Doğrudan orantılı büyüklükler. Doğrudan ve ters orantılılık

I. Doğru orantılı büyüklükler.

Değere izin ver sen boyutuna bağlıdır X. Eğer artarken X birkaç kat daha büyük en aynı miktarda artarsa ​​bu değerler X Ve en doğru orantılı denir.

Örnekler.

1 . Satın alınan malların miktarı ve satın alma fiyatı (bir birim mal için sabit fiyatla - 1 adet veya 1 kg vb.) Ne kadar çok mal alındıysa o kadar çok para ödendi.

2 . Kat edilen mesafe ve bu yolda harcanan süre (sabit hızda). Yol kaç kat daha uzun, kaç kat daha fazla zaman alacak.

3 . Bir cismin hacmi ve kütlesi. ( Bir karpuz diğerinden 2 kat daha büyükse kütlesi 2 kat daha büyük olacaktır)

II. Büyüklüklerin doğru orantılılık özelliği.

İki miktar doğrudan orantılı ise, o zaman birinci miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir.

Görev 1. Ahududu reçeli için aldık 12 kg ahududu ve 8 kg Sahra. Eğer alırsan ne kadar şekere ihtiyacın olacak? 9 kg Ahududu?

Çözüm.

Şöyle mantık yürütüyoruz: gerekli olsun x kg için şeker 9 kg Ahududu Ahududu kütlesi ve şeker kütlesi doğru orantılı miktarlardır: ahududu kaç kat daha azsa, aynı sayıda daha az şekere ihtiyaç vardır. Bu nedenle alınan ahududu oranı (ağırlıkça) ( 12:9 ) alınan şeker oranına eşit olacaktır ( 8:x). Oranı elde ediyoruz:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Cevap: Açık 9 kg ahududu alınması gerekiyor 6 kg Sahra.

Sorunun çözümü Bu şu şekilde yapılabilir:

Sezdirmek 9 kg ahududu alınması gerekiyor x kg Sahra.

(Şekilde oklar tek yöne yönlendirilmiştir, yukarı aşağı fark etmez. Anlamı: sayının kaç katı 12 daha fazla sayı 9 , aynı sayıda 8 daha fazla sayı X yani burada doğrudan bir ilişki var).

Cevap: Açık 9 kg Biraz ahududu almam lazım 6 kg Sahra.

Görev 2. Araba için 3 saat mesafeyi katettik 264 km. Seyahat etmesi ne kadar sürer? 440 kilometre, aynı hızda sürerse?

Çözüm.

izin ver x saat araba mesafeyi kat edecek 440 km.

Cevap: araba geçecek 5 saatte 440 km.

Örnek

Orantılılık faktörü

Orantılı büyüklüklerin sabit ilişkisine denir orantılılık faktörü. Orantılılık katsayısı, bir niceliğin birimi başına diğer bir niceliğin kaç birim olduğunu gösterir.

Doğrudan orantılılık

Doğrudan orantılılık- Belirli bir miktarın, oranları sabit kalacak şekilde başka bir miktara bağlı olduğu fonksiyonel bağımlılık. Başka bir deyişle bu değişkenler değişir. orantılı olarak, eşit paylarda, yani argüman herhangi bir yönde iki kez değişirse, o zaman işlev de aynı yönde iki kez değişir.

Matematiksel olarak doğru orantı şu formülle yazılır:

F(X) = AX,A = CÖNST

Ters orantılılık

Ters orantılılık- bu, bağımsız değerdeki (argüman) bir artışın bağımlı değerde (fonksiyon) orantılı bir azalmaya neden olduğu fonksiyonel bir bağımlılıktır.

Matematiksel olarak ters orantı şu formülle yazılır:

Fonksiyon özellikleri:

Kaynaklar

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde “Doğrudan orantısallığın” ne olduğuna bakın:

doğru orantılılık- - [A.S. Goldberg. İngilizce-Rusça enerji sözlüğü. 2006] Genel olarak enerji konuları EN doğrudan oran... Teknik Çevirmen Kılavuzu

doğru orantılılık-tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. doğrudan orantılılık vok. doğrudan Orantılılık, f rus. doğru orantılılık, f pranc. orantılı direkte, f … Fizikos terminų žodynas

- (Latince orantısal, orantılı, orantılı). Orantılılık. Sözlük yabancı kelimeler, Rus diline dahil. Chudinov A.N., 1910. ORANTILILIK lat. orantılı, orantılı. Orantılılık. Açıklama 25000... ... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü

ORANTILILIK, orantılılık, çoğul. hayır, kadın (kitap). 1. özet isim orantılıdır. Parçaların orantılılığı. Vücut orantılılığı. 2. Orantılı olduklarında miktarlar arasında böyle bir ilişki (bkz. Orantılı ... Sözlük Uşakova

Değerlerinin oranı değişmeden kalırsa, karşılıklı olarak bağımlı iki miktara orantılı denir.İçindekiler 1 Örnek 2 Orantılılık katsayısı ... Wikipedia

ORANTILILIK ve kadın. 1. bkz. orantılı. 2. Matematikte: Birindeki artışın diğerinde aynı miktarda bir değişikliğe yol açtığı nicelikler arasındaki böyle bir ilişki. Düz çizgi (bir değerde artışla kesim ile... ... Ozhegov'un Açıklayıcı Sözlüğü

VE; Ve. 1. Orantılıya (1 değer); orantılılık. P. parçalar. P. fiziği. P. parlamentoda temsil. 2. Matematik. Orantılı olarak değişen büyüklükler arasındaki bağımlılık. Orantılılık faktörü. Doğrudan hat (içinde... ... ansiklopedik sözlük

Örnek

Orantılılık faktörü

Orantılı büyüklüklerin sabit ilişkisine denir orantılılık faktörü. Orantılılık katsayısı, bir niceliğin birimi başına diğer bir niceliğin kaç birim olduğunu gösterir.

Doğrudan orantılılık

Doğrudan orantılılık- Belirli bir miktarın, oranları sabit kalacak şekilde başka bir miktara bağlı olduğu fonksiyonel bağımlılık. Başka bir deyişle bu değişkenler değişir. orantılı olarak, eşit paylarda, yani argüman herhangi bir yönde iki kez değişirse, o zaman işlev de aynı yönde iki kez değişir.

Matematiksel olarak doğru orantı şu formülle yazılır:

F(X) = AX,A = CÖNST

Ters orantılılık

Ters orantılılık- bu, bağımsız değerdeki (argüman) bir artışın bağımlı değerde (fonksiyon) orantılı bir azalmaya neden olduğu fonksiyonel bir bağımlılıktır.

Matematiksel olarak ters orantı şu formülle yazılır:

Fonksiyon özellikleri:

Kaynaklar

Wikimedia Vakfı. 2010.

Doğru orantılılık kavramı

En sevdiğiniz şekerleri (veya gerçekten sevdiğiniz herhangi bir şeyi) satın almayı planladığınızı hayal edin. Mağazadaki tatlıların kendi fiyatları var. Diyelim ki kilogram başına 300 ruble. Ne kadar çok şeker satın alırsanız, daha fazla paraödemek. Yani 2 kilo istiyorsanız 600 ruble, 3 kilo istiyorsanız 900 ruble ödeyin. Her şey açık görünüyor, değil mi?

Cevabınız evet ise, o zaman doğrudan orantılılığın ne olduğu artık sizin için açık - bu, birbirine bağlı iki niceliğin ilişkisini tanımlayan bir kavramdır. Ve bu miktarların oranı değişmeden ve sabit kalır: bunlardan biri kaç parça artar veya azalır, ikincisi aynı sayıda parça artar veya azalır.

Doğru orantılılık şu formülle açıklanabilir: f(x) = a*x ve bu formüldeki a, sabit bir değerdir (a = sabit). Şekerle ilgili örneğimizde fiyat sabit bir değerdir, sabittir. Ne kadar şeker almaya karar verirseniz verin artmaz veya azalmaz. Bağımsız değişken (argüman)x kaç kilogram şeker alacağınızdır. Bağımlı değişken f(x) (fonksiyon), satın alma işleminiz için ne kadar para ödeyeceğinizdir. Böylece sayıları formülde değiştirebiliriz ve şunu elde edebiliriz: 600 ruble. = 300 ovmak. * 2kg.

Ara sonuç şudur: Argüman artarsa ​​fonksiyon da artar, argüman azalırsa fonksiyon da azalır.

Fonksiyon ve özellikleri

Doğrudan orantı fonksiyonuözel bir durum doğrusal fonksiyon. Doğrusal fonksiyon y = k*x + b ise, doğru orantılılık için şu şekilde görünür: y = k*x, burada k'ye orantı katsayısı denir ve her zaman sıfır olmayan bir sayıdır. k'yi hesaplamak kolaydır; bir fonksiyonun ve bir argümanın bölümü olarak bulunur: k = y/x.

Daha açık hale getirmek için başka bir örnek verelim. Bir arabanın A noktasından B noktasına doğru hareket ettiğini düşünün. Hızı 60 km/saattir. Hareket hızının sabit kaldığını varsayarsak sabit olarak alınabilir. Daha sonra koşulları şu şekilde yazıyoruz: S = 60*t ve bu formül doğrudan orantı fonksiyonu y = k *x'e benzer. Daha da ileri bir paralel çizelim: eğer k = y/x ise, o zaman A ile B arasındaki mesafe ve yolda geçirilen süre bilinerek arabanın hızı hesaplanabilir: V = S /t.

Şimdi doğrudan orantılılık hakkındaki bilginin uygulamalı uygulamasından, işlevine geri dönelim. Özellikleri şunları içerir:

tanım alanı tüm gerçek sayılar kümesidir (ve ayrıca alt kümeleridir);

fonksiyon tektir;

değişkenlerdeki değişim sayı doğrusu boyunca doğru orantılıdır.

Doğru orantılılık ve grafiği

Doğru orantılılık fonksiyonunun grafiği, orijinden geçen düz bir çizgidir. Bunu inşa etmek için yalnızca bir noktayı daha işaretlemek yeterlidir. Ve onu ve koordinatların kökenini düz bir çizgiyle bağlayın.

Bir grafik durumunda k eğimdir. Eğim ise Sıfırdan daha az(k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), grafik ve x ekseni formu keskin köşe ve fonksiyon artıyor.

Doğru orantı fonksiyonu grafiğinin bir özelliği daha doğrudan k eğimiyle ilgilidir. Diyelim ki iki özdeş olmayan fonksiyonumuz ve buna göre iki grafiğimiz var. Yani bu fonksiyonların k katsayıları eşitse grafikleri koordinat eksenine paralel yerleşir. Ve eğer k katsayıları birbirine eşit değilse grafikler kesişir.

Örnek problemler

Şimdi birkaç tanesini çözelim doğru orantı problemleri

Basit bir şeyle başlayalım.

Problem 1: 5 tavuğun 5 günde 5 yumurta yumurtladığını düşünün. Peki 20 tavuk varsa 20 günde kaç yumurta yumurtlayacaklar?

Çözüm: Bilinmeyeni kx ile gösterelim. Ve konuşacağız Aşağıdaki şekilde: kaç sefer daha fazla tavuk oldu mu? 20'yi 5'e bölün ve 4 katı olduğunu bulun. 20 tavuk aynı 5 günde kaç kat daha fazla yumurta yumurtlar? Ayrıca 4 kat daha fazla. Yani bizimkini şu şekilde buluyoruz: 5*4*4 = 20 tavuk 20 günde 80 yumurta yumurtlayacak.

Şimdi örnek biraz daha karmaşık, problemi Newton'un "Genel Aritmetik"inden alıntılayalım. Problem 2: Bir yazar yeni bir kitabın 14 sayfasını 8 günde yazabilir. Asistanları olsaydı 420 sayfayı 12 günde kaç kişi yazardı?

Çözüm: Eğer aynı sürede yapılması gerekiyorsa, iş hacmi arttıkça kişi sayısının (yazar+asistan) artacağını düşünüyoruz. Ama kaç kez? 420'yi 14'e böldüğümüzde 30 kat arttığını görüyoruz. Ancak işin şartlarına göre işe daha fazla süre verildiği için yardımcı sayısı 30 kat değil şu şekilde artar: x = 1 (yazar) * 30 (kat): 12/8 ( günler). Dönüştürelim ve x = 20 kişinin 12 günde 420 sayfa yazacağını bulalım.

Örneklerimizdekine benzer bir problemi daha çözelim.

Problem 3: İki araba aynı yolculuğa çıktı. Biri 70 km/saat hızla gidiyor ve aynı mesafeyi 2 saatte, diğeri ise 7 saatte katediyordu. İkinci arabanın hızını bulunuz.

Çözüm: Hatırlayacağınız gibi yol hız ve zamana göre belirlenir - S = V *t. Her iki araba da aynı mesafeyi kat ettiği için iki ifadeyi eşitleyebiliriz: 70*2 = V*7. İkinci arabanın hızının V = 70*2/7 = 20 km/saat olduğunu nasıl buluruz?

Ve doğrudan orantılılık işlevlerine sahip birkaç görev örneği daha. Bazen problemler k katsayısının bulunmasını gerektirir.

Görev 4: y = - x/16 ve y = 5x/2 fonksiyonları verildiğinde bunların orantı katsayılarını belirleyin.

Çözüm: Hatırlayacağınız gibi k = y/x. Bu, birinci fonksiyon için katsayının -1/16'ya eşit olduğu ve ikinci fonksiyon için k = 5/2 olduğu anlamına gelir.

Ayrıca Görev 5: Doğru orantılılığı bir formülle yazın gibi bir görevle de karşılaşabilirsiniz. Grafiği ile y = -5x + 3 fonksiyonunun grafiği paraleldir.

Çözüm: Koşulda bize verilen fonksiyon doğrusaldır. Doğru orantılılığın doğrusal bir fonksiyonun özel bir durumu olduğunu biliyoruz. Ayrıca k fonksiyonun katsayıları eşitse grafiklerinin paralel olduğunu da biliyoruz. Bu, gereken tek şeyin, bilinen bir fonksiyonun katsayısını hesaplamak ve bildiğimiz formülü kullanarak doğru orantılılığı ayarlamak olduğu anlamına gelir: y = k *x. Katsayısı k = -5, doğru orantılılık: y = -5*x.

Çözüm

Artık ne dendiğini öğrendiniz (ya da bu konuyu daha önce ele aldıysanız hatırladınız). doğru orantılılık ve ona baktım örnekler. Ayrıca doğru orantı fonksiyonu ve grafiğinden de bahsettik ve birkaç örnek problem çözdük.

Bu makale faydalıysa ve konuyu anlamanıza yardımcı olduysa, yorumlarda bize bundan bahsedin. Böylece size faydamız olup olmayacağını bilelim.

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Aritmetikte doğru orantılı niceliklerin yanı sıra ters orantılı nicelikler de dikkate alınırdı.

Örnekler verelim.

1) Alanı sabit olan bir dikdörtgenin taban uzunluğu ve yüksekliği.

Diyelim ki, dikdörtgen bir arsa tahsis etmeniz gerekiyor.

Örneğin bölümün uzunluğunu keyfi olarak ayarlayabiliriz. Ancak o zaman alanın genişliği seçtiğimiz uzunluğa bağlı olacaktır. Farklı (olası) uzunluklar ve genişlikler tabloda gösterilmektedir.

Genel olarak, kesitin uzunluğunu x ve genişliğini y ile belirtirsek, aralarındaki ilişki aşağıdaki formülle ifade edilebilir:

Y'yi x'e kadar ifade edersek şunu elde ederiz:

X'e keyfi değerler vererek karşılık gelen y değerlerini elde edeceğiz.

2) Belirli bir mesafedeki düzgün hareketin zamanı ve hızı.

İki şehir arası mesafe 200 km olsun. Hız ne kadar yüksek olursa, belirli bir mesafeyi kat etmek o kadar az zaman alır. Bu, aşağıdaki tablodan görülebilir:

Genel olarak, hızı x ile ve hareket süresini y ile belirtirsek, aralarındaki ilişki aşağıdaki formülle ifade edilecektir:

Tanım. k'nın belirli bir sayı olduğu (sıfıra eşit olmayan) eşitlikle ifade edilen iki nicelik arasındaki ilişkiye ters orantılı ilişki denir.

Buradaki sayıya orantı katsayısı da denir.

Tıpkı doğru orantılılık durumunda olduğu gibi, x ve y değerlerinin eşitliğinde Genel dava pozitif ve negatif değerler alabilir.

Ancak tüm ters orantılılık durumlarında niceliklerin hiçbiri sıfıra eşit olamaz. Aslında x veya y niceliklerinden en az biri sıfıra eşitse eşitliğin sol tarafı şuna eşit olacaktır:

Ve doğru olan - sıfıra eşit olmayan bir sayıya (tanım gereği), yani sonuç yanlış bir eşitlik olacaktır.

2. Ters orantı grafiği.

Bir bağımlılık grafiği oluşturalım

Y'yi x'e kadar ifade edersek şunu elde ederiz:

X'e isteğe bağlı (geçerli) değerler vereceğiz ve karşılık gelen y değerlerini hesaplayacağız. Tabloyu alıyoruz:

Karşılık gelen noktaları oluşturalım (Şekil 28).

X'in değerlerini daha küçük aralıklarla alırsak noktalar birbirine daha yakın olacaktır.

X'in tüm olası değerleri için, karşılık gelen noktalar grafiğin iki kolunda, koordinatların kökenine göre simetrik ve 1. ve 3. çeyreklerden geçecek şekilde yerleştirilecektir. koordinat uçağı(Şekil 29).

Yani ters orantı grafiğinin eğri bir çizgi olduğunu görüyoruz. Bu hat iki koldan oluşuyor.

Bir dal pozitif için, diğeri ise x'in negatif değerleri için elde edilecektir.

Ters orantılı ilişkinin grafiğine hiperbol denir.

Daha doğru bir grafik elde etmek için mümkün olduğunca çok nokta oluşturmanız gerekir.

Örneğin desenler kullanılarak oldukça yüksek bir doğrulukla bir abartı çizilebilir.

Çizim 30'da negatif katsayılı ters orantılı bir ilişkinin grafiği çizilmiştir. Örneğin şöyle bir tablo oluşturarak:

dalları II ve IV çeyreklerde bulunan bir hiperbol elde ediyoruz.