Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin kökleri. Ders dışı ders - ikinci dereceden denklem

Bibliyografik açıklama: Gasanov A.R., Kuramshin A.A., Elkov A.A., Shilnenkov N.V., Ulanov D.D., Shmeleva O.V. Çözüm yöntemleri ikinci dereceden denklemler// Genç bilim adamı. 2016. Sayı 6.1. S. 17-20..02.2019).



Projemiz ikinci dereceden denklemleri çözmenin yolları hakkındadır. Projenin hedefi: İkinci dereceden denklemleri okul müfredatında yer almayan yollarla çözmeyi öğrenmek. Görev: her şeyi bul olası yollarİkinci dereceden denklemleri çözerek bunları nasıl kullanacağınızı kendiniz öğrenin ve bu yöntemleri sınıf arkadaşlarınıza tanıtın.

“İkinci dereceden denklemler” nedir?

İkinci dereceden denklem- formun denklemi balta2 + bx + c = 0, Nerede A, B, C- bazı sayılar ( bir ≠ 0), X- Bilinmeyen.

a, b, c sayılarına ikinci dereceden denklemin katsayıları denir.

• a'ya birinci katsayı denir;
• b'ye ikinci katsayı denir;
• c - ücretsiz üye.

İkinci dereceden denklemleri “icat eden” ilk kişi kimdi?

Lineer ve ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik bazı cebirsel teknikler 4000 yıl önce Eski Babil'de biliniyordu. MÖ 1800 ila 1600 yılları arasına tarihlenen eski Babil kil tabletlerinin keşfi, ikinci dereceden denklemlerin incelenmesine ilişkin en eski kanıtları sağlıyor. Aynı tabletler belirli ikinci dereceden denklem türlerini çözmek için yöntemler içerir.

Antik çağda sadece birinci değil, aynı zamanda ikinci derecedeki denklemleri çözme ihtiyacı, arsaların alanlarını bulma ile ilgili problemleri çözme ihtiyacından kaynaklanıyordu ve toprak işleri askeri nitelikte olduğu kadar astronomi ve matematiğin gelişmesiyle de.

Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralı esasen modern kuralla örtüşmektedir, ancak Babillilerin bu kurala nasıl ulaştığı bilinmemektedir. Şu ana kadar bulunan çivi yazılı metinlerin neredeyse tamamı, nasıl bulunduklarına dair hiçbir belirti olmaksızın, yalnızca yemek tarifleri biçiminde ortaya konan çözümlerle ilgili sorunlar sunuyor. Aksine yüksek seviye Babil'de cebirin gelişmesiyle birlikte çivi yazılı metinler negatif sayı kavramından yoksundur ve genel yöntemlerİkinci dereceden denklemlerin çözümü.

MÖ 4. yüzyıldan kalma Babilli matematikçiler. Pozitif kökleri olan denklemleri çözmek için karenin tümleyen yöntemini kullandı. MÖ 300 civarında Öklid daha genel bir geometrik çözüm yöntemi buldu. Negatif köklü denklemlere cebirsel formül biçiminde çözüm bulan ilk matematikçi Hintli bir bilim adamıydı. Brahmagupta(Hindistan, MS 7. yüzyıl).

Brahmagupta, tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel bir kural ortaya koydu:

ax2 + bx = c, a>0

Bu denklemdeki katsayılar negatif de olabilir. Brahmagupta'nın kuralı aslında bizimkiyle aynı.

Hindistan'da zor sorunların çözümüne yönelik halka açık yarışmalar yaygındı. Eski Hint kitaplarından biri bu tür yarışmalar hakkında şunları söylüyor: "Güneşin parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakması gibi, bilgili bir adam da halka açık toplantılarda cebirsel problemler önererek ve çözerek ihtişamını gölgede bırakacaktır." Sorunlar genellikle şiirsel biçimde sunuldu.

Cebirsel bir incelemede El-Harezmi Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırması verilmiştir. Yazar 6 tür denklem sayıyor ve bunları ifade ediyor Aşağıdaki şekilde:

1) “Kareler köklere eşittir” yani ax2 = bx.

2) “Kareler sayılara eşittir” yani ax2 = c.

3) “Kökler sayıya eşittir” yani ax2 = c.

4) “Kareler ve sayılar köklere eşittir” yani ax2 + c = bx.

5) “Kareler ve kökler sayıya eşittir” yani ax2 + bx = c.

6) “Kökler ve sayılar karelere eşittir” yani bx + c == ax2.

Negatif sayıları kullanmaktan kaçınan Harizmi'ye göre, bu denklemlerin her birinin terimleri çıkarılabilir değil, toplamlardır. Bu durumda pozitif çözümü olmayan denklemler elbette dikkate alınmaz. Yazar, el-cebr ve el-mukabel tekniklerini kullanarak bu denklemlerin çözümüne yönelik yöntemler ortaya koymaktadır. Onun kararı elbette bizimkiyle tamamen örtüşmüyor. Tamamen retorik olduğundan bahsetmiyorum bile, örneğin, birinci türden tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözerken, Al-Khorezmi'nin, 17. yüzyıla kadar tüm matematikçiler gibi sıfır çözümünü hesaba katmadığı belirtilmelidir. muhtemelen spesifik pratikte görevlerde önemli olmadığı için. Al-Harizmi'nin ikinci dereceden tam denklemlerini kısmi olarak çözerken sayısal örneklerçözüm kurallarını ve ardından bunların geometrik kanıtlarını ortaya koyar.

Avrupa'da Harezmi'nin modelini takip eden ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik formlar ilk olarak 1202 yılında yazılan "Abaküs Kitabı"nda ortaya konmuştur. İtalyan matematikçi Leonard Fibonacci. Yazar bağımsız olarak problem çözme konusunda bazı yeni cebirsel örnekler geliştirdi ve Avrupa'da negatif sayıların tanıtılmasına yaklaşan ilk kişi oldu.

Bu kitap cebir bilgisinin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulundu. Bu kitaptaki birçok problem, 14.-17. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarında kullanılmıştır. Genel kural Tüm olası işaret ve b, c katsayıları kombinasyonları için tek bir kanonik forma x2 + bх = с'ye indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü 1544'te Avrupa'da formüle edildi. M. Stiefel.

İkinci dereceden bir denklemin çözümü için formülün genel formda türetilmesi Viète'den elde edilebilir, ancak Viète yalnızca pozitif kökleri tanıdı. İtalyan matematikçiler Tartaglia, Cardano, Bombelli 16. yüzyılın ilkleri arasında. Olumlu olanların yanı sıra olumsuz kökler de dikkate alınır. Sadece 17. yüzyılda. çabalar sayesinde Girard, Descartes, Newton ve diğer bilim adamlarının yardımıyla ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemi modern bir biçim alıyor.

İkinci dereceden denklemleri çözmenin birkaç yoluna bakalım.

İkinci dereceden denklemleri çözmek için standart yöntemler Okul müfredatı:

1. Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırmak.
2. Tam bir kare seçme yöntemi.
3. Formülü kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme.
4. İkinci dereceden bir denklemin grafiksel çözümü.
5. Vieta teoremini kullanarak denklemleri çözme.

Vieta teoremini kullanarak indirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım.

Yukarıdaki ikinci dereceden denklemleri çözmek için çarpımları serbest terime eşit ve toplamı ters işaretli ikinci katsayıya eşit iki sayı bulmanın yeterli olduğunu hatırlayın.

Örnek.X 2 -5x+6=0

Çarpımı 6 ve toplamı 5 olan sayıları bulmanız gerekiyor. Bu sayılar 3 ve 2 olacaktır.

Cevap: x 1 =2, x 2 =3.

Ancak bu yöntemi birinci katsayısı bire eşit olmayan denklemler için de kullanabilirsiniz.

Örnek.3x 2 +2x-5=0

Birinci katsayıyı alın ve serbest terimle çarpın: x 2 +2x-15=0

Bu denklemin kökleri çarpımı -15, toplamı -2 olan sayılar olacaktır. Bu sayılar 5 ve 3'tür. Orijinal denklemin köklerini bulmak için elde edilen kökleri birinci katsayıya bölün.

Cevap: x 1 =-5/3,x 2 =1

6. Denklemleri "atma" yöntemini kullanarak çözme.

İkinci dereceden denklemi düşünün: ax 2 + bx + c = 0, burada a≠0.

Her iki tarafı a ile çarparak a 2 x 2 + abx + ac = 0 denklemini elde ederiz.

ax = y olsun, dolayısıyla x = y/a; sonra verilen denklemin eşdeğeri olan y 2 + by + ac = 0 denklemine ulaşırız. Vieta teoremini kullanarak 1 ve 2'nin köklerini buluyoruz.

Sonunda x 1 = y 1 /a ve x 2 = y 2 /a'yı elde ederiz.

Bu yöntemle a katsayısı, sanki kendisine “atılmış” gibi serbest terimle çarpılır, bu yüzden buna “atma” yöntemi denir. Bu yöntem, denklemin kökleri Vieta teoremi kullanılarak kolayca bulunabildiğinde ve en önemlisi diskriminantın tam kare olduğu durumlarda kullanılır.

Örnek.2 kere 2 - 11x + 15 = 0.

2 katsayısını serbest terime “atalım” ve yerine bir değişiklik yapalım ve y 2 - 11y + 30 = 0 denklemini elde edelim.

Vieta'nın ters teoremine göre

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Cevap: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının özellikleri.

İkinci dereceden denklem ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 verilsin.

1. Eğer a+ b + c = 0 ise (yani denklemin katsayılarının toplamı sıfır ise), o zaman x 1 = 1.

2. Eğer a - b + c = 0 veya b = a + c ise x 1 = - 1 olur.

Örnek.345x 2 - 137x - 208 = 0.

a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) olduğuna göre x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Cevap: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Örnek.132x 2 + 247x + 115 = 0

Çünkü a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), bu durumda x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Cevap: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının başka özellikleri de vardır. ancak bunların kullanımı daha karmaşıktır.

8. İkinci dereceden denklemleri nomogram kullanarak çözme.

Şekil 1. Nomogram

Bu, ikinci dereceden denklemleri çözmenin eski ve şu anda unutulmuş bir yöntemidir ve koleksiyonun 83. sayfasında yer almaktadır: Bradis V.M. Dört basamaklı matematik tabloları. - M., Eğitim, 1990.

Tablo XXII. Denklemi çözmek için nomogram z 2 + pz + q = 0. Bu nomogram ikinci dereceden bir denklemi çözmeden denklemin köklerini katsayılarından belirlemeye olanak tanır.

Nomogramın eğrisel ölçeği aşağıdaki formüllere göre oluşturulmuştur (Şekil 1):

İnanmak OS = p, ED = q, OE = a(tümü cm cinsinden), Şekil 1'deki üçgenlerin benzerliklerinden SAN Ve CDF orantıyı elde ederiz

ikameler ve basitleştirmelerden sonra denklemi verir z 2 + pz + q = 0, ve mektup z Eğri ölçekte herhangi bir noktanın işareti anlamına gelir.

Pirinç. 2 İkinci dereceden denklemleri nomogram kullanarak çözme

Örnekler.

1) Denklem için z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram z 1 = 8,0 ve z 2 = 1,0 köklerini verir

Cevap:8.0; 1.0.

2) Bir nomogram kullanarak denklemi çözeriz

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Bu denklemin katsayılarını 2'ye bölerek z 2 - 4.5z + 1 = 0 denklemini elde ederiz.

Nomogram z 1 = 4 ve z 2 = 0,5 köklerini verir.

Cevap: 4; 0,5.

9. İkinci dereceden denklemlerin çözümü için geometrik yöntem.

Örnek.X 2 + 10x = 39.

Orijinalde bu problem şu şekilde formüle edilmiştir: “Kare ve on kök 39'a eşittir.”

Kenarı x olan bir kare düşünün, her birinin diğer tarafı 2,5 olacak şekilde kenarlarına dikdörtgenler yapılır, dolayısıyla her birinin alanı 2,5x olur. Ortaya çıkan şekil daha sonra yeni bir ABCD karesine tamamlanır ve köşelerde her birinin kenarı 2,5 ve alanı 6,25 olan dört eşit kare oluşturulur.

Pirinç. 3 Denklemi çözmek için grafiksel yöntem x 2 + 10x = 39

ABCD karesinin S alanı, orijinal kare x 2, dört dikdörtgen (4∙2,5x = 10x) ve dört ek karenin (6,25∙4 = 25) alanlarının toplamı olarak temsil edilebilir; S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x'i 39 sayısıyla değiştirirsek S = 39 + 25 = 64 sonucunu elde ederiz, bu da karenin kenarının ABCD olduğu anlamına gelir. AB segmenti = 8. Orijinal karenin gerekli x tarafı için şunu elde ederiz:

10. Bezout teoremini kullanarak denklem çözme.

Bezout'un teoremi. P(x) polinomunun binom x - α'ya bölünmesinin geri kalanı P(α)'ya eşittir (yani P(x)'in x = α'daki değeri).

Eğer α sayısı P(x) polinomunun kökü ise, bu polinom x -α'ya kalansız bölünebilir.

Örnek.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. P(x)'i (x-1)'e bölün: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 veya x-3=0, x=3; Cevap: x1 =2, x2 =3.

Çözüm:İkinci dereceden denklemleri hızlı ve rasyonel bir şekilde çözme yeteneği, daha karmaşık denklemleri çözmek için gereklidir, örneğin, kesirli rasyonel denklemler, denklemler daha yüksek dereceler, iki ikinci dereceden denklemler ve lisede trigonometrik, üstel ve logaritmik denklemler. İkinci dereceden denklemleri çözmek için bulunan tüm yöntemleri inceledikten sonra, sınıf arkadaşlarımıza standart yöntemlere ek olarak transfer yöntemini (6) kullanarak çözmelerini ve daha erişilebilir oldukları için denklemleri katsayıların (7) özelliğini kullanarak çözmelerini tavsiye edebiliriz. anlamaya.

Edebiyat:

1. Bradis V.M. Dört basamaklı matematik tabloları. - M., Eğitim, 1990.
2. Cebir 8. sınıf: 8. sınıf ders kitabı. Genel Eğitim kurumlar Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. ed. S. A. Telyakovsky 15. baskı, revize edildi. - M.: Eğitim, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Okulda matematiğin tarihi. Öğretmenler için el kitabı. / Ed. V.N. Daha genç. - M.: Eğitim, 1964.

Hedefler:

• İndirgenmiş ikinci dereceden denklem kavramını tanıtmak;
• verilen ikinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkiyi “keşfetmek”;
• Matematiğe ilgi geliştirmek, Viet'in hayatından örnekler vererek matematiğin bir hobi olabileceğini göstermek.

1. Ödevleri kontrol etmek

309(g) x 1 =7, x 2 =

311(g) x 1 =2, x 2 =-1

312 (d) kök yok

Herkesin masasında bir masası vardır. Tablonun sol ve sağ sütunları arasındaki eşleşmeyi bulun.

Doğru cevapları tabloya girin.

1-Z; 2-E; 3 A; 4-K; 5B; 6-I; 7-D; 8-B; 9-G; 10-L; 11-F.

Denklemleri çözün:

a) -5x2 + 8x -3=0;

Çözüm:

D=64 – 4(-5)(-3) = 4,

x 1 = x 2 = = a + b + c = -5+8-3=0

b) 2 x 2 +6x – 8 = 0;

Çözüm:

D=36 – 4 2 (-8)= 100,

x 1 = = x 2 = a + b + c = 2+6-8=0

c) 2009 x 2 +x – 2010 =0

Çözüm:

a + b + c = 2009+1 + (-2010) =0 ise x 1 =1 x 2 =

Denklemleri çözmeyi düşünelim

a) 2x2 + 5x +3 = 0

Çözüm:

D = 25 -24 = 1 x 1 = x 2 = a – b + c = 2-5 + 3 = 0

b) -4x 2 -5x -1 =0

Çözüm:

D = 25 – 16 = 9 x 1 = – 1 x 2 = a – b + c = -4-(-5) – 1 = 0

c)1150x 2 +1135x -15 = 0

Çözüm:

a – b+c = 1150-1135 +(-15) = 0 x 1 = – 1 x 2 =

ax 2 +in+c=0, eğer a-b+c=0 ise x 1 = – 1 x 2 =

5. Yeni tema

İlk görevi tamamladığınızı kontrol edelim. Hangi yeni kavramlarla karşılaştınız? 11 – f, yani

Verilen ikinci dereceden denklem x 2 + px + q = 0'dır.

Dersimizin konusu.
Aşağıdaki tabloyu dolduralım.
Sol sütun defterlerde ve bir öğrenci tahtada.
Denklemin çözümü akh 2 +in+c=0
Sağ sütun, tahtada daha hazırlıklı öğrenci
Denklemin çözümü x 2 + px + q = 0, a = 1 ile, b = p, c = q

Öğretmen (gerekirse) yardım eder, gerisi not defterlerindedir.

X 2 – 6 X + 8 = 0,	D = 9 – 8 = 1,	x 1 = 3 – 1 = 2	x2 = 3 + 1 = 4
X 2 + 6 X + 8 = 0,	D = 9 – 8 = 0,	x 1 = -3 – 1 = -4	x2 = -3 + 1 = -2
X 2 + 20 X + 51 = 0,	D = 100 – 51 = 49	x 1 = 10 – 7 = 3	x 2 = 10 + 7 = 17
X 2 – 20 X – 69 = 0,	D = 100 – 69 = 31

Hesaplamalarımızın sonuçlarına göre tabloyu dolduracağız.

Denklem numarası	R	x 1+ x 2	Q	x 1 x 2
1	-6	6	8	8

Elde edilen sonuçları ikinci dereceden denklemlerin katsayılarıyla karşılaştıralım.
Ne gibi bir sonuç çıkarılabilir?

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki ilk kez ünlü Fransız bilim adamı Francois Viète (1540–1603) tarafından kuruldu.

François Viète mesleği avukattı ve uzun yıllar kralın danışmanı olarak çalıştı. Ve matematik onun hobisi ya da dedikleri gibi bir hobi olmasına rağmen, sıkı çalışması sayesinde bu konuda harika sonuçlar elde etti. 1591'de Vietnam bilinmeyenler ve denklem katsayıları için harf gösterimini tanıttı. Bu, genel formüller kullanarak denklemin köklerini ve diğer özelliklerini yazmayı mümkün kıldı.

Vieta cebirinin dezavantajı yalnızca pozitif sayıları tanımasıydı. Negatif çözümlerden kaçınmak için denklemleri değiştirdi veya yapay çözümler aradı; bu da çok zaman aldı, çözümü karmaşıklaştırdı ve çoğu zaman hatalara yol açtı.

Viète birçok farklı keşif yaptı, ancak kendisi en çok ikinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkinin, yani "Viète teoremi" adı verilen ilişkinin kurulmasına değer verdi.

Bir sonraki derste bu teoremi ele alacağız.

Sorular:

1. Hangi denkleme indirgenmiş ikinci dereceden denklem denir?
2. Verilen ikinci dereceden denklemin köklerini bulmak için hangi formül kullanılabilir?
3. Verilen ikinci dereceden denklemin kök sayısını ne belirler?
4. İndirgenmiş ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı nedir?
5. Yukarıdaki ikinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasında nasıl bir ilişki vardır?
6. Bu bağlantıyı kim kurdu?

madde 4.5, No. 321(b,f) No.322(a,d,g,h)

Tabloyu doldurun.

Denklem	Kökler	Köklerin toplamı	Köklerin ürünü
X 2 – 8x + 7 = 0	1 ve 7	8	7

Edebiyat

SANTİMETRE. Nikolsky ve diğerleri, “MSU-School” serisinin “Cebir 8” ders kitabı - M .: Prosveshchenie, 2007.

Bu yazıda tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümüne bakacağız.

Ama önce hangi denklemlere ikinci dereceden denir tekrarlayalım. x'in bir değişken olduğu ve a, b ve c katsayılarının bazı sayılar olduğu ve a ≠ 0 olduğu ax 2 + bx + c = 0 formundaki bir denklem denir. kare. Gördüğümüz gibi, x 2'nin katsayısı sıfıra eşit değildir ve bu nedenle x'in veya serbest terimin katsayıları sıfıra eşit olabilir, bu durumda tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem elde ederiz.

Üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem vardır:

1) Eğer b = 0, c ≠ 0 ise ax 2 + c = 0;

2) Eğer b ≠ 0, c = 0 ise ax 2 + bx = 0;

3) Eğer b = 0, c = 0 ise ax 2 = 0 olur.

• Nasıl çözeceğimizi bulalım ax 2 + c = 0 formundaki denklemler.

Denklemi çözmek için serbest c terimini denklemin sağ tarafına taşırız, şunu elde ederiz:

balta 2 = ‒s. a ≠ 0 olduğundan denklemin her iki tarafını da a'ya böleriz, o zaman x 2 = ‒c/a olur.

‒с/а > 0 ise denklemin iki kökü vardır

x = ±√(–c/a) .

Eğer -c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Bu tür denklemlerin nasıl çözüleceğini örneklerle anlamaya çalışalım.

örnek 1. 2x 2 ‒ 32 = 0 denklemini çözün.

Cevap: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Örnek 2. 2x 2 + 8 = 0 denklemini çözün.

Cevap: Denklemin çözümü yoktur.

• Hadi bunu nasıl çözeceğimizi bulalım ax 2 + bx = 0 formundaki denklemler.

ax 2 + bx = 0 denklemini çözmek için çarpanlara ayıralım yani x'i parantezden çıkaralım, x(ax + b) = 0 elde ederiz. Faktörlerden en az biri eşitse çarpım sıfıra eşittir. sıfıra. O zaman ya x = 0 ya da ax + b = 0. ax + b = 0 denklemini çözerek ax = - b elde ederiz, dolayısıyla x = - b/a olur. ax 2 + bx = 0 formundaki bir denklemin her zaman iki kökü x 1 = 0 ve x 2 = ‒ b/a'dır. Bu tür denklemlerin çözümünün şemada nasıl göründüğüne bakın.

Bilgimizi belirli bir örnekle pekiştirelim.

Örnek 3. 3x 2 ‒ 12x = 0 denklemini çözün.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 veya 3x – 12 = 0

Cevap: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Üçüncü tip denklemler ax 2 = 0çok basit bir şekilde çözüldü.

Eğer ax 2 = 0 ise x 2 = 0 olur. Denklemin iki eşit kökü vardır: x 1 = 0, x 2 = 0.

Açıklık sağlamak için şemaya bakalım.

Örnek 4'ü çözerken bu tür denklemlerin çok basit bir şekilde çözülebileceğinden emin olalım.

Örnek 4. 7x 2 = 0 denklemini çözün.

Cevap: x 1, 2 = 0.

Ne tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi çözmemiz gerektiği her zaman hemen belli olmaz. Aşağıdaki örneği düşünün.

Örnek 5. Denklemi çözün

Denklemin her iki tarafını da ortak bir paydayla yani 30 ile çarpalım.

Hadi keselim

5(5x2 + 9) – 6(4x2 – 9) = 90.

Parantezleri açalım

25x2 + 45 – 24x2 + 54 = 90.

Benzerini verelim

99'u denklemin sol tarafından sağa kaydıralım, işaretini ters çevirelim

Cevap: Kök yok.

Eksik ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğüne baktık. Umarım artık bu tür görevlerde herhangi bir zorluk yaşamayacaksınız. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemin türünü belirlerken dikkatli olun, o zaman başarılı olursunuz.

Bu konuyla ilgili sorularınız varsa derslerime kaydolun, ortaya çıkan sorunları birlikte çözelim.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

İÇİNDE modern toplum kare değişkeni içeren denklemlerle işlem yapma yeteneği birçok faaliyet alanında yararlı olabilir ve pratikte bilimsel ve teknik gelişmeler. Bunun kanıtı deniz ve nehir gemilerinin, uçakların ve füzelerin tasarımında bulunabilir. Bu tür hesaplamaları kullanarak, en büyük hareket yörüngeleri farklı bedenler uzay nesneleri dahil. İkinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler yalnızca ekonomik tahminlerde, binaların tasarımında ve yapımında değil, aynı zamanda en sıradan günlük koşullarda da kullanılmaktadır. Yürüyüş gezilerinde, spor etkinliklerinde, mağazalarda alışveriş yaparken ve diğer çok yaygın durumlarda bunlara ihtiyaç duyulabilir.

İfadeyi bileşen faktörlerine ayıralım

Denklemin derecesi belirlenir maksimum değer Bu ifadenin içerdiği değişkenin derecesi. 2'ye eşitse, böyle bir denklem ikinci dereceden olarak adlandırılır.

Formül diliyle konuşursak, belirtilen ifadeler, nasıl görünürse görünsün, ifadenin sol tarafı üç terimden oluştuğunda her zaman forma getirilebilir. Bunlar arasında: ax 2 (yani, katsayısı ile karesi olan bir değişken), bx (katsayısıyla karesi olmayan bir bilinmeyen) ve c (serbest bir bileşen, yani sıradan bir sayı). Sağ taraftaki tüm bunlar 0'a eşittir. Böyle bir polinomun, ax 2 hariç kendisini oluşturan terimlerden birinin eksik olması durumunda, buna tamamlanmamış ikinci dereceden denklem denir. Bu tür problemlerin çözümüne yönelik örneklerde öncelikle bulunması kolay olan değişkenlerin değerleri dikkate alınmalıdır.

İfadenin sağ tarafında iki terim var gibi görünüyorsa, daha doğrusu ax 2 ve bx, x'i bulmanın en kolay yolu değişkeni parantezlerin dışına çıkarmaktır. Şimdi denklemimiz şöyle görünecek: x(ax+b). Daha sonra, ya x=0 olduğu ya da problemin şu ifadeden bir değişken bulmakta olduğu açıkça ortaya çıkıyor: ax+b=0. Bu, çarpmanın özelliklerinden biri tarafından belirlenir. Kural, iki faktörün çarpımının yalnızca biri sıfır olduğunda 0 ile sonuçlanacağını belirtir.

Örnek

x=0 veya 8x - 3 = 0

Sonuç olarak denklemin iki kökünü elde ederiz: 0 ve 0,375.

Bu tür denklemler, koordinatların orijini olarak alınan belirli bir noktadan itibaren hareket etmeye başlayan yerçekiminin etkisi altındaki cisimlerin hareketini tanımlayabilir. Burada matematiksel gösterim alır aşağıdaki form: y = v 0 t + gt 2/2. Gerekli değerleri yerine koyarak, sağ tarafı 0'a eşitleyerek ve olası bilinmeyenleri bularak, cismin yükseldiği andan düştüğü ana kadar geçen süreyi ve daha birçok niceliği bulabilirsiniz. Ama bunu daha sonra konuşacağız.

Bir İfadeyi Faktoringe Alma

Yukarıda açıklanan kural, bu sorunları daha fazla çözmeyi mümkün kılar. zor vakalar. Bu tür ikinci dereceden denklemleri çözme örneklerine bakalım.

X 2 - 33x + 200 = 0

Bu ikinci dereceden trinomial tamamlandı. Öncelikle ifadeyi dönüştürüp çarpanlarına ayıralım. Bunlardan iki tane var: (x-8) ve (x-25) = 0. Sonuç olarak elimizde 8 ve 25 olmak üzere iki kök var.

9. sınıfta ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler, bu yöntemin yalnızca ikinci dereceden değil, üçüncü ve dördüncü dereceden ifadelerde de bir değişken bulmasına olanak tanır.

Örneğin: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Sağ tarafı değişkenli çarpanlara ayırdığımızda bunlardan üç tane vardır, yani (x+1), (x-3) ve (x+ 3).

Sonuç olarak bu denklemin üç kökü olduğu ortaya çıkıyor: -3; -1; 3.

Kare kök

Tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklemin başka bir durumu, harf dilinde sağ tarafı ax 2 ve c bileşenlerinden oluşturulacak şekilde temsil edilen bir ifadedir. Burada değişkenin değerini elde etmek için serbest terim aktarılır. Sağ Taraf ve bundan sonra eşitliğin her iki tarafından da çıkarıyoruz Kare kök. Bu durumda genellikle denklemin iki kökü olduğuna dikkat edilmelidir. Tek istisna, değişkenin sıfıra eşit olduğu, hiç terim içermeyen eşitlikler ve sağ tarafın negatif olduğu ifadelerin çeşitleri olabilir. İkinci durumda, yukarıdaki eylemler köklerle gerçekleştirilemediğinden hiçbir çözüm yoktur. Bu tür ikinci dereceden denklemlerin çözüm örnekleri dikkate alınmalıdır.

Bu durumda denklemin kökleri -4 ve 4 sayıları olacaktır.

Arazi alanının hesaplanması

Bu tür hesaplamalara olan ihtiyaç ortaya çıktı. eski Çağlarçünkü o uzak zamanlarda matematiğin birçok yönden gelişimi, arazi parsellerinin alanlarını ve çevrelerini en yüksek doğrulukla belirleme ihtiyacıyla belirlendi.

Bu tür problemlere dayanarak ikinci dereceden denklemleri çözme örneklerini de düşünmeliyiz.

Diyelim ki uzunluğu genişliğinden 16 metre daha fazla olan dikdörtgen bir arsa var. Alanının 612 m2 olduğunu biliyorsanız sitenin uzunluğunu, genişliğini ve çevresini bulmalısınız.

Başlamak için önce gerekli denklemi oluşturalım. Alanın genişliğini x ile gösterirsek uzunluğu (x+16) olur. Yazılmış olanlardan, alanın, problemimizin koşullarına göre 612 olan x(x+16) ifadesiyle belirlendiği anlaşılmaktadır. Bu, x(x+16) = 612 anlamına gelir.

İkinci dereceden denklemlerin tam çözümü, ki bu ifade tam da budur, aynı şekilde yapılamaz. Neden? Sol tarafta hala iki faktör bulunsa da çarpımları hiç 0'a eşit olmadığından burada farklı yöntemler kullanılıyor.

diskriminant

Öncelikle gerekli dönüşümleri yapalım, ardından dış görünüş Bu ifadenin şekli şöyle görünecektir: x 2 + 16x - 612 = 0. Bu, daha önce belirtilen standarda karşılık gelen formda, a=1, b=16, c=-612 olan bir ifade aldığımız anlamına gelir.

Bu, ikinci dereceden denklemleri bir diskriminant kullanarak çözmenin bir örneği olabilir. Burada gerekli hesaplamalarşemaya göre üretilir: D = b 2 - 4ac. Bu yardımcı miktar sadece ikinci dereceden bir denklemde gerekli miktarları bulmayı mümkün kılmakla kalmaz, aynı zamanda miktarı da belirler. olası seçenekler. D>0 ise iki tane vardır; D=0 için bir kök vardır. D durumunda<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Kökler ve formülleri hakkında

Bizim durumumuzda diskriminant şuna eşittir: 256 - 4(-612) = 2704. Bu, problemimizin bir cevabı olduğunu gösteriyor. Eğer k'yı biliyorsanız ikinci dereceden denklemlerin çözümüne aşağıdaki formül kullanılarak devam edilmelidir. Kökleri hesaplamanızı sağlar.

Bu, sunulan durumda şu anlama gelir: x 1 =18, x 2 =-34. Bu ikilemde ikinci seçenek çözüm olamaz çünkü arsanın boyutları negatif büyüklüklerle ölçülemez, yani x (yani arsanın genişliği) 18 m olur.Buradan uzunluğu hesaplıyoruz: 18 +16=34 ve çevre 2(34+ 18)=104(m2).

Örnekler ve görevler

İkinci dereceden denklemler çalışmamıza devam ediyoruz. Bunlardan birkaçının örnekleri ve ayrıntılı çözümleri aşağıda verilecektir.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Her şeyi eşitliğin sol tarafına taşıyalım, bir dönüşüm yapalım yani standart denilen denklem türünü elde edip sıfıra eşitleyelim.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Benzerlerini toplayarak diskriminantı belirliyoruz: D = 49 - 48 = 1. Bu, denklemimizin iki kökü olacağı anlamına gelir. Bunları yukarıdaki formüle göre hesaplayalım, yani birincisi 4/3'e, ikincisi ise 1'e eşit olacaktır.

2) Şimdi farklı türden gizemleri çözelim.

Burada herhangi bir kök olup olmadığını bulalım x 2 - 4x + 5 = 1? Kapsamlı bir cevap elde etmek için polinomu karşılık gelen olağan forma indirgeyelim ve diskriminantı hesaplayalım. Yukarıdaki örnekte ikinci dereceden denklemi çözmeye gerek yoktur çünkü sorunun özü bu değildir. Bu durumda D = 16 - 20 = -4, yani aslında köklerin olmadığı anlamına gelir.

Vieta'nın teoremi

İkinci dereceden denklemleri yukarıdaki formülleri ve diskriminantı kullanarak, ikincisinin değerinden karekök alındığında çözmek uygundur. Ancak bu her zaman gerçekleşmez. Ancak bu durumda değişkenlerin değerlerini elde etmenin birçok yolu vardır. Örnek: İkinci dereceden denklemlerin Vieta teoremini kullanarak çözülmesi. Adını 16. yüzyılda Fransa'da yaşayan ve matematik yeteneği ve saraydaki bağlantıları sayesinde parlak bir kariyere sahip olan bir kişiden almıştır. Portresi makalede görülebilir.

Ünlü Fransız'ın fark ettiği desen şu şekildeydi. Denklemin köklerinin sayısal olarak toplamının -p=b/a olduğunu ve çarpımlarının q=c/a'ya karşılık geldiğini kanıtladı.

Şimdi belirli görevlere bakalım.

3x2 + 21x - 54 = 0

Basit olması açısından ifadeyi dönüştürelim:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta teoremini kullanalım, bu bize şunu verecektir: Köklerin toplamı -7 ve çarpımı -18'dir. Buradan denklemin köklerinin -9 ve 2 sayıları olduğunu anlıyoruz. Kontrol ettikten sonra bu değişken değerlerinin gerçekten ifadeye uyduğundan emin olacağız.

Parabol grafiği ve denklemi

İkinci dereceden fonksiyon ve ikinci dereceden denklem kavramları yakından ilişkilidir. Bunun örnekleri daha önce verilmişti. Şimdi bazı matematik bilmecelerine biraz daha detaylı bakalım. Tanımlanan türdeki herhangi bir denklem görsel olarak temsil edilebilir. Grafik olarak çizilen böyle bir ilişkiye parabol denir. Çeşitli türleri aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Her parabolün bir tepe noktası, yani dallarının çıktığı bir nokta vardır. Eğer a>0 ise, sonsuza kadar yükselirler ve<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Fonksiyonların görsel temsilleri, ikinci dereceden denklemler de dahil olmak üzere tüm denklemlerin çözülmesine yardımcı olur. Bu yönteme grafik denir. X değişkeninin değeri ise grafik çizgisinin 0x ile kesiştiği noktalardaki apsis koordinatıdır. Tepe noktasının koordinatları az önce verilen x 0 = -b/2a formülü kullanılarak bulunabilir. Ve ortaya çıkan değeri fonksiyonun orijinal denkleminde değiştirerek, y 0'ı, yani ordinat eksenine ait olan parabolün tepe noktasının ikinci koordinatını bulabilirsiniz.

Bir parabolün dallarının apsis ekseni ile kesişimi

İkinci dereceden denklemleri çözmenin birçok örneği vardır, ancak aynı zamanda genel modeller de vardır. Şimdi onlara bakalım. a>0 için grafiğin 0x ekseni ile kesişmesinin ancak 0'ın negatif değer alması durumunda mümkün olacağı açıktır. Ve bir için<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Aksi takdirde D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Parabolün grafiğinden kökleri de belirleyebilirsiniz. Bunun tersi de doğrudur. Yani ikinci dereceden bir fonksiyonun görsel temsilini elde etmek kolay değilse ifadenin sağ tarafını 0'a eşitleyebilir ve ortaya çıkan denklemi çözebilirsiniz. Ve 0x ekseni ile kesişme noktalarını bilerek bir grafik oluşturmak daha kolaydır.

Tarihten

Eskiden kare değişkeni içeren denklemleri kullanarak sadece matematiksel hesaplamalar yapmakla kalmıyor, geometrik şekillerin alanlarını da belirliyorlardı. Kadim insanlar, fizik ve astronomi alanlarındaki büyük keşiflerin yanı sıra astrolojik tahminler yapmak için de bu tür hesaplamalara ihtiyaç duyuyorlardı.

Modern bilim adamlarının önerdiği gibi, Babil sakinleri ikinci dereceden denklemleri ilk çözenler arasındaydı. Bu, çağımızdan dört yüzyıl önce oldu. Elbette onların hesaplamaları şu anda kabul edilenlerden kökten farklıydı ve çok daha ilkel olduğu ortaya çıktı. Örneğin Mezopotamyalı matematikçilerin negatif sayıların varlığından haberleri yoktu. Ayrıca herhangi bir modern okul çocuğunun bildiği diğer inceliklere de aşina değillerdi.

Belki de Babil'deki bilim adamlarından bile önce, Hintli bilge Baudhayama ikinci dereceden denklemleri çözmeye başladı. Bu, İsa'nın döneminden yaklaşık sekiz yüzyıl önce gerçekleşti. Doğru, ikinci dereceden denklemler, verdiği çözme yöntemleri en basitleriydi. Onun yanı sıra Çinli matematikçiler de eski günlerde benzer sorularla ilgileniyorlardı. Avrupa'da ikinci dereceden denklemler ancak 13. yüzyılın başında çözülmeye başlandı, ancak daha sonra Newton, Descartes ve diğerleri gibi büyük bilim adamları tarafından çalışmalarında kullanıldılar.

", yani birinci dereceden denklemler. Bu derste bakacağız ikinci dereceden denklem denir ve nasıl çözüleceği.

İkinci dereceden denklem nedir?

Önemli!

Bir denklemin derecesi bilinmeyenin bulunduğu en yüksek dereceye göre belirlenir.

Bilinmeyenlerin maksimum gücü “2” ise ikinci dereceden bir denkleminiz olur.

İkinci dereceden denklem örnekleri

• 5x2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Önemli! İkinci dereceden bir denklemin genel formu şöyle görünür:

bir x 2 + b x + c = 0

• “a” birinci veya en yüksek katsayıdır;
• “b” ikinci katsayıdır;
• “c” ücretsiz bir üyedir.

“a”, “b” ve “c”yi bulmak için denkleminizi “ax 2 + bx + c = 0” ikinci dereceden denklemin genel formuyla karşılaştırmanız gerekir.

İkinci dereceden denklemlerde "a", "b" ve "c" katsayılarını belirlemeye çalışalım.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• bir = 1
• b = 0,25
• c = 0

• bir = 1
• b = 0
• c = −8

İkinci Dereceden Denklemler Nasıl Çözülür?

İkinci dereceden denklemlerin çözümünde doğrusal denklemlerden farklı olarak özel bir yöntem kullanılır. kökleri bulma formülü.

Hatırlamak!

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için ihtiyacınız olan:

• İkinci dereceden denklemi “ax 2 + bx + c = 0” genel formuna getirin. Yani sağ tarafta sadece “0” kalmalı;
• kökler için formülü kullanın:

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için formülün nasıl kullanılacağına ilişkin bir örneğe bakalım. İkinci dereceden bir denklem çözelim.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 − 3x − 4 = 0" denklemi zaten "ax 2 + bx + c = 0" genel formuna indirgenmiştir ve ek basitleştirme gerektirmez. Bunu çözmek için uygulamamız yeterli İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü.

Bu denklem için “a”, “b” ve “c” katsayılarını belirleyelim.

Herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek için kullanılabilir.

“x 1;2 =” formülünde radikal ifade sıklıkla değiştirilir
“D” harfine “b 2 − 4ac” denir ve diskriminant olarak adlandırılır. Ayrımcı kavramı “Ayrımcı nedir” dersinde daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

İkinci dereceden denklemin başka bir örneğine bakalım.

x 2 + 9 + x = 7x

Bu formda “a”, “b” ve “c” katsayılarını belirlemek oldukça zordur. Öncelikle denklemi “ax 2 + bx + c = 0” genel formuna indirgeyelim.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Artık kökler için formülü kullanabilirsiniz.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

İkinci dereceden denklemlerin köklerinin olmadığı zamanlar vardır. Bu durum, formülün kök altında negatif bir sayı içerdiğinde ortaya çıkar.