Dönme hareketinin maksimum kinetik enerjisi nerede. Kinetik enerjideki değişimle ilgili teorem

1. Vücudun etrafında dönmesini düşünün hareketsiz Z ekseni. Tüm vücudu bir dizi temel kütle m'ye bölelim ben... Temel kütle m'nin doğrusal hızı ben- v ben = w R ben nerede R ben- kütle mesafesi m ben dönme ekseninden. Bu nedenle kinetik enerji ben temel kütle şuna eşit olacaktır ... Vücudun toplam kinetik enerjisi: , burada vücudun dönme eksenine göre eylemsizlik momenti.

Böylece, sabit bir eksen etrafında dönen bir cismin kinetik enerjisi şuna eşittir:

2. Şimdi vücudun döner bazı eksenlere ve kendisine göre eksen hareketleri giderek, kendine paralel kalarak.

ÖRNEK: Kaymadan yuvarlanan bir top dönme hareketi yapar ve dönme ekseninin geçtiği ağırlık merkezi ("O" noktası) ötelemeli olarak hareket eder (Şekil 4.17).

Hız ben-inci temel vücut kütlesi , vücudun bir "O" noktasının hızı nerede; - "O" noktasına göre temel kütlenin konumunu belirleyen yarıçap vektörü.

Temel bir kütlenin kinetik enerjisi şuna eşittir:

NOT: vektör ürünü, vektör ile aynı doğrultudadır ve modüle eşittir (Şekil 4.18).

Bu yorumu dikkate alarak şunu yazabiliriz. , kütlenin dönme ekseninden uzaklığı nerede. İkinci terimde, faktörlerin döngüsel bir permütasyonunu yaparız, ardından şunu elde ederiz:

Vücudun toplam kinetik enerjisini elde etmek için, bu ifadeyi, toplamın işareti için sabit faktörleri alarak tüm temel kütleler üzerinden toplarız. alırız

Temel kütlelerin toplamı "m" cismin kütlesidir. İfade, vücudun atalet merkezinin yarıçap vektörü ile vücut kütlesinin ürününe eşittir (atalet merkezinin tanımına göre). Son olarak, - cismin "O" noktasından geçen eksene göre eylemsizlik momenti. Bu nedenle yazabiliriz

.

“C” cismin eylemsizlik merkezini “O” noktası olarak alırsak, yarıçap vektörü sıfıra eşit olacak ve ikinci terim kaybolacaktır. Ardından, - atalet merkezinin hızı ve - "C" noktasından geçen eksene göre vücudun atalet momentini ifade ederek, şunu elde ederiz:

(4.6)

Böylece, düzlemsel harekette bir cismin kinetik enerjisi, atalet merkezinin hızına eşit hızdaki öteleme hareketinin enerjisinden ve cismin eylemsizlik merkezinden geçen eksen etrafındaki dönme enerjisinden oluşur.

Katı bir cismin dönme hareketi sırasında dış kuvvetlerin işi.

Cisim sabit Z ekseni etrafında döndüğünde kuvvetlerin yaptığı işi bulalım.

Kütleye bir iç kuvvet ve bir dış kuvvet etki etsin (ortaya çıkan kuvvet dönme eksenine dik bir düzlemde bulunur) (Şekil 4.19). Bu kuvvetler zamanında dtİş:

Vektörlerin karışık ürünlerinde faktörlerin döngüsel bir permütasyonunu gerçekleştirdikten sonra şunu buluruz:

nerede, - sırasıyla, "O" noktasına göre iç ve dış kuvvetlerin momentleri.

Tüm temel kütleleri özetlersek, zaman içinde vücutta yapılan temel işleri alırız. dt:

İç kuvvetlerin momentlerinin toplamı sıfıra eşittir. Ardından, dış kuvvetlerin toplam momentini ifade ederek şu ifadeye geliyoruz:

.

İki vektörün skaler çarpımının, çarpılan vektörlerden birinin modülünün çarpımı ile ikincinin birincisinin yönünde izdüşümünün çarpımına eşit bir skaler olduğu bilinmektedir. eksen ve çakışır), elde ederiz

,

ama w dt=NS j, yani vücudun zaman içinde döndüğü açı dt... Bu yüzden

.

İşin işareti M z'nin işaretine bağlıdır, yani. vektörün izdüşümünün işaretinden vektörün yönüne.

Böylece, vücut döndüğünde, iç kuvvetler iş yapmaz ve dış kuvvetlerin işi formülle belirlenir. .

Sonlu bir süre için yapılan iş, integral alınarak bulunur.

.

Ortaya çıkan dış kuvvetlerin yön üzerindeki izdüşümü sabit kalırsa, integral işaretinin dışına alınabilir:

, yani ...

Onlar. vücudun dönme hareketi sırasında dış kuvvetin işi, dış kuvvet momentinin dönme yönü ve açısı ile projeksiyonunun ürününe eşittir.

Öte yandan, cisme etki eden dış kuvvetin işi cismin kinetik enerjisini arttırmak için kullanılır (veya dönen cismin kinetik enerjisindeki değişime eşittir). Bunu gösterelim:

;

Buradan,

. (4.7)

Kendi başına:

Elastik kuvvetler;

Hook kanunu.

Hidrodinamik

Akım hatları ve tüpleri.

Hidrodinamik, sıvıların hareketini inceler, ancak yasaları gazların hareketine uygulanır. Durağan bir akışkan akışında, parçacıklarının uzaydaki her noktadaki hızı zamandan bağımsız ve koordinatların bir fonksiyonu olan bir niceliktir. Durağan bir akışta, sıvı parçacıkların yörüngeleri bir akım çizgisi oluşturur. Akım çizgilerinin toplanması bir akım tüpü oluşturur (Şekil 5.1). Sıvının sıkıştırılamaz olduğunu varsayıyoruz, daha sonra bölümlerden akan sıvının hacmi S 1 ve S 2 aynı olacak. Bir saniyede, eşit bir sıvı hacmi

, (5.1)

bölümlerdeki akışkan hızları nerede ve nelerdir S 1 ve S 2 ve vektörler ve ve olarak tanımlanır, nerede ve bölümlerin normalleridir S 1 ve S 2. Denklem (5.1) jet süreklilik denklemi olarak adlandırılır. Bundan, akışkan hızının, akış borusunun enine kesiti ile ters orantılı olduğu sonucu çıkar.

Bernoulli denklemi.

İç sürtünmenin (viskozitenin) olmadığı ideal bir sıkıştırılamaz akışkanı ele alacağız. Durağan akan bir sıvıda enine kesitli ince bir akış tüpü (Şekil 5.2) seçelim. 1 ve S2 akım çizgilerine dik. Kısımda 1 kısa bir zaman içinde T parçacıklar bir mesafe hareket edecek 1, ve bölümünde 2 - uzaktan ben 2... Zaman içinde her iki bölüm aracılığıyla T aynı küçük hacimlerde sıvı geçecek V= 1 = V2 ve bir sıvı kütlesi aktarın m = rV, nerede r sıvının yoğunluğudur. Genel olarak akış borusundaki tüm akışkanın kesitler arasındaki mekanik enerjisindeki değişim 1 ve S2 zamanla oldu T, hacmin enerjisindeki bir değişiklik ile değiştirilebilir V 1. bölümden 2. bölüme geçtiğinde meydana geldi. Böyle bir hareketle, bu hacmin kinetik ve potansiyel enerjisi değişecek ve enerjisinde tam bir değişiklik olacaktır.

, (5.2)

nerede 1 ve v 2 - kesitlerdeki sıvı parçacıkların hızı 1 ve S2 sırasıyla; G- yerçekimi ivmesi; saat 1 ve saat 2- bölümlerin merkezinin yüksekliği.

İdeal bir akışkanda sürtünme kayıpları yoktur; bu nedenle enerji artışı DE tahsis edilen hacim üzerindeki basınç kuvvetlerinin yaptığı işe eşit olmalıdır. Sürtünme kuvvetlerinin yokluğunda, bu iş:

(5.2) ve (5.3) eşitliklerinin sağ taraflarını eşitleyerek ve aynı indekslere sahip terimleri eşitliğin bir tarafına aktararak elde ederiz.

. (5.4)

Tüp bölümleri 1 ve S2 keyfi olarak alındı, bu nedenle mevcut tüpün herhangi bir kesitinde ifadenin olduğu iddia edilebilir.

. (5.5)

Denklem (5.5) Bernoulli denklemi olarak adlandırılır. Yatay bir düzen için H = sabit, ve eşitlik (5.4) şeklini alır

r /2 + p 1 = r /2 + p 2 , (5.6)

onlar. hızın daha yüksek olduğu noktalarda basınç daha düşüktür.

İç sürtünme kuvvetleri.

Gerçek bir sıvının viskozitesi vardır ve bu, sıvı ve gazın herhangi bir hareketinin, buna neden olan sebeplerin yokluğunda kendiliğinden durması gerçeğinde kendini gösterir. Bir sıvı tabakasının sabit bir yüzeyin üzerine yerleştirildiği ve yukarıdan bir hızla hareket ettiği bir deney düşünün, üzerinde bir yüzey ile yüzen bir plaka. S(şek.5.3). Deneyimler, bir levhayı sabit bir hızla hareket ettirmek için, ona kuvvetle hareket etmek gerektiğini göstermektedir. Plaka ivme almadığından, bu kuvvetin hareketinin, eşit büyüklükte ve zıt yönlü bir başka kuvvetle, yani sürtünme kuvvetiyle dengelendiği anlamına gelir. . Newton sürtünme kuvvetinin

, (5.7)

nerede NS sıvı tabakanın kalınlığıdır, h sıvının viskozite katsayısı veya sürtünme katsayısıdır, eksi işareti vektörlerin farklı yönünü hesaba katar F tr ve vÖ. Katmanın farklı yerlerindeki sıvı parçacıkların hızını incelersek, doğrusal bir yasaya göre değiştiği ortaya çıkar (Şekil 5.3):

v (z) = = (v 0 / d) z.

Bu eşitliği farklılaştırarak elde ederiz. dv / dz= v 0 / NS... Bu düşünceyle birlikte

F tr=- h (dv / dz) S , (5.8)

nerede H - dinamik viskozite katsayısı... Miktar dv / dz hız gradyanı denir. Eksen yönünde hızın ne kadar hızlı değiştiğini gösterir. z... NS dv / dz= const hız gradyanı sayısal olarak hız değişimine eşittir v değiştiğinde z birim başına. (5.8) formülünde sayısal olarak ayarlayalım dv / dz =-1 ve S= 1, alırız H = F... bu ima eder fiziksel anlam h: viskozite katsayısı, birliğe eşit bir hız gradyanında birim alanın sıvı tabakasına etki eden kuvvete sayısal olarak eşittir. Viskozitenin SI birimine pascal-saniye denir (Pa s ile gösterilir). CGS sisteminde, viskozite birimi 1 Poise (P)'dir ve 1 Pa s = 10P'dir.

« Fizik - Sınıf 10 "

Neden, açısal dönme hızını artırmak için patenci dönme ekseni boyunca uzanır.
Pervanesi döndüğünde helikopter dönmeli mi?

Sorulan sorular, cisme dış kuvvetler etki etmezse veya etkileri dengelenirse ve cismin bir kısmı bir yönde dönmeye başlarsa, o zaman diğer kısmın, tıpkı yakıt püskürtülürken olduğu gibi diğer yöne dönmesi gerektiğini düşündürmektedir. bir roket, roketin kendisi ters yönde hareket eder.

Dürtü anı.

Dönen bir diski düşünürsek, vücudun herhangi bir parçacığı, büyüklük olarak eşit, ancak ters yönde hareket eden bir parçacığa karşılık geldiğinden, diskin toplam darbesinin sıfıra eşit olduğu açıktır (Şekil 6.9). .

Ancak disk hareket ediyor, tüm parçacıkların açısal dönme hızları aynı. Bununla birlikte, bir parçacık dönme ekseninden ne kadar uzaksa, momentumunun o kadar büyük olduğu açıktır. Sonuç olarak, dönme hareketi için, bir dürtüye benzer bir özellik daha eklemek gerekir - açısal momentum.

Bir daire içinde hareket eden bir parçacığın momentum momentine, bir parçacığın momentumunun, ondan dönme eksenine olan uzaklığı ile çarpımı denir (Şekil 6.10):

Doğrusal ve açısal hızlar, v = ωr bağıntısıyla ilişkilidir, o zaman

Bir katı maddenin tüm noktaları, aynı açısal hızla sabit bir dönme eksenine göre hareket eder. Katı bir gövde, malzeme noktalarının bir koleksiyonu olarak temsil edilebilir.

Katı bir cismin momentum momenti, açısal dönme hızı ile eylemsizlik momentinin ürününe eşittir:

Açısal momentum bir vektör miktarıdır, formül (6.3)'e göre açısal momentum açısal hız ile aynı şekilde yönlendirilir.

Dürtü biçiminde dönme hareketinin dinamiğinin temel denklemi.

Bir cismin açısal ivmesi, bu değişimin meydana geldiği zaman aralığına bölünen açısal hızdaki değişime eşittir: Bu ifadeyi dönme hareketi dinamiğinin temel denkleminde yerine koyunuz. dolayısıyla I (ω 2 - ω 1) = MΔt veya IΔω = MΔt.

Böylece,

ΔL = MΔt. (6.4)

Açısal momentumdaki değişim, bir cisme veya sisteme etki eden kuvvetlerin toplam momentinin, bu kuvvetlerin etki zamanı ile çarpımına eşittir.

Açısal momentumun korunumu yasası:

Bir cisme veya sabit bir dönme eksenine sahip bir cisimler sistemine etkiyen kuvvetlerin toplam momenti sıfıra eşitse, açısal momentumdaki değişiklik de sıfıra eşittir, yani sistemin açısal momentumu sabit kalır.

ΔL = 0, L = sabit.

Sistemin darbesindeki değişim, sisteme etki eden kuvvetlerin toplam darbesine eşittir.

Dönen patenci kollarını yanlara yayar, böylece açısal dönme hızını azaltmak için eylemsizlik momentini arttırır.

Açısal momentumun korunumu yasası, "Zhukovsky tezgahı ile deney" olarak adlandırılan aşağıdaki deney kullanılarak gösterilebilir. Bir kişi, merkezinden geçen dikey bir dönme ekseni olan bir bankta duruyor. Bir adam elinde dambıl tutuyor. Tezgah döndürülecek şekilde yapılırsa, kişi dambılları göğsüne bastırarak veya kolları indirerek ve ardından yayarak dönüş hızını değiştirebilir. Kollarını açarak atalet momentini arttırır ve açısal dönme hızı azalır (Şekil 6.11, a), kollarını indirir, eylemsizlik momentini azaltır ve sıranın açısal dönme hızı artar (Şekil 6.11). , B).

Bir kişi ayrıca kenar boyunca yürüyerek tezgahı döndürebilir. Bu durumda, toplam açısal momentumun sıfıra eşit kalması gerektiğinden, tezgah ters yönde dönecektir.

Jiroskop adı verilen cihazların çalışma prensibi, açısal momentumun korunumu yasasına dayanmaktadır. Bir jiroskopun temel özelliği, dış kuvvetler bu eksene etki etmiyorsa, dönme ekseninin yönünün korunmasıdır. XIX yüzyılda. Jiroskoplar denizciler tarafından denizde yön bulmak için kullanıldı.

Dönen bir katının kinetik enerjisi.

Dönen bir katının kinetik enerjisi, tek tek parçacıklarının kinetik enerjilerinin toplamına eşittir. Vücudu, her biri maddi bir nokta olarak kabul edilebilecek küçük öğelere bölelim. O zaman vücudun kinetik enerjisi, oluşturduğu maddi noktaların kinetik enerjilerinin toplamına eşittir:

Vücudun tüm noktalarının açısal dönme hızı aynıdır, bu nedenle,

Parantez içindeki değer, zaten bildiğimiz gibi, katı bir cismin eylemsizlik momentidir. Son olarak, sabit bir dönme eksenine sahip katı bir cismin kinetik enerjisi formülü şu şekildedir:

Katı bir cismin genel hareketi durumunda, dönme ekseni serbest olduğunda, kinetik enerjisi, öteleme ve dönme hareketlerinin enerjilerinin toplamına eşittir. Böylece, kütlesi jantta yoğunlaşmış, yol boyunca sabit bir hızla yuvarlanan bir tekerleğin kinetik enerjisi eşittir.

Tablo, bir malzeme noktasının öteleme hareketinin mekaniğinin formüllerini, katı bir cismin dönme hareketi için benzer formüllerle karşılaştırmaktadır.

Ders 3. Katı bir cismin dinamiği

ders planı

3.1. Güç anı.

3.2. Dönme hareketinin temel denklemleri. Eylemsizlik momenti.

3.3. Dönmenin kinetik enerjisi.

3.4. Dürtü anı. Açısal momentumun korunumu yasası.

3.5. Öteleme ve dönme hareketi arasındaki analoji.

Güç anı

Sabit bir eksen etrafında katı bir cismin hareketini düşünün. Sert bir gövdenin sabit bir dönme eksenine sahip olmasına izin verin OO ( Şekil 3.1) ve ona keyfi bir kuvvet uygulanır.

Pirinç. 3.1

Kuvveti kuvvetin iki bileşenine ayıralım, kuvvet dönme düzlemindedir ve kuvvet dönme eksenine paraleldir. Sonra kuvveti iki bileşene ayıracağız: - yarıçap vektörü boyunca hareket eden ve - ona dik olan.

Vücuda uygulanan her kuvvet onu döndürmez. Kuvvetler, yataklar üzerinde baskı oluşturur, ancak döndürmez.

Kuvvet, yarıçap vektörünün neresine uygulandığına bağlı olarak cismin dengesini bozabilir veya bozamayabilir. Bu nedenle, bir eksen etrafındaki kuvvet momenti kavramı tanıtıldı. Bir güç anı dönme eksenine göre yarıçap vektörü ve kuvvetin vektör ürünü olarak adlandırılır.

Vektör, dönme ekseni boyunca yönlendirilir ve çapraz çarpım kuralı veya sağ vida kuralı veya yalpalama kuralı tarafından belirlenir.

tork modülü

burada α vektörler ve arasındaki açıdır.

Şekil 3.1'den. açık ki .

0- Kuvvetin dönme ekseninden hareket hattına kadar olan en kısa mesafeye kuvvetin omzu denir. Sonra kuvvet anı yazılabilir

M = F r 0 . (3.3)

İncir. 3.1.

nerede F- yarıçap vektörüne dik yöne vektör projeksiyonu. Bu durumda, kuvvet momenti

. (3.4)

Vücuda birkaç kuvvet etki ederse, sonuçta ortaya çıkan kuvvet momenti, bireysel kuvvetlerin momentlerinin vektör toplamına eşittir, ancak tüm momentler eksen boyunca yönlendirildiğinden, bunlar cebirsel bir toplamla değiştirilebilir. Moment, gövdeyi saat yönünde döndürürse pozitif, saat yönünün tersine dönerse negatif olarak kabul edilecektir. Tüm kuvvet momentleri () sıfıra eşitse, vücut dengede olacaktır.

Bir kuvvet momenti kavramı, "tuhaf bir bobin" yardımıyla gösterilebilir. İplik makarası, ipliğin serbest ucundan çekilir ( pilav. 3.2).

Pirinç. 3.2

İplik tansiyonunun yönüne bağlı olarak masura bir tarafa veya diğer tarafa döner. bir açıyla çekerseniz α , sonra eksen etrafındaki kuvvet momenti Ö(resme dik) bobini saat yönünün tersine döndürür ve geri döner. Bir açıda gerilim olması durumunda β tork saat yönünün tersinedir ve bobin ileri doğru yuvarlanır.

Denge koşulunu () kullanarak, kuvvetin "dönüştürücüleri" olan basit mekanizmalar oluşturmak mümkündür, yani. daha az kuvvet uygulayarak farklı ağırlıklardaki yükleri kaldırabilir ve taşıyabilirsiniz. İnşaatta yaygın olarak kullanılan kaldıraçlar, el arabaları, çeşitli bloklar bu prensibe dayanmaktadır. Yükün ağırlığından kaynaklanan kuvvet momentini telafi etmek için inşaat vinçlerinde denge durumunu korumak için, her zaman zıt işaretin bir kuvvet momentini oluşturan bir karşı ağırlık sistemi vardır.

3.2. Dönmenin temel denklemi
hareket. eylemsizlik momenti

Sabit bir eksen etrafında dönen kesinlikle katı bir cisim düşünün. OO(Şekil 3.3). Bu bedeni zihinsel olarak kütleleri Δ olan elementlere ayıralım. m 1, Δ m2, …, Δ mn... Dönerken, bu elemanlar yarıçaplı daireleri tanımlayacaktır. 1,r 2 , …,r n... Her eleman için kuvvetler buna göre hareket eder F1,F2 , …,F n... Bir cismin bir eksen etrafında dönmesi OO tam torkun etkisi altında gerçekleşir m.

M = M 1 + M 2 + ... + Mn (3.4)

nerede M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Newton'un II yasasına göre, her kuvvet F D kütleli bir elemente etki eden m, verilen elemanın hızlanmasına neden olur a, yani

ben = NS ben bir ben miyim (3.5)

Karşılık gelen değerleri (3.4) yerine koyarak, elde ederiz

Pirinç. 3.3

Doğrusal açısal ivme arasındaki ilişkinin bilinmesi ε () ve tüm elemanlar için açısal ivmenin aynı olduğuna göre, formül (3.6) formuna sahip olacaktır.

m = (3.7)

=ben (3.8)

ben- sabit bir eksen etrafında bir cismin eylemsizlik momenti.

sonra alırız

М = ben ε (3.9)

Veya vektör biçiminde

(3.10)

Bu denklem, dönme hareketinin dinamiği için temel denklemdir. Form olarak Newton yasasının II. denklemine benzer. (3.10)'den itibaren atalet momenti şuna eşittir:

Böylece, belirli bir cismin atalet momenti, kuvvet momentinin neden olduğu açısal ivmeye oranıdır. (3.11)'den, eylemsizlik momentinin, cismin dönme hareketine göre eylemsizliğinin bir ölçüsü olduğu görülebilir. Atalet momenti, öteleme hareketinde kütle ile aynı rolü oynar. SI cinsinden ölçüm birimi [ ben] = kg · m 2. Formül (3.7)'den, atalet momentinin, gövde parçacıklarının kütlesinin dönme eksenine göre dağılımını karakterize ettiği takip edilir.

Böylece, r yarıçaplı bir daire boyunca hareket eden ∆m kütleli bir elemanın eylemsizlik momenti eşittir

ben = r2 NS m (3.12)

ben = (3.13)

Sürekli bir kütle dağılımı durumunda, toplam, integral ile değiştirilebilir.

ben = ∫ r 2 dm (3.14)

entegrasyonun tüm vücut kütlesi üzerinde yapıldığı yer.

Dolayısıyla, bir cismin eylemsizlik momentinin kütleye ve dönme eksenine göre dağılımına bağlı olduğu görülebilir. Bu deneysel olarak gösterilebilir ( Şekil 3.4).

Pirinç. 3.4

Aynı uzunluklara, yarıçaplara ve kütlelere sahip biri içi boş (örneğin metal), diğeri katı (ahşap) iki yuvarlak silindir aynı anda yuvarlanmaya başlar. Büyük bir atalet momentine sahip içi boş bir silindir, katı olanın gerisinde kalacaktır.

Kütle biliniyorsa eylemsizlik momenti hesaplanabilir. m ve dönme eksenine göre dağılımı. En basit durum, tüm kütle elemanları dönme ekseninden eşit olarak yerleştirildiğinde bir halkadır ( pilav. 3.5):

ben = (3.15)

Pirinç. 3.5

Kütleli farklı simetrik cisimlerin eylemsizlik momentleri için ifadeler sunalım. m.

1. eylemsizlik momenti yüzükler, içi boş ince duvarlı silindir simetri ekseni ile çakışan dönme ekseni hakkında.

, (3.16)

r- halka veya silindirin yarıçapı

2. Katı bir silindir ve disk için simetri eksenine göre eylemsizlik momenti

(3.17)

3. Merkezden geçen bir eksen etrafındaki topun eylemsizlik momenti

(3.18)

r- top yarıçapı

4. İnce uzun bir çubuğun eylemsizlik momenti bençubuğa dik ve ortasından geçen eksene göre

(3.19)

benÇubuğun uzunluğudur.

Dönme ekseni kütle merkezinden geçmiyorsa, cismin bu eksen etrafındaki eylemsizlik momenti Steiner teoremi ile belirlenir.

(3.20)

Bu teoreme göre, keyfi bir eksen etrafındaki atalet momenti O'O '' ( ) cismin kütle merkezinden geçen paralel bir eksen etrafındaki eylemsizlik momentine eşittir ( ) artı vücut kütlesinin çarpımı ile mesafenin karesi a eksenler arasında ( pilav. 3.6).

Pirinç. 3.6

Dönmenin kinetik enerjisi

Açısal bir hızla sabit bir OO ekseni etrafında kesinlikle rijit bir cismin dönüşünü düşünün. ω (pilav. 3.7). katıyı şuraya bölelim n temel kütleler ben... Her kütle elemanı yarıçaplı bir daire içinde döner ri doğrusal hız () ile. Kinetik enerji, bireysel elementlerin kinetik enerjilerinden oluşur.

(3.21)

Pirinç. 3.7

(Madde 3.13)'ten hatırlayın ki - OO ekseni etrafındaki atalet momenti.

Böylece dönen bir cismin kinetik enerjisi

E k = (3.22)

Sabit bir eksen etrafında dönmenin kinetik enerjisini düşündük. Vücut iki harekete katılırsa: öteleme ve dönme hareketleri, o zaman cismin kinetik enerjisi, öteleme hareketinin kinetik enerjisinden ve dönmenin kinetik enerjisinden oluşur.

Örneğin, kütlesi olan bir top m yuvarlanma; topun kütle merkezi bir hızla ötelenir sen (pilav. 3.8).

Pirinç. 3.8

Topun toplam kinetik enerjisi şuna eşit olacaktır:

(3.23)

3.4. Dürtü anı. koruma kanunu
açısal momentum

Atalet momentinin ürününe eşit fiziksel miktar ben açısal hız ω açısal momentum (açısal momentum) olarak adlandırılır. L dönme ekseni hakkında.

- açısal momentum bir vektör miktarıdır ve açısal hızın yönü ile örtüşür.

Zamana göre diferansiyel denklemi (3.24) elde ederiz

nerede, m- dış kuvvetlerin toplam momenti. Yalıtılmış bir sistemde, dış kuvvetlerin momenti yoktur ( m= 0) ve

Görevler

1. Tekerleklerin kütlesi trenin kütlesinin %15'i ise, etkin kütlesinin 4000 tonluk bir trenin çekim kütlesinden kaç kat daha büyük olduğunu belirleyin. Tekerlekleri 1,02 m çapında diskler olarak düşünün, tekerleklerin çapı iki kat daha küçük olursa cevap nasıl değişecek?

2. 1200 kg ağırlığındaki bir tekerlek takımının 0,08 eğimli bir yokuştan aşağı yuvarlandığı ivmeyi belirleyin. Tekerlekleri disk olarak düşünün. Yuvarlanma direnci katsayısı 0.004. Tekerleklerin raylara yapışma kuvvetini belirleyin.

3. Kütlesi 1400 kg olan bir tekerlek takımının 0,05 eğimli bir tepeyi çıkarken aldığı ivmeyi belirleyin. Direnç katsayısı 0.002. Tekerleklerin kaymaması için yapışma katsayısı ne olmalıdır. Tekerlekleri disk olarak düşünün.

4. 40 ton ağırlığındaki bir arabanın, 1200 kg ağırlığında ve 1,02 m çapında sekiz tekerleği varsa, 0.020 eğimli bir yokuştan hangi ivmeyle yuvarlandığını belirleyin.Tekerleklerin raylara yapışma kuvvetini belirleyin. Direnç katsayısı 0.003.

5. 4000 t ağırlığındaki bir tren 0,3 m / s 2 ivme ile fren yaparsa, fren balatalarının lastikler üzerindeki basınç kuvvetini belirleyin. Bir tekerlek çiftinin atalet momenti 600 kg · m 2, aks sayısı 400, balatanın kayma sürtünme katsayısı 0,18 ve yuvarlanma direnci katsayısı 0,004'tür.

6. 30 m'lik yoldaki hız 2 m / s'den 1,5 m / s'ye düşmüşse, tümsek fren platformunda 60 tonluk dört dingilli bir arabaya etki eden fren kuvvetini belirleyin. Bir tekerlek çiftinin atalet momenti 500 kg · m2'dir.

7. Lokomotifin hız ölçeri, bir dakika içinde tren hızında 10 m/s'den 60 m/s'ye bir artış gösterdi. Muhtemelen, ön tekerlek takımında bir kayma oldu. Elektrik motorunun armatürüne etki eden kuvvetlerin momentini belirleyin. Tekerlek takımının atalet momenti 600 kg m2, armatür 120 kg m2'dir. Dişli takımının dişli oranı 4.2'dir. Raylar üzerindeki basınç kuvveti 200 kN, tekerleklerin ray üzerindeki kayma sürtünme katsayısı 0,10'dur.

11. DÖNERİN KİNETİK ENERJİSİ

Hareket

Dönme hareketinin kinetik enerjisinin formülünü türetelim. Vücudun açısal bir hızda dönmesine izin verin ω sabit bir eksene göre. Cismin herhangi bir küçük parçacığı, bir daire içinde bir hız ile öteleme hareketi yapar. ri - dönme eksenine uzaklık, yörünge yarıçapı. parçacık kinetik enerjisi kitleler ben eşittir. Bir parçacık sisteminin toplam kinetik enerjisi, kinetik enerjilerinin toplamına eşittir. Cismin parçacıklarının kinetik enerjisinin formüllerini toplayalım ve toplamın işaretinden tüm parçacıklar için aynı olan açısal hızın karesinin yarısını çıkaralım. Parçacık kütlelerinin ürünlerinin dönme eksenine olan mesafelerinin kareleri ile toplamı, vücudun dönme eksenine göre eylemsizlik momentidir. . Yani, Sabit bir eksen etrafında dönen bir cismin kinetik enerjisi, cismin eksen etrafındaki eylemsizlik momentinin açısal dönme hızının karesiyle çarpımının yarısına eşittir.:

Dönen cisimler yardımıyla mekanik enerji depolanabilir. Bu tür gövdelere volan denir. Genellikle bunlar devrim organlarıdır. Bir çömlekçi çarkında volanların kullanımı antik çağlardan beri bilinmektedir. İçten yanmalı motorlarda, çalışma stroku sırasında, piston volana mekanik enerji verir ve daha sonra motor milini döndürmek için sonraki üç strok için iş yapar. Kalıplarda ve preslerde, volan nispeten düşük güçlü bir elektrik motoru tarafından döndürülür, neredeyse tam bir devir sırasında mekanik enerji biriktirir ve kısa bir darbe anında onu damgalama işine verir.

Araçları sürmek için dönen volanları kullanmak için çok sayıda girişim vardır: arabalar, otobüsler. Bunlara mahomobil, gyrocar denir. Bu tür birçok deneysel makine yaratılmıştır. Daha sonraki hızlanma sırasında biriken enerjiyi kullanmak için elektrikli trenleri frenlerken enerjiyi depolamak için volanların kullanılması umut verici olacaktır. Volanlı enerji depolamanın New York City metro trenlerinde kullanıldığı bilinmektedir.

> Dönme kinetik enerjisi: iş, enerji ve güç

Keşfetmek dönme hareketinin kinetik enerjisi- formüller. Atalet momenti, mekanik çalışma, öteleme ve dönme hareketi hakkında bilgi edinin.

Vücudun dönmesinden kaynaklanır.

Öğrenme zorluğu

• Dönme kinetik enerjisini açısal hız ve atalet momentine dayalı olarak ifade edin ve bunu toplam kinetik enerji ile ilişkilendirin.

Anahtar noktaları

• Dönme kinetik enerjisi, E dönüş = 0,5 Iω 2 olarak ifade edilir (burada ω, dönme ekseni etrafındaki atalet momentidir).
• Mekanik çalışma - W = τθ.
• Açısal hızlanan cismin anlık gücü - P = τω.
• Dönme enerjisi sonucu ile lineer hareket tarafından korunan arasında yakın bir ilişki görülmektedir.

Şartlar

• Atalet, vücudun düzgün hareketindeki herhangi bir değişikliğe direnme özelliğidir.
• Tork - Metre başına Newton olarak ölçülen bir kuvvetin dönme etkisi.
• Açısal hız, dairesel hareket halindeki bir cismi karakterize eden bir vektör miktarıdır. Büyüklük parçacık hızına eşittir ve yön düzleme diktir.

Dönme kinetik enerjisi - bir cismin dönmesiyle oluşturulan kinetik enerji ve toplam kinetik enerjinin bir parçasıdır. Belirli bir durumu analiz etmek istiyorsak, o zaman E dönüş formülüne ihtiyacımız var = 0,5 Iω 2 (I, dönme ekseni etrafındaki eylemsizlik momentidir, ω açısal hızdır).

Dönme sırasında, moment (τ) ile dönme açısı (θ) çarpımını temsil eden mekanik iş uygulanır: W = τθ.

Açısal hızlanan bir nesnenin anlık gücü: P = τω.

Dönme enerjisi sonucu ile doğrusal (çevirme) hareket tarafından tutulan arasında yakın bir ilişki görülmektedir: E öteleme = 0,5 mv 2.

Dönen bir çerçevede, atalet momenti kütleye benzer ve açısal hız doğrusaldır.

Gezegenimizin kinetik enerjisine bir göz atalım. Dünya 23.93 saatte 7.29 x 10 -5 açısal hızla bir eksenel dönüş yapıyor. Atalet momenti 8.04 x 10 37 kg m2'dir. Bu nedenle, dönme kinetik enerjisi 2.148 × 10 29 J'dir.

Dünyanın dönüşü, dönme kinetik enerjisinin en açık örneğidir.

Dönme kinetik enerjisi gelgit kuvveti kullanılarak da hesaplanabilir. İki büyük ölçekli gelgit dalgasından gelen ekstra sürtünme, gezegenin açısal hızını yavaşlatan enerji yaratır. Açısal momentum korunur, bu nedenle süreç açısal momentumu yörünge ay hareketine aktarır ve Dünya'dan olan mesafeyi ve yörünge periyodunu arttırır.