Kesirli doğrusal fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Fonksiyonlar ve grafikleri

Belediye Eğitim kurumu

"24 No'lu Ortaokul"

Probleme dayalı soyut çalışma

cebir ve analiz ilkeleri üzerine

Kesirli rasyonel fonksiyonların grafikleri

11. sınıf öğrencileri Tovchegrechko Natalya Sergeevna çalışma danışmanı Valentina Vasilievna Parsheva matematik öğretmeni, en yüksek yeterlilik kategorisinin öğretmeni

Severodvinsk

giriiş

ÜZERİNDE. Virchenko, I.I. Lyashko, K.I. Shvetsov. Dizin. Fonksiyon grafikleri. Kiev “Naukova Dumka” 1979 V.S. Kramor. Tekrarlayın ve sistemleştirin okul kursu Cebir ve analizin başlangıcı. Moskova “Aydınlanma” 1990 Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk. Cebir – 8. sınıf. Okul ders kitabı için ek bölümler. Moskova “Aydınlanma”, 1998 I.M. Gelfand, E.G. Glagoleva, E.E. Şnol. Fonksiyonlar ve grafikler (temel teknikler). Yayınevi MCNMO, Moskova 2004 S.M. Nikolsky. M.K. Potapov, N.N. Reşetnikov, A.V. Şevkin. Cebir ve analizin başlangıcı: 11. sınıf ders kitabı.
Karmaşık fonksiyonların grafiklerinin türevler kullanılmadan oluşturulabileceğini gördüm. temel yollarla. Bu nedenle makalemin konusunu “Kesirli rasyonel fonksiyonların grafikleri” olarak seçtim.

Ana bölüm. Kesirli rasyonel fonksiyonların grafikleri

1. Kesirli - doğrusal fonksiyon ve grafiği

Pirinç. 1

.

Bu formülün sağ tarafındaki ifadeyi kesir olarak gösterelim:

Bu, Şekil 2'nin formülle verilen fonksiyonun grafiğini gösterdiği anlamına gelir.

.

Bu kesirin x'e göre doğrusal binom olan bir payı ve paydası vardır. Bu tür fonksiyonlara kesirli doğrusal fonksiyonlar denir.

Genel olarak, formdaki bir formülle tanımlanan bir fonksiyon
, Nerede
x bir değişkendir, a,

.

Eğer bc-ad=0, c≠0 ise, bu eşitlikten b'yi a, c ve d aracılığıyla ifade edip formülde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

Yani ilk durumda doğrusal bir fonksiyonumuz var Genel görünüm
, ikinci durumda – bir sabit
. Şimdi aşağıdaki formdaki bir formülle verilmişse doğrusal kesirli bir fonksiyonun nasıl çizileceğini gösterelim.
Örnek 2. Fonksiyonun grafiğini çizelim
yani şeklinde sunalım
: kesrin tüm kısmını seçeriz, payı paydaya böleriz, şunu elde ederiz:

Bu yüzden,
. Bu fonksiyonun grafiğinin, y=5/x fonksiyonunun grafiğinden iki ardışık kaydırma kullanılarak elde edilebildiğini görüyoruz: y=5/x hiperbolünü 3 birim sağa kaydırmak ve ardından elde edilen hiperbolü kaydırmak
Bu kaymalarla, y = 5/x hiperbolünün asimptotları da hareket edecektir: x ekseni 2 birim yukarı ve y ekseni 3 birim sağa. Bir grafik oluşturmak için koordinat düzleminde noktalı bir çizgiyle asimptotlar çizeriz: düz çizgi y=2 ve düz çizgi x=3. Hiperbol iki daldan oluştuğu için her birini oluşturmak için iki tablo oluşturacağız: biri x için<3, а другую для x>3 (yani birincisi asimptotların kesişme noktasının solunda, ikincisi ise sağında):

her kesri severim
benzer şekilde tüm kısmı vurgulanarak yazılabilir. Sonuç olarak, tüm kesirli doğrusal fonksiyonların grafikleri hiperboldür, çeşitli şekillerde koordinat eksenlerine paralel kaydırılmış ve Oy ekseni boyunca uzatılmıştır.

Örnek 3.

Fonksiyonun grafiğini çizelim
Grafiğin bir hiperbol olduğunu bildiğimiz için dallarının (asimptotlarının) yaklaştığı düz çizgileri ve birkaç noktayı daha bulmak yeterlidir. Önce dikey asimptotu bulalım. Fonksiyon 2x+2=0 olduğunda tanımlanmamıştır; x=-1'de. Bu nedenle dikey asimptot x = -1 düz çizgisidir. Yatay asimptotu bulmak için, argüman arttığında (mutlak değerde) fonksiyon değerlerinin neye yaklaştığına, kesrin pay ve paydasındaki ikinci terimlere bakmanız gerekir.
nispeten küçük. Bu yüzden

.

Bu nedenle yatay asimptot y=3/2 düz çizgisidir. Hiperbolümüzün koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını belirleyelim. x=0'da y=5/2 var. 3x+5=0 olduğunda fonksiyon sıfıra eşittir; x = -5/3. Çizimde (-5/3;0) ve (0;5/2) noktalarını işaretleyip bulunan yatay ve dikey asimptotları çizerek bir grafik oluşturacağız (Şekil 4) .

Genel olarak yatay asimptotu bulmak için payı paydaya bölmeniz gerekir, o zaman y=3/2+1/(x+1), y=3/2 yatay asimptot olur.

2. Kesirli rasyonel fonksiyon

,

Pay ve paydanın n'inci ve n'inci polinomlar olduğu m'inci derece. Kesir uygun bir kesir olsun (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

Burada k 1 ... k s, sırasıyla m 1 ... m s çokluklarına sahip olan Q (x) polinomunun kökleridir ve trinomialler, m 1 .. çokluğunun karmaşık kökleri Q (x)'in eşlenik çiftlerine karşılık gelir. formun m t kesirleri

İsminde temel rasyonel kesirler sırasıyla birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü tipler. Burada A, B, C, k reel sayılardır; m ve m - doğal sayılar, m, m>1; gerçek katsayıları x 2 +px+q olan bir üç terimlinin hayali kökleri vardır.Açıkçası, kesirli-rasyonel bir fonksiyonun grafiği, temel kesirlerin grafiklerinin toplamı olarak elde edilebilir. Bir fonksiyonun grafiği

1/x m (m~1, 2, ...) fonksiyonunun grafiğinden, apsis ekseni boyunca sağa doğru │k│ ölçek birimleriyle paralel öteleme kullanarak elde ederiz. Formun bir fonksiyonunun grafiği

Paydada tam bir kare seçip ardından 1/x 2 fonksiyonunun grafiğinin karşılık gelen oluşumunu gerçekleştirirseniz bunu oluşturmak kolaydır. Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi

iki fonksiyonun grafiklerinin çarpımını oluşturmaya gelir:

sen= Bx+ C Ve

Nerede a d-b c 0 ,
,

nerede n - doğal sayı tarafından gerçekleştirilebilir genel şema Bir fonksiyonu araştırmak ve bazı durumlarda grafik çizmek spesifik örnekler Uygun grafik dönüşümlerini gerçekleştirerek başarıyla bir grafik oluşturabilirsiniz; en iyi yol Yüksek matematik yöntemlerini verir. Örnek 1. Fonksiyonun grafiğini çizin

.

Bütün parçayı izole ettikten sonra,

.

Kesir
Bunu temel kesirlerin toplamı olarak temsil edelim:

.

Fonksiyonların grafiklerini oluşturalım:

Bu grafikleri topladıktan sonra verilen fonksiyonun grafiğini elde ederiz:

Şekil 6, 7, 8'de fonksiyon grafiklerinin oluşturulmasına ilişkin örnekler sunulmaktadır
Ve
. Örnek 2. Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi
:

(1);
(2);
(3); (4)

(1);
(2);
(3); (4)

Çözüm

nerede

Bu fonksiyonların grafiklerini çizmek için bir algoritma oluşturuldu;

Aşağıdaki gibi fonksiyonların grafiğini çizme konusunda deneyim kazandım:

;

Ek literatür ve materyallerle çalışmayı, bilimsel bilgileri seçmeyi öğrendim; - Bilgisayarda grafik çalışmaları yapma konusunda deneyim kazandım; - Probleme dayalı soyut çalışmaların nasıl yazılacağını öğrendim.

Dipnot. 21. yüzyılın arifesinde, bilgi otoyolu ve gelecek teknoloji çağı hakkında bitmek bilmeyen bir konuşma ve spekülasyon bombardımanına tutulduk.

21. yüzyılın arifesinde, bilgi otoyolu ve gelecek teknoloji çağı hakkında bitmek bilmeyen bir konuşma ve spekülasyon bombardımanına tutulduk.

Burada katsayılar X pay ve paydadaki serbest terimlere reel sayılar verilmiştir. Genel durumda doğrusal kesirli bir fonksiyonun grafiği hiperbol.

En basit kesirli doğrusal fonksiyon y = - Sen-

grevler ters orantılı ilişki; onu temsil eden hiperbol lise derslerinden iyi bilinmektedir (Şekil 5.5).

Pirinç. 5.5

Örnek. 5.3

Doğrusal kesirli bir fonksiyonun grafiğini çizin:

• 1. Bu kesir ne zaman mantıklı olmadığından x = 3, O X fonksiyonunun alanı iki sonsuz aralıktan oluşur:
• 3) ve (3; +°°).

2. Tanım alanının sınırındaki bir fonksiyonun davranışını incelemek için (örn. X-»3 ve X-> ±°°), bu ifadeyi iki terimin toplamına aşağıdaki şekilde dönüştürmek yararlı olacaktır:

İlk terim sabit olduğundan, fonksiyonun sınırdaki davranışı aslında ikinci değişken terim tarafından belirlenir. Değişim sürecini inceledikten sonra, X->3 ve X->±°°, verilen fonksiyona ilişkin aşağıdaki sonuçları çıkarıyoruz:

• a) x->3 için sağda(yani *>3 için) fonksiyonun değeri sınırsız artar: en-> +°°: x->3'te sol(yani x y'de - Böylece istenen hiperbol, x = 3 denklemiyle sınırsız bir düz çizgiye yaklaşır. (sol alt Ve sağ üst) ve dolayısıyla bu düz çizgi dikey asimptot abartı;
• b) ne zaman x ->±°° ikinci terim sınırsız olarak azalır, böylece fonksiyonun değeri birinci, sabit terime sınırsız olarak yaklaşır, yani. değer vermek y = 2. Bu durumda fonksiyonun grafiği sınırsıza yaklaşır. (sol alt ve sağ üst) denklem tarafından verilen düz çizgiye y = 2; dolayısıyla bu çizgi Yatay asimptot abartı.

Yorum. Bu bölümde elde edilen bilgi, düzlemin uzak kısmındaki bir fonksiyonun grafiğinin davranışını karakterize etmek için en önemli bilgidir (mecazi anlamda, sonsuzlukta).

• 3. l = 0 varsayarsak, şunu buluruz: y = ~. Bu nedenle istenilen hy-

perbola ekseni kesiyor kuruluş birimi noktada Mx = (0;-^).

• 4. İşlev sıfır ( en= 0) ne zaman olacak X= -2; bu nedenle bu hiperbol eksenle kesişir Ah M2 noktasında (-2; 0).
• 5. Bir kesir, pay ve paydası aynı işarete sahipse pozitif, farklı işaretlere sahipse negatiftir. Karşılık gelen eşitsizlik sistemlerini çözerek, fonksiyonun iki pozitif aralığa sahip olduğunu buluyoruz: (-°°; -2) ve (3; +°°) ve bir negatif aralığa: (-2; 3).
• 6. Bir fonksiyonu iki terimin toplamı olarak temsil etmek (bkz. madde 2), iki azalma aralığını tespit etmeyi oldukça kolaylaştırır: (-°°; 3) ve (3; +°°).
• 7. Açıkçası, bu fonksiyonun hiçbir ekstreması yoktur.
• 8. Bu fonksiyonun değerlerinin Y'sini ayarlayın: (-°°; 2) ve (2; +°°).
• 9. Ayrıca çift, tek veya periyodiklik de yoktur. Toplanan bilgiler yeterli şematik olarak

abartı çizmek grafiksel olarak bu fonksiyonun özelliklerini yansıtır (Şekil 5.6).

Pirinç. 5.6

Bu noktaya kadar tartışılan işlevlere denir. cebirsel.Şimdi değerlendirmeye geçelim transandantal işlevler.

“SUBAŞI TEMEL EĞİTİM OKULU” BALTASI BELEDİYESİ İLÇESİ

TATARİSTAN CUMHURİYETİ

Ders geliştirme - 9. sınıf

Konu: Kesirli – Doğrusal Fonksiyondurum

yeterlilik kategorisi

GarifullinADemiryoluBENRifkatovna

201 4

Ders konusu: Kesirli doğrusal bir fonksiyondur.

Dersin amacı:

Eğitici: Öğrencileri kavramlarla tanıştırınkesirli – doğrusal fonksiyon ve asimptot denklemi;

Gelişimsel: Tekniklerin oluşumu mantıksal düşünme konuya ilginin gelişimi; tanım alanının belirlenmesini, kesirli doğrusal bir fonksiyonun değer alanını ve grafiğini oluşturma becerilerinin oluşumunu geliştirmek;

- motivasyon hedefi:Öğrencilerin matematik kültürünü, dikkatlerini beslemek, konuyu uygulama yoluyla çalışmaya ilgilerini sürdürmek ve geliştirmek çeşitli formlar bilginin ustalığı.

Ekipman ve literatür: Dizüstü bilgisayar, projektör, interaktif tahta y= fonksiyonunun koordinat düzlemi ve grafiği yansıma haritası, multimedya sunumu,Cebir: 9. sınıf temel ders kitabı ortaokul/ Yu.N. Makarychev, N.G. Mendyuk, K.I.Neshkov, S.B. Suvorova; S.A. Telyakovsky / M: “Prosveshchenie”, 2004, eklemelerle düzenlenmiştir.

Ders türü:

bilgi, beceri ve yeteneklerin geliştirilmesine ilişkin ders.

Dersler sırasında.

BEN Zamanı organize etmek:

Hedef: - sözlü hesaplama becerilerinin geliştirilmesi;

tekrarlama teorik materyaller ve yeni bir konuyu incelemek için gerekli tanımlar.

Tünaydın Derse ödevleri kontrol ederek başlıyoruz:

Ekrana dikkat (slayt 1-4):

1. Egzersiz.

Lütfen 3. soruyu bu fonksiyonun grafiğine göre cevaplayın (bulun en yüksek değer işlevler, ...)

( 24 )

Görev -2. İfadenin değerini hesaplayın:

- =

Görev-3: Köklerin toplamının üç katını bulun ikinci dereceden denklem:

X 2 -671∙X + 670= 0.

İkinci dereceden denklemin katsayılarının toplamı sıfırdır:

1+(-671)+670 = 0. Yani x 1 =1 ve x 2 = Buradan,

3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013

Şimdi 3 görevin de cevaplarını noktalar kullanarak sırayla yazalım. (24 Aralık 2013.)

Sonuç: Evet, doğru! Yani, bugünkü dersin konusu:

Kesirli doğrusal bir fonksiyondur.

Sürücünün yolda araç kullanmadan önce kuralları bilmesi gerekir trafik: yasaklayan ve izin veren işaretler. Bugün sen ve ben de bazı yasaklayıcı ve izin verici işaretleri hatırlamamız gerekiyor. Ekrana dikkat! (Slayt-6 )

Çözüm:

İfadenin hiçbir anlamı yok;

Doğru ifade, cevap: -2;

doğru ifade, cevap: -0;

0'ı sıfıra bölemezsiniz!

Lütfen her şeyin doğru şekilde yazıldığını unutmayın. (slayt – 7)

1) ; 2) = ; 3) = bir .

(1) gerçek eşitlik, 2) = - ; 3) = - A )

II. Yeni bir konu öğrenmek: (slayt – 8).

Hedef: Kesirli doğrusal bir fonksiyonun tanım tanım kümesini ve değer kümesini bulma, fonksiyonun grafiğinin apsis ve ordinat ekseni boyunca paralel aktarımını kullanarak grafiğini oluşturma becerilerini öğretmek.

Koordinat düzleminde hangi fonksiyonun grafiğinin çizildiğini belirleyin?

Bir fonksiyonun koordinat düzlemindeki grafiği verilmiştir.

Soru

Beklenen yanıt

Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun (D( sen)=?)

X ≠0 veya(-∞;0]UUU

Fonksiyonun grafiğini Ox ekseni (abscissa) boyunca paralel öteleme kullanarak 1 birim sağa hareket ettiriyoruz;

Hangi fonksiyonun grafiğini çizdiniz?

Fonksiyonun grafiğini paralel ötelemeyi kullanarak Oy (koordinat) ekseni boyunca 2 birim yukarıya doğru hareket ettiriyoruz;

Şimdi hangi fonksiyonun grafiğini çizdiniz?

Düz çizgiler çizin x=1 ve y=2

Nasıl düşünüyorsun? Siz ve ben hangi doğrudan mesajları aldık?

Bunlar düz olanlar, fonksiyon grafiğinin eğrisinin noktalarının sonsuza doğru uzaklaştıkça yaklaştığı nokta.

Ve onlara denir– asimptotlar.

Yani, hiperbolün bir asimptotu y eksenine paralel olarak 2 birim sağında uzanır ve ikinci asimptot ise x eksenine paralel olarak 1 birim yukarıda uzanır.

Tebrikler! Şimdi sonuca varalım:

Doğrusal kesirli bir fonksiyonun grafiği bir hiperboldür ve hiperbolden elde edilebilir: y =Koordinat eksenleri boyunca paralel ötelemeler kullanarak. Bunu yapmak için kesirli doğrusal fonksiyonun formülü aşağıdaki biçimde sunulmalıdır: y =

burada n, hiperbolün sağa veya sola kaydırıldığı birim sayısıdır, m ise hiperbolün yukarı veya aşağı kaydırıldığı birim sayısıdır. Bu durumda hiperbolün asimptotları x = m, y = n düz çizgilerine kaydırılır.

Kesirli doğrusal fonksiyon örnekleri verelim:

; .

Kesirli bir doğrusal fonksiyon, y = formunun bir fonksiyonudur , burada x bir değişkendir, a, b, c, d bazı sayılardır ve c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.

c≠0 vereklam- M.Ö≠0, çünkü c=0'da fonksiyon doğrusal bir fonksiyona dönüşür.

Eğerreklam- M.Ö=0, elde edilen kesir şuna eşit bir değerdir: (yani sabit).

Kesirli doğrusal fonksiyonun özellikleri:

1. Argümanın pozitif değerleri arttıkça fonksiyon değerleri azalır ve sıfıra yönelir ancak pozitif kalır.

2. Fonksiyonun pozitif değerleri arttıkça argümanın değerleri azalır ve sıfıra yönelir ancak pozitif kalır.

III – kapsanan malzemenin konsolidasyonu.

Hedef: - Sunum becerilerini ve yeteneklerini geliştirmekkesirli doğrusal fonksiyonun formülleri şu şekildedir:

Asimptot denklemleri oluşturma ve kesirli doğrusal fonksiyonun grafiğini çizme becerilerini güçlendirin.

Örnek 1:

Çözüm: Dönüşümleri kullanarak bu fonksiyonu formda temsil ediyoruz .

= (slayt 10)

Beden eğitimi dakikası:

(ısınma görevli memur tarafından yürütülür)

Hedef: - zihinsel stresi azaltmak ve öğrencilerin sağlığını iyileştirmek.

Ders kitabıyla çalışmak: No. 184.

Çözüm: Dönüşümleri kullanarak bu fonksiyonu y=k/(x-m)+n formunda temsil ediyoruz.

= de x≠0.

Asimptot denklemini yazalım: x=2 ve y=3.

Yani fonksiyonun grafiği Ox ekseni boyunca 2 birim sağında ve Oy ekseni boyunca 3 birim mesafede hareket eder.

Grup çalışması:

Hedef: - başkalarını dinleme ve aynı zamanda kendi fikrini özel olarak ifade etme yeteneğini geliştirmek;

liderlik yeteneğine sahip bir kişinin eğitimi;

Öğrencilerde matematiksel konuşma kültürünü beslemek.

Seçenek 1

Verilen fonksiyon:

.

.

Seçenek No.2

Bir fonksiyon verildiğinde

1. Doğrusal kesirli fonksiyonu azaltın standart görünüm ve asimptotların denklemini yazın.

2. Fonksiyonun tanım kümesini bulun

3. Fonksiyon değerleri kümesini bulun

1. Doğrusal kesirli fonksiyonu standart forma indirgeyin ve asimptot denklemini yazın.

2. Fonksiyonun tanım kümesini bulun.

3. Fonksiyonun değer kümesini bulun.

(Çalışmayı bitiren grup önce grup çalışmasını tahtada savunmaya hazırlanır. Çalışma analiz edilir.)

IV. Dersi özetlemek.

Hedef: - Teorik analiz ve pratik aktiviteler derste;

Öğrencilerde benlik saygısı becerilerinin oluşumu;

Öğrencilerin etkinliklerinin ve bilincinin yansıması, öz değerlendirmesi.

Ve böylece sevgili öğrencilerim! Ders sona eriyor. Bir yansıma kartı doldurmanız gerekir. Görüşlerinizi dikkatli ve okunaklı bir şekilde yazın

Soyadı ve adı ________________________________________

Ders adımları

Ders aşamalarının karmaşıklık düzeyinin belirlenmesi

Senin üçümüz

Dersteki aktivitenizin değerlendirilmesi, 1-5 puan

kolay

orta ağır

zor

Organizasyon aşaması

Yeni materyal öğrenme

Kesirli doğrusal fonksiyonun grafiğini oluşturma becerilerinin oluşturulması

Grup çalışması

Ders hakkında genel görüş

Ev ödevi:

Hedef: - bu konunun ustalık düzeyinin kontrol edilmesi.

[madde 10*, No. 180(a), 181(b).]

Devlet Sınavına Hazırlık: (Üzerinde çalışmak "Sanal seçmeli" )

Egzersiz yapmak GIA serisinden (No. 23 - maksimum puan):

Y= fonksiyonunun grafiğini çizinve y=c düz çizgisinin hangi c değerlerinde grafikle tam olarak bir ortak noktaya sahip olduğunu belirleyin.

Sorular ve ödevler 14.00-14.30 saatleri arasında yayınlanacaktır.

1. Kesirli doğrusal fonksiyon ve grafiği

P(x) ve Q(x)'in polinom olduğu y = P(x) / Q(x) formundaki bir fonksiyona kesirli rasyonel fonksiyon denir.

Muhtemelen rasyonel sayılar kavramına zaten aşinasınızdır. Aynı şekilde rasyonel fonksiyonlar iki polinomun bölümü olarak temsil edilebilen fonksiyonlardır.

Kesirli bir rasyonel fonksiyon, iki doğrusal fonksiyonun bölümü ise - birinci dereceden polinomlar, yani. formun işlevi

y = (ax + b) / (cx + d) ise buna kesirli doğrusal denir.

y = (ax + b) / (cx + d) fonksiyonunda c ≠ 0 (aksi takdirde fonksiyon doğrusal olur) ve a/c ≠ b/d (aksi halde fonksiyon doğrusal olur) olduğuna dikkat edin. fonksiyon sabittir). Doğrusal kesirli fonksiyon, x = -d/c dışındaki tüm gerçek sayılar için tanımlanır. Kesirli doğrusal fonksiyonların grafikleri bildiğiniz y = 1/x grafiğinden şekil olarak farklı değildir. y = 1/x fonksiyonunun grafiği olan bir eğriye denir. abartı. X'in mutlak değeri sınırsız bir artışla, y = 1/x fonksiyonunun mutlak değeri sınırsız azalır ve grafiğin her iki dalı da apsise yaklaşır: sağdaki yukarıdan, soldaki aşağıdan yaklaşır. Bir hiperbol yaklaşımının dallarının bulunduğu çizgilere hiperbol denir. asimptotlar.

Örnek 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Çözüm.

Parçanın tamamını seçelim: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Şimdi bu fonksiyonun grafiğinin y = 1/x fonksiyonunun grafiğinden aşağıdaki dönüşümlerle elde edildiğini görmek kolaydır: 3 birim parça sağa kaydırma, Oy ekseni boyunca 7 kez uzatma ve 2 birim kaydırma birim segmentleri yukarı doğru.

Herhangi bir kesir y = (ax + b) / (cx + d) "tamsayı kısmı" vurgulanarak benzer şekilde yazılabilir. Sonuç olarak, tüm kesirli doğrusal fonksiyonların grafikleri, koordinat eksenleri boyunca çeşitli şekillerde kaydırılmış ve Oy ekseni boyunca uzatılmış hiperbollerdir.

Herhangi bir keyfi kesirli-doğrusal fonksiyonun grafiğini oluşturmak için, bu fonksiyonu tanımlayan kesri dönüştürmek hiç gerekli değildir. Grafiğin bir hiperbol olduğunu bildiğimiz için, dallarının yaklaştığı düz çizgileri (x = -d/c ve y = a/c hiperbolünün asimptotlarını) bulmak yeterli olacaktır.

Örnek 2.

y = (3x + 5)/(2x + 2) fonksiyonunun grafiğinin asimptotlarını bulun.

Çözüm.

Fonksiyon x = -1'de tanımlı değildir. Bu, x = -1 düz çizgisinin dikey bir asimptot görevi gördüğü anlamına gelir. Yatay asimptotu bulmak için x argümanının mutlak değeri arttığında y(x) fonksiyonunun değerlerinin neye yaklaştığını bulalım.

Bunu yapmak için kesrin payını ve paydasını x'e bölün:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

x → ∞ olduğundan kesir 3/2 olacaktır. Bu, yatay asimptotun y = 3/2 düz çizgisi olduğu anlamına gelir.

Örnek 3.

y = (2x + 1)/(x + 1) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Kesrin “tam kısmını” seçelim:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Artık bu fonksiyonun grafiğinin, y = 1/x fonksiyonunun grafiğinden aşağıdaki dönüşümlerle elde edildiğini görmek kolaydır: 1 birim sola kaydırma, Ox'e göre simetrik bir gösterim ve 1 birim sola kaydırma. Oy ekseni boyunca 2 birim segment yukarı.

Etki Alanı D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Değer aralığı E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Eksenlerle kesişme noktaları: c Oy: (0; 1); c Öküz: (-1/2; 0). Fonksiyon, tanım bölgesinin her aralığında artar.

Cevap: Şekil 1.

2. Kesirli rasyonel fonksiyon

y = P(x) / Q(x) formunda kesirli bir rasyonel fonksiyon düşünün; burada P(x) ve Q(x) birinciden daha yüksek dereceli polinomlardır.

Bu tür rasyonel fonksiyonlara örnekler:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) veya y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Eğer y = P(x) / Q(x) fonksiyonu birinciden daha yüksek dereceli iki polinomun bölümünü temsil ediyorsa, bu durumda grafiği kural olarak daha karmaşık olacaktır ve bazen onu doğru bir şekilde oluşturmak zor olabilir. , tüm detaylarıyla. Ancak yukarıda tanıttığımız tekniklere benzer tekniklerin kullanılması çoğu zaman yeterlidir.

Kesir uygun bir kesir olsun (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Açıkçası, kesirli bir rasyonel fonksiyonun grafiği, temel kesirlerin grafiklerinin toplamı olarak elde edilebilir.

Kesirli rasyonel fonksiyonların grafiklerini çizme

Kesirli rasyonel fonksiyonun grafiklerini oluşturmanın birkaç yolunu ele alalım.

Örnek 4.

y = 1/x 2 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Y = 1/x 2 grafiğini oluşturmak için y = x 2 fonksiyonunun grafiğini kullanırız ve grafikleri “bölme” tekniğini kullanırız.

Etki Alanı D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Değer aralığı E(y) = (0; +∞).

Eksenler ile kesişme noktaları yoktur. Fonksiyon eşittir. (-∞; 0) aralığından itibaren tüm x için artar, x için 0'dan +∞'a azalır.

Cevap: Şekil 2.

Örnek 5.

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Etki Alanı D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Burada çarpanlara ayırma, azaltma ve doğrusal bir fonksiyona indirgeme tekniğini kullandık.

Cevap: Şekil 3.

Örnek 6.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Tanım alanı D(y) = R'dir. Fonksiyon çift olduğundan grafik ordinatlara göre simetriktir. Bir grafik oluşturmadan önce, ifadenin tamamını vurgulayarak ifadeyi yeniden dönüştürelim:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Kesirli bir rasyonel fonksiyonun formülündeki tamsayı kısmı izole etmenin, grafik oluştururken ana kısımlardan biri olduğunu unutmayın.

Eğer x → ±∞ ise, o zaman y → 1, yani. y = 1 düz çizgisi yatay bir asimptottur.

Cevap: Şekil 4.

Örnek 7.

y = x/(x 2 + 1) fonksiyonunu ele alalım ve onun en büyük değerini doğru bir şekilde bulmaya çalışalım; Grafiğin sağ yarısındaki en yüksek nokta. Bu grafiğin doğru bir şekilde oluşturulabilmesi için günümüzün bilgisi yeterli değildir. Açıkçası eğrimiz çok yükseğe çıkamaz çünkü payda hızla payı "sollamaya" başlar. Bakalım fonksiyonun değeri 1'e eşit olabilecek mi? Bunun için x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 denklemini çözmemiz gerekiyor. Bu denklemin gerçel kökleri yoktur. Bu, varsayımımızın yanlış olduğu anlamına gelir. Fonksiyonun en büyük değerini bulmak için, A = x/(x 2 + 1) denkleminin hangi en büyük A'da çözüme sahip olacağını bulmanız gerekir. Orijinal denklemi ikinci dereceden bir denklemle değiştirelim: Ax 2 – x + A = 0. Bu denklemin 1 – 4A 2 ≥ 0 olduğunda çözümü vardır. Buradan en büyük A = 1/2 değerini buluruz.

Cevap: Şekil 5, maksimum y(x) = ½.

Hala sorularınız mı var? Fonksiyonların grafiğini nasıl çizeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

1. Kesirli doğrusal fonksiyon ve grafiği

P(x) ve Q(x)'in polinom olduğu y = P(x) / Q(x) formundaki bir fonksiyona kesirli rasyonel fonksiyon denir.

Muhtemelen rasyonel sayılar kavramına zaten aşinasınızdır. Aynı şekilde rasyonel fonksiyonlar iki polinomun bölümü olarak temsil edilebilen fonksiyonlardır.

Kesirli bir rasyonel fonksiyon, iki doğrusal fonksiyonun bölümü ise - birinci dereceden polinomlar, yani. formun işlevi

y = (ax + b) / (cx + d) ise buna kesirli doğrusal denir.

y = (ax + b) / (cx + d) fonksiyonunda c ≠ 0 (aksi takdirde fonksiyon doğrusal olur) ve a/c ≠ b/d (aksi halde fonksiyon doğrusal olur) olduğuna dikkat edin. fonksiyon sabittir). Doğrusal kesirli fonksiyon, x = -d/c dışındaki tüm gerçek sayılar için tanımlanır. Kesirli doğrusal fonksiyonların grafikleri bildiğiniz y = 1/x grafiğinden şekil olarak farklı değildir. y = 1/x fonksiyonunun grafiği olan bir eğriye denir. abartı. X'in mutlak değeri sınırsız bir artışla, y = 1/x fonksiyonunun mutlak değeri sınırsız azalır ve grafiğin her iki dalı da apsise yaklaşır: sağdaki yukarıdan, soldaki aşağıdan yaklaşır. Bir hiperbol yaklaşımının dallarının bulunduğu çizgilere hiperbol denir. asimptotlar.

Örnek 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Çözüm.

Parçanın tamamını seçelim: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Şimdi bu fonksiyonun grafiğinin y = 1/x fonksiyonunun grafiğinden aşağıdaki dönüşümlerle elde edildiğini görmek kolaydır: 3 birim parça sağa kaydırma, Oy ekseni boyunca 7 kez uzatma ve 2 birim kaydırma birim segmentleri yukarı doğru.

Herhangi bir kesir y = (ax + b) / (cx + d) "tamsayı kısmı" vurgulanarak benzer şekilde yazılabilir. Sonuç olarak, tüm kesirli doğrusal fonksiyonların grafikleri, koordinat eksenleri boyunca çeşitli şekillerde kaydırılmış ve Oy ekseni boyunca uzatılmış hiperbollerdir.

Herhangi bir keyfi kesirli-doğrusal fonksiyonun grafiğini oluşturmak için, bu fonksiyonu tanımlayan kesri dönüştürmek hiç gerekli değildir. Grafiğin bir hiperbol olduğunu bildiğimiz için, dallarının yaklaştığı düz çizgileri (x = -d/c ve y = a/c hiperbolünün asimptotlarını) bulmak yeterli olacaktır.

Örnek 2.

y = (3x + 5)/(2x + 2) fonksiyonunun grafiğinin asimptotlarını bulun.

Çözüm.

Fonksiyon x = -1'de tanımlı değildir. Bu, x = -1 düz çizgisinin dikey bir asimptot görevi gördüğü anlamına gelir. Yatay asimptotu bulmak için x argümanının mutlak değeri arttığında y(x) fonksiyonunun değerlerinin neye yaklaştığını bulalım.

Bunu yapmak için kesrin payını ve paydasını x'e bölün:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

x → ∞ olduğundan kesir 3/2 olacaktır. Bu, yatay asimptotun y = 3/2 düz çizgisi olduğu anlamına gelir.

Örnek 3.

y = (2x + 1)/(x + 1) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Kesrin “tam kısmını” seçelim:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Artık bu fonksiyonun grafiğinin, y = 1/x fonksiyonunun grafiğinden aşağıdaki dönüşümlerle elde edildiğini görmek kolaydır: 1 birim sola kaydırma, Ox'e göre simetrik bir gösterim ve 1 birim sola kaydırma. Oy ekseni boyunca 2 birim segment yukarı.

Etki Alanı D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Değer aralığı E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Eksenlerle kesişme noktaları: c Oy: (0; 1); c Öküz: (-1/2; 0). Fonksiyon, tanım bölgesinin her aralığında artar.

Cevap: Şekil 1.

2. Kesirli rasyonel fonksiyon

y = P(x) / Q(x) formunda kesirli bir rasyonel fonksiyon düşünün; burada P(x) ve Q(x) birinciden daha yüksek dereceli polinomlardır.

Bu tür rasyonel fonksiyonlara örnekler:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) veya y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Eğer y = P(x) / Q(x) fonksiyonu birinciden daha yüksek dereceli iki polinomun bölümünü temsil ediyorsa, bu durumda grafiği kural olarak daha karmaşık olacaktır ve bazen onu doğru bir şekilde oluşturmak zor olabilir. , tüm detaylarıyla. Ancak yukarıda tanıttığımız tekniklere benzer tekniklerin kullanılması çoğu zaman yeterlidir.

Kesir uygun bir kesir olsun (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Açıkçası, kesirli bir rasyonel fonksiyonun grafiği, temel kesirlerin grafiklerinin toplamı olarak elde edilebilir.

Kesirli rasyonel fonksiyonların grafiklerini çizme

Kesirli rasyonel fonksiyonun grafiklerini oluşturmanın birkaç yolunu ele alalım.

Örnek 4.

y = 1/x 2 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Y = 1/x 2 grafiğini oluşturmak için y = x 2 fonksiyonunun grafiğini kullanırız ve grafikleri “bölme” tekniğini kullanırız.

Etki Alanı D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Değer aralığı E(y) = (0; +∞).

Eksenler ile kesişme noktaları yoktur. Fonksiyon eşittir. (-∞; 0) aralığından itibaren tüm x için artar, x için 0'dan +∞'a azalır.

Cevap: Şekil 2.

Örnek 5.

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Etki Alanı D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Burada çarpanlara ayırma, azaltma ve doğrusal bir fonksiyona indirgeme tekniğini kullandık.

Cevap: Şekil 3.

Örnek 6.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm.

Tanım alanı D(y) = R'dir. Fonksiyon çift olduğundan grafik ordinatlara göre simetriktir. Bir grafik oluşturmadan önce, ifadenin tamamını vurgulayarak ifadeyi yeniden dönüştürelim:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Kesirli bir rasyonel fonksiyonun formülündeki tamsayı kısmı izole etmenin, grafik oluştururken ana kısımlardan biri olduğunu unutmayın.

Eğer x → ±∞ ise, o zaman y → 1, yani. y = 1 düz çizgisi yatay bir asimptottur.

Cevap: Şekil 4.

Örnek 7.

y = x/(x 2 + 1) fonksiyonunu ele alalım ve onun en büyük değerini doğru bir şekilde bulmaya çalışalım; Grafiğin sağ yarısındaki en yüksek nokta. Bu grafiğin doğru bir şekilde oluşturulabilmesi için günümüzün bilgisi yeterli değildir. Açıkçası eğrimiz çok yükseğe çıkamaz çünkü payda hızla payı "sollamaya" başlar. Bakalım fonksiyonun değeri 1'e eşit olabilecek mi? Bunun için x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 denklemini çözmemiz gerekiyor. Bu denklemin gerçel kökleri yoktur. Bu, varsayımımızın yanlış olduğu anlamına gelir. Fonksiyonun en büyük değerini bulmak için, A = x/(x 2 + 1) denkleminin hangi en büyük A'da çözüme sahip olacağını bulmanız gerekir. Orijinal denklemi ikinci dereceden bir denklemle değiştirelim: Ax 2 – x + A = 0. Bu denklemin 1 – 4A 2 ≥ 0 olduğunda çözümü vardır. Buradan en büyük A = 1/2 değerini buluruz.

Cevap: Şekil 5, maksimum y(x) = ½.

Hala sorularınız mı var? Fonksiyonların grafiğini nasıl çizeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.