. Pisagor teoremine göre $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=$3. $OM=OH=r$ -- yazılı dairenin gerekli yarıçapı. $MC$ ve $CH$ kesişen teğetlerin parçaları olduğundan, kesişen teğetler teoremine göre elimizde $CH=MC=4\ cm$ bulunur. Bu nedenle $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Pisagor teoremine göre $OHB$ üçgeninden şunu elde ederiz:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Cevap:$\frac(4)(3)$.