C 10 kesirlerin bölünmesi. Kesirlerle işlemler

Kesir, bir bütünün bir veya daha fazla parçası olup genellikle bir (1) olarak alınır. Doğal sayılarda olduğu gibi kesirlerle de tüm temel aritmetik işlemleri (toplama, çıkarma, bölme, çarpma) gerçekleştirebilirsiniz; bunun için kesirlerle çalışmanın özelliklerini bilmeniz ve türlerini ayırt etmeniz gerekir. Birkaç kesir türü vardır: ondalık ve sıradan veya basit. Her kesir türünün kendine has özellikleri vardır, ancak bunları nasıl ele alacağınızı iyice anladığınızda, kesirlerle aritmetik hesaplamalar yapmanın temel ilkelerini bileceğiniz için kesirlerle her türlü örneği çözebileceksiniz. Farklı kesir türlerini kullanarak bir kesirin bir tam sayıya nasıl bölüneceğine ilişkin örneklere bakalım.

Ondalık sayı bir tam sayıya nasıl bölünür?
Ondalık sayı, bir birimin on, bin vb. parçalara bölünmesiyle elde edilen kesirdir. Ondalık sayılarla aritmetik işlemler oldukça basittir.

Bir kesirin bir tam sayıya nasıl bölüneceğine ilişkin bir örneğe bakalım. Diyelim ki 0,925 ondalık kesirini 5 doğal sayısına bölmemiz gerekiyor.

• ondalık kesri bir doğal sayıya bölmek için uzun bölme kullanılır;
  
• Payın tamamının bölünmesi tamamlandığında bölüme virgül konur.
  

Sıradan kesirli sayılar ilk olarak 5. sınıfta okul çağındaki çocuklarla tanışır ve onlara hayatları boyunca eşlik eder, çünkü günlük yaşamda çoğu zaman bir nesneyi bir bütün olarak değil, ayrı parçalar halinde düşünmek veya kullanmak gerekir. Bu konuyu incelemeye başlayın - paylaşımlar. Paylar eşit parçadır, bunun veya bu nesnenin bölündüğü. Sonuçta, örneğin bir ürünün uzunluğunu veya fiyatını tam sayı olarak ifade etmek her zaman mümkün değildir; bazı ölçülerin parçaları veya kesirleri dikkate alınmalıdır. "Bölmek" fiilinden oluşan - parçalara bölmek ve Arapça köklere sahip olan "kesir" kelimesinin kendisi 8. yüzyılda Rus dilinde ortaya çıktı.

Temas halinde

Kesirli ifadeler uzun zamandır matematiğin en zor dalı olarak kabul ediliyor. 17. yüzyılda matematikle ilgili ilk ders kitapları ortaya çıktığında bunlara “kırık sayılar” adı veriliyordu ve bu durum insanların anlaması oldukça zordu.

Parçaları yatay bir çizgiyle ayrılan basit kesirli kalıntıların modern biçimi ilk olarak Fibonacci - Pisa Leonardo tarafından desteklendi. Eserleri 1202 yılına tarihlenmektedir. Ancak bu makalenin amacı okuyucuya farklı paydalara sahip karışık kesirlerin nasıl çarpıldığını basit ve net bir şekilde anlatmaktır.

Paydaları Farklı Kesirlerle Çarpma

Başlangıçta belirlemeye değer kesir türleri:

• doğru;
• yanlış;
• karışık.

Daha sonra, aynı paydalara sahip kesirli sayıların nasıl çarpıldığını hatırlamanız gerekir. Bu sürecin kuralını bağımsız olarak formüle etmek zor değildir: basit kesirleri aynı paydalarla çarpmanın sonucu, payı payların çarpımı olan kesirli bir ifadedir ve payda bu kesirlerin paydalarının çarpımıdır. . Yani aslında yeni payda, başlangıçta var olanlardan birinin karesidir.

Çarpma sırasında farklı paydalara sahip basit kesirler iki veya daha fazla faktör için kural değişmez:

A/B * C/D = AC / b*d.

Tek fark, kesir çizgisinin altında oluşan sayının farklı sayıların çarpımı olacağı ve doğal olarak tek bir sayısal ifadenin karesi olarak adlandırılamayacağıdır.

Örnekleri kullanarak farklı paydalara sahip kesirlerin çarpımını düşünmeye değer:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Örneklerde kesirli ifadelerin azaltılmasına yönelik yöntemler kullanılmaktadır. Pay sayılarını yalnızca payda sayılarıyla azaltabilirsiniz; kesir çizgisinin üstündeki veya altındaki bitişik faktörler azaltılamaz.

Basit kesirlerin yanı sıra karışık kesirler kavramı da vardır. Karışık sayı bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşur, yani bu sayıların toplamıdır:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Çarpma nasıl çalışır?

Dikkate alınması için çeşitli örnekler verilmiştir.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Örnekte bir sayının çarpımı kullanılıyor sıradan kesirli kısım Bu eylemin kuralı şu şekilde yazılabilir:

A* B/C = a*b /C.

Aslında böyle bir çarpım aynı kesirli kalanların toplamıdır ve terim sayısı bu doğal sayıyı gösterir. Özel durum:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Bir sayıyı kesirli bir kalanla çarpmanın başka bir çözümü daha var. Paydayı bu sayıya bölmeniz yeterlidir:

D* e/F = e/f: d.

Bu teknik, paydanın kalansız bir doğal sayıya veya dedikleri gibi bir tam sayıya bölünmesi durumunda kullanışlıdır.

Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürün ve ürünü daha önce açıklanan şekilde elde edin:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Bu örnek, karışık bir kesri uygunsuz bir kesir olarak temsil etmenin bir yolunu içerir ve aynı zamanda genel bir formül olarak da temsil edilebilir:

A BC = a*b+ c / c, burada yeni kesrin paydası, tüm parçanın paydayla çarpılması ve orijinal kesirli kalanın payı ile eklenmesiyle oluşturulur ve payda aynı kalır.

Bu süreç aynı zamanda ters yönde de çalışır. Tam parçayı ve kesirli kalanı ayırmak için, uygunsuz bir kesrin payını bir “köşe” kullanarak paydasına bölmeniz gerekir.

Bilinmeyen Kesirlerin Çarpılması genel kabul görmüş bir şekilde üretilir. Tek kesir çizgisi altında yazarken bu yöntemi kullanarak sayıları azaltmak ve sonucu hesaplamayı kolaylaştırmak için kesirleri gerektiği kadar azaltmanız gerekir.

İnternette, çeşitli program varyasyonlarındaki karmaşık matematik problemlerini bile çözmek için birçok yardımcı vardır. Bu tür hizmetlerin yeterli sayıda olması, paydalarda farklı sayılara sahip kesirlerin çarpımının hesaplanmasında yardım sağlar - kesirleri hesaplamak için çevrimiçi hesap makineleri denir. Sadece çarpmakla kalmayıp, aynı zamanda sıradan kesirler ve karışık sayılarla diğer tüm basit aritmetik işlemleri de gerçekleştirebilirler. Çalışması zor değil; web sitesindeki uygun alanları dolduruyorsunuz, matematiksel işlemin işaretini seçiyorsunuz ve "hesapla"ya tıklıyorsunuz. Program otomatik olarak hesaplama yapar.

Kesirlerle aritmetik işlemler konusu ortaokul ve lise öğrencilerinin eğitimi boyunca geçerlidir. Lisede artık en basit türleri dikkate almıyorlar, ancak tamsayı kesirli ifadeler ancak daha önce elde edilen dönüşüm ve hesaplama kurallarının bilgisi orijinal haliyle uygulanır. İyi derecede hakim olunan temel bilgi, en karmaşık sorunları başarıyla çözme konusunda tam bir güven sağlar.

Sonuç olarak, Lev Nikolaevich Tolstoy'un şu sözlerinden alıntı yapmak mantıklıdır: “İnsan bir kesirdir. Payını - meziyetlerini - artırmak insanın elinde değildir ama herkes paydasını - kendisi hakkındaki görüşünü azaltabilir ve bu azalmayla mükemmelliğine yaklaşabilir.

En son kesirlerde toplama ve çıkarma yapmayı öğrendik (“Kesirlerde toplama ve çıkarma” dersine bakın). Bu eylemlerin en zor kısmı kesirleri ortak paydada buluşturmaktı.

Şimdi çarpma ve bölmeyle uğraşmanın zamanı geldi. İyi haber şu ki bu işlemler toplama ve çıkarma işlemlerinden bile daha basit. İlk olarak, ayrılmış bir tam sayı kısmı olmayan iki pozitif kesirin olduğu en basit durumu ele alalım.

İki kesri çarpmak için pay ve paydalarını ayrı ayrı çarpmanız gerekir. İlk sayı yeni kesrin payı, ikincisi ise paydası olacaktır.

İki kesri bölmek için, ilk kesri "tersine çevrilmiş" ikinci kesirle çarpmanız gerekir.

Tanım:

Tanımdan, kesirlerin bölünmesinin çarpma işlemine indirgendiği anlaşılmaktadır. Bir kesri "çevirmek" için pay ve paydayı değiştirmeniz yeterlidir. Bu nedenle ders boyunca ağırlıklı olarak çarpma işlemini ele alacağız.

Çarpmanın bir sonucu olarak, indirgenebilir bir kesir ortaya çıkabilir (ve sıklıkla ortaya çıkar) - elbette azaltılması gerekir. Tüm azaltmalardan sonra kesirin yanlış olduğu ortaya çıkarsa, tüm kısım vurgulanmalıdır. Ancak çarpma işleminde kesinlikle gerçekleşmeyecek olan şey, ortak bir paydaya indirgemedir: çapraz yöntem yok, en büyük çarpanlar ve en küçük ortak katlar.

Tanım gereği elimizde:

Kesirlerin tam parçalarla ve negatif kesirlerle çarpılması

Kesirler bir tamsayı parçası içeriyorsa, bunların yanlış olanlara dönüştürülmesi ve ancak daha sonra yukarıda belirtilen şemalara göre çarpılması gerekir.

Bir kesrin payında, paydasında veya önünde bir eksi varsa aşağıdaki kurallara göre çarpmadan çıkarılabilir veya tamamen çıkarılabilir:

1. Artı eksi eksi verir;
2. İki olumsuz bir olumlu yapar.

Şimdiye kadar bu kurallarla ancak negatif kesirlerde toplama ve çıkarma yaparken, bütünden kurtulmak gerektiğinde karşılaşılıyordu. Bir iş için, birkaç dezavantajı aynı anda "yakmak" amacıyla genelleştirilebilirler:

1. Negatifleri tamamen ortadan kaybolana kadar çiftler halinde çiziyoruz. Aşırı durumlarda, bir eksi hayatta kalabilir - eşi olmayan;
2. Eksi kalmadıysa işlem tamamlanmıştır - çarpmaya başlayabilirsiniz. Eğer son eksi, herhangi bir çift olmadığı için üzeri çizilmemişse, onu çarpma sınırlarının dışına çıkarırız. Sonuç negatif bir kesirdir.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürüyoruz ve ardından eksileri çarpma işleminden çıkarıyoruz. Geriye kalanları alışılmış kurallara göre çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:

Tam kısmı vurgulanmış bir kesirin önünde görünen eksi işaretinin, yalnızca kesrin tamamına değil, özellikle kesirin tamamına atıfta bulunduğunu bir kez daha hatırlatmama izin verin (bu, son iki örnek için geçerlidir).

Ayrıca negatif sayılara da dikkat edin: çarparken parantez içine alınırlar. Bu, eksileri çarpma işaretlerinden ayırmak ve tüm gösterimi daha doğru hale getirmek için yapılır.

Kesirlerin anında azaltılması

Çarpma oldukça emek yoğun bir işlemdir. Buradaki sayılar oldukça büyük çıkıyor ve sorunu basitleştirmek için kesri daha da azaltmayı deneyebilirsiniz çarpmadan önce. Aslında kesirlerin payları ve paydaları aslında sıradan faktörlerdir ve bu nedenle kesirin temel özelliği kullanılarak azaltılabilirler. Örneklere bir göz atın:

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Tanım gereği elimizde:

Tüm örneklerde azaltılan sayılar ve kalanlar kırmızıyla işaretlenmiştir.

Lütfen unutmayın: İlk durumda çarpanlar tamamen azaltıldı. Bunların yerine genel anlamda yazılması gerekmeyen birimler kalmıştır. İkinci örnekte tam bir azalma elde etmek mümkün olmadı ancak toplam hesaplama miktarı yine de azaldı.

Ancak kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken asla bu tekniği kullanmayın! Evet, bazen azaltmak istediğiniz benzer sayılar vardır. İşte, bakın:

Bunu yapamazsın!

Hata, toplama sırasında bir kesrin payının sayıların çarpımı değil, bir toplam üretmesi nedeniyle oluşur. Sonuç olarak kesrin temel özelliğini uygulamak imkansızdır çünkü bu özellik özellikle sayıların çarpımı ile ilgilidir.

Kesirleri azaltmanın başka hiçbir nedeni yoktur, dolayısıyla önceki problemin doğru çözümü şöyle görünür:

Doğru çözüm:

Gördüğünüz gibi doğru cevabın o kadar da güzel olmadığı ortaya çıktı. Genel olarak dikkatli olun.

1. İlk kesri ikinciye bölmek için, bölüneni bölenin tersi olan sayıyla çarpmanız gerekir.

Doğru ve yanlış kesirler için bölme kuralı aşağıdaki gibidir:

Ortak bir kesri bölmek için, bölünenin payını bölenin paydasıyla çarpmanız ve bölenin payını da bölenin payıyla çarpmanız gerekir. Birinci çarpımı pay, ikinci çarpımı ise payda olarak alıyoruz.

Bir kesirin bir kesire bölünmesi.

1. sıradan kesri sıfıra eşit olmayan ikinciye bölmek için yapmanız gerekenler:

• 1. kesrin payını 2. kesrin paydasıyla çarpın ve sonucu elde edilen kesrin payına yazın;
• 1. kesrin paydasını 2. kesrin payı ile çarpın ve elde edilen kesrin paydasına çarpımı yazın.

Başka bir deyişle kesirleri bölmek çarpma işlemine yol açar.

1. kesri ikinciye bölmek için, bölüneni (1. kesir) bölenin karşılıklı kesri ile çarpmanız gerekir.

Bir kesri bir sayıya bölmek.

Bir kesri bir doğal sayıya bölmek şematik olarak şöyle görünür:

Bir kesri bir doğal sayıya bölmek için aşağıdaki yöntemi kullanın:

Doğal sayıyı, payı sayının kendisine ve paydası 1'e eşit olan bileşik kesir olarak ifade ederiz.

Bölünme belirir. Bu yazıda bunun hakkında konuşacağız adi kesirlerin bölünmesi. Öncelikle sıradan kesirleri bölme kuralını vereceğiz ve kesirleri bölme örneklerine bakacağız. Daha sonra sıradan bir kesri bir doğal sayıya ve sayıları da bir kesre bölmeye odaklanacağız. Son olarak, ortak bir kesri tam sayılı bir sayıya nasıl böleceğimize bakalım.

Sayfada gezinme.

Ortak bir kesri ortak bir kesire bölmek

Bölmenin çarpma işleminin tersi olduğu bilinmektedir (bkz. bölme ve çarpma arasındaki bağlantı). Yani bölme, ürün ve başka bir faktör bilindiğinde bilinmeyen bir faktörün bulunmasını içerir. Sıradan kesirleri bölerken de bölmenin aynı anlamı korunur.

Sıradan kesirleri bölme örneklerine bakalım.

Kesirleri azaltmayı ve tüm parçayı yanlış kesirden ayırmayı unutmamamız gerektiğini unutmayın.

Bir kesri doğal sayıya bölme

Hemen vereceğiz kesri bir doğal sayıya bölme kuralı: a/b kesrini n doğal sayısına bölmek için payı aynı bırakıp paydayı n ile çarpmanız gerekir.

Bu bölme kuralı doğrudan sıradan kesirleri bölme kuralından gelir. Aslında bir doğal sayıyı kesir olarak temsil etmek aşağıdaki eşitliklere yol açar: .

Bir kesri bir sayıya bölme örneğine bakalım.

Örnek.

16/45 kesrini 12 doğal sayısına bölün.

Çözüm.

Bir kesri bir sayıya bölme kuralına göre, . Kısaltmayı yapalım: . Bu bölüm tamamlandı.

Cevap:

.

Doğal bir sayıyı kesre bölme

Kesirleri bölme kuralı benzerdir doğal sayıyı kesre bölme kuralı: Bir n doğal sayısını ortak bir a/b kesrine bölmek için, n sayısını a/b kesirinin tersiyle çarpmanız gerekir.

Belirtilen kurala göre, ve bir doğal sayıyı sıradan bir kesirle çarpma kuralı, onun formda yeniden yazılmasına izin verir.

Bir örneğe bakalım.

Örnek.

25 doğal sayısını 15/28 kesrine bölün.

Çözüm.

Bölme işleminden çarpma işlemine geçelim, elimizde . Parçanın tamamını küçültüp seçtikten sonra elde ederiz.

Cevap:

.

Bir kesri tam sayılı bir sayıya bölmek

Bir kesri tam sayılı bir sayıya bölmek sıradan kesirleri bölmeye kolayca indirgenir. Bunu yapmak için yürütmek yeterlidir