Bir eşkenar üçgenin merkezi nedir? İkizkenar ve eşkenar üçgen

AT okul kursu geometri, üçgenlerin çalışmasına çok fazla zaman ayrılmıştır. Öğrenciler açıları hesaplar, açıortaylar ve yükseklikler oluşturur, şekillerin birbirinden ne kadar farklı olduğunu ve alanlarını ve çevrelerini bulmanın en kolay yolunu bulur. Bunun hayatta hiçbir şekilde yararlı olmadığı görülüyor, ancak bazen, örneğin bir üçgenin eşkenar veya geniş olduğunu nasıl belirleyeceğinizi öğrenmek hala yararlıdır. Nasıl yapılır?

üçgen türleri

Aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta ve bunları birleştiren doğru parçaları. Görünüşe göre bu rakam en basit olanı. Sadece üç kenarı varsa üçgenler nasıl görünebilir? Aslında epeyce seçenek var. çok sayıda, ve bazıları verildi Özel dikkat okul geometri dersinin bir parçası olarak. Eşkenar üçgen, eşkenardır, yani tüm açıları ve kenarları eşittir. Daha sonra tartışılacak olan bir dizi olağanüstü özelliğe sahiptir.

İkizkenarların sadece iki eşit kenarı vardır ve oldukça ilginçtir. Dikdörtgende ve tahmin edebileceğiniz gibi, köşelerden biri sırasıyla düz veya geniştir. Ancak, ikizkenar da olabilirler.

Mısırlı denilen özel bir tane de var. Kenarları 3, 4 ve 5 birimdir. Ancak dikdörtgen şeklindedir. Mısırlı araştırmacılar ve mimarlar tarafından dik açılar oluşturmak için aktif olarak kullanıldığına inanılıyor. Ünlü piramitlerin onun yardımıyla inşa edildiğine inanılıyor.

Ve yine de bir üçgenin tüm köşeleri tek bir düz çizgi üzerinde uzanabilir. Bu durumda, dejenere olarak adlandırılırken, diğerlerinin tümü dejenere olmayan olarak adlandırılır. Onlar geometri çalışma konularından biridir.

Üçgen eşkenardır

Tabii ki, doğru rakamlar her zaman en büyük ilgiyi çekiyor. Daha mükemmel, daha zarif görünüyorlar. Karakteristiklerini hesaplamak için formüller genellikle sıradan rakamlardan daha basit ve daha kısadır. Bu aynı zamanda üçgenler için de geçerlidir. Geometri çalışırken onlara çok dikkat edilmesi şaşırtıcı değildir: okul çocuklarına normal rakamları diğerlerinden ayırt etmeleri öğretilir ve ayrıca bazı ilginç özellikleri hakkında da bilgi verilir.

Özellikler ve özellikler

Adından da anlaşılacağı gibi, bir eşkenar üçgenin her bir kenarı diğer ikisine eşittir. Ayrıca, şeklin doğru olup olmadığını belirlemenin mümkün olduğu bir takım özelliklere sahiptir.

Yukarıdaki işaretlerden en az biri gözlenirse, üçgen eşkenardır. Normal bir rakam için, yukarıdaki tüm ifadeler doğrudur.

Tüm üçgenlerin bir dizi dikkate değer özelliği vardır. İlk olarak, orta çizgi, yani iki tarafı ikiye bölen ve üçüncüye paralel olan doğru parçası, tabanın yarısına eşittir. İkincisi, bu şeklin tüm açılarının toplamı her zaman 180 dereceye eşittir. Ayrıca üçgenlerde ilginç bir ilişki daha vardır. Bu nedenle, daha büyük tarafın karşısında daha büyük bir açı bulunur ve bunun tersi de geçerlidir. Ancak bunun elbette bir eşkenar üçgenle ilgisi yoktur, çünkü tüm açıları eşittir.

Yazılı ve sınırlı daireler

Genellikle bir geometri dersinde öğrenciler şekillerin birbirleriyle nasıl etkileşime girebileceğini de öğrenirler. Özellikle çokgenler içine yazılan veya çevrelerinde anlatılan daireler incelenir. Bu ne hakkında?

Yazılı daire, çokgenin tüm kenarlarının teğet olduğu bir dairedir. Tanımlandı - tüm köşelerle temas noktaları olan. Her üçgen için, hem birinci hem de ikinci daireleri oluşturmak her zaman mümkündür, ancak her türden sadece bir tane. Bu ikisinin kanıtı

teoremler okul geometri dersinde verilmektedir.

Üçgenlerin kendi parametrelerinin hesaplanmasına ek olarak, bazı görevler bu dairelerin yarıçaplarını hesaplamayı da içerir. ve formülleri
eşkenar üçgen şuna benzer:

burada r, yazılı dairenin yarıçapıdır, R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır, a, üçgenin kenarının uzunluğudur.

Yükseklik, çevre ve alan hesabı

Okul çocuklarının geometri çalışırken hesaplamaya dahil olduğu ana parametreler hemen hemen her şekil için değişmeden kalır. Bunlar çevre, alan ve yüksekliktir. Hesaplama kolaylığı için çeşitli formüller vardır.

Böylece, çevre, yani tüm kenarların uzunluğu aşağıdaki şekillerde hesaplanır:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, burada a normal bir üçgenin kenarıdır, R çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır, r yazılı olandır.

h = (√ ̅3/2)*a, burada a kenar uzunluğudur.

Son olarak, formül standarttan, yani tabanın yarısı ile yüksekliğinin çarpımından türetilir.

S = (√ ̅3/4)*a 2 , burada a kenar uzunluğudur.

Ayrıca bu değer, çevrelenmiş veya çizilmiş dairenin parametreleri aracılığıyla hesaplanabilir. Bunun için özel formüller de vardır:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2 , burada r ve R sırasıyla yazılı ve çevrelenmiş dairelerin yarıçaplarıdır.

Bina

Bir diğer ilginç tipüçgenler de dahil olmak üzere görevler, kullanarak belirli bir şekil çizme ihtiyacı ile ilişkilidir. minimum set

araçlar: bir pusula ve bölümleri olmayan bir cetvel.

Yalnızca bu araçlarla düzenli bir üçgen oluşturmak için birkaç adımı izlemeniz gerekir.

1. Herhangi bir yarıçapa ve keyfi bir A noktasında bir merkeze sahip bir daire çizmek gerekir. Not edilmelidir.
2. Ardından, bu noktadan düz bir çizgi çizmeniz gerekir.
3. Daire ve düz çizginin kesişme noktaları B ve C olarak belirtilmelidir. Tüm yapılar mümkün olan en yüksek doğrulukla yapılmalıdır.
4. Ardından, C noktasında aynı yarıçapa ve merkeze sahip başka bir daire veya uygun parametrelerle bir yay oluşturmanız gerekir. Kavşaklar D ve F olarak işaretlenecektir.
5. B, F, D noktaları segmentlerle bağlanmalıdır. Eşkenar üçgen oluşturulur.

Bu tür sorunları çözmek genellikle okul çocukları için bir sorundur, ancak bu beceri günlük yaşamda faydalı olabilir.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vb.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• tarafımızdan toplanmıştır kişisel bilgi sizinle iletişime geçmemize ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman, size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli usule uygun olarak, dava ve/veya genel istek veya taleplere dayalı olarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için gerekli veya uygun olduğunu belirlersek hakkınızdaki bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Teorem 19. Bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açılar eşittir.
Kanıt. Yüksekliği bir ikizkenar üçgenin tabanına indirelim. Onu iki eşit (bacak ve hipotenüs boyunca) dik açılı üçgene böler, bu da karşılık gelen açıların eşit olduğu anlamına gelir, yani. ∠ A=∠ C
Bir ikizkenar üçgenin işaretleri Teorem 1'den ve onun sonuçlarından ve Teorem 2'den gelir.
Teorem 20. Belirtilen dört çizgiden ikisi (yükseklik, medyan, açıortay, simetri ekseni) çakışırsa, üçgen ikizkenar olacaktır (bu, dört çizginin hepsinin çakışacağı anlamına gelir).
Teorem 21. Bir üçgenin herhangi iki açısı eşitse, o zaman ikizkenardır.

Kanıt: Doğrudan teoremin ispatına benzer, ancak üçgenlerin eşitliği için ikinci kriteri kullanır. Bir ikizkenar üçgenin ağırlık merkezi, çevrelenmiş ve yazılı dairelerin merkezleri ve yüksekliklerinin kesişme noktası - hepsi onun simetri ekseni üzerindedir, yani. yüksekte.
Eşkenar üçgen, her bir kenar çifti için ikizkenardır. Tüm kenarlarının eşitliği göz önüne alındığında, böyle bir üçgenin üç açısı da eşittir. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamının iki dik açıya eşit olduğunu düşünürsek, bir eşkenar üçgenin açılarının her birinin 60°'ye eşit olduğunu görürüz. Tersine, bir üçgenin tüm kenarlarının eşit olduğundan emin olmak için, üç açısından ikisinin 60°'ye eşit olduğunu kontrol etmek yeterlidir.
Teorem 22 . Bir eşkenar üçgende tüm dikkat çekici noktalar çakışır: ağırlık merkezi, yazılı ve çevrelenmiş dairelerin merkezleri, yüksekliklerin kesişme noktası (üçgenin ortomerkezi olarak adlandırılır).
Teorem 23 . Belirtilen dört noktadan ikisi çakışırsa, üçgen eşkenar olacaktır ve sonuç olarak, adlandırılmış dört noktanın tümü çakışacaktır.
Gerçekten de, böyle bir üçgen, bir öncekine göre, herhangi bir kenar çiftine göre ikizkenar olacaktır, yani. eşkenar. Eşkenar üçgene dik üçgen de denir. Bir ikizkenar üçgenin alanı, kenarın karesinin çarpımının yarısına ve kenarlar arasındaki açının sinüsüne eşittir.
Bu formülü bir eşkenar üçgen için düşünün, o zaman alfa açısı 60 derece olacaktır. Formül daha sonra aşağıdaki şekilde değişecektir:

Teorem d1 . Bir ikizkenar üçgende, kenarlara çizilen medyanlar eşittir.

Kanıt: ABC bir ikizkenar üçgen (AC = BC), AK ve BL ortancaları olsun. O halde AKB ve ALB üçgenleri ikinci üçgen eşitlik kriterine göre eştir. Ortak bir AB kenarına sahiptirler, AL ve BK kenarları bir ikizkenar üçgenin kenarlarının yarısına eşittir ve LAB ve KBA açıları bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açılar kadar eşittir. Üçgenler eş olduğundan, kenarları AK ve LB eşittir. Ancak AK ve LB, kenarlarına çizilmiş bir ikizkenar üçgenin medyanlarıdır.
teorem d2 . Bir ikizkenar üçgende, kenarlara çizilen açıortaylar eşittir.

Kanıt: ABC bir ikizkenar üçgen olsun (AC = BC), AK ve BL açıortayı olsun. AKB ve ALB üçgenleri, üçgenlerin eşitliği için ikinci kritere göre uyumludur. Ortak bir AB kenarına sahiptirler, LAB ve KBA açıları bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açılara eşittir ve LBA ve KAB açıları bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açıların yarısına eşittir. Üçgenler eş olduğundan, kenarları AK ve LB - ABC üçgeninin açıortayı - eşittir. Teorem kanıtlanmıştır.
teorem d3 . Bir ikizkenar üçgende, kenarlara indirilen yükseklikler eşittir.

Kanıt: ABC bir ikizkenar üçgen (AC = BC), AK ve BL yükseklikleri olsun. O zaman ABL ve KAB açıları eşittir, çünkü ALB ve AKB açıları dik açılardır ve LAB ve ABK açıları bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açılar kadar eşittir. Bu nedenle, ALB ve AKB üçgenleri, üçgenlerin eşitliği için ikinci kritere göre eştir: ortak bir AB kenarına sahiptirler, KAB ve LBA açıları yukarıdakilere göre eşittir ve LAB ve KBA açıları, üçgenlerin tabanındaki açılar kadar eşittir. bir ikizkenar üçgen. Üçgenler eşitse, kenarları AK ve BL de eşittir. Q.E.D.

"A Alın" video kursu, başarılı olmak için gerekli tüm konuları içerir. sınavı geçmek matematikte 60-65 puan. Tüm görevleri tamamla 1-13 profil sınavı matematik. Matematikte Temel KULLANIM'ı geçmek için de uygundur. Sınavı 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. sınıflar ve öğretmenler için sınava hazırlık kursu. Matematik sınavının 1. bölümünü (ilk 12 problem) ve problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazladır ve ne yüz puanlık bir öğrenci ne de bir hümanist onlarsız yapamaz.

Tüm gerekli teori. Hızlı Yollar sınavın çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Bankası görevlerinden 1. bölümün ilgili tüm görevleri analiz edilmiştir. Kurs, USE-2018 gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olan 5 büyük konu içerir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilir.

Yüzlerce sınav görevi. Metin problemleri ve olasılık teorisi. Basit ve hatırlaması kolay problem çözme algoritmaları. Geometri. teori, referans malzemesi, her türlü KULLANIM görevinin analizi. Stereometri. Çözmek için kurnaz hileler, faydalı hile sayfaları, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan trigonometri - görev 13'e. Tıkanmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların görsel açıklaması. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Sınavın 2. bölümünün karmaşık problemlerini çözmek için temel.