Bir üçgende dik açıortayın oluşturulması. Dik açıortay

Önceki derste, hem üçgenin içinde hem de serbest olan bir açının açıortayının özelliklerine baktık. Bir üçgen üç açı içerir ve bunların her biri için açıortayın dikkate alınan özellikleri korunur.

Teorem:

Üçgenin açıortayları AA 1, BB 1, СС 1 bir O noktasında kesişir (Şekil 1).

Pirinç. 1. Teoremin gösterimi

Kanıt:

İlk önce iki açıortay BB 1 ve CC 1'i ele alalım. Kesişiyorlar, O kesişme noktası var. Bunu kanıtlamak için tam tersini varsayalım: verilen açıortayların kesişmemesine izin verin, bu durumda paraleldirler. O zaman BC düz çizgisi bir kesendir ve açıların toplamı Bu, üçgenin tamamında açıların toplamının olduğu gerçeğiyle çelişir.

Yani iki açıortayın kesişimindeki O noktası mevcuttur. Özelliklerini ele alalım:

O noktası açının ortay üzerinde yer alır, yani BA ve BC kenarlarına eşit uzaklıktadır. OK BC'ye dikse, OL BA'ya dikse bu diklerin uzunlukları -'ye eşittir. Ayrıca O noktası açının ortay üzerinde yer alır ve CB ve CA kenarlarından eşit uzaklıkta olup OM ve OK dikmeleri eşittir.

Aşağıdaki eşitlikleri elde ettik:

yani O noktasından üçgenin kenarlarına bırakılan üç dikmenin tamamı birbirine eşittir.

OL ve OM dik açılarının eşitliğiyle ilgileniyoruz. Bu eşitlik, O noktasının açının kenarlarından eşit uzaklıkta olduğunu söyler, bundan da onun AA 1 ortaortayında yer aldığı sonucu çıkar.

Böylece bir üçgenin üç açıortayının da bir noktada kesiştiğini kanıtlamış olduk.

Ayrıca bir üçgen üç parçadan oluşur, bu da tek bir parçanın özelliklerini dikkate almamız gerektiği anlamına gelir.

AB segmenti veriliyor. Her doğru parçasının bir orta noktası vardır ve bu noktadan geçen bir dikme çizilebilir; buna p diyelim. Dolayısıyla p dik açıortaydır.

Pirinç. 2. Teoremin gösterimi

Dik açıortay üzerinde bulunan herhangi bir nokta, parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır.

Bunu kanıtlayın (Şekil 2).

Kanıt:

Üçgenleri düşünün ve . Dikdörtgen ve eşittirler çünkü ortak bir OM bacağına sahiptirler ve AO ve OB bacakları koşula göre eşittir, dolayısıyla elimizde iki tane var dik üçgen, iki ayak üzerinde eşit. Buradan üçgenlerin hipotenüslerinin de eşit olduğu, yani kanıtlanması gereken şeyin eşit olduğu sonucu çıkıyor.

Ters teorem doğrudur.

Bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, bu parçaya dik açıortay üzerinde yer alır.

Bir AB doğru parçası, onun dik ortaortayı p ve doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta bir M noktası veriliyor. M noktasının parçaya dik açıortay üzerinde bulunduğunu kanıtlayın (Şekil 3).

Pirinç. 3. Teoremin gösterimi

Kanıt:

Bir üçgen düşünün. Koşullara göre ikizkenardır. Bir üçgenin medyanını düşünün: O noktası AB tabanının ortasıdır, OM medyandır. Mülkiyete göre ikizkenar üçgen tabanına çizilen medyan hem yükseklik hem de açıortaydır. Bunu takip ediyor. Ancak p doğrusu AB'ye de diktir. O noktasında AB doğru parçasına tek bir dik çizgi çizmenin mümkün olduğunu biliyoruz; bu, OM ve p çizgilerinin çakıştığı anlamına gelir; bundan M noktasının p düz çizgisine ait olduğu sonucu çıkar ki bunu kanıtlamamız gerekiyordu.

Doğrudan ve ters teoremler genelleştirilebilir.

Bir nokta, ancak ve ancak bu parçanın uçlarından eşit uzaklıkta ise, bir parçanın dik açıortayı üzerinde yer alır.

O halde bir üçgende üç doğru parçası olduğunu ve dik açıortay özelliğinin bunların her biri için geçerli olduğunu tekrarlayalım.

Teorem:

Bir üçgenin dik açıortayları bir noktada kesişir.

Bir üçgen veriliyor. Kenarlarına dik olanlar: P 1 BC kenarına, P 2 AC kenarına, P 3 AB kenarına.

P 1, P 2 ve P 3 dikmelerinin O noktasında kesiştiğini kanıtlayın (Şekil 4).

Pirinç. 4. Teoremin gösterimi

Kanıt:

İki dik açıortay P2 ve P3'ü ele alalım, kesişiyorlar, O kesişme noktası var. Bu gerçeği çelişkiyle kanıtlayalım - P 2 ve P 3 dik çizgilerinin paralel olmasına izin verin. Daha sonra açı ters çevrilir, bu da üçgenin üç açısının toplamının olduğu gerçeğiyle çelişir. Yani, üç dik açıortaydan ikisinin kesişiminde bir O noktası vardır. O noktasının özellikleri: AB kenarına dik açıortay üzerinde yer alır, bu da AB doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olduğu anlamına gelir: . Aynı zamanda AC kenarına dik açıortay üzerinde de bulunur, bu da anlamına gelir. Aşağıdaki eşitlikleri elde ettik.

Teorem:

Üçgenin açıortayları AA 1, BB 1, СС 1 bir O noktasında kesişir (Şekil 1).

Pirinç. 1. Teoremin gösterimi

Kanıt:

Yani iki açıortayın kesişimindeki O noktası mevcuttur. Özelliklerini ele alalım:

Aşağıdaki eşitlikleri elde ettik:

yani O noktasından üçgenin kenarlarına bırakılan üç dikmenin tamamı birbirine eşittir.

Böylece bir üçgenin üç açıortayının da bir noktada kesiştiğini kanıtlamış olduk.

Ayrıca bir üçgen üç parçadan oluşur, bu da tek bir parçanın özelliklerini dikkate almamız gerektiği anlamına gelir.

AB segmenti veriliyor. Her doğru parçasının bir orta noktası vardır ve bu noktadan geçen bir dikme çizilebilir; buna p diyelim. Dolayısıyla p dik açıortaydır.

Pirinç. 2. Teoremin gösterimi

Dik açıortay üzerinde bulunan herhangi bir nokta, parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır.

Bunu kanıtlayın (Şekil 2).

Kanıt:

Üçgenleri düşünün ve . Dikdörtgensel ve eşittirler, çünkü ortak bir OM bacağı vardır ve AO ve OB bacakları koşula göre eşittir, dolayısıyla iki ayakta eşit olan iki dik üçgenimiz vardır. Buradan üçgenlerin hipotenüslerinin de eşit olduğu, yani kanıtlanması gereken şeyin eşit olduğu sonucu çıkıyor.

Ters teorem doğrudur.

Bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, bu parçaya dik açıortay üzerinde yer alır.

Pirinç. 3. Teoremin gösterimi

Kanıt:

Bir üçgen düşünün. Koşullara göre ikizkenardır. Bir üçgenin medyanını düşünün: O noktası AB tabanının ortasıdır, OM medyandır. İkizkenar üçgenin özelliğine göre tabanına çizilen kenarortay hem yükseklik hem de açıortaydır. Bunu takip ediyor. Ancak p doğrusu AB'ye de diktir. O noktasında AB doğru parçasına tek bir dik çizgi çizmenin mümkün olduğunu biliyoruz; bu, OM ve p çizgilerinin çakıştığı anlamına gelir; bundan M noktasının p düz çizgisine ait olduğu sonucu çıkar ki bunu kanıtlamamız gerekiyordu.

Doğrudan ve ters teoremler genelleştirilebilir.

Bir nokta, ancak ve ancak bu parçanın uçlarından eşit uzaklıkta ise, bir parçanın dik açıortayı üzerinde yer alır.

O halde bir üçgende üç doğru parçası olduğunu ve dik açıortay özelliğinin bunların her biri için geçerli olduğunu tekrarlayalım.

Teorem:

Bir üçgenin dik açıortayları bir noktada kesişir.

Bir üçgen veriliyor. Kenarlarına dik olanlar: P 1 BC kenarına, P 2 AC kenarına, P 3 AB kenarına.

P 1, P 2 ve P 3 dikmelerinin O noktasında kesiştiğini kanıtlayın (Şekil 4).

Pirinç. 4. Teoremin gösterimi

Kanıt:

Planimetri terimleri sözlüğü- Planimetri terimlerinin tanımları burada toplanmıştır. Bu sözlükteki (bu sayfada) terimlere yapılan atıflar italik yazılmıştır. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S ... Vikipedi

Doğrusal noktalar

Rekabetçi doğrudan- Planimetri terimlerinin tanımları burada toplanmıştır. Bu sözlükteki (bu sayfada) terimlere yapılan atıflar italik yazılmıştır. # A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Vikipedi

Apollonia Çemberi- Planimetri terimlerinin tanımları burada toplanmıştır. Bu sözlükteki (bu sayfada) terimlere yapılan atıflar italik yazılmıştır. # A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Vikipedi

Düzlem dönüşümü- Planimetri terimlerinin tanımları burada toplanmıştır. Bu sözlükteki (bu sayfada) terimlere yapılan atıflar italik yazılmıştır. # A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Vikipedi

Ceviana- Planimetri terimlerinin tanımları burada toplanmıştır. Bu sözlükteki (bu sayfada) terimlere yapılan atıflar italik yazılmıştır. # A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Vikipedi

Planimetri sözlüğü- Bu sayfa bir sözlüktür. Ayrıca ana makaleye bakın: Planimetri Planimetri terimlerinin tanımları burada toplanmıştır. Bu sözlükteki (bu sayfada) terimlerin bağlantıları italiktir... Vikipedi

Apollonius'un sorunu- Apollonius'un problemi pergel ve cetvel kullanarak verilen üç daireye teğet bir daire oluşturmaktır. Efsaneye göre problem MÖ 220 civarında Pergalı Apollonius tarafından formüle edildi. e. kaybolan “Dokunma” kitabında ... Wikipedia

Voronoi diyagramı- düzlemdeki rastgele bir nokta kümesi. Düzlemdeki sonlu bir S noktası kümesinin Voronoi diyagramı, düzlemin bir bölümünü temsil eder, öyle ki ... Vikipedi

Bir üçgende dört dikkat çekici nokta vardır: kenarortayların kesişme noktası. Açıortayların kesişme noktası, yüksekliklerin kesişme noktası ve dik açıortayların kesişme noktası. Her birine bakalım.

Üçgen kenarortaylarının kesişme noktası

Teorem 1

Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasında: Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve tepe noktasından başlayarak $2:1$ oranında kesişme noktasına bölünür.

Kanıt.

$ABC$ üçgenini düşünün; burada $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ onun medyanlarıdır. Medyanlar kenarları ikiye böldüğü için. Orta çizgiyi $A_1B_1$ ele alalım (Şekil 1).

Şekil 1. Bir üçgenin kenarortayları

Teorem 1'e göre $AB||A_1B_1$ ve $AB=2A_1B_1$, dolayısıyla $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Bu, $ABM$ ve $A_1B_1M$ üçgenlerinin, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ilk kritere göre benzer olduğu anlamına gelir. Daha sonra

Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki

Teorem kanıtlandı.

Üçgen açıortayların kesişme noktası

Teorem 2

Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktasında: Üçgenin açıortayları bir noktada kesişir.

Kanıt.

$AM,\BP,\CK$'nin ortaortayları olduğu $ABC$ üçgenini düşünün. $O$ noktası $AM\ ve\BP$ açıortaylarının kesişme noktası olsun. Bu noktadan üçgenin kenarlarına dikler çizelim (Şekil 2).

Şekil 2. Üçgen ortaylar

Teorem 3

Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktası kenarlarından eşit uzaklıktadır.

Teorem 3'e göre şunu elde ederiz: $OX=OZ,\ OX=OY$. Bu nedenle $OY=OZ$. Bu, $O$ noktasının $ACB$ açısının kenarlarından eşit uzaklıkta olduğu ve bu nedenle $CK$ açıortayı üzerinde bulunduğu anlamına gelir.

Teorem kanıtlandı.

Bir üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktası

Teorem 4

Üçgenin kenarlarına dik olan açıortaylar bir noktada kesişir.

Kanıt.

$ABC$ üçgeninin dik açıortayları $n,\ m,\ p$ olarak verilsin. $O$ noktası, $n\ ve\ m$ orta dikmelerinin kesişme noktası olsun (Şekil 3).

Şekil 3. Bir üçgenin dik açıortayları

Bunu kanıtlamak için aşağıdaki teoreme ihtiyacımız var.

Teorem 5

Bir parçaya dik açıortayın her noktası, parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır.

Teorem 3'e göre şunu elde ederiz: $OB=OC,\ OB=OA$. Bu nedenle $OA=OC$. Bu, $O$ noktasının $AC$ doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olduğu ve bu nedenle $p$ dik açıortayında bulunduğu anlamına gelir.

Teorem kanıtlandı.

Üçgen yüksekliklerinin kesişme noktası

Teorem 6

Bir üçgenin yükseklikleri veya uzantıları bir noktada kesişir.

Kanıt.

$ABC$ üçgenini düşünün; burada $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ onun yüksekliğidir. Üçgenin her köşesinden, köşenin karşısındaki kenara paralel bir düz çizgi çizelim. Yeni bir $A_2B_2C_2$ üçgeni elde ediyoruz (Şekil 4).

Şekil 4. Üçgen yükseklikleri

$AC_2BC$ ve $B_2ABC$ ortak kenarlı paralelkenarlar olduğundan, $AC_2=AB_2$, yani $A$ noktası $C_2B_2$ kenarının orta noktasıdır. Benzer şekilde, $B$ noktasının $C_2A_2$ kenarının orta noktası olduğunu ve $C$ noktasının $A_2B_2$ kenarının orta noktası olduğunu buluruz. Yapıdan şunu elde ederiz: $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Dolayısıyla $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$, $A_2B_2C_2$ üçgeninin dik açıortaylarıdır. O halde Teorem 4'e göre $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ yüksekliklerinin bir noktada kesiştiğini elde ederiz.

Dik açıortay (ortanca dik veya medyatriks) - belirli bir bölüme dik ve ortasından geçen düz bir çizgi.

Özellikler

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

burada alt simge dikmenin çizildiği tarafı belirtir,

S

üçgenin alanıdır ve kenarların eşitsizliklerle ilişkili olduğu da varsayılmaktadır.

a\geqslant b\geqslant c.

p_a\geq p_b

p_c\geq p_b.

Başka bir deyişle, bir üçgenin en küçük dik açıortayı orta segmente aittir.

"Dikey açıortay" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Notlar

Dik açıortayı karakterize eden alıntı

Çiğnemek için duran Kutuzov, sanki kendisine söylenenleri anlamıyormuş gibi şaşkınlıkla Wolzogen'e baktı. Des alten Herrn'ün heyecanını fark eden Wolzogen, [yaşlı beyefendi (Alman)] gülümseyerek şöyle dedi:
– Gördüklerimi lordunuzdan saklamaya kendimi yetkili görmedim... Birlikler tam bir kargaşa içinde...
- Gördün mü? Gördün mü?.. – Kutuzov kaşlarını çatarak bağırdı, hızla ayağa kalktı ve Wolzogen'e doğru ilerledi. "Nasıl yaparsın... nasıl cüret edersin!.." diye bağırdı, el sıkışarak ve boğularak tehditkar hareketler yaptı. - Sayın efendim, bunu bana söylemeye nasıl cesaret edersiniz? Hiçbir şey bilmiyorsun. General Barclay'e benden verdiği bilginin yanlış olduğunu ve savaşın gerçek gidişatını başkomutan olarak ondan daha iyi bildiğimi söyleyin.
Wolzogen itiraz etmek istedi ama Kutuzov onun sözünü kesti.
- Düşman soldan püskürtülür, sağdan mağlup edilir. Eğer iyi görmediyseniz sevgili efendim, o zaman bilmediğiniz şeyleri söylemenize izin vermeyin. Lütfen General Barclay'e gidin ve ertesi gün ona düşmana saldırma konusundaki kesin niyetimi iletin," dedi Kutuzov sertçe. Herkes sessizdi ve duyulabilen tek şey, nefesi kesilmiş yaşlı generalin ağır nefes alışlarıydı. "Her yerde geri püskürtüldüler, bunun için Tanrı'ya ve cesur ordumuza teşekkür ediyorum." Düşman yenildi ve yarın onu kutsal Rus topraklarından kovacağız” dedi Kutuzov, haç çıkararak; ve aniden gelen gözyaşlarından hıçkırmaya başladı. Omuzlarını silkip dudaklarını büzen Wolzogen, uber diese Eingenommenheit des alten Herrn'ü merak ederek sessizce yana doğru yürüdü. [yaşlı beyefendinin bu zulmüne. (Almanca)]
Kutuzov, o sırada tümseğe giren tombul, yakışıklı, siyah saçlı generale "Evet, işte burada, kahramanım" dedi. Bütün günü Borodino sahasının ana noktasında geçiren kişi Raevsky'ydi.
Raevsky, birliklerin sağlam bir şekilde yerlerinde olduğunu ve Fransızların artık saldırmaya cesaret edemediğini bildirdi. Kutuzov onu dinledikten sonra Fransızca şunları söyledi:
– Bazılarının emekli olmanızı gerektirecek bir şey yapmayı düşünmediniz mi? [O halde sen de diğerleri gibi geri çekilmemiz gerektiğini düşünmüyor musun?]