En az eylem ilkesi nasıl ortaya çıktı? En az eylem ilkesi

Bu ilkenin modern fiziğin temel hükümlerinden biri olduğu için ona itaat ederler. Yardımıyla elde edilen hareket denklemlerine Euler-Lagrange denklemleri denir.

İlkenin ilk formülasyonu 1999'da P. Maupertuis tarafından verildi ve optik ve mekanik için uygulanabilir olduğu düşünülerek evrensel doğasına hemen işaret edildi. Bu ilkeden ışığın yansıma ve kırılma yasalarını türetti.

Hikaye

Maupertuis bu ilkeye, evrenin mükemmelliğinin doğada belirli bir ekonomi gerektirdiği ve her türlü gereksiz enerji harcamasına aykırı olduğu duygusundan geldi. Doğal hareket, bir miktar minimum olacak şekilde olmalıdır. Sadece yapmaya devam ettiği bu değeri bulmak gerekiyordu. Şimdi sistemin kinetik enerjisi dediğimiz miktarın iki katı olan sistem içindeki hareket süresinin (zamanının) ürünüydü.

Euler (içinde "Reflexions sur quelques loix generales de la nature", 1748), eylemi "çaba" olarak adlandıran en az eylem ilkesini benimser. Statikteki ifadesi, şimdi potansiyel enerji dediğimiz şeye karşılık gelir, böylece statikteki en az eylem ifadesi, denge konfigürasyonu için minimum potansiyel enerji koşuluna eşdeğerdir.

klasik mekanikte

En az etki ilkesi, mekaniğin Lagrange ve Hamilton formülleri için temel ve standart temel olarak hizmet eder.

Önce inşaatı şöyle bir ele alalım. Lagrange mekaniği. Bir serbestlik derecesine sahip bir fiziksel sistem örneğini kullanarak, bir eylemin (genelleştirilmiş) koordinatlara göre (bir serbestlik derecesi durumunda - bir koordinat) bir işlevsel olduğunu, yani bu şekilde ifade edildiğini hatırlıyoruz. fonksiyonun akla gelebilecek her versiyonunun belirli bir sayı ile ilişkili olduğunu - bir eylem (bu anlamda, bir eylemin bir işlevsel olarak, herhangi bir belirli işlev için iyi tanımlanmış bir sayı hesaplamasına izin veren bir kural olduğunu söyleyebiliriz - eylem olarak da adlandırılır). Eylem şöyle görünür:

genelleştirilmiş koordinata bağlı sistemin Lagrangian'ı nerede , zamana göre ilk türevi ve ayrıca muhtemelen açıkça zamana göre. Sistem daha fazla serbestlik derecesine sahipse, Lagrange daha fazla sayıda genelleştirilmiş koordinatlara ve bunların ilk zaman türevlerine bağlıdır. Böylece eylem, cismin yörüngesine bağlı olarak skaler bir fonksiyoneldir.

Eylemin bir skaler olması, herhangi bir genelleştirilmiş koordinatta yazmayı kolaylaştırır, asıl şey, sistemin konumunun (yapılandırmasının) benzersiz bir şekilde onlar tarafından karakterize edilmesidir (örneğin, Kartezyen koordinatlar yerine, bunlar kutupsal olabilir). koordinatlar, sistemin noktaları arasındaki mesafeler, açılar veya işlevleri vb. d.).

Eylem, ne kadar "vahşi" ve "doğal olmayan" olursa olsun, tamamen keyfi bir yörünge için hesaplanabilir. Bununla birlikte, klasik mekanikte, tüm olası yörüngeler arasında, cismin gerçekten gideceği tek bir yol vardır. Hareketin durağanlığı ilkesi, cismin gerçekte nasıl hareket edeceği sorusunun cevabını verir:

Bu, sistemin Lagrange'ı verilirse, o zaman varyasyon hesabını kullanarak, önce hareket denklemlerini - Euler-Lagrange denklemlerini elde ederek ve sonra onları çözerek, vücudun tam olarak nasıl hareket edeceğini belirleyebiliriz. Bu, yalnızca mekaniğin formülasyonunu ciddi şekilde genelleştirmeye değil, aynı zamanda en basit ve en kolay çözülen denklemleri elde etmek için çok yararlı olabilecek Kartezyen olanlarla sınırlı olmayan her bir özel problem için en uygun koordinatları seçmeye izin verir.

verilen sistemin Hamilton fonksiyonu nerede; - (genelleştirilmiş) koordinatlar, - zamanın belirli her anında birlikte sistemin dinamik durumunu karakterize eden ve her biri zamanın bir fonksiyonu olan, böylece sistemin evrimini (hareketini) karakterize eden eşlenik (genelleştirilmiş) dürtüler. Bu durumda sistemin hareket denklemlerini kanonik Hamilton denklemleri şeklinde elde etmek için bu şekilde yazılan eylemi herkes ve .

Sorunun koşullarından hareket yasasını bulmak prensipte mümkünse, bunun otomatik olarak gerçekleştiğine dikkat edilmelidir. olumsuzluk gerçek hareket sırasında durağan bir değer alan bir fonksiyonel inşa etmenin mümkün olduğu anlamına gelir. Bir örnek, bir elektromanyetik alanda elektrik yüklerinin ve monopollerin - manyetik yüklerin - ortak hareketidir. Hareket denklemleri, hareketin durağanlığı ilkesinden türetilemez. Benzer şekilde, bazı Hamilton sistemleri bu ilkeden yola çıkmayan hareket denklemlerine sahiptir.

Örnekler

Önemsiz örnekler, Euler-Lagrange denklemleri aracılığıyla çalışma prensibinin kullanımını değerlendirmeye yardımcı olur. Serbest parçacık (kütle m ve hız v) Öklid uzayında düz bir çizgide hareket eder. Euler-Lagrange denklemleri kullanılarak bu, aşağıdaki gibi kutupsal koordinatlarda gösterilebilir. Potansiyelin yokluğunda, Lagrange fonksiyonu basitçe kinetik enerjiye eşittir.

ortogonal bir koordinat sisteminde.

Kutupsal koordinatlarda, kinetik enerji ve dolayısıyla Lagrange fonksiyonu,

Denklemlerin radyal ve açısal bileşenleri sırasıyla şöyle olur:

Bu iki denklemi çözme

Burada, tüm x(t) yörüngeleri üzerinde sonsuz katlı fonksiyonel entegrasyonun koşullu kaydıdır ve Planck sabitidir. Prensipte, kuantum mekaniğinde evrim operatörünü incelerken, üsteldeki eylemin kendisinin göründüğünü (veya görünebileceğini) vurguluyoruz, ancak, tam bir klasik (kuantum olmayan) analoğu olan sistemler için, tam olarak eşittir. her zamanki klasik eylem.

Bu ifadenin klasik limitteki matematiksel analizi - yeterince büyük için, yani sanal üstellerin çok hızlı salınımları için - bu integraldeki tüm olası yörüngelerin büyük çoğunluğunun limitte (resmi olarak, ) birbirini iptal ettiğini gösterir. . Hemen hemen her yol için, faz ihlalinin tam tersi olacağı bir yol vardır ve bunlar sıfıra kadar katkı sağlayacaktır. Yalnızca eylemin aşırı değere yakın olduğu yörüngeler (çoğu sistem için - minimum) azaltılmaz. Bu, karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisinden tamamen matematiksel bir gerçektir; örneğin, durağan faz yöntemi buna dayanmaktadır.

Sonuç olarak, parçacık, kuantum mekaniği yasalarına tam olarak uygun olarak, tüm yörüngeler boyunca aynı anda hareket eder, ancak normal koşullar altında, yalnızca durağan (yani, klasik) yörüngeler gözlemlenen değerlere katkıda bulunur. Kuantum mekaniği yüksek enerjilerin sınırında klasik hale geldiğinden, şunu varsayabiliriz: klasik eylem durağanlığı ilkesinin kuantum mekaniksel türevi.

Kuantum alan teorisinde

Kuantum alan teorisinde, hareketin durağanlığı ilkesi de başarıyla uygulanmaktadır. Buradaki Lagrange yoğunluğu, karşılık gelen kuantum alanlarının operatörlerini içerir. Burada (klasik limit ve kısmen yarı klasik hariç) eylemin durağanlığı ilkesi hakkında değil, Lagrange yoğunluğunu kullanarak bu alanların konfigürasyonunda veya faz uzayındaki yörüngeler üzerinde Feynman entegrasyonu hakkında konuşmak daha doğru olsa da sadece bahsedildi.

Daha fazla genelleme

Daha geniş anlamda, bir eylem, konfigürasyon alanından gerçek sayılar kümesine bir eşlemeyi tanımlayan bir işlevsel olarak anlaşılır ve genel olarak, bir integral olmak zorunda değildir, çünkü yerel olmayan eylemler ilke olarak en azından mümkündür. teorik olarak. Ayrıca, bir konfigürasyon uzayı, değişmeli olmayan bir geometriye sahip olabileceğinden, mutlaka bir fonksiyon uzayı değildir.

Adını, klasik mekanikte sözde Hamilton biçimciliğini inşa etmek için bu ilkeyi kullanan William Hamilton'dan almıştır.

Eylemin durağanlığı ilkesi, uç ilkeler ailesi arasında en önemlisidir. Tüm fiziksel sistemlerin bu ilkeden elde edilebilecek hareket denklemleri yoktur, ancak tüm temel etkileşimler buna uyar ve bu nedenle bu ilke modern fiziğin temel hükümlerinden biridir. Yardımıyla elde edilen hareket denklemlerine Euler-Lagrange denklemleri denir.

İlkenin ilk formülasyonu, 1744'te P. Maupertuis (fr. P. Maupertuis) tarafından verildi, hemen evrensel doğasına işaret edildi ve optik ve mekanik için uygulanabilir olduğu düşünüldü. Bu ilkeden ışığın yansıma ve kırılma yasalarını türetti.

1746'da Maupertuis, yeni bir çalışmasında Euler'in görüşüne katıldı ve ilkesinin en genel versiyonunu ilan etti: “Doğada belirli bir değişiklik meydana geldiğinde, bu değişiklik için gerekli eylem miktarı mümkün olan en küçük şeydir. Eylem miktarı, cisimlerin kütlesinin, hızlarının ve kat ettikleri mesafenin ürünüdür. Ardından gelen geniş tartışmada, Euler Maupertuis'in önceliğini destekledi ve yeni yasanın evrensel doğasını savundu: "tüm dinamikler ve hidrodinamik, yalnızca maksimum ve minimum yöntemiyle şaşırtıcı bir kolaylıkla ortaya çıkarılabilir."

1760-1761'de Joseph Louis Lagrange bir fonksiyonun katı varyasyonu kavramını tanıttığında, varyasyonlar hesabına modern bir görünüm kazandırdığında ve en az eylem ilkesini keyfi bir mekanik sisteme (yani yalnızca ücretsiz malzeme noktaları). Bu, analitik mekaniğin başlangıcı oldu. İlkenin bir başka genellemesi 1837'de Carl Gustav Jacob Jacobi tarafından gerçekleştirildi - problemi geometrik olarak, Öklidyen olmayan bir metrikle bir konfigürasyon uzayında varyasyonel bir problemin uç noktalarını bulmak olarak değerlendirdi. Özellikle Jacobi, dış kuvvetlerin yokluğunda sistemin yörüngesinin konfigürasyon uzayında jeodezik bir çizgi olduğuna dikkat çekti.

Sorunun koşullarından hareket yasasını bulmak prensipte mümkünse, bunun otomatik olarak gerçekleştiğine dikkat edilmelidir. olumsuzluk gerçek hareket sırasında durağan bir değer alan bir fonksiyonel inşa etmenin mümkün olduğu anlamına gelir. Bir örnek, bir elektromanyetik alanda elektrik yüklerinin ve monopollerin - manyetik yüklerin - ortak hareketidir. Hareket denklemleri, hareketin durağanlığı ilkesinden türetilemez. Benzer şekilde, bazı Hamilton sistemleri bu ilkeden yola çıkmayan hareket denklemlerine sahiptir.

Önemsiz örnekler, Euler-Lagrange denklemleri aracılığıyla çalışma prensibinin kullanımını değerlendirmeye yardımcı olur. Serbest parçacık (kütle m ve hız v) Öklid uzayında düz bir çizgide hareket eder. Euler-Lagrange denklemleri kullanılarak bu, aşağıdaki gibi kutupsal koordinatlarda gösterilebilir. Potansiyelin yokluğunda, Lagrange fonksiyonu basitçe kinetik enerjiye eşittir.

Kuantum alan teorisinde, hareketin durağanlığı ilkesi de başarıyla uygulanmaktadır. Buradaki Lagrange yoğunluğu, karşılık gelen kuantum alanlarının operatörlerini içerir. Burada (klasik limit ve kısmen yarı klasik hariç) eylemin durağanlığı ilkesi hakkında değil, Lagrange yoğunluğunu kullanarak bu alanların konfigürasyonunda veya faz uzayındaki yörüngeler üzerinde Feynman entegrasyonu hakkında konuşmak daha doğru olsa da sadece bahsedildi.

Daha geniş olarak, bir eylem, konfigürasyon uzayından gerçek sayılar kümesine bir eşlemeyi tanımlayan bir işlevsel olarak anlaşılır ve genel olarak, bir integral olmak zorunda değildir, çünkü yerel olmayan eylemler ilke olarak en azından mümkündür. teorik olarak. Ayrıca, bir konfigürasyon uzayı mutlaka bir fonksiyon uzayı olmak zorunda değildir, çünkü

2.2. En az eylem ilkesi

18. yüzyılda, bireysel bilimsel başarıları, matematiksel analiz yöntemlerinin fiziksel fenomenlerin incelenmesine sistematik olarak uygulanması yoluyla dünyanın katı bir şekilde düzenlenmiş, tutarlı bir resminde birleştirme eğilimi ile işaretlenmiş, bilimsel sonuçların daha fazla biriktirilmesi ve sistemleştirilmesi gerçekleşti. Bu yöndeki birçok parlak zekanın çalışması, mekanik araştırma programının temel teorisinin - belirli bir konjonktür sınıfını tanımlayan çeşitli temel teorilerin yaratıldığı hükümler temelinde analitik mekanik - yaratılmasına yol açmıştır.

fenomenler: hidrodinamik, elastikiyet teorisi, aerodinamik, vb. Analitik mekaniğin en önemli sonuçlarından biri, 20. yüzyılın sonunda fizikte meydana gelen süreçleri anlamak için önemli olan en az etki ilkesidir (varyasyon ilkesi).

Bilimde varyasyon ilkelerinin ortaya çıkmasının kökleri Antik Yunanistan'a kadar uzanır ve İskenderiye'den Heron adıyla ilişkilendirilir. Herhangi bir varyasyon ilkesi fikri, belirli bir süreci karakterize eden bazı değerleri değiştirmek (değiştirmek) ve bu değerin aşırı (maksimum veya minimum) bir değer aldığı olası tüm işlemlerden birini seçmektir. Heron, bir ışık demetinin bir aynadan yansıdığında bir kaynaktan bir gözlemciye geçtiği yolun uzunluğunu karakterize eden değeri değiştirerek ışığın yansıması yasalarını açıklamaya çalıştı. Tüm olası yollardan bir ışık huzmesinin en kısa olanı (geometrik olarak mümkün olan tüm yollardan) seçtiği sonucuna vardı.

17. yüzyılda, yani iki bin yıl sonra, Fransız matematikçi Fermat, Heron ilkesine dikkat çekmiş, onu farklı kırılma indislerine sahip ortamlara genişletmiş ve bu nedenle onu zaman açısından yeniden formüle etmiştir. Fermat ilkesi, özellikleri zamana bağlı olmayan bir kırılma ortamında, iki noktadan geçen bir ışık huzmesinin kendisine bir yol seçtiğini, böylece birinci noktadan ikinciye gitmesi için gereken sürenin minimum olduğunu belirtir. Heron ilkesi, sabit bir kırılma indisine sahip ortamlar için Fermat ilkesinin özel bir durumu olarak ortaya çıkıyor.

Fermat'ın ilkesi çağdaşlarının yakından ilgisini çekti. Bir yandan doğadaki "ekonomi ilkesine", dünyanın yapısında gerçekleşen rasyonel ilahi plana en iyi şekilde tanıklık ederken, diğer yandan Newton'un cisimcik ışık teorisiyle çelişiyordu. Newton'a göre, daha yoğun ortamlarda ışık hızının daha büyük olması gerektiği ortaya çıktı, ancak Fermat'ın böyle ortamlarda ışık hızının küçüldüğü ilkesini izledi.

1740 yılında, matematikçi Pierre Louis Moreau de Maupertuis, Fermat ilkesini eleştirel bir şekilde analiz ederek ve teolojik ilkeleri takip ederek

Evrenin mükemmelliği ve en ekonomik düzeniyle ilgili mantıksal motifler, “Uyumsuz görünen çeşitli doğa yasaları üzerine” çalışmasında en az eylem ilkesini ilan etti. Maupertuis, Fermat'ın en kısa zamanını terk etti ve yeni bir kavram - eylem getirdi. Eylem, cismin momentumunun (momentum Р = mV) ve cismin kat ettiği yolun çarpımına eşittir. Zamanın uzaya üstünlüğü yoktur ve bunun tersi de geçerlidir. Bu nedenle ışık, seyahat etmek için en kısa yolu ve en kısa zamanı seçmez, ancak Maupertuis'e göre, "daha gerçek bir ekonomi sağlayan yolu seçer: izlediği yol, eylemin büyüklüğünün üzerinde olduğu yoldur. minimaldir." En az eylem ilkesi, Euler ve Lagrange'ın çalışmalarında daha da geliştirildi; Lagrange'ın yeni bir matematiksel analiz alanı - varyasyon hesabı - geliştirdiği temeldi. Bu ilke Hamilton'un çalışmalarında daha da genelleştirildi ve tamamlandı. Genelleştirilmiş bir biçimde, en az eylem ilkesi, momentum cinsinden değil, Lagrange işlevi cinsinden ifade edilen eylem kavramını kullanır. Bir potansiyel alanda hareket eden bir parçacığın durumu için, Lagrange fonksiyonu kinetiklerin farkı olarak gösterilebilir. ve potansiyel enerji:

("Enerji" kavramı, bu bölümün 3. Bölümünde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.)

Ürüne temel eylem denir. Toplam eylem, dikkate alınan tüm zaman aralığındaki tüm değerlerin toplamıdır, başka bir deyişle, toplam eylem A:

Bir parçacığın hareket denklemleri, gerçek hareketin, eylemin aşırı olduğu, yani varyasyonunun 0'a döndüğü şekilde gerçekleştiğine göre, en az eylem ilkesi kullanılarak elde edilebilir:

Lagrange-Hamilton varyasyon ilkesi, olmayanlardan oluşan sistemlere kolayca genişletmeye izin verir.

kaç (birkaç) parçacık. Bu tür sistemlerin hareketi genellikle çok sayıda boyutu olan soyut bir uzayda (uygun bir matematiksel teknik) düşünülür. Diyelim ki, N noktası için, konfigürasyon uzayı adı verilen bir sistem oluşturan, N parçacığın 3N koordinatının bir soyut uzayı tanıtılıyor. Sistemin farklı durumlarının sırası, bu konfigürasyon uzayında bir eğri ile temsil edilir - bir yörünge. Bu 3N boyutlu uzayın belirli iki noktasını birbirine bağlayan tüm olası yollar göz önüne alındığında, sistemin gerçek hareketinin en az eylem ilkesine göre gerçekleştiğinden emin olunabilir: tüm olası yörüngeler arasında, eylemin aşırı olduğu yörünge. hareketin tüm zaman aralığı gerçekleştirilir.

Klasik mekanikte eylemi en aza indirirken, Newton yasalarıyla bağlantısı iyi bilinen Euler-Lagrange denklemleri elde edilir. Klasik elektromanyetik alanın Lagrange'ı için Euler-Lagrange denklemleri, Maxwell denklemleri olarak ortaya çıkıyor. Böylece, Lagrange kullanımının ve en az etki ilkesinin parçacık dinamiklerini belirlemeye izin verdiğini görüyoruz. Bununla birlikte, Lagrangian'ın, modern fiziğin neredeyse tüm problemlerini çözmede Lagrange formalizmini ana özellik haline getiren önemli bir özelliği daha vardır. Gerçek şu ki, fizikte Newton mekaniği ile birlikte, zaten 19. yüzyılda, bazı fiziksel miktarlar için koruma yasaları formüle edildi: enerjinin korunumu yasası, momentumun korunumu yasası, açısal momentumun korunumu yasası, yasa elektrik yükünün korunumu. Yüzyılımızda kuantum fiziğinin ve temel parçacık fiziğinin gelişmesiyle bağlantılı olarak korunum yasalarının sayısı daha da arttı. Hem hareket denklemlerini (örneğin Newton yasaları ya da Maxwell denklemleri) hem de zamanda korunan nicelikleri yazmak için ortak bir temelin nasıl bulunacağı sorusu ortaya çıkar. Böyle bir temelin Lagrange formalizminin kullanımı olduğu ortaya çıktı, çünkü belirli bir teorinin Lagrangian'ı, bu teoride ele alınan belirli soyut uzaya karşılık gelen dönüşümlere göre değişmez (değişmedi) olduğu ortaya çıktı, bu da koruma ile sonuçlanır. yasalar. Lagrange'ın bu özellikleri

Lagrangianların dilinde fiziksel teoriler formüle etmenin yararına yol açmadı. Bu durumun gerçekleşmesi Einstein'ın görelilik kuramının ortaya çıkmasıyla fiziğe geldi.

5. En az eylem ilkesi

Potansiyelli kuvvetler alanındaki maddi bir noktanın dinamiklerinin denklemleri, genel olarak Hamilton ilkesi veya durağan hareket ilkesi olarak adlandırılan ilkeye dayanarak elde edilebilir. Bu prensibe göre, aynı t2 ... t1 zaman aralığı için aynı başlangıç ​​ve bitiş noktaları arasında bir maddesel noktanın yapabileceği tüm hareketlerden aslında, hareket t1'den zaman integrali olan hareket gerçekleştirilir. Bu malzeme noktasının kinetik ve potansiyel enerjisi arasındaki farkın t2'ye kadarı aşırı, yani minimum veya maksimum değer alır. Varyasyonlar hesabının iyi bilinen yöntemlerini kullanarak, klasik hareket denklemlerinin bu ilkeden çıktığını göstermek kolaydır.

Durağan hareket ilkesi, statik kuvvet alanlarının özel fakat önemli durumunda özellikle basit bir biçim alır. Bu durumda, Maupertuis'in en az eylem ilkesi ile örtüşür, buna göre, bir malzeme noktasının muhafazakar (yani, zamana açıkça bağlı olmayan) bir kuvvet alanındaki gerçek yolu için, parçacık momentumunun integrali birlikte alınır. A ve B noktalarından herhangi ikisi arasındaki yörünge parçası, A ve B noktalarından çizilen diğer eğrilerin parçaları üzerinde alınan aynı integrallere kıyasla minimumdur. Maupertuis ilkesi Hamilton ilkesinden türetilebilir. Jacobi teorisi ile de ilgili olabilir.

Statik alanlar durumunda bu teorideki yörüngelerin bazı yüzey ailesine dik eğriler olarak kabul edilebileceğini gördük. Basit akıl yürütme, bu yörüngelerin, Maupertuis eylemiyle, yani yörünge boyunca momentumun eğrisel integrali ile çakışan, integralin minimum olması koşulundan elde edilebileceğini gösterir. Bu sonuç çok ilginçtir, çünkü en az eylem ilkesi ile Fermat'ın minimum zaman ilkesi arasındaki bağlantıyı gösterir.

Aslında Jacobi teorisindeki yörüngelerin geometrik optikteki ışık ışınlarının bir analoğu olarak kabul edilebileceğini zaten söylemiştik. En az eylem ilkesini kanıtlamak için verilen argümanların bir analizi, bunların minimum zaman ilkesini veya Fermat ilkesini doğrulamak için geometrik optikte verilenlerle tamamen aynı olduklarını gösterir. Formülasyonu şöyledir: Özellikleri zamana bağlı olmayan bir kırılma ortamında, A ve B noktalarından geçen bir ışık demeti, A noktasından B noktasına seyahat etmek için gereken süre minimum olacak şekilde kendisine bir yol seçer. , yani ışık yayılımının ters faz hızının eğrisel integralini en aza indiren bir eğriyi takip eder. Şimdi Maupertuis ilkesi ile Fermat ilkesi arasındaki benzerlik açıktır.

Ancak aralarında önemli bir fark da vardır. En az etki ilkesinde, integral, parçacığın momentumu ile çakışır ve bu nedenle integral, eylemin boyutuna sahiptir (enerji çarpı zaman veya momentum çarpı yol). Fermat ilkesinde, integrant, aksine, yayılma hızı ile ters orantılıdır. Bu nedenle, bu iki ilke arasındaki analoji, uzun bir süre, herhangi bir derin fiziksel gerekçe olmaksızın tamamen biçimsel olarak kabul edildi. Dahası, fiziksel bir bakış açısından, momentum hız ile doğru orantılı olduğundan ve bu nedenle Maupertuis ilkesindeki integral, Fermat'ta iken hızı payda içerdiğinden, aralarında önemli bir fark olduğu bile görünüyordu. ilke paydadadır. Bu durum, Fresnel dehası tarafından hayata geçirilen ışığın dalga teorisinin, dışarı akış teorisi üzerindeki zaferini tamamladığı çağda önemli bir rol oynadı. Maupertuis ve Fermat integrallerinde yer alan integrallerin hızlarına olan farklı bağımlılıklara dayanarak, Foucault ve Fizeau'nun iyi bilinen deneylerinin, ışığın sudaki yayılma hızına göre olduğu sonucuna varılabileceğine inanılıyordu. boşlukta ışığın hızından daha az olması, dalga teorisi lehinde çürütülemez ve kesin argümanlar verir. Ancak bu farka dayanarak ve ışık dalgalarının varlığının teyidi olarak Foucault ve Fizeau'nun deneylerini açıklayarak, Maupertuis ilkesinde ortaya çıkan bir maddesel noktanın hızını, onunla özdeşleştirmenin oldukça meşru olduğunu varsaydılar. Fermat integraline dahil edilen dalga yayılma hızı Dalga mekaniği, herhangi bir hareketli malzeme noktasının, yayılan hızı parçacığın hızıyla ters orantılı olarak değişen bir dalgaya karşılık geldiğini gösterdi. Sadece dalga mekaniği, iki temel ilke arasındaki derin ilişkinin doğasına gerçekten ışık tuttu ve fiziksel anlamını ortaya çıkardı. Ayrıca Fizeau'nun deneyinin daha önce düşünüldüğü kadar belirleyici olmadığını da gösterdi. Işığın yayılmasının dalgaların yayılması olduğunu ve kırılma indisinin yayılma hızı cinsinden belirlenmesi gerektiğini kanıtlamasına rağmen, tabii ki, tabii ki, tabii ki, dalgalar ve ışık parçacıkları arasında uygun bir bağlantı vardır. Ancak, bu zaten aşağıda tartışacağımız konulara aittir.

Zamana bağlı olmayan bir kuvvetler alanındaki maddesel bir noktanın hareketini, durumu da zamana bağlı olmayan kırılma ortamındaki dalgaların yayılımıyla karşılaştırarak, ilkeler arasında belirli bir analoji olduğunu gösterdik. Maupertuis ve Fermat. Zamanla değişen kuvvet alanlarındaki maddi bir noktanın hareketini, zamanla değişen parametrelere sahip kırılma ortamındaki dalgaların yayılmasıyla karşılaştırdığımızda, Hamilton tarafından önerilen genel biçimindeki en az etki ilkesi ile Fermat ilkesi arasındaki analojinin genelleştirilmiş olduğunu fark ederiz. Kırıcı ortam durumunda, zamana bağlı olan durum da bu daha genel durumda korunur. Bu konu üzerinde durmayacağız. Mekaniğin ve geometrik optiğin iki temel ilkesi arasındaki bu analojinin, çok önemli olmakla birlikte, yalnızca yukarıda ele alınan sabit alanlar durumunda değil, yine de sabit alanların özel bir durumunda, aynı zamanda daha değişken alanların genel durumu.

Durağan hareket ilkesi, maddi nokta sistemleri için de geçerlidir. Bunu formüle etmek için, sisteme karşılık gelen konfigürasyon alanını göz önünde bulundurmak bizim için uygundur. Örnek olarak, kendimizi sistemin potansiyel enerjisinin açıkça zamana bağlı olmadığı durumla sınırlıyoruz. Örneğin, bu durumda potansiyel enerjisi yalnızca etkileşim enerjisine indirgendiği ve açıkça zamana bağlı olmadığı için dış kuvvetlerden etkilenmeyen yalıtılmış bir sistem durumudur. Bu durumda, 3N boyutlu bir konfigürasyon uzayı ve bu uzaya, 3N bileşenleri sistemin N malzeme noktasının momentum vektörlerinin bileşenleriyle çakışan bir vektör dahil edildiğinde, Maupertuis'in en az etki ilkesi aşağıdaki gibi formüle edilebilir. Konfigürasyon uzayında verilen iki A ve B noktasından geçen sistemin temsili noktasının yörüngesi, A ve B noktaları arasındaki yörünge parçası boyunca alınan, yukarıda tanıtılan 3N boyutlu vektörün eğrisel integralini minimum yapar. A ve B noktalarından geçen konfigürasyon uzayındaki diğer eğrilerin segmentleri üzerinden alınan aynı integrallerle karşılaştırıldığında. Bu ilke Jacobi teorisinden de kolayca elde edilebilir. Fermat ilkesiyle analojisi, konfigürasyon uzayındaki temsili noktanın yörüngelerini bu uzayda yayılan bir dalganın ışınları şeklinde temsil etme olasılığından kaynaklanmaktadır. Böylece, tekrar görüyoruz ki, maddi nokta sistemleri için klasikten dalga mekaniğine geçiş ancak soyut bir konfigürasyon uzayı çerçevesinde gerçekleştirilebilir.

1. Görelilik ilkesi Kuanta hakkındaki fikirlerimizin gelişiminden bahsetmeden önce, görelilik kuramına kısa bir bölüm ayırmamak mümkün değil. kitap teoriye ayrılmıştır

2. Kara cisim ışıması teorisi. Planck'ın kuantum eylemi Kuantum teorisinin gelişiminin başlangıcı, Max Planck'ın 1900'lü yıllara dayanan kara cisim ışıması teorisi üzerine çalışmasıyla atıldı. Klasik fizik yasalarına dayalı bir kara cisim ışıması teorisi oluşturma girişimi,