Mantıksal denklem nedir? Mantık

Sistem çözümü mantıksal denklemler değişken değiştirme yöntemi

Değişkenlerin ikame yöntemi, bazı değişkenlerin denklemlere yalnızca belirli bir ifade biçiminde dahil edilmesi ve başka hiçbir şey içermemesi durumunda kullanılır. Daha sonra bu ifade yeni bir değişkenle gösterilebilir.

Örnek 1.

Aşağıda listelenen tüm koşulları karşılayan x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 mantıksal değişkenlerinin kaç farklı değer kümesi vardır?

(x1 → x2) → (x3→ x4) = 1

(x3 → x4) → (x5 → x6) = 1

(x5 → x6) → (x7 → x8) = 1

Cevabın, bu eşitlik sisteminin karşıladığı x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 değişkenlerinin tüm farklı değer kümelerini listelemesi gerekmez. Cevap olarak bu tür setlerin sayısını belirtmeniz gerekiyor.

Çözüm:

(x1 → x2) = y1; (x3 → x4) = y2; (x5 → x6) = y3; (x7 → x8) = y4.

O zaman sistemi tek bir denklem şeklinde yazabiliriz:

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. Her işlenen 1 değerini aldığında bağlaç 1'dir (doğru). sonuçların her biri doğru olmalıdır ve bu, (1 → 0) dışındaki tüm değerler için doğrudur. Onlar. y1, y2, y3, y4 değişkenlerinin değerleri tablosunda sıfırın solunda olmamalıdır:

Onlar. koşullar 5 set y1-y4 için karşılanmıştır.

Çünkü y1 = x1 → x2 ise, y1 = 0 değerine tek bir x1, x2: (1, 0) kümesinde ulaşılır ve y1 = 1 değeri – üç x1, x2: (0,0) , (0 kümesinde) elde edilir ,1), (1.1). Aynı şekilde y2, y3, y4 için de.

y1 değişkenine ait her küme (x1,x2), y2 değişkenine ait her kümeyle (x3,x4) birleştirildiği için, x değişkenlerinin küme sayıları çarpılır:

Küme sayısını toplayalım: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.

Cevap: 121

Örnek 2.

Aşağıda listelenen tüm koşulları karşılayan x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9 mantıksal değişkenlerinin kaç farklı değer kümesi vardır?

(¬ (x1 ≡ y1)) ≡ (x2 ≡ y2)

(¬ (x2 ≡ y2)) ≡ (x3 ≡ y3)

(¬ (x8 ≡ y8)) ≡ (x9 ≡ y9)

Cevap olarak gerek yok x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9 değişkenlerinin tüm farklı değer kümelerini listeleyin; bu sistem eşittir Cevap olarak bu tür setlerin sayısını belirtmeniz gerekiyor.

Çözüm:

Değişkenlerde değişiklik yapalım:

(x1 ≡ y1) = z1, (x2 ≡ y2) = z2,…. ,(x9 ≡ y9) = z9

Sistem tek bir denklem olarak yazılabilir:

(¬ z1 ≡ z2) ∧ (¬ z2 ≡ z3) ∧ …..∧ (¬ z8 ≡ z9)

Eşdeğerlik yalnızca her iki işlenenin eşit olması durumunda doğrudur. Bu denklemin iki çözüm kümesi vardır:

Çünkü zi = (xi ≡ yi), bu durumda zi = 0 değeri iki (xi,yi) kümesine karşılık gelir: (0,1) ve (1,0) ve zi = 1 değeri iki kümeye (xi,yi) karşılık gelir ): (0 ,0) ve (1,1).

O halde ilk z1, z2,…, z9 kümesi 2 9 kümeye (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9) karşılık gelir.

Aynı sayı ikinci küme z1, z2,…, z9'a karşılık gelir. O halde toplam 2 9 +2 9 = 1024 küme vardır.

Cevap: 1024

Özyinelemenin görsel olarak belirlenmesi yöntemini kullanarak mantıksal denklem sistemlerini çözme.

Bu yöntem, denklem sisteminin oldukça basit olması ve değişkenleri eklerken küme sayısını artırma sırasının açık olması durumunda kullanılır.

Örnek 3.

Denklem sisteminin kaç farklı çözümü vardır?

¬x9 ∨ x10 = 1,

burada x1, x2, … x10 mantıksal değişkenlerdir?

Cevabın, bu eşitlik sisteminin karşılandığı tüm farklı x1, x2, ... x10 değer kümelerini listelemesi gerekmez. Cevap olarak bu tür setlerin sayısını belirtmeniz gerekiyor.

Çözüm:

İlk denklemi çözelim. Bir ayrıklığın işlenenlerinden en az biri 1'e eşitse 1'e eşittir. çözümler kümelerdir:

x1=0 için, x2'nin iki değeri (0 ve 1) vardır ve x1=1 için yalnızca bir x2 (1) değeri vardır, öyle ki (x1,x2) kümesi denklemin bir çözümüdür . Toplamda 3 set bulunmaktadır.

x3 değişkenini toplayalım ve ikinci denklemi ele alalım. İlkine benzer, yani x2=0 için x3'ün iki değeri (0 ve 1) vardır ve x2=1 için yalnızca bir x3 (1) değeri vardır, öyle ki (x2) kümesi ,x3) denklemin bir çözümüdür. Toplamda 4 set bulunmaktadır.

Başka bir değişken eklerken bir kümenin eklendiğini görmek kolaydır. Onlar. (i+1) değişken kümelerinin sayısı için yinelemeli formül:

N i +1 = N i + 1. O zaman on değişken için 11 küme elde ederiz.

Cevap: 11

Çeşitli türlerdeki mantıksal denklem sistemlerini çözme

Örnek 4.

Aşağıda listelenen tüm koşulları karşılayan x 1, ..., x 4, y 1,..., y 4, z 1,..., z 4 mantıksal değişkenlerinin kaç farklı değer kümesi vardır? ?

(x 1 → x 2) ∧ (x 2 → x 3) ∧ (x 3 → x 4) = 1

(y 1 → y 2) ∧ (y 2 → y 3) ∧ (y 3 → y 4) = 1

(z 1 → z 2) ∧ (z 2 → z 3) ∧ (z 3 → z 4) = 1

x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0

Cevap olarak gerek yok Bu eşitlik sisteminin karşılandığı x 1, ..., x 4, y 1, ..., y 4, z 1, ..., z 4 değişkenlerinin tüm farklı değer kümelerini listeleyin.

Cevap olarak bu tür setlerin sayısını belirtmeniz gerekiyor.

Çözüm:

Sistemin üç denkleminin farklı bağımsız değişken kümelerinde aynı olduğuna dikkat edin.

İlk denkleme bakalım. Bir bağlaç ancak tüm işlenenleri doğruysa (1'e eşit) doğrudur (1'e eşit). Bu çıkarım (1,0) dışındaki tüm demetlerde 1'dir. Bu, ilk denklemin çözümünün, 1'in 0'ın solunda yer almadığı aşağıdaki x1, x2, x3, x4 kümeleri olacağı anlamına gelir (5 küme):

Benzer şekilde, ikinci ve üçüncü denklemlerin çözümleri kesinlikle aynı y1,…,y4 ve z1,…, z4 kümeleri olacaktır.

Şimdi sistemin dördüncü denklemini analiz edelim: x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0. Çözüm, değişkenlerden en az birinin 0'a eşit olduğu tüm x4, y4, z4 kümeleri olacaktır.

Onlar. x4 = 0 için tüm olası kümeler (y4, z4) uygundur ve x4 = 1 için, içinde en az bir sıfırın bulunduğu (y4, z4) kümeleri uygundur: (0, 0), (0,1) ), (1, 0).

Toplam set sayısı 25 + 4*9 = 25 + 36 = 61'dir.

Cevap: 61

Tekrarlayan formüller oluşturarak mantıksal denklem sistemlerini çözme

Tekrarlayan formüller oluşturma yöntemi, küme sayısını artırma sırasının belli olmadığı ve hacimler nedeniyle bir ağaç oluşturmanın imkansız olduğu karmaşık sistemleri çözerken kullanılır.

Örnek 5.

Aşağıda listelenen tüm koşulları karşılayan x1, x2, ... x7, y1, y2, ... y7 mantıksal değişkenlerinin kaç farklı değer kümesi vardır?

(x1 ∨ y1) ∧ ((x2 ∧ y2) → (x1 ∧ y1)) = 1

(x2 ∨ y2) ∧ ((x3 ∧ y3) → (x2 ∧ y2)) = 1

(x6 ∨ y6) ∧ ((x7 ∧ y7) → (x6 ∧ y6)) = 1

Cevapta, bu eşitlik sisteminin karşılandığı x1, x2, ..., x7, y1, y2, ..., y7 değişkenlerinin tüm farklı değer kümelerinin listelenmesine gerek yoktur. Cevap olarak bu tür setlerin sayısını belirtmeniz gerekiyor.

Çözüm:

Sistemin ilk altı denkleminin aynı olduğuna ve yalnızca değişkenler kümesinde farklı olduğuna dikkat edin. İlk denkleme bakalım. Çözümü aşağıdaki değişken kümeleri olacaktır:

Şunu belirtelim:

(x1,y1)'den A 1'e kadar değişkenlerdeki tuple sayısı (0,0),

(x1,y1)'den B 1'e kadar değişkenlerdeki tuple sayısı (0,1),

(x1,y1)'den C 1'e kadar değişkenlerdeki tuple sayısı (1,0),

(x1,y1) ile D 1 arasındaki değişkenlerdeki (1,1) dizilerinin sayısı.

(x2,y2) ile A 2 arasındaki değişkenlerdeki tuple sayısı (0,0),

(x2,y2)'den B 2'ye kadar değişkenlerdeki tuple sayısı (0,1),

(x2,y2)'den C2'ye kadar değişkenlerdeki tuple sayısı (1,0),

(x2,y2)'den D 2'ye kadar değişkenlerdeki (1,1) demetlerinin sayısı.

Karar ağacından şunu görüyoruz

A 1 =0, B 1 =1, C 1 =1, D 1 =1.

(x2,y2) değişkenleri üzerindeki (0,0) kümesinin, (x1,y1) değişkenleri üzerindeki (0,1), (1,0) ve (1,1) kümelerinden elde edildiğine dikkat edin. Onlar. A 2 =B 1 +C 1 +D 1.

(x2,y2) değişkenleri üzerindeki (0,1) kümesi, (x1,y1) değişkenleri üzerindeki (0,1), (1,0) ve (1,1) kümelerinden elde edilir. Onlar. B 2 =B 1 +C 1 +D 1.

Benzer şekilde tartışarak C 2 =B 1 +C 1 +D 1 olduğunu görüyoruz. D2 = D1.

Böylece tekrarlayan formüller elde ederiz:

A i+1 = B ben + C ben + D ben

B ben+1 = B ben + C ben + D ben

C ben+1 = B ben + C ben + D ben

D ben+1 = A ben +B ben + C ben + D ben

Hadi bir masa yapalım

Son denklem (x7 ∨ y7) = 1, x7=0 ve y7=0 dışındaki tüm kümeler tarafından sağlanır. Tablomuzda bu tür setlerin sayısı A 7'dir.

O halde toplam küme sayısı B 7 + C 7 + D 7 = 127+127+1 = 255

Cevap: 255

Mantıksal denklem sistemlerini çözme yöntemleri

Kırgizova E.V., Nemkova A.E.

Lesosibirsk Pedagoji Enstitüsü –

Sibirya şubesi federal üniversite, Rusya

Tutarlı düşünme, ikna edici akıl yürütme, hipotezler kurma ve olumsuz sonuçları çürütme yeteneği kendi başına gelmez; bu beceri mantık bilimi tarafından geliştirilmiştir. Mantık, bazı ifadelerin doğruluğunu veya yanlışlığını, diğer ifadelerin doğruluğu veya yanlışlığı temelinde tespit etmeye yönelik yöntemleri inceleyen bir bilimdir.

Mantıksal problemleri çözmeden bu bilimin temellerine hakim olmak imkansızdır. Kişinin bilgisini yeni bir durumda uygulamaya yönelik becerilerin gelişiminin test edilmesi, geçerek gerçekleştirilir. Özellikle bu karar verme yeteneğidir. mantık problemleri. Birleşik Devlet Sınavındaki B15 Görevleri, mantıksal denklem sistemleri içerdikleri için artan karmaşıklığa sahip görevlerdir. Mantıksal denklem sistemlerini çözmenin çeşitli yolları vardır. Bu, bir denkleme indirgeme, doğruluk tablosu oluşturma, ayrıştırma, denklemlerin sıralı çözümü vb.'dir.

Görev:Bir mantıksal denklem sistemini çözün:

Hadi düşünelim bir denkleme indirgeme yöntemi . Bu yöntem, mantıksal denklemlerin, sağ tarafları doğruluk değerine (yani 1) eşit olacak şekilde dönüştürülmesini içerir. Bunu yapmak için mantıksal olumsuzlama işlemini kullanın. Daha sonra, denklemler karmaşık mantıksal işlemler içeriyorsa, bunları temel olanlarla değiştiririz: "VE", "VEYA", "DEĞİL". Bir sonraki adım, “VE” mantıksal işlemini kullanarak denklemleri sisteme eşdeğer bir şekilde birleştirmektir. Bundan sonra ortaya çıkan denklemi mantıksal cebir yasalarına göre dönüştürüp elde etmelisiniz. özel çözüm sistemler.

Çözüm 1:İlk denklemin her iki tarafına ters çevirme uygulayın:

“VEYA” ve “DEĞİL” temel işlemleri aracılığıyla bunun ne anlama geldiğini hayal edelim:

Denklemlerin sol tarafları 1'e eşit olduğundan, bunları "VE" işlemini kullanarak orijinal sisteme eşdeğer bir denklemde birleştirebiliriz:

İlk parantezi De Morgan yasasına göre açıyoruz ve elde edilen sonucu dönüştürüyoruz:

Ortaya çıkan denklemin bir çözümü vardır: bir= 0, B =0 ve C =1.

Bir sonraki yöntem doğruluk tabloları oluşturma . Mantıksal niceliklerin yalnızca iki değeri olduğundan, tüm seçenekleri gözden geçirebilir ve aralarında belirli bir denklem sisteminin karşılandığı seçenekleri bulabilirsiniz. Yani sistemin tüm denklemleri için ortak bir doğruluk tablosu oluşturuyoruz ve gerekli değerleri içeren bir doğru buluyoruz.

Çözüm 2:Sistem için bir doğruluk tablosu oluşturalım:

Görev koşullarının karşılandığı satır kalın harflerle vurgulanmıştır. Yani A =0, B =0 ve C =1.

Yol ayrışma . Buradaki fikir, değişkenlerden birinin değerini sabitlemek (bunu 0 veya 1'e eşitlemek) ve böylece denklemleri basitleştirmektir. Daha sonra ikinci değişkenin değerini düzeltebilirsiniz, vb.

Çözüm 3:İzin vermek A = 0 ise:

Elde ettiğimiz ilk denklemden B =0 ve ikinciden itibaren – C=1. Sistemin çözümü: A = 0, B = 0 ve C = 1.

Yöntemi de kullanabilirsiniz Denklemlerin sıralı çözümü , her adımda, söz konusu kümeye bir değişken eklenir. Bunu yapmak için denklemleri, değişkenler alfabetik sıraya göre girilecek şekilde dönüştürmek gerekir. Daha sonra değişkenleri sırayla ekleyerek bir karar ağacı oluşturuyoruz.

Sistemin ilk denklemi yalnızca A ve B'ye, ikinci denklemi ise A ve C'ye bağlıdır. A değişkeni 0 ve 1 olmak üzere 2 değer alabilir:

İlk denklemden şu sonuç çıkıyor , Öyleyse ne zaman A = 0 ve B = 0 elde ederiz ve A = 1 için B = 1 elde ederiz. Dolayısıyla ilk denklemin A ve B değişkenlerine göre iki çözümü vardır.

Her seçenek için C değerlerini belirlediğimiz ikinci denklemi tasvir edelim. A =1 olduğunda sonuç yanlış olamaz, yani ağacın ikinci dalının çözümü yoktur. Şu tarihte: bir= 0 tek çözümü buluyoruz C= 1 :

Böylece sistemin çözümünü elde ettik: A = 0, B = 0 ve C = 1.

Bilgisayar bilimlerindeki Birleşik Devlet Sınavında, çoğu zaman bir mantıksal denklem sisteminin çözüm sayısını, çözümleri kendileri bulmadan belirlemek gerekir; bunun için de belirli yöntemler vardır. Bir mantıksal denklem sisteminin çözüm sayısını bulmanın ana yolu değişkenleri değiştirmek. Öncelikle denklemlerin her birini mantıksal cebir yasalarına göre mümkün olduğunca basitleştirmeniz, ardından denklemlerin karmaşık kısımlarını yeni değişkenlerle değiştirip çözüm sayısını belirlemeniz gerekir. yeni sistem. Daha sonra değiştirme işlemine geri dönün ve bunun için çözüm sayısını belirleyin.

Görev:Denklemin kaç çözümü var ( bir → B ) + (C → D ) = 1? A, B, C, D mantıksal değişkenlerdir.

Çözüm:Yeni değişkenleri tanıtalım: X = A → B ve Y = C → D . Yeni değişkenler dikkate alınarak denklem şu şekilde yazılacaktır: X + Y = 1.

Ayrışma üç durumda doğrudur: (0;1), (1;0) ve (1;1) X ve Y bir imadır, yani üç durumda doğru, birinde yanlıştır. Bu nedenle (0;1) durumu üç olası parametre kombinasyonuna karşılık gelecektir. Durum (1;1) – orijinal denklemin dokuz olası parametre kombinasyonuna karşılık gelecektir. Yani toplam Muhtemel çözümler bu denklemin 3+9=15.

Bir mantıksal denklem sisteminin çözüm sayısını belirlemenin bir sonraki yolu şudur: ikili ağaç. Hadi düşünelim Bu methodÖrneğin.

Görev:Mantıksal denklem sisteminin kaç farklı çözümü vardır:

Verilen denklem sistemi aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:

( X 1 → X 2 )*( X 2 → X 3 )*…*( x m -1 → x m) = 1.

Öyleymiş gibi yapalımX 1 – doğruysa, ilk denklemden bunu elde ederizX 2 ikincisinden itibaren de doğru -X 3 =1 ve bu şekilde devam edene kadar x m= 1. Yani (1; 1; …; 1) kümesi M birimler sistemin çözümüdür. Şimdi izin verX 1 =0 ise elimizdeki ilk denklemdenX 2 =0 veya X 2 =1.

Ne zaman X 2 doğruysa, geri kalan değişkenlerin de doğru olduğunu, yani (0; 1; ...; 1) kümesinin sistemin bir çözümü olduğunu elde ederiz. Şu tarihte:X 2 =0 bunu anladık X 3 =0 veya X 3 = vb. Son değişkene devam edersek, denklemin çözümlerinin aşağıdaki değişken kümeleri olduğunu görüyoruz ( M +1 çözüm, her çözümde M değişken değerler):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Bu yaklaşım, bir ikili ağaç oluşturularak iyi bir şekilde gösterilmiştir. Olası çözümlerin sayısı, oluşturulan ağacın farklı dallarının sayısıdır. Eşit olduğunu görmek kolaydır m +1.

Akıl yürütmede ve karar ağacı oluşturmada zorluklar olması durumunda, kullanarak bir çözüm arayabilirsiniz. doğruluk tabloları, bir veya iki denklem için.

Denklem sistemini şu şekilde yeniden yazalım:

Ve bir denklem için ayrı ayrı doğruluk tablosu oluşturalım:

İki denklem için doğruluk tablosu oluşturalım:

Daha sonra, aşağıdaki üç durumda bir denklemin doğru olduğunu görebilirsiniz: (0; 0), (0; 1), (1; 1). İki denklemden oluşan bir sistem dört durumda doğrudur (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1). Bu durumda sadece sıfır ve daha fazlasından oluşan bir çözümün olduğu hemen anlaşılır. M Son konumdan başlayarak mümkün olan tüm yerler dolduruluncaya kadar her seferinde bir birimin eklendiği çözümler. Öyle varsayılabilir ki ortak karar aynı forma sahip olacaktır ancak bu yaklaşımın çözüm olabilmesi için varsayımın doğru olduğunun kanıtlanması gerekmektedir.

Yukarıdakilerin hepsini özetlemek gerekirse, tartışılan yöntemlerin hepsinin evrensel olmadığı gerçeğine dikkatinizi çekmek isterim. Her mantıksal denklem sistemini çözerken, çözüm yönteminin seçilmesi gereken özellikleri dikkate alınmalıdır.

Edebiyat:

1. Mantıksal problemler / O.B. Bogomolov – 2. baskı. – M.: BİNOM. Bilgi Laboratuvarı, 2006. – 271 s.: hasta.

2. Polyakov K.Yu. Mantıksal denklem sistemleri / Bilgisayar bilimleri öğretmenleri için eğitimsel ve metodolojik gazete: Bilişim No. 14, 2011.

Ders konusu: Mantık Denklemlerini Çözme

Gelişimsel - Öğrencilerin bilişsel ilgilerinin gelişmesi için koşullar yaratmak, hafızanın, dikkatin gelişimini teşvik etmek, mantıksal düşünme;

eğitici : Başkalarının fikirlerini dinleme yeteneğini geliştirmek, Nihai sonuçlara ulaşmak için irade ve azmi beslemek.

Ders türü: birleşik ders

Teçhizat: bilgisayar, multimedya projektörü, sunum 6.

Dersler sırasında

Temel bilgilerin tekrarı ve güncellenmesi. Sınav Ev ödevi(10 dakika)

Önceki derslerde mantıksal cebirin temel yasalarıyla tanıştık ve bu yasaları mantıksal ifadeleri basitleştirmek için kullanmayı öğrendik.

Mantıksal ifadeleri basitleştirmeye ilişkin ödevimize bir göz atalım:

1. Aşağıdaki kelimelerden hangisi mantıksal koşulu karşılıyor:

(ilk harf ünsüz → ikinci harf ünsüz)٨ (son harf sesli harfi → sondan bir önceki sesli harf)? Bu tür birkaç kelime varsa, bunlardan en küçüğünü belirtin.

1) ANNA 2) MARIA 3) OLEG 4) STEPAN

Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:

A – ilk harf ünsüz

B – ikinci harf ünsüz

S – son harf sesli harfi

D – sondan bir önceki sesli harf

Bir ifade yapalım:

Bir tablo yapalım:

2. Hangi mantıksal ifadenin ifadeye eşdeğer olduğunu belirtin

Orijinal ifadenin ve önerilen seçeneklerin kaydını basitleştirelim:

3. F ifadesinin doğruluk tablosunun bir parçası verildiğinde:

Bu ifadelerin değerlerini şu şekilde belirleyelim: belirtilen değerler argümanlar:

Dersin konusuna giriş, yeni materyallerin sunumu (30 dakika)

Mantığın temellerini incelemeye devam ediyoruz ve bugünkü dersimizin konusu “Mantıksal Denklemleri Çözmek”. Bu konuyu inceledikten sonra mantıksal denklemleri çözmenin temel yollarını öğrenecek, mantıksal cebir dilini kullanarak bu denklemleri çözme becerisini ve doğruluk tablosu kullanarak mantıksal bir ifade oluşturma becerisini kazanacaksınız.

1. Bir mantık denklemini çözün

(¬K M) → (¬L M N) =0

Cevabınızı dört karakterden oluşan bir dize olarak yazın: K, L, M ve N değişkenlerinin değerleri (bu sırayla). Yani örneğin 1101 satırı K=1, L=1, M=0, N=1 gerçeğine karşılık gelir.

Çözüm:

İfadeyi dönüştürelim(¬K  M) → (¬L  M  N)

Her iki terim de yanlış olduğunda bir ifade yanlıştır. M =0, N =0, L =1 ise ikinci terim 0'a eşittir. İlk terimde K = 0, çünkü M = 0 ve
.

Cevap: 0100

2. Denklemin kaç çözümü var (cevabınızda yalnızca sayıyı belirtin)?

Çözüm: ifadeyi dönüştürün

(A +B )*(C +D )=1

A +B =1 ve C +D =1

Yöntem 2: doğruluk tablosunun hazırlanması

Bağlaçların ayrıklığını elde etmek için orijinal ifadeyi dönüştürelim, parantezleri açalım:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

Tam bağlaçlara (tüm argümanların çarpımı) bağlaçları ekleyelim, parantezleri açalım:

Aynı bağlaçları dikkate alalım:

Sonuç olarak 9 bağlaç içeren bir SDNF elde ediyoruz. Bu nedenle, bu fonksiyonun doğruluk tablosu, 2 4 =16 değişken değer kümesinden oluşan 9 satırda 1 değerine sahiptir.

3. Denklemin kaç çözümü var (cevabınızda yalnızca sayıyı belirtin)?

İfadeyi basitleştirelim:

,

3 yollu: SDNF'nin inşası

Aynı bağlaçları dikkate alalım:

Sonuç olarak 5 bağlaç içeren bir SDNF elde ediyoruz. Bu nedenle, bu fonksiyonun doğruluk tablosu, 2 4 = 16 değişken değer kümesinden oluşan 5 satırda 1 değerine sahiptir.

Doğruluk tablosu kullanarak mantıksal bir ifade oluşturmak:

doğruluk tablosunun 1 içeren her satırı için argümanların bir çarpımını oluşturuyoruz ve 0'a eşit değişkenler olumsuzlama ile çarpıma dahil ediliyor ve 1'e eşit değişkenler olumsuzlama olmadan dahil ediliyor. İstenilen F ifadesi, elde edilen ürünlerin toplamından oluşacaktır. Daha sonra mümkünse bu ifadenin basitleştirilmesi gerekir.

Örnek: Bir ifadenin doğruluk tablosu verilmiştir. Mantıksal bir ifade oluşturun.

3. Ödev (5 dakika)

Denklemi çözün:

Denklemin kaç çözümü var (cevabınızda yalnızca sayıyı belirtin)?

Verilen bir doğruluk tablosunu kullanarak mantıksal bir ifade oluşturun ve

basitleştirin.

Denklemlerin kullanımı hayatımızda oldukça yaygındır. Birçok hesaplamada, yapı yapımında ve hatta sporda kullanılırlar. İnsanoğlu denklemleri eski zamanlarda kullandı ve o zamandan beri kullanımları daha da arttı. Matematikte önermeler mantığıyla ilgili bazı problemler vardır. Bu tür bir denklemi çözmek için belirli miktarda bilgiye sahip olmanız gerekir: önerme mantığı yasaları bilgisi, 1 veya 2 değişkenli mantıksal fonksiyonların doğruluk tabloları bilgisi, mantıksal ifadeleri dönüştürme yöntemleri. Ayrıca mantıksal işlemlerin şu özelliklerini de bilmeniz gerekir: bağlaç, ayırma, ters çevirme, ima ve eşdeğerlik.

\değişkenler - \'nin herhangi bir mantıksal işlevi bir doğruluk tablosuyla belirtilebilir.

Birkaç mantıksal denklemi çözelim:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

Çözüme \[X1\] ile başlayalım ve bu değişkenin hangi değerleri alabileceğini belirleyelim: 0 ve 1. Daha sonra yukarıdaki değerlerin her birini dikkate alıp \[X2.\]'nin ne olabileceğini göreceğiz.

Tablodan da görülebileceği gibi mantıksal denklemimizin 11 çözümü vardır.

Bir mantık denklemini çevrimiçi olarak nerede çözebilirim?

Denklemi https://sitemizden çözebilirsiniz. Ücretsiz bir çevrimiçi çözücü, denklemi çözmenize olanak tanır çevrimiçi herhangi biri saniyeler içinde karmaşıklık. Tek yapmanız gereken, verilerinizi çözücüye girmenizdir. Ayrıca web sitemizde video talimatlarını izleyebilir ve denklemin nasıl çözüleceğini öğrenebilirsiniz. Hala sorularınız varsa, bunları http://vk.com/pocketteacher VKontakte grubumuzda sorabilirsiniz. Grubumuza katılın, size yardımcı olmaktan her zaman mutluluk duyarız.

n değişkenli mantıksal bir fonksiyon olsun. Mantıksal denklem şuna benzer:

C sabiti 1 veya 0 değerine sahiptir.

Mantıksal bir denklem 0 ila 0 arasında değişebilir çeşitli çözümler. Eğer C 1'e eşitse, çözümler F fonksiyonunun doğru (1) değerini aldığı doğruluk tablosundaki tüm değişken kümeleridir. Geriye kalan kümeler C'nin sıfıra eşit olduğu denklemin çözümleridir. Her zaman yalnızca formun denklemlerini düşünebilirsiniz:

Aslında denklem şu şekilde verilsin:

Bu durumda eşdeğer denkleme gidebiliriz:

k mantıksal denklemden oluşan bir sistem düşünün:

Bir sistemin çözümü, sistemin tüm denklemlerinin karşılandığı bir dizi değişkendir. Mantıksal fonksiyonlar açısından, bir mantıksal denklemler sisteminin çözümünü elde etmek için, orijinal fonksiyonların birleşimini temsil eden, mantıksal F fonksiyonunun doğru olduğu bir küme bulunmalıdır:

Değişken sayısı küçükse, örneğin 5'ten azsa, o zaman fonksiyon için bir doğruluk tablosu oluşturmak zor değildir; bu, sistemin kaç çözüme sahip olduğunu ve çözüm sağlayan kümelerin neler olduğunu söylememize olanak tanır.

Bazılarında Birleşik Devlet Sınavı sorunları Bir mantıksal denklem sistemine çözüm bulmak için değişken sayısı 10'a ulaşır. O zaman doğruluk tablosu oluşturmak neredeyse imkansız bir iş haline gelir. Sorunu çözmek farklı bir yaklaşım gerektirir. Keyfi bir denklem sistemi için genel yöntem Bu tür sorunların çözülmesine olanak sağlayan kaba kuvvetten farklıdır.

Sınavda önerilen problemlerde çözüm genellikle denklem sisteminin özelliklerinin dikkate alınmasına dayanır. Tekrar ediyorum, bir dizi değişken için tüm seçenekleri denemek dışında sorunu çözmenin genel bir yolu yok. Çözüm sistemin özelliklerine göre oluşturulmalıdır. Bilinen mantık yasalarını kullanarak bir denklem sisteminin ön basitleştirmesini gerçekleştirmek genellikle faydalıdır. Bu sorunu çözmek için başka bir yararlı teknik aşağıdaki gibidir. Tüm kümelerle değil, yalnızca fonksiyonun 1 değerine sahip olduğu kümelerle ilgileniyoruz. Tam bir doğruluk tablosu oluşturmak yerine, onun analogunu (ikili karar ağacı) oluşturacağız. Bu ağacın her dalı bir çözüme karşılık gelir ve fonksiyonun 1 değerine sahip olduğu bir kümeyi belirtir. Karar ağacındaki dalların sayısı, denklem sisteminin çözümlerinin sayısıyla örtüşür.

İkili karar ağacının ne olduğunu ve nasıl oluşturulduğunu çeşitli problemlerden örnekler kullanarak açıklayacağım.

Sorun 18

İki denklem sistemini karşılayan x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 mantıksal değişkenlerinin kaç farklı değer kümesi vardır?

Cevap: Sistemin 36 farklı çözümü vardır.

Çözüm: Denklem sistemi iki denklem içerir. 5 değişkene bağlı olarak ilk denklemin çözüm sayısını bulalım - . İlk denklem 5 denklemden oluşan bir sistem olarak düşünülebilir. Gösterildiği gibi, denklem sistemi aslında mantıksal fonksiyonların birleşimini temsil eder. Tersi ifade de doğrudur; koşulların birleşimi bir denklem sistemi olarak düşünülebilir.

İlk denklem olarak kabul edilebilecek bağlacın ilk terimi olan () sonucunu çıkarmak için bir karar ağacı oluşturalım. Bu ağacın grafiksel temsili böyle görünüyor

Ağaç, denklemdeki değişken sayısına göre iki seviyeden oluşur. Birinci düzey ilk değişkeni tanımlar. Bu düzeyin iki dalı, bu değişkenin olası değerlerini yansıtır - 1 ve 0. İkinci düzeyde, ağacın dalları yalnızca denklemin doğru olarak değerlendirdiği değişkenin olası değerlerini yansıtır. Denklem bir çıkarımı belirttiğinden, 1 değerine sahip bir dal, bu dalda 1 değerinin olmasını gerektirir. 0 değerine sahip bir dal, 0 ve 1 değerlerine sahip iki dal üretir. ağaç, anlamı 1 değerini alan üç çözümü belirtir. Her dalda, denklemin çözümünü veren karşılık gelen bir değişken değerleri kümesi yazılır.

Bu kümeler şunlardır: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

Aşağıdaki denklemi ve aşağıdaki çıkarımı ekleyerek karar ağacını oluşturmaya devam edelim. Denklem sistemimizin özelliği, sistemin her yeni denkleminin önceki denklemden bir değişken kullanması ve yeni bir değişken eklemesidir. Değişken ağaçta zaten değerlere sahip olduğundan değişkenin 1 değerine sahip olduğu tüm dallarda değişken de 1 değerine sahip olacaktır. Bu tür dallar için ağacın yapımı bir sonraki seviyeye devam eder, ancak yeni şubeler görünmüyor. Bir değişkenin 0 değerine sahip olduğu tek bir dal, değişkenin 0 ve 1 değerlerini alacağı iki dallara ayrılacaktır. Böylece, yeni bir denklemin kendine özgülüğü göz önüne alındığında her eklenmesi bir çözüm ekler. Orijinal ilk denklem:

6 çözümü var. Bu denklemin tam karar ağacı şöyle görünür:

Sistemimizin ikinci denklemi birinciye benzer:

Tek fark denklemde Y değişkenleri kullanılıyor.Bu denklemin de 6 çözümü var. Her değişken çözüm her değişken çözümle birleştirilebildiğinden, o zaman toplam sayısı 36 çözüm var.

Oluşturulan karar ağacının yalnızca çözüm sayısını (dal sayısına göre) değil, aynı zamanda ağacın her dalına yazılan çözümlerin kendisini de verdiğini lütfen unutmayın.

Sorun 19

Aşağıda listelenen tüm koşulları karşılayan x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 mantıksal değişkenlerinin kaç farklı değer kümesi vardır?

Bu görev önceki görevin değiştirilmiş halidir. Aradaki fark, X ve Y değişkenlerini ilişkilendiren başka bir denklemin eklenmesidir.

Denklemden, değeri 1 olduğunda (böyle bir çözüm mevcut), o zaman 1 değerine sahip olduğu sonucu çıkar. Dolayısıyla, üzerinde değerleri 1 olan bir küme vardır. 0'a eşit olduğunda, hem 0 hem de 1 herhangi bir değeri vardır. Bu nedenle, 0'a eşit olan her küme ve bu tür 5 küme vardır, Y değişkenli 6 kümenin tümüne karşılık gelir. Bu nedenle toplam çözüm sayısı 31'dir.

Sorun 20

Çözüm: Temel denklikleri hatırlayarak denklemimizi şu şekilde yazıyoruz:

Döngüsel çıkarımlar zinciri, değişkenlerin aynı olduğu anlamına gelir, dolayısıyla denklemimiz şu denkleme eşdeğerdir:

Bu denklemin, tümü 1 veya 0 olduğunda iki çözümü vardır.

Sorun 21

Denklemin kaç çözümü var:

Çözüm: Tıpkı 20. problemde olduğu gibi, döngüsel çıkarımlardan özdeşliklere geçiyoruz ve denklemi şu şekilde yeniden yazıyoruz:

Bu denklem için bir karar ağacı oluşturalım:

Sorun 22

Aşağıdaki denklem sisteminin kaç çözümü vardır?