Koordinat düzleminde daire çizin. Kesin integral

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Tarafımızdan toplandı kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Konuyla ilgili bir video eğitimini dikkatinize sunuyoruz. Sayı çemberi" Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant ve fonksiyonların ne olduğuna ilişkin bir tanım verilmiştir. sen= günah X, sen= çünkü X, sen= tg X, sen= ctg X herhangi bir sayısal argüman için. Her sayı için tek bir nokta bulmak ve bunun tersine, her nokta için ona karşılık gelen bir dizi sayı bulmak için birim sayı çemberindeki sayılar ve noktalar arasındaki standart yazışma problemlerini ele alıyoruz.

Konu: Teorinin Unsurları trigonometrik fonksiyonlar

Ders: Sayı Çemberi

Acil hedefimiz trigonometrik fonksiyonları tanımlamaktır: sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant-

Sayısal argüman bir koordinat çizgisine veya bir daireye çizilebilir.

Böyle bir daireye sayısal veya birim daire denir çünkü kolaylık sağlamak için bir daire çizin

Örneğin, verilen bir noktayı koordinat çizgisi üzerinde işaretleyin

ve üzerinde sayı dairesi.

Sayı çemberi ile çalışırken saat yönünün tersine hareketin pozitif yön, saat yönünün ise negatif yön olduğu kabul edildi.

Tipik görevler - belirli bir noktanın koordinatlarını belirlemeniz veya tam tersine koordinatlarına göre bir nokta bulmanız gerekir.

Koordinat çizgisi, noktalar ve sayılar arasında bire bir yazışma kurar. Örneğin, bir sayı koordinatlı A noktasına karşılık gelir.

Koordinatlı her B noktası yalnızca bir sayıyla karakterize edilir - 0'dan artı veya eksi işaretiyle alınan mesafe.

Sayı çemberinde birebir yazışmalar yalnızca tek yönde çalışır.

Örneğin üzerinde B noktası var koordinat dairesi(Şekil 2), yay uzunluğu 1'dir, yani. bu nokta 1'e karşılık gelir.

Bir daire verildiğinde, çevresi O halde - uzunluk birim çember.

Eğer eklersek, aynı B noktasını elde ederiz, sonra da B noktasına ulaşırız, çıkarırız - yine B noktası.

B noktasını düşünün: yay uzunluğu = 1, o zaman sayılar sayı çemberi üzerindeki B noktasını karakterize eder.

Böylece, 1 sayısı, sayı çemberi üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir - B noktası ve B noktası, formdaki sonsuz sayıda noktaya karşılık gelir. .

Sayı çemberi için aşağıdakiler doğrudur:

Eğer T. M Sayı çemberi bir sayıya karşılık geliyorsa, o zaman aynı zamanda formdaki bir sayıya da karşılık gelir

Sayı çemberi etrafında olumlu ya da olumsuz yönde istediğiniz kadar tam dönüş yapabilirsiniz - amaç aynıdır. Bu yüzden trigonometrik denklemler sayısız çözümü var.

Örneğin, verilen D noktası. Karşılaştığı sayılar nelerdir?

Arkı ölçüyoruz.

D noktasına karşılık gelen tüm sayıların kümesi.

Sayı çemberindeki ana noktalara bakalım.

Tüm çevrenin uzunluğu.

Onlar. birden fazla koordinatın kaydı farklı olabilir .

Sayı çemberindeki tipik sorunlara bakalım.

1. Verilen: . Bul: sayı çemberi üzerinde bir nokta.

Parçanın tamamını seçelim:

Sayı çemberi üzerindeki noktayı bulmak gerekir. , Daha sonra .

Bu set aynı zamanda noktayı da içerir.

2. Verilen: . Bul: sayı çemberi üzerinde bir nokta.

T'yi bulmak gerekiyor.

t.ayrıca bu kümeye aittir.

Sayı çemberindeki sayılar ve noktalar arasındaki standart yazışma problemlerini çözerek, her sayı için tek bir nokta bulabileceğimizi ve her nokta için belirli bir noktayla karakterize edilen bir dizi sayı bulabileceğimizi bulduk.

Yayı üç eşit parçaya bölün ve M ve N noktalarını işaretleyin.

Bu noktaların tüm koordinatlarını bulalım.

Dolayısıyla amacımız trigonometrik fonksiyonları tanımlamaktır. Bunu yapmak için bir fonksiyon argümanının nasıl belirleneceğini öğrenmemiz gerekir. Birim çemberin noktalarına baktık ve iki tipik problemi çözdük: sayı çemberi üzerinde bir nokta bulmak ve bu noktanın tüm koordinatlarını birim çember üzerine yazmak.

1. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Ders Kitabı. Genel eğitim için Kurumlar.- 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: hasta.

2. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Öğrenciler için problem kitabı Eğitim Kurumları/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina ve diğerleri - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta.

3. Makarychev Yu.N. Cebir. 9. sınıf: genel eğitim öğrencileri için eğitici. kurumlar / Yu.N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. baskı, rev. ve ek - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Cebir. 9. sınıf. 16. baskı. - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A.G. Cebir. 9. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. baskı, silindi. - M.: 2010. - 224 s.: hasta.

6. Cebir. 9. sınıf. 2 bölüm halinde Bölüm 2. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina ve diğerleri; Ed. A. G. Mordkovich. — 12. baskı, rev. - M.: 2010.-223 s.: hasta.

Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, vb. - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta.

№№ 531; 536; 537; 541; 552.

Sayı çemberi noktaları belirli reel sayılara karşılık gelen birim çemberdir.

Birim çember yarıçapı 1 olan bir çemberdir.

Sayı çemberinin genel görünümü.

1) Yarıçapı bir ölçü birimi olarak alınır.

2) Yatay ve dikey çaplar sayı çemberini dört parçaya böler. Bunlar sırasıyla birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü çeyrek olarak adlandırılır.

3) Yatay çap AC ile gösterilir; A en uç noktadır Sağ nokta.
Dikey çap BD olarak gösterilir ve B en yüksek noktadır.
Sırasıyla:

ilk çeyrek AB yayı

ikinci çeyrek - yay BC

üçüncü çeyrek - yay CD'si

dördüncü çeyrek - yay DA

4) Sayı çemberinin başlangıç ​​noktası A noktasıdır.

Sayı çemberi boyunca sayma saat yönünde veya saat yönünün tersine yapılabilir.

A noktasından itibaren sayma aykırı saat yönü denir olumlu yön.

A noktasından itibaren sayma İle saat yönünde çağrıldı olumsuz yön.

Koordinat düzlemindeki sayı çemberi.

Sayı çemberinin yarıçapının merkezi orijine (0 sayısı) karşılık gelir.

Yatay çap eksene karşılık gelir X, dikey eksen sen.

Başlangıç ​​noktası A sayı çemberitee eksendeXve koordinatları vardır (1; 0).

Sayı çemberindeki ana noktaların adları ve konumları:

Sayı çemberi adları nasıl hatırlanır?

Sayı çemberinin temel adlarını kolayca hatırlamanıza yardımcı olacak birkaç basit kalıp vardır.

Başlamadan önce şunu hatırlatalım: Sayma pozitif yönde yani A noktasından (2π) saat yönünün tersine yapılıyor.

1) Koordinat eksenleri üzerindeki uç noktalarla başlayalım.

Başlangıç ​​noktası 2π'dir (eksenin en sağdaki noktası) X, 1'e eşit).

Bildiğiniz gibi 2π dairenin çevresidir. Bu, yarım dairenin 1π veya π olduğu anlamına gelir. Eksen X daireyi tam olarak ikiye böler. Buna göre eksenin en sol noktası X-1'e eşit olana π denir.

Eksen üzerindeki en yüksek nokta en 1'e eşit, üst yarım daireyi ikiye böler. Bu, eğer bir yarım daire π ise yarım dairenin yarısı da π/2 olur anlamına gelir.

Aynı zamanda π/2 de dairenin çeyreğidir. Birinciden üçüncüye kadar bu tür üç çeyreği sayalım - ve eksendeki en alt noktaya geleceğiz en, -1'e eşittir. Ancak dörtte üçü içeriyorsa adı 3π/2'dir.

2) Şimdi kalan noktalara geçelim. Lütfen dikkat: tüm zıt noktaların aynı payda- ve bunlar zıt noktalardır ve eksene göredir en, hem eksenlerin merkezine göre hem de eksene göre X. Bu, onları sıkıştırmadan puan değerlerini bilmemize yardımcı olacaktır.

Yalnızca ilk çeyreğin noktalarının anlamını hatırlamanız gerekir: π/6, π/4 ve π/3. Ve sonra bazı kalıpları “göreceğiz”:

- Eksene göre en ikinci çeyreğin noktalarında, birinci çeyreğin noktalarının tersi olarak paylardaki sayılar paydaların büyüklüğünden 1 eksiktir. Örneğin π/6 noktasını alın. Eksene göre karşısındaki nokta en paydasında 6, payında 5 (1 eksik) bulunur. Yani bu noktanın adı: 5π/6. π/4'ün karşısındaki noktanın da paydası 4, payı ise 3'tür (1 4'ten küçük) - yani 3π/4 noktasıdır.
π/3'ün karşısındaki noktanın paydasında 3, payında ise 1 eksiği vardır: 2π/3.

- Koordinat eksenlerinin merkezine göre her şey tam tersidir: Zıt noktaların paylarındaki sayılar (üçüncü çeyrekte) paydaların değerinden 1 büyüktür. Tekrar π/6 noktasını ele alalım. Merkeze göre karşısındaki noktanın paydasında da 6 bulunur ve payda sayı 1 daha fazladır - yani 7π/6'dır.
π/4 noktasının karşısındaki noktanın da paydasında 4 var, payda ise 1 sayı daha var: 5π/4.
π/3 noktasının karşısındaki noktanın da paydasında 3 var, payda ise 1 sayı daha var: 4π/3.

- Eksene göre X(dördüncü çeyrek) mesele daha karmaşıktır. Burada paydanın değerine 1 eksik bir sayı eklemeniz gerekir - bu toplam, karşı noktanın payının sayısal kısmına eşit olacaktır. Tekrar π/6 ile başlayalım. 6'ya eşit payda değerine bu sayıdan 1 eksik olan bir sayı - yani 5 - ekleyelim. 6 + 5 = 11 elde ederiz. Bu, eksenin tersi olduğu anlamına gelir. X noktanın paydasında 6 ve payında 11 olacaktır - yani 11π/6.

π/4 noktası. Paydanın değerine 1 eksiğini ekliyoruz: 4 + 3 = 7. Bu, eksenin karşısında olduğu anlamına gelir X noktanın paydasında 4 ve payında 7 vardır - yani 7π/4.
π/3 noktası. Payda 3'tür. 3'e daha küçük bir sayı ekleriz - yani 2. 5 elde ederiz. Bu, karşısındaki noktanın payda 5 olduğu anlamına gelir - ve bu 5π/3 noktasıdır.

3) Çeyreklerin orta noktalarının noktaları için başka bir model. Paydalarının 4 olduğu açıktır. Paylara dikkat edelim. İlk çeyreğin ortasının payı 1π'dir (ancak 1 yazmak alışılmış bir şey değildir). İkinci çeyreğin ortasının payı 3π'dir. Üçüncü çeyreğin ortasının payı 5π'dir. Dördüncü çeyreğin ortasının payı 7π'dir. Orta çeyreklerin paylarının artan sırada ilk dört tek sayıyı içerdiği ortaya çıktı:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Bu aynı zamanda çok basittir. Tüm çeyreklerin orta noktalarının paydası 4 olduğundan bunları zaten biliyoruz. tam isimler: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Sayı çemberinin özellikleri. Sayı doğrusuyla karşılaştırma.

Bildiğiniz gibi sayı doğrusunda her nokta bir sayıya karşılık gelir. tekil. Örneğin bir doğru üzerindeki A noktası 3'e eşitse artık başka hiçbir sayıya eşit olamaz.

Sayı çemberinde farklıdır çünkü bu bir çemberdir. Örneğin bir çemberin A noktasından M noktasına gelmek için bunu düz bir çizgi üzerindeymiş gibi (sadece bir yay geçiyormuş gibi) yapabilirsiniz ya da tüm çemberin etrafından dolaşıp M noktasına gelebilirsiniz. Çözüm:

M noktası bir t sayısına eşit olsun. Bildiğimiz gibi dairenin çevresi 2π'dir. Bu, bir t çemberi üzerine bir noktayı iki şekilde yazabileceğimiz anlamına gelir: t veya t + 2π. Bunlar eşdeğer değerlerdir.
Yani t = t + 2π. Tek fark, ilk durumda daire çizmeden hemen M noktasına geldiniz, ikinci durumda ise daire yaptınız ama aynı M noktasına ulaştınız. İki, üç veya iki yüz tane yapabilirsiniz. daireler. Daire sayısını harfle belirtirsek N sonra yeni bir ifade elde ederiz:
t = t + 2π N.

Dolayısıyla formül:

Tanım 1. Sayı ekseni ( sayı doğrusu, koordinat doğrusu) Ox, O noktasının seçildiği düz çizgidir orijin (koordinatların orijini)(Şekil 1), yön

Ö → X

Olarak listelenmiş olumlu yön ve uzunluğu kabul edilen bir parça işaretlenir. uzunluk birimi.

Tanım 2. Uzunluğu uzunluk birimi olarak alınan doğru parçasına ölçek denir.

Sayı eksenindeki her noktanın gerçek sayı olan bir koordinatı vardır. O noktasının koordinatı sıfırdır. Ox ışını üzerinde bulunan rastgele bir A noktasının koordinatı, OA segmentinin uzunluğuna eşittir. Sayısal eksenin Ox ışını üzerinde yer almayan rastgele bir A noktasının koordinatı negatiftir ve mutlak değerde OA segmentinin uzunluğuna eşittir.

Tanım 3. Düzlemde Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxy ikisini karşılıklı ara dik sayısal eksenler Öküz ve Oy ile aynı ölçek Ve ortak referans noktası O noktasında ve Ox ışınından Oy ışınına 90° açıyla dönme yönünde gerçekleştirilecek şekilde saat yönünün tersine(İncir. 2).

Not. Şekil 2'de gösterilen dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxy'ye denir doğru koordinat sistemi, Farklı sol koordinat sistemleri burada Ox ışınının Oy ışınına 90° açıyla dönmesi saat yönünde gerçekleştirilir. Bu kılavuzda biz yalnızca sağ elini kullanan koordinat sistemlerini dikkate alıyoruz, özellikle belirtmeden.

Düzlemde bazı dikdörtgen Kartezyen koordinatlar Oxy sistemini tanıtırsak, o zaman düzlemin her noktası elde edilecektir. iki koordinat – apsis Ve koordine etmek aşağıdaki gibi hesaplanır. A düzlem üzerinde keyfi bir nokta olsun. A noktasından dik açıları bırakalım A.A. 1 ve A.A. 2'den sırasıyla Ox ve Oy düz çizgileri (Şek. 3).

Tanım 4. A noktasının apsisi noktanın koordinatıdır A Ox sayı ekseninde 1, A noktasının koordinatı noktanın koordinatıdır A Oy sayı ekseninde 2.

Tanım Noktanın koordinatları (apsis ve koordinat) Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde Oxy (Şekil 4) genellikle gösterilir A(X;sen) veya A = (X; sen).

Not. O noktası denir Menşei, koordinatları var Ö(0 ; 0) .

Tanım 5. Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxy'de, Ox sayısal eksenine apsis ekseni, Oy sayısal eksenine ise ordinat ekseni adı verilir (Şekil 5).

Tanım 6. Her dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi, düzlemi numaralandırması Şekil 5'te gösterilen 4 çeyreğe (çeyreğe) böler.

Tanım 7. Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin verildiği düzleme denir. koordinat uçağı.

Not. Apsis ekseni koordinat düzleminde denklemle belirtilir sen= 0, koordinat ekseni koordinat düzleminde denklemle verilir X = 0.

Açıklama 1. İki nokta arasındaki mesafe koordinat uçağı

A 1 (X 1 ;sen 1) Ve A 2 (X 2 ;sen 2)

hesaplanmış formüle göre

Kanıt . Şekil 6'yı düşünün.

Buradan,

Q.E.D.

Koordinat düzleminde bir dairenin denklemi

Oxy koordinat düzleminde (Şekil 7), R yarıçaplı, merkezi bu noktada olan bir daire düşünelim. A 0 (X 0 ;sen 0) .

Birim numarası çemberini koordinat düzlemine yerleştirirseniz noktalarının koordinatlarını bulabilirsiniz. Sayı çemberi, merkezi düzlemin orijiniyle, yani O (0; 0) noktasıyla çakışacak şekilde konumlandırılır.

Genellikle birim numaralı daire üzerinde dairenin kökenine karşılık gelen noktalar işaretlenir

• çeyrekler - 0 veya 2π, π/2, π, (2π)/3,
• orta çeyrekler - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• çeyreğin üçte biri - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Koordinat düzleminde, birim çemberin yukarıdaki konumu ile çemberin bu noktalarına karşılık gelen koordinatları bulabilirsiniz.

Çeyreklerin uçlarının koordinatlarını bulmak çok kolaydır. Çemberin 0 noktasında x koordinatı 1, y koordinatı 0'dır. A(0) = A(1;0) şeklinde gösterebiliriz.

İlk çeyreğin sonu pozitif y ekseninde yer alacaktır. Bu nedenle B (π/2) = B (0; 1).

İkinci çeyreğin sonu negatif yarı eksendedir: C (π) = C (-1; 0).

Üçüncü çeyreğin sonu: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Peki çeyreklerin orta noktalarının koordinatları nasıl bulunur? Bunun için inşa ediyorlar dik üçgen. Hipotenüsü, dairenin merkezinden (veya orijininden) çeyrek dairenin orta noktasına kadar olan bir segmenttir. Bu dairenin yarıçapıdır. Daire birim olduğundan hipotenüs 1'e eşittir. Daha sonra daire üzerindeki bir noktadan herhangi bir eksene dik bir çizin. x eksenine doğru olsun. Sonuç, bacaklarının uzunlukları daire üzerindeki noktanın x ve y koordinatlarına eşit olan bir dik üçgendir.

Çeyrek daire 90°'dir. Ve çeyrekliğin yarısı 45°'dir. Hipotenüs çeyreğin orta noktasına çizildiği için hipotenüs ile orijinden uzanan kenar arasındaki açı 45° olur. Ancak herhangi bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir. Sonuç olarak hipotenüs ile diğer kenar arasındaki açı da 45° kalır. Bunun sonucunda ikizkenar dik üçgen elde edilir.

Pisagor teoreminden x 2 + y 2 = 1 2 denklemini elde ederiz. x = y ve 1 2 = 1 olduğundan, denklem x 2 + x 2 = 1 şeklinde sadeleşir. Çözdüğümüzde x = √½ = 1/√2 = √2/2 elde ederiz.

Böylece M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2) noktasının koordinatları elde edilir.

Diğer çeyreklerin orta noktalarının noktalarının koordinatlarında sadece işaretler değişecek ve sağ üçgen sadece ters çevrileceğinden değerlerin modülleri aynı kalacaktır. Şunu elde ederiz:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)

Bir dairenin çeyreklerinin üçüncü bölümlerinin koordinatlarını belirlerken aynı zamanda bir dik üçgen de oluşturulur. π/6 noktasını alıp x eksenine dik çizersek, hipotenüs ile x ekseni üzerinde bulunan kenar arasındaki açı 30° olacaktır. 30 derecelik bir açıyla karşı karşıya uzanan bacağın hipotenüsün yarısına eşit olduğu bilinmektedir. Bu, y koordinatını bulduğumuz anlamına gelir, ½'ye eşittir.

Hipotenüsün ve kenarlardan birinin uzunluğunu bildiğimizde, Pisagor teoremini kullanarak diğer kenarı buluruz:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Böylece T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

İlk çeyreğin ikinci üçte biri noktası için (π/3), y eksenine dik bir eksen çizmek daha iyidir. O zaman orijindeki açı da 30° olacaktır. Burada x koordinatı sırasıyla ½ ve y'ye eşit olacaktır, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Üçüncü çeyreğin diğer noktaları için koordinat değerlerinin işaretleri ve sırası değişecektir. X eksenine yakın olan tüm noktalar √3/2'ye eşit bir modül x koordinat değerine sahip olacaktır. Y eksenine daha yakın olan noktalar √3/2'ye eşit bir y modülü değerine sahip olacaktır.
T3 ((2π)/3) = T3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)