Bir üçgenin alanı üç kenarına dayanmaktadır. Bir üçgenin alanı nasıl bulunur
Talimatlar
Partiler ve açılar temel unsurlar olarak kabul edilir A. Bir üçgen tamamen aşağıdaki temel unsurlardan herhangi biriyle tanımlanır: ya üç kenar, ya bir kenar ve iki açı, ya da iki kenar ve bunların arasındaki bir açı. Varoluş için üçgen a, b, c üç tarafıyla verildiğinde eşitsizlik adı verilen eşitsizlikleri sağlamak gerekli ve yeterlidir üçgen:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.
İnşaat için üçgen a, b, c'nin üç tarafında, CB = a segmentinin C noktasından pusula ile b yarıçaplı bir daire çizmek gerekir. Daha sonra aynı şekilde B noktasından yarıçapı c kenarına eşit olan bir daire çizin. Bunların kesişme noktası A, istenilen noktanın üçüncü köşesidir. üçgen ABC, burada AB=c, CB=a, CA=b - kenarlar üçgen. Eğer a, b, c kenarları eşitsizlikleri sağlıyorsa problem vardır. üçgen 1. adımda belirtildi.
Alan S bu şekilde inşa edildi üçgen Kenarları bilinen a, b, c olan ABC, Heron formülü kullanılarak hesaplanır:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c))
burada a, b, c kenarlardır üçgen, p – yarı çevre.
p = (a+b+c)/2
Bir üçgen eşkenar ise, yani tüm kenarları eşittir (a=b=c).Alan üçgen formülle hesaplanır:
S=(a^2 v3)/4
Üçgen dik açılı ise, yani açılarından biri 90° ise ve onu oluşturan kenarlar dik ise üçüncü kenar hipotenüstür. Bu durumda kare bacakların çarpımının ikiye bölünmesine eşittir.
S=ab/2
Bulmak kare üçgen birçok formülden birini kullanabilirsiniz. Hangi verilerin zaten bilindiğine bağlı olarak bir formül seçin.
İhtiyacın olacak
- Bir üçgenin alanını bulmak için formüller bilgisi
Talimatlar
Kenarlardan birinin boyutunu ve bu tarafa indirilen yüksekliğin karşı taraftaki açının değerini biliyorsanız, o zaman aşağıdaki formülü kullanarak alanı bulabilirsiniz: S = a*h/2, burada S alandır Üçgenin a'sı, üçgenin kenarlarından biridir ve h - a tarafının yüksekliğidir.
Üç tarafı biliniyorsa üçgenin alanını belirlemenin bilinen bir yöntemi vardır. Bu Heron'un formülüdür. Kaydedilmesini kolaylaştırmak için bir ara değer eklenir - yarı çevre: p = (a+b+c)/2, burada a, b, c - . O zaman Heron'un formülü Aşağıdaki şekilde: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ üssü.
Bir üçgenin kenarlarından birini ve üç açısını bildiğinizi varsayalım. O zaman üçgenin alanını bulmak kolaydır: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), burada β, a tarafının karşısındaki açıdır ve α ve γ, tarafa bitişik açılardır.
Konuyla ilgili video
Not
En çok Genel formül Tüm durumlar için uygun olan Heron formülüdür.
Kaynaklar:
İpucu 3: Üç kenara dayalı bir üçgenin alanı nasıl bulunur?
Bir üçgenin alanını bulmak okul planimetrisinde en sık karşılaşılan sorunlardan biridir. Bir üçgenin üç kenarını bilmek herhangi bir üçgenin alanını belirlemek için yeterlidir. Eşkenar üçgenlerin özel durumlarında sırasıyla iki ve bir kenarın uzunluklarını bilmek yeterlidir.
İhtiyacın olacak
- üçgenlerin kenar uzunlukları, Heron formülü, kosinüs teoremi
Talimatlar
Heron'un üçgenin alanı formülü şu şekildedir: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Yarı çevre p'yi yazarsak şunu elde ederiz: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.
Örneğin kosinüs teoremini uygulayarak bir üçgenin alanı için bir formül elde edebilirsiniz.
Kosinüs teoremine göre, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Sunulan gösterimler kullanılarak bunlar şu şekilde de yazılabilir: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dolayısıyla cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)
Bir üçgenin alanı da iki kenar ve aralarındaki açı kullanılarak S = a*c*sin(ABC)/2 formülüyle bulunur. ABC açısının sinüsü, temel denklem kullanılarak ifade edilebilir. trigonometrik özdeşlik: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Alan formülünde sinüsü yerine koyup yazarak ABC üçgeninin alan formülüne ulaşabilirsiniz.
Konuyla ilgili video
İçin onarım işiölçmek gerekli olabilir kare duvarlar Hesaplamak daha kolay Gerekli miktar boya veya duvar kağıdı. Ölçümler için bir mezura veya şerit metre kullanmak en iyisidir. Ölçümler daha sonra yapılmalıdır. duvarlar tesviye edildi.
İhtiyacın olacak
- -rulet;
- -merdiven.
Talimatlar
Saymak kare duvarlar, tavanların tam yüksekliğini bilmeniz ve ayrıca zemin boyunca uzunluğu ölçmeniz gerekir. Bu şu şekilde yapılır: bir santimetre alın ve süpürgeliğin üzerine koyun. Genellikle tüm uzunluk için bir santimetre yeterli değildir, bu nedenle köşeye sabitleyin ve ardından açın. maksimum uzunluk. Bu noktada kalemle bir işaret koyun, elde edilen sonucu yazın ve aynı şekilde başka ölçümler de yapın. son noktaölçümler
Standart tavanlar tipik olanlarda - eve bağlı olarak 2 metre 80 santimetre, 3 metre ve 3 metre 20 santimetre. Ev 50'li yıllardan önce inşa edilmişse, büyük olasılıkla gerçek yükseklik belirtilenden biraz daha düşüktür. Eğer hesaplıyorsan kare onarım çalışmaları için küçük bir tedarik zarar görmez - standarda göre düşünün. Hala gerçek yüksekliği bilmeniz gerekiyorsa ölçüm yapın. Prensip uzunluğu ölçmeye benzer, ancak bir seyyar merdivene ihtiyacınız olacak.
Ortaya çıkan göstergeleri çarpın - bu kare senin duvarlar. Doğru, ne zaman boyama işleri veya çıkarmanın gerekli olduğu için kare kapı ve pencere açıklıkları. Bunu yapmak için açıklık boyunca bir santimetre yerleştirin. Eğer Hakkında konuşuyoruz daha sonra değiştireceğiniz kapı hakkında, ardından kaldırılmış olanla gerçekleştirin Kapı çerçevesi sadece dikkate alınarak kare doğrudan açıklığın kendisine. Pencerenin alanı çerçevesinin çevresi boyunca hesaplanır. Sonrasında kare hesaplanan pencere ve kapı aralığı, sonucu odanın toplam alanından çıkarın.
Lütfen odanın uzunluğunu ve genişliğini iki kişinin ölçmesi gerektiğini unutmayın; bu, bir santimetre veya şerit metreyi sabitlemeyi ve buna göre daha fazlasını elde etmeyi kolaylaştırır. kesin sonuç. Aldığınız sayıların doğru olduğundan emin olmak için aynı ölçümü birkaç kez yapın.
Konuyla ilgili video
Bir üçgenin hacmini bulmak gerçekten önemsiz olmayan bir iştir. Gerçek şu ki, bir üçgen iki boyutlu bir şekildir, yani. tamamen tek bir düzlemde yer alır, bu da hacminin olmadığı anlamına gelir. Olmayan bir şeyi elbette bulamazsınız. Ama pes etmeyelim! Şu varsayımı kabul edebiliriz: İki boyutlu bir şeklin hacmi onun alanıdır. Üçgenin alanını arayacağız.
İhtiyacın olacak
- kağıt, kalem, cetvel, hesap makinesi
Talimatlar
Bir cetvel ve kalem kullanarak bir kağıt parçası üzerine çizim yapın. Üçgeni dikkatlice inceleyerek, bir düzlem üzerine çizildiği için gerçekte bir üçgenin olmadığından emin olabilirsiniz. Üçgenin kenarlarını etiketleyin: bir kenar "a", diğer kenar "b" ve üçüncü kenar "c" olsun. Üçgenin köşelerini "A", "B" ve "C" harfleriyle etiketleyin.
Üçgenin herhangi bir kenarını cetvelle ölçün ve sonucu yazın. Bundan sonra, ölçülen tarafa dik olanı karşısındaki tepe noktasından geri yükleyin, böyle bir dik üçgenin yüksekliği olacaktır. Şekilde gösterilen durumda, "h" dikmesi "A" köşesinden "c" kenarına geri getirilir. Ortaya çıkan yüksekliği bir cetvelle ölçün ve ölçüm sonucunu yazın.
Tam dikliği geri getirmeniz zor olabilir. Bu durumda farklı bir formül kullanmalısınız. Üçgenin tüm kenarlarını bir cetvelle ölçün. Bundan sonra, kenarların elde edilen uzunluklarını toplayıp toplamlarını ikiye bölerek “p” üçgeninin yarı çevresini hesaplayın. Yarı çevrenin değeri elinizin altında olduğundan Heron formülünü kullanabilirsiniz. Bunu yapmak için çıkarmanız gerekir Kare kök aşağıdakilerden: p(p-a)(p-b)(p-c).
Üçgenin gerekli alanını elde ettiniz. Üçgenin hacmini bulma sorunu çözülmedi ancak yukarıda da belirtildiği gibi hacmi çözülmedi. Üç boyutlu dünyada aslında üçgen olan bir hacim bulabilirsiniz. Orijinal üçgenimizin şu şekilde olduğunu hayal edersek üç boyutlu piramit o zaman böyle bir piramidin hacmi, tabanının uzunluğunun ve elde ettiğimiz üçgenin alanının çarpımı olacaktır.
Not
Ne kadar dikkatli ölçerseniz hesaplamalarınız o kadar doğru olur.
Kaynaklar:
- Hesap Makinesi “Her şeyden her şeye” - referans değerleri için bir portal
- 2019'daki üçgen hacmi
Kartezyen koordinat sisteminde bir üçgeni benzersiz şekilde tanımlayan üç nokta, onun köşeleridir. Koordinat eksenlerinin her birine göre konumlarını bilerek, bu düz şeklin, çevresi ile sınırlı olanlar da dahil olmak üzere herhangi bir parametresini hesaplayabilirsiniz. kare. Bu birkaç yolla yapılabilir.
Talimatlar
Alanı hesaplamak için Heron formülünü kullanın üçgen. Şeklin üç tarafının boyutlarını içerir, bu nedenle hesaplamalarınıza ile başlayın. Her bir tarafın uzunluğu, koordinat eksenleri üzerindeki çıkıntılarının uzunluklarının karelerinin toplamının köküne eşit olmalıdır. A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) ve C(X₃,Y₃,Z₃ koordinatlarını gösterirsek, kenar uzunlukları şu şekilde ifade edilebilir: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).
Hesaplamaları basitleştirmek için yardımcı bir değişken - yarı çevre (P) ekleyin. Bunun tüm kenarların uzunluklarının toplamının yarısı olması gerçeğinden yola çıkarak: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).
Üçgenin alanı - formüller ve problem çözme örnekleri
Aşağıda alan bulma formülleri keyfi üçgen özellikleri, açıları veya boyutları ne olursa olsun herhangi bir üçgenin alanını bulmaya uygundur. Formüller, uygulanmalarına ilişkin açıklamalar veya doğruluklarının gerekçeleri ile birlikte bir resim şeklinde sunulur. Yazışmalar ayrıca ayrı bir şekilde gösterilmiştir. harf atamaları formüllerde ve grafik sembolleriçizim üzerinde.
Not . Eğer üçgen varsa özel özellikler(ikizkenar, dikdörtgen, eşkenar), aşağıda verilen formüllerin yanı sıra yalnızca bu özelliklere sahip üçgenler için geçerli olan ek özel formülleri de kullanabilirsiniz:
- "Alan formülleri eşkenar üçgen"
Üçgen alan formülleri
Formüllere ilişkin açıklamalar:
a, b, c- alanını bulmak istediğimiz üçgenin kenar uzunlukları
R- üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı
R- üçgenin etrafında çevrelenen dairenin yarıçapı
H- yana indirilen üçgenin yüksekliği
P- bir üçgenin yarı çevresi, kenarlarının toplamının 1/2'si (çevre)
α
- üçgenin a tarafının karşısındaki açı
β
- üçgenin b kenarının karşısındaki açı
γ
- üçgenin c kenarının karşısındaki açı
H A, H B , H C- a, b, c kenarlarına indirilen üçgenin yüksekliği
Lütfen verilen gösterimlerin yukarıdaki şekle karşılık geldiğini unutmayın, böylece gerçek bir geometri problemini çözerken görsel olarak yerine koymanız daha kolay olacaktır. doğru yerler formüller doğru değerlerdir.
- Üçgenin alanı Üçgenin yüksekliği ile bu yüksekliğin alçaltıldığı kenar uzunluğunun çarpımının yarısı(Formül 1). Bu formülün doğruluğu mantıksal olarak anlaşılabilir. Tabana indirilen yükseklik, rastgele bir üçgeni iki dikdörtgen parçaya bölecektir. Her birini b ve h boyutlarında bir dikdörtgen haline getirirseniz, o zaman açıkçası bu üçgenlerin alanı dikdörtgenin alanının tam yarısına eşit olacaktır (Spr = bh)
- Üçgenin alanı iki kenarın çarpımının yarısı ve aralarındaki açının sinüsü(Formül 2) (aşağıdaki bu formülü kullanarak bir problemi çözme örneğine bakın). Her ne kadar öncekinden farklı gibi görünse de rahatlıkla ona dönüşebiliyor. Yüksekliği B açısından b kenarına indirirsek, dik üçgendeki sinüsün özelliklerine göre a tarafının ve γ açısının sinüsünün çarpımının çizdiğimiz üçgenin yüksekliğine eşit olduğu ortaya çıkar. , bu bize önceki formülü verir
- Keyfi bir üçgenin alanı bulunabilir başından sonuna kadar iş içine yazılan dairenin yarıçapının yarısı, tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı kadardır(Formül 3), basitçe söylemek gerekirse, üçgenin yarı çevresini yazılı dairenin yarıçapıyla çarpmanız gerekir (bunu hatırlamak daha kolaydır)
- İsteğe bağlı bir üçgenin alanı, tüm kenarlarının çarpımının, etrafını çevreleyen dairenin 4 yarıçapına bölünmesiyle bulunabilir (Formül 4)
- Formül 5, bir üçgenin alanını kenarlarının uzunlukları ve yarı çevresi boyunca bulmaktır (tüm kenarların toplamının yarısı)
- Heron'un formülü(6) aynı formülün yarı çevre kavramı kullanılmadan, yalnızca kenarların uzunlukları boyunca gösterimidir
- Keyfi bir üçgenin alanı, üçgenin kenarının karesinin çarpımına ve bu kenara bitişik açıların sinüslerinin bu tarafın karşısındaki açının çift sinüsüne bölünmesine eşittir (Formül 7)
- Rastgele bir üçgenin alanı, her bir açısının sinüsleri tarafından çevrelenen dairenin iki karesinin çarpımı olarak bulunabilir. (Formül 8)
- Bir tarafın uzunluğu ve bitişik iki açının değerleri biliniyorsa, üçgenin alanı bu tarafın karesinin bu açıların kotanjantlarının çift toplamına bölünmesiyle bulunabilir (Formül 9)
- Üçgenin her bir yüksekliğinin yalnızca uzunluğu biliniyorsa (Formül 10), o zaman böyle bir üçgenin alanı, Heron Formülüne göre bu yüksekliklerin uzunluklarıyla ters orantılıdır.
- Formül 11 hesaplamanıza olanak tanır köşelerinin koordinatlarına göre bir üçgenin alanı, her bir köşe için (x;y) değerleri olarak belirtilir. Bireysel (veya hatta tüm) köşelerin koordinatları negatif değerler bölgesinde olabileceğinden, elde edilen değerin modülo olarak alınması gerektiğini lütfen unutmayın.
Not. Aşağıda bir üçgenin alanını bulmak için geometri problemlerini çözme örnekleri verilmiştir. Buraya benzer olmayan bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa, bunun hakkında forumda yazın. Çözümlerde "karekök" sembolü yerine sqrt() fonksiyonu kullanılabilir; burada sqrt karekök sembolüdür ve radikal ifade parantez içinde gösterilir.Bazen basit radikal ifadeler için sembol kullanılabilir. √
Görev. İki kenar verilen alanı ve aralarındaki açıyı bulun
Üçgenin kenarları 5 ve 6 cm olup aralarındaki açı 60 derecedir. Üçgenin alanını bulun.
Çözüm.
Bu sorunu çözmek için dersin teorik kısmındaki iki numaralı formülü kullanıyoruz.
Bir üçgenin alanı iki kenarın uzunluğu ve aralarındaki açının sinüsü ile bulunabilir ve şuna eşit olacaktır:
S=1/2 abs sin γ
Çözüm için gerekli tüm verilere sahip olduğumuzdan (formüle göre), yalnızca problem koşullarındaki değerleri formüle koyabiliriz:
S = 1/2 * 5 * 6 * günah 60
Değerler tablosunda trigonometrik fonksiyonlar Sinüs 60 derecenin değerini bulup ifadede yerine koyalım. Üç çarpı ikinin köküne eşit olacak.
S = 15 √3 / 2
Cevap: 7,5 √3 (öğretmenin isteğine bağlı olarak muhtemelen 15 √3/2 bırakabilirsiniz)
Görev. Eşkenar üçgenin alanını bulun
Bir kenarı 3 cm olan eşkenar üçgenin alanını bulun.
Çözüm .
Bir üçgenin alanı Heron formülü kullanılarak bulunabilir:
S = 1/4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
a = b = c olduğundan eşkenar üçgenin alanı formülü şu şekli alır:
S = √3 / 4 * a 2
S = √3 / 4 * 3 2
Cevap: 9 √3 / 4.
Görev. Kenarların uzunluğunu değiştirirken alanda değişiklik
Kenarları 4 kat artırılırsa üçgenin alanı kaç kat artar?
Çözüm.
Üçgenin kenarlarının boyutları bizim tarafımızdan bilinmediğinden, sorunu çözmek için kenarların uzunluklarının sırasıyla a, b, c keyfi sayılarına eşit olduğunu varsayacağız. Daha sonra problemin sorusunu cevaplamak için verilen üçgenin alanını bulacağız, ardından kenarları dört kat daha büyük olan üçgenin alanını bulacağız. Bu üçgenlerin alanlarının oranı bize problemin cevabını verecektir.
Aşağıda sorunun çözümünün metinsel açıklamasını adım adım sunuyoruz. Ancak en sonunda aynı çözüm daha uygun bir grafiksel formda sunulmaktadır. İlgilenenler hemen çözümlere inebilirler.
Çözmek için Heron formülünü kullanıyoruz (yukarıdaki dersin teorik kısmına bakın). Şuna benziyor:
S = 1/4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdaki resmin ilk satırına bakın)
Herhangi bir üçgenin kenarlarının uzunlukları a, b, c değişkenleriyle belirtilir.
Kenarlar 4 kat arttırılırsa yeni üçgen c'nin alanı şöyle olacaktır:
S 2 = 1/4 kare((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(aşağıdaki resimde ikinci satıra bakınız)
Gördüğünüz gibi 4, aşağıdaki dört ifadeden de parantez dışına alınabilecek ortak bir faktördür. Genel kurallar matematik.
Daha sonra
S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - resmin üçüncü satırında
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - dördüncü satır
256 sayısının karekökü mükemmel bir şekilde çıkarıldı, o yüzden onu kökün altından çıkaralım
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 metrekare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdaki resmin beşinci satırına bakınız)
Problemde sorulan soruyu cevaplamak için ortaya çıkan üçgenin alanını orijinal üçgenin alanına bölmemiz yeterli.
İfadeleri birbirine bölüp elde edilen kesri azaltarak alan oranlarını belirleyelim.
Üçgen herkesin aşina olduğu bir figür. Ve bu, formlarının zengin çeşitliliğine rağmen. Dikdörtgen, eşkenar, dar, ikizkenar, geniş. Her biri bir şekilde farklıdır. Ancak herkes için bir üçgenin alanını bulmanız gerekir.
Kenar uzunluklarını veya yüksekliklerini kullanan tüm üçgenlerde ortak olan formüller
İçlerinde benimsenen tanımlar: taraflar - a, b, c; a, n, n ile ilgili tarafların yükseklikleri.
1. Bir üçgenin alanı, ½, bir kenar ve yüksekliğin çarpımı ile bundan çıkarılarak hesaplanır. S = ½ * a * n a. Diğer iki tarafın formülleri de benzer şekilde yazılmalıdır.
2. Yarı çevrenin göründüğü Heron formülü (tam çevrenin aksine genellikle küçük p harfiyle gösterilir). Yarı çevre şu şekilde hesaplanmalıdır: tüm kenarları toplayın ve 2'ye bölün. Yarı çevre formülü şu şekildedir: p = (a+b+c) / 2. O halde alanının eşitliği şekil şuna benzer: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).
3. Yarı çevre kullanmak istemiyorsanız, yalnızca kenar uzunluklarını içeren bir formül yararlı olacaktır: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Bir öncekinden biraz daha uzun, ancak yarı çevreyi nasıl bulacağınızı unuttuysanız yardımcı olacaktır.
Bir üçgenin açılarını içeren genel formüller
Formülleri okumak için gereken gösterimler: α, β, γ - açılar. Sırasıyla a, b, c'nin karşılıklı taraflarında bulunurlar.
1. Buna göre iki tarafın çarpımının yarısı ile aralarındaki açının sinüsü üçgenin alanına eşittir. Yani: S = ½ a * b * sin γ. Diğer iki durumun formülleri de benzer şekilde yazılmalıdır.
2. Bir üçgenin alanı bir kenardan ve bilinen üç açıdan hesaplanabilir. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).
3. Ayrıca bilinen bir kenarı ve iki komşu açısı olan bir formül de vardır. Şuna benzer: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).
Son iki formül en basiti değil. Bunları hatırlamak oldukça zordur.
Yazılı veya çevrelenmiş dairelerin yarıçaplarının bilindiği durumlar için genel formüller
Ek tanımlar: r, R - yarıçap. Birincisi yazılı dairenin yarıçapı için kullanılır. İkincisi anlatılanlar içindir.
1. Bir üçgenin alanının hesaplandığı ilk formül yarı çevre ile ilgilidir. S = r * r. Bunu yazmanın başka bir yolu da şudur: S = ½ r * (a + b + c).
2. İkinci durumda, üçgenin tüm kenarlarını çarpmanız ve bunları çevrelenen dairenin yarıçapının dört katına bölmeniz gerekecektir. Gerçek ifadede şu şekilde görünür: S = (a * b * c) / (4R).
3. Üçüncü durum, kenarları bilmeden yapmanıza olanak sağlar ancak üç açının da değerlerine ihtiyacınız olacaktır. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.
Özel durum: dik üçgen
Bu en çok basit durum, çünkü yalnızca her iki bacağın uzunluğu gerekli. Latin harfleri a ve b ile gösterilirler. Bir dik üçgenin alanı, kendisine eklenen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir.
Matematiksel olarak şuna benzer: S = ½ a * b. Hatırlanması en kolay olanıdır. Dikdörtgenin alan formülüne benzediğinden yalnızca yarımı gösteren bir kesir görünür.
Özel durum: ikizkenar üçgen
İki eşit kenara sahip olduğundan, alanıyla ilgili bazı formüller biraz basitleştirilmiş görünüyor. Örneğin, ikizkenar üçgenin alanını hesaplayan Heron formülü aşağıdaki formu alır:
S = ½ inç √((a + ½ inç)*(a - ½ inç)).
Eğer onu dönüştürürsen, kısalır. Bu durumda Heron'un ikizkenar üçgen formülü şu şekilde yazılır:
S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).
Kenarlar ve aralarındaki açı biliniyorsa alan formülü, rastgele bir üçgene göre biraz daha basit görünür. S = ½ a 2 * sin β.
Özel durum: eşkenar üçgen
Genellikle problemlerde işin tarafı bilinir veya bir şekilde ortaya çıkarılabilir. Daha sonra böyle bir üçgenin alanını bulma formülü aşağıdaki gibidir:
S = (a 2 √3) / 4.
Üçgen kareli kağıt üzerinde gösteriliyorsa alanı bulma sorunları
En basit durum, bacakları kağıdın çizgileriyle çakışacak şekilde bir dik üçgenin çizilmesidir. O zaman bacaklara sığan hücre sayısını saymanız yeterlidir. Daha sonra bunları çarpın ve ikiye bölün.
Üçgen dar veya geniş olduğunda dikdörtgene çizilmesi gerekir. Daha sonra ortaya çıkan şekilde 3 üçgen olacaktır. Bunlardan biri problemde verilendir. Diğer ikisi ise yardımcı ve dikdörtgendir. Son ikisinin alanlarının yukarıda açıklanan yöntem kullanılarak belirlenmesi gerekir. Daha sonra dikdörtgenin alanını hesaplayın ve yardımcı olanlar için hesaplananları çıkarın. Üçgenin alanı belirlenir.
Üçgenin kenarlarının hiçbirinin kağıdın çizgileriyle çakışmaması durumu çok daha karmaşık hale geliyor. Daha sonra, orijinal şeklin köşelerinin yanlarında olması için bir dikdörtgenin içine yazılması gerekir. Bu durumda üç yardımcı dik üçgen olacaktır.
Heron formülünü kullanan bir problem örneği
Durum. Bazı üçgenlerin bilinen kenarları vardır. 3, 5 ve 6 cm'ye eşittirler, alanını bulmanız gerekiyor.
Artık yukarıdaki formülü kullanarak üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz. Karekökün altında dört sayının çarpımı bulunur: 7, 4, 2 ve 1. Yani alan √(4 * 14) = 2 √(14)'tür.
Daha fazla doğruluk gerekmiyorsa 14'ün karekökünü alabilirsiniz. Bu 3,74'e eşittir. O zaman alan 7.48 olacaktır.
Cevap. S = 2 √14 cm2 veya 7,48 cm2.
Dik üçgenle ilgili örnek problem
Durum. Dik üçgenin bir bacağı ikincisinden 31 cm daha büyüktür, üçgenin alanı 180 cm2 ise uzunluklarını bulmanız gerekir.
Çözüm. İki denklemli bir sistemi çözmemiz gerekecek. Birincisi alanla ilgilidir. İkincisi problemde verilen bacakların oranıdır.
180 = ½ a * b;
a = b + 31.
Öncelikle ilk denklemde “a” değeri yerine yazılmalıdır. Görünüşe göre: 180 = ½ (+ 31) * inç. Tek bir bilinmeyen miktarı olduğundan çözülmesi kolaydır. Parantezleri açtıktan sonra elde ederiz ikinci dereceden denklem: in 2 + 31 in - 360 = 0. "in" için iki değer verir: 9 ve - 40. Bir üçgenin kenar uzunluğu negatif olamayacağından ikinci sayı cevap olarak uygun değildir. değer.
Geriye ikinci ayağı hesaplamak kalıyor: Ortaya çıkan sayıya 31 ekleyin, 40 çıkıyor. Bunlar problemde aranan miktarlardır.
Cevap. Üçgenin bacakları 9 ve 40 cm'dir.
Bir üçgenin alanı, kenarı ve açısı boyunca bir kenar bulma problemi
Durum. Belirli bir üçgenin alanı 60 cm2'dir. İkinci kenar 15 cm ve aralarındaki açı 30° ise bir kenarını hesaplamak gerekir.
Çözüm. Kabul edilen gösterime göre istenilen kenar “a”, bilinen kenar “b”, verilen açı “γ”dır. Daha sonra alan formülü şu şekilde yeniden yazılabilir:
60 = ½ a * 15 * sin 30°. Burada 30 derecenin sinüsü 0,5'tir.
Dönüşümlerden sonra “a” 60 / (0,5 * 0,5 * 15) değerine eşit olur. Yani 16.
Cevap. Gerekli kenar 16 cm'dir.
Dik üçgenin içine yazılan kareyle ilgili problem
Durum. Bir kenarı 24 cm olan karenin tepe noktası üçgenin dik açısına denk gelir. Diğer ikisi yanlarda yatıyor. Üçüncüsü hipotenüse aittir. Bacaklardan birinin uzunluğu 42 cm'dir Dik üçgenin alanı nedir?
Çözüm. İki tane düşünelim dik üçgen. Bunlardan ilki görevde belirtilendir. İkincisi orijinal üçgenin bilinen ayağına dayanmaktadır. Benzerdirler çünkü ortak açıları vardır ve paralel çizgilerden oluşurlar.
O halde bacaklarının oranları eşittir. Küçük üçgenin kenarları 24 cm'ye (karenin kenarı) ve 18 cm'ye eşittir (42 cm'lik kenardan karenin kenarını 24 cm çıkarırız). Büyük bir üçgenin karşılık gelen bacakları 42 cm ve x cm'dir, üçgenin alanını hesaplamak için gerekli olan bu “x”tir.
18/42 = 24/x yani x = 24*42/18 = 56 (cm) olur.
Daha sonra alan 56 ile 42'nin ikiye bölünmesine, yani 1176 cm2'ye eşittir.
Cevap. Gerekli alan 1176 cm2'dir.
Karşı köşeden) ve elde edilen ürünü ikiye bölün. Bu şuna benziyor:
S = ½ * a * h,
Nerede:
S – üçgenin alanı,
a, kenarının uzunluğudur,
h bu tarafa indirilen yüksekliktir.
Kenar uzunluğu ve yüksekliği aynı ölçü birimlerinde sunulmalıdır. Bu durumda üçgenin alanı karşılık gelen “ ” birimlerinde elde edilecektir.
Örnek.
20 cm uzunluğunda bir çeşitkenar üçgenin bir tarafına, karşı köşeden 10 cm uzunluğunda bir dik indirilir.
Üçgenin alanı gereklidir.
Çözüm.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).
Çeşitkenar üçgenin herhangi iki kenarının uzunluğu ve aralarındaki açı biliniyorsa aşağıdaki formülü kullanın:
S = ½ * a * b * sinγ,
burada: a, b iki keyfi tarafın uzunluğudur ve γ bunlar arasındaki açıdır.
Uygulamada, örneğin arazi parsellerini ölçerken, ek inşaat ve açı ölçümü gerektirdiğinden yukarıdaki formüllerin kullanılması bazen zordur.
Bir çeşitkenar üçgenin üç tarafının da uzunluklarını biliyorsanız, Heron formülünü kullanın:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
a, b, c – üçgenin kenarlarının uzunlukları,
p – yarı çevre: p = (a+b+c)/2.
Tüm kenarların uzunluklarına ek olarak üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı da biliniyorsa, aşağıdaki kompakt formülü kullanın:
burada: r – yazılı dairenin yarıçapı (р – yarı çevre).
Çeşitkenar üçgenin alanını ve kenarlarının uzunluğunu hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:
burada: R – çevrelenen dairenin yarıçapı.
Üçgenin kenarlarından birinin uzunluğunu ve üç açıyı biliyorsanız (prensipte iki yeterlidir - üçüncünün değeri üçgenin üç açısının toplamının eşitliğinden hesaplanır - 180°), o zaman şunu kullanın: formül:
S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,
burada α, a tarafının karşısındaki açının değeridir;
β, γ – üçgenin kalan iki açısının değerleri.
Bulma ihtiyacı çeşitli unsurlar alanlar dahil üçgen, bilgili gökbilimciler arasında M.Ö. yüzyıllarca ortaya çıktı Antik Yunan. Kare üçgen hesaplanabilir Farklı yollar farklı formüller kullanıyor. Hesaplama yöntemi hangi unsurlara bağlıdır üçgen bilinen.
Talimatlar
Koşuldan iki tarafın b, c değerlerini ve bunların oluşturduğu açıyı biliyorsak, o zaman alan üçgen ABC aşağıdaki formülle bulunur:
S = (bcsin?)/2.
Koşuldan a, b'nin iki tarafının değerlerini ve onlar tarafından oluşturulmamış açıyı biliyorsak, o zaman alan üçgen ABC şu şekilde bulunur:
Açıyı bulmak mı?, günah mı? = bsin?/a ise açının kendisini belirlemek için tabloyu kullanın.
Açıyı bulmak?, ? = 180°-?-?.
Alanın kendisini S = (absin?)/2 olarak buluyoruz.
Koşuldan sadece üç tarafın değerini biliyorsak üçgen a, b ve c, ardından alan üçgen ABC aşağıdaki formülle bulunur:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) burada p yarı çevredir p = (a+b+c)/2
Sorun koşullarından yüksekliği biliyorsak üçgen h ve bu yüksekliğin alçaltıldığı taraf, ardından alan üçgen Formüle göre ABC:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.
Kenarların anlamlarını biliyorsak üçgen a, b, c ve bununla ilgili açıklanan yarıçap üçgen R, o zaman bunun alanı üçgen ABC aşağıdaki formülle belirlenir:
S = abc/4R.
Eğer a, b, c kenarları ve içine yazılanın yarıçapı biliniyorsa alan üçgen ABC aşağıdaki formülle bulunur:
S = pr, burada p yarı-çevredir, p = (a+b+c)/2.
ABC eşkenar ise alan şu formülle bulunur:
S = (a^2v3)/4.
ABC üçgeni ikizkenar ise, alan aşağıdaki formülle belirlenir:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, burada c – üçgen.
ABC üçgeni dik açılı ise, alan aşağıdaki formülle belirlenir:
S = ab/2, burada a ve b bacaklardır üçgen.
ABC üçgeni bir dik ikizkenar üçgen ise, alan aşağıdaki formülle belirlenir:
S = c^2/4 = a^2/2, burada c hipotenüstür üçgen, a=b – bacak.
Konuyla ilgili video
Kaynaklar:
- bir üçgenin alanı nasıl ölçülür
İpucu 3: Açı biliniyorsa üçgenin alanı nasıl bulunur?
Alanı bulmak için yalnızca bir parametreyi (açı) bilmek yeterli değildir üç kare . Herhangi bir ek boyut varsa, alanı belirlemek için açı değerinin de bilinen değişkenlerden biri olarak kullanıldığı formüllerden birini seçebilirsiniz. En sık kullanılan formüllerden birkaçı aşağıda verilmiştir.
Talimatlar
İki tarafın oluşturduğu açının (γ) boyutuna ek olarak üç kare Bu kenarların (A ve B) uzunlukları da biliniyorsa, o zaman kare Bir şeklin (S), kenar uzunluklarının çarpımının yarısı ile bu bilinen açının sinüsü olarak tanımlanabilir: S=½×A×B×sin(γ).
Bazen hayatta, uzun süredir unutulmuş okul bilgisini aramak için hafızanızı araştırmanız gereken durumlar vardır. Örneğin, üçgen şeklindeki bir arsanın alanını belirlemeniz gerekiyor veya bir apartman dairesinde veya özel evde başka bir yenileme zamanı geldi ve yüzey için ne kadar malzemeye ihtiyaç duyulacağını hesaplamanız gerekiyor. üçgen bir şekil. Böyle bir problemi birkaç dakika içinde çözebileceğiniz bir zaman vardı, ama şimdi umutsuzca bir üçgenin alanını nasıl belirleyeceğinizi hatırlamaya mı çalışıyorsunuz?
Endişelenmeyin! Sonuçta, bir kişinin beyninin uzun süredir kullanılmayan bilgiyi bir yere uzak bir köşeye aktarmaya karar vermesi oldukça normaldir ve bazen onu çıkarmak o kadar kolay değildir. Böyle bir sorunu çözmek için unutulmuş okul bilgilerini aramakla uğraşmanıza gerek kalmaması için bu makale şunları içerir: çeşitli metodlarüçgenin gerekli alanını bulmayı kolaylaştırır.
Bir üçgenin mümkün olan en az kenar sayısıyla sınırlı bir çokgen türü olduğu iyi bilinmektedir. Prensip olarak, herhangi bir çokgen, köşelerini kenarlarıyla kesişmeyen bölümlere bağlayarak birkaç üçgene bölünebilir. Bu nedenle üçgeni bilerek neredeyse her şeklin alanını hesaplayabilirsiniz.
Hayatta meydana gelebilecek tüm olası üçgenler arasında aşağıdaki özel türler ayırt edilebilir: ve dikdörtgen.
Bir üçgenin alanını hesaplamanın en kolay yolu, açılarından birinin dik olması, yani dik üçgen olması durumundadır. Yarım dikdörtgen olduğunu görmek kolaydır. Dolayısıyla alanı birbirine dik açı oluşturan kenarların çarpımının yarısına eşittir.
Bir üçgenin bir köşesinden karşı kenara indirilen yüksekliğini ve taban denilen bu kenarın uzunluğunu bilirsek alan, yükseklik ile tabanın çarpımının yarısı kadar hesaplanır. Bu, aşağıdaki formül kullanılarak yazılmıştır:
S = 1/2*b*h, burada
S üçgenin gerekli alanıdır;
b, h - sırasıyla üçgenin yüksekliği ve tabanı.
Bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplamak çok kolaydır çünkü yükseklik karşı kenarı ikiye böler ve kolaylıkla ölçülebilir. Alanın belirlenmesi durumunda dik açı oluşturan kenarlardan birinin uzunluğunun yükseklik olarak alınması uygun olur.
Bütün bunlar elbette güzel ama bir üçgenin açılarından birinin doğru olup olmadığı nasıl belirlenecek? Figürümüzün boyutu küçükse inşaat açısı, çizim üçgeni, kartpostal veya dikdörtgen şekilli başka bir nesne kullanabiliriz.
Peki ya bir üçgenimiz varsa arsa? Bu durumda şu şekilde ilerleyin: beklenen sayının en üstünden itibaren sayın dik açı bir tarafta mesafe 3'ün katıdır (30 cm, 90 cm, 3 m), diğer tarafta mesafe 4'ün katı olan aynı oranda ölçülür (40 cm, 160 cm, 4 m) . Şimdi bu iki parçanın uç noktaları arasındaki mesafeyi ölçmeniz gerekiyor. Sonuç 5'in katı ise (50 cm, 250 cm, 5 m) açının doğru olduğunu söyleyebiliriz.
Şeklimizin üç tarafının her birinin uzunluğu biliniyorsa, üçgenin alanı Heron formülü kullanılarak belirlenebilir. Daha basit bir forma sahip olması için yarı çevre adı verilen yeni bir değer kullanılır. Bu, üçgenimizin tüm kenarlarının toplamının ikiye bölünmesidir. Yarı çevre hesaplandıktan sonra aşağıdaki formülü kullanarak alanı belirlemeye başlayabilirsiniz:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))), burada
sqrt - karekök;
p - yarı çevre değeri (p = (a+b+c)/2);
a, b, c - üçgenin kenarları (yanları).
Peki ya üçgen varsa düzensiz şekil? Burada iki olası yol var. Bunlardan ilki, böyle bir rakamı, alanlarının toplamı ayrı ayrı hesaplanıp daha sonra eklenen iki dik üçgene bölmeye çalışmaktır. Veya iki kenar arasındaki açı ve bu kenarların boyutu biliniyorsa aşağıdaki formülü uygulayın:
S = 0,5 * ab * sinC, burada
a,b - üçgenin kenarları;
c bu kenarlar arasındaki açının boyutudur.
İkinci durum pratikte nadirdir, ancak yine de hayatta her şey mümkündür, bu nedenle yukarıdaki formül gereksiz olmayacaktır. Hesaplamalarınızda iyi şanslar!
