Sıfır koordinatlı noktaların projeksiyonları. Bir noktanın düzlemde izdüşümü, bir noktanın düzlemde izdüşümünün koordinatları

Uzaydaki bir noktanın konumu, örneğin yatay ve ön, ön ve profil gibi iki ortogonal çıkıntısı ile belirlenebilir. Herhangi iki ortogonal projeksiyonun kombinasyonu, bir noktanın tüm koordinatlarının değerini bulmanızı, üçüncü bir projeksiyon oluşturmanızı, bulunduğu oktantı belirlemenizi sağlar. Tanımlayıcı geometri dersinden bazı tipik görevleri ele alalım.

A ve B noktalarının verilen karmaşık çizimine göre, gereklidir:

Önce A (x, y, z) şeklinde yazılabilen A noktasının koordinatlarını belirleyelim. A noktasının yatay izdüşümü, x, y koordinatlarına sahip A " noktasıdır. A" noktasından x, y eksenlerine dik çizin ve sırasıyla A x, A y'yi bulun. A noktasının x koordinatı, artı işareti olan A x O parçasının uzunluğuna eşittir, çünkü A x pozitif x ekseni değerleri bölgesinde bulunur. Çizimin ölçeğini dikkate alarak, x \u003d 10'u buluyoruz. Y koordinatı, eksi işareti olan A y O segmentinin uzunluğuna eşittir, çünkü t, negatif y ekseni değerleri bölgesinde yer alır. . Çizimin ölçeği göz önüne alındığında, y = -30. A noktasının önden izdüşümü - A"" noktasının x ve z koordinatları vardır. A"" dan z eksenine dik olanı indirelim ve A z 'yi bulalım. A noktasının z-koordinatı, eksi işareti olan A z O segmentinin uzunluğuna eşittir, çünkü A z, z ekseninin negatif değerleri bölgesinde yer alır. Çizimin ölçeği göz önüne alındığında, z = -10. Böylece A noktasının koordinatları (10, -30, -10) olur.

B noktasının koordinatları B (x, y, z) olarak yazılabilir. B noktasının yatay izdüşümünü düşünün - B noktası. "X ekseni üzerinde bulunduğundan, o zaman B x \u003d B" ve B y \u003d 0 koordinatı. B noktasının apsisi x, segmentin uzunluğuna eşittir Artı işareti olan B x O. Çizimin ölçeğini hesaba katarak, x = 30. B noktasının önden izdüşümü - B˝ noktası x, z koordinatlarına sahiptir. B"" den z eksenine bir dik çizin, böylece B z 'yi bulun. B noktasının z uygulaması, eksi işareti olan B z O segmentinin uzunluğuna eşittir, çünkü B z, z ekseninin negatif değerleri bölgesinde yer alır. Çizimin ölçeğini dikkate alarak z = -20 değerini belirliyoruz. Yani B koordinatları (30, 0, -20). Gerekli tüm yapılar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Nokta projeksiyonlarının inşası

P 3 düzlemindeki A ve B noktaları aşağıdaki koordinatlara sahiptir: A""" (y, z); B""" (y, z). Bu durumda, A"" ve A""" ortak bir z-koordinatına sahip oldukları için z eksenine aynı dik konumdadırlar. Aynı şekilde, B"" ve B""" ortak bir dikey üzerinde bulunur z eksenine. t.A'nın profil izdüşümünü bulmak için, daha önce bulunan ilgili koordinatın değerini y ekseni boyunca bir kenara koyduk. Şekilde, bu, A y O yarıçaplı bir dairenin yayı kullanılarak yapılır. Bundan sonra, A "" noktasından z eksenine geri yüklenen dik ile A y'den kesişme noktasına bir dik çizeriz. Bu iki dikmenin kesişme noktası A"""nın konumunu belirler.

B""" noktası z ekseni üzerindedir, çünkü bu noktanın y-ordinatı sıfırdır. Bu problemde B noktasının profil izdüşümünü bulmak için sadece B""den z'ye bir dik çizmek gerekir. -ekseni Bu dikin z ekseniyle kesişme noktası B """.

Noktaların uzaydaki konumunu belirleme

P 1, P 2 ve P 3 projeksiyon düzlemlerinden oluşan bir uzamsal yerleşim düzenini, oktanların konumunu ve yerleşimin diyagramlara dönüşüm sırasını görsel olarak hayal ederek, t.A'nın oktan III'te bulunduğunu doğrudan belirleyebilirsiniz, ve t.B, P2 düzleminde yer alır.

Bu sorunu çözmek için başka bir seçenek de istisnalar yöntemidir. Örneğin, A noktasının koordinatları (10, -30, -10) şeklindedir. Pozitif apsis x, noktanın ilk dört oktanda bulunduğuna karar vermeyi mümkün kılar. Negatif bir y-ordinatı, noktanın ikinci veya üçüncü oktantta olduğunu gösterir. Son olarak, z'nin negatif uygulaması, A noktasının üçüncü oktanda olduğunu gösterir. Verilen akıl yürütme aşağıdaki tabloda açıkça gösterilmiştir.

B noktası koordinatları (30, 0, -20). t.B'nin ordinatı sıfıra eşit olduğundan, bu nokta П 2 projeksiyon düzleminde bulunur. B noktasının pozitif apsisi ve negatif uygulaması, üçüncü ve dördüncü oktanların sınırında yer aldığını gösterir.

P 1, P 2, P 3 düzlemleri sistemindeki noktaların görsel bir görüntüsünün oluşturulması

Frontal izometrik projeksiyonu kullanarak üçüncü oktantın uzaysal bir düzenini oluşturduk. Yüzleri P 1, P 2, P 3 düzlemleri olan ve açısı (-y0x) 45º olan dikdörtgen bir trihedrondur. Bu sistemde x, y, z eksenlerindeki segmentler bozulma olmadan tam boyutta çizilecektir.

A noktasının (10, -30, -10) görsel bir görüntüsünün yapımı, yatay izdüşümü A " ile başlayacaktır. Apsis ve koordinatlar boyunca karşılık gelen koordinatları bir kenara bırakarak, A x ve A y noktalarını buluruz. A x ve A y'den sırasıyla x ve y eksenlerine geri yüklenen dikmelerin kesişimi, A noktasının konumunu belirler". A" z eksenine paralel olarak negatif değerlerine doğru uzunluğu 10'a eşit olan AA" segmentini koyarak, A noktasının konumunu buluyoruz.

B noktasının (30, 0, -20) görsel bir görüntüsü benzer şekilde oluşturulur - P 2 düzleminde, karşılık gelen koordinatlar x ve z eksenleri boyunca çizilmelidir. B x ve B z'den yeniden oluşturulan dikeylerin kesişimi, B noktasının konumunu belirleyecektir.

Noktaların iki düzlem üzerindeki izdüşümlerini düşünün, bunun için iki dikey düzlem alıyoruz (Şekil 4), buna yatay ön ve düzlemler diyeceğiz. Bu düzlemlerin kesişme çizgisine izdüşüm ekseni denir. Düz bir izdüşüm kullanarak ele alınan düzlemlere bir A noktası yansıtıyoruz. Bunu yapmak için, verilen noktadan Aa ve A diklerini dikkate alınan düzlemlere indirmek gerekir.

Yatay düzleme izdüşüm denir plan görünümü puan A ve projeksiyon a?ön düzlemde denir ön projeksiyon.

Tanımlayıcı geometride yansıtılacak noktalar genellikle büyük Latin harfleriyle gösterilir. A, B, C. Noktaların yatay izdüşümlerini belirtmek için küçük harfler kullanılır. a, b, c... Önden çıkıntılar, üstte bir vuruşla küçük harflerle gösterilir a?, b?, c?…

I, II, ... Romen rakamlarıyla noktaların belirlenmesi de kullanılır ve projeksiyonları için - Arap rakamları 1, 2 ... ve 1?, 2? ...

Yatay düzlem 90° döndürüldüğünde, her iki düzlemin de aynı düzlemde olduğu bir çizim elde edilebilir (Şekil 5). Bu resim denir nokta grafiği.

Dikey çizgilerle Ah ve Ah? bir uçak çizin (Şek. 4). Ortaya çıkan düzlem, ön ve yatay düzlemlere diktir, çünkü bu düzlemlere dikler içerir. Bu nedenle, bu düzlem, düzlemlerin kesişme çizgisine diktir. Ortaya çıkan düz çizgi, yatay düzlemi düz bir çizgide keser. aa x ve ön düzlem - düz bir çizgide Ha? X. düz aah ve Ha? x düzlemlerin kesişim eksenine diktir. Yani Aaa? bir dikdörtgendir.

Yatay ve önden projeksiyon düzlemlerini birleştirirken a ve a? düzlemlerin kesişme eksenine dik bir şekilde uzanacaktır, çünkü yatay düzlem döndüğünde, bölümlerin dikliği aa x ve Ha? x kırılmaz.

Bunu projeksiyon diyagramında görüyoruz. a ve a? bir nokta A her zaman düzlemlerin kesişme eksenine dik olarak uzanır.

İki projeksiyon a ve a? A noktasının uzaydaki konumunu benzersiz bir şekilde belirleyebilir (Şekil 4). Bu, a izdüşümünden yatay düzleme bir dik oluştururken, A noktasından geçeceği gerçeğiyle doğrulanır. Benzer şekilde, izdüşümden dik olan a?ön düzlemdeki noktadan geçecek A, yani nokta A aynı anda iki kesin çizgi üzerinde yer alır. A noktası onların kesişme noktasıdır, yani kesindir.

Bir dikdörtgen düşünün aaa x a?(Şekil 5), bunun için aşağıdaki ifadeler doğrudur:

1) Nokta mesafesi Aön düzlemden, yatay izdüşümü a'nın düzlemlerin kesişme ekseninden mesafesine eşittir, yani.

Ah? = aa X;

2) nokta mesafesi A yatay projeksiyon düzleminden, ön projeksiyonunun mesafesine eşittir a? düzlemlerin kesişme ekseninden, yani.

Ah = Ha? X.

Başka bir deyişle, arsa üzerinde noktanın kendisi olmasa bile, sadece iki projeksiyonunu kullanarak, bu noktanın her bir projeksiyon düzleminden ne kadar uzakta olduğunu öğrenebilirsiniz.

İki projeksiyon düzleminin kesişimi, alanı dört parçaya böler. çeyrek(Şek. 6).

Düzlemlerin kesişim ekseni, yatay düzlemi iki çeyreğe böler - ön ve arka ve ön düzlem, üst ve alt çeyreklere. Ön düzlemin üst kısmı ve yatay düzlemin ön kısmı ilk çeyreğin sınırları olarak kabul edilir.

Diyagram alındığında, yatay düzlem döner ve ön düzlemle çakışır (Şekil 7). Bu durumda, yatay düzlemin önü, ön düzlemin alt kısmı ile ve yatay düzlemin arkası, ön düzlemin üstü ile çakışacaktır.

Şekil 8-11, uzayın farklı bölümlerinde yer alan A, B, C, D noktalarını göstermektedir. A noktası ilk çeyrekte, B noktası ikinci, C noktası üçüncü ve D noktası dördüncü.

Puanlar, birinci veya dördüncü çeyrekte yer aldığında yatay projeksiyonlar yatay düzlemin ön tarafında bulunur ve diyagramda düzlemlerin kesişme ekseninin altında yer alırlar. İkinci veya üçüncü çeyrekte bir nokta bulunduğunda, yatay izdüşümü yatay düzlemin arkasında olacak ve arsa üzerinde düzlemlerin kesişme ekseninin üzerinde olacaktır.

Ön çıkıntılar birinci veya ikinci çeyrekte bulunan noktalar, ön düzlemin üst kısmında yer alacak ve diyagramda düzlemlerin kesişme ekseninin üzerinde yer alacaktır. Üçüncü veya dördüncü çeyrekte bir nokta bulunduğunda, önden izdüşümü düzlemlerin kesişme ekseninin altındadır.

Çoğu zaman, gerçek yapılarda figür, alanın ilk çeyreğine yerleştirilir.

Bazı özel durumlarda, nokta ( E) yatay bir düzlemde uzanabilir (Şekil 12). Bu durumda, yatay izdüşümü e ve noktanın kendisi çakışacaktır. Böyle bir noktanın önden izdüşümü, düzlemlerin kesişme ekseni üzerinde olacaktır.

Noktanın olduğu durumda İLEön düzlemde yer alır (Şek. 13), yatay izdüşümü k düzlemlerin kesişme ekseni üzerinde yer alır ve ön k? o noktanın gerçek konumunu gösterir.

Bu tür noktalar için, projeksiyon düzlemlerinden birinin üzerinde olduğunun işareti, projeksiyonlarından birinin düzlemlerin kesişme ekseni üzerinde olmasıdır.

İzdüşüm düzlemlerinin kesişme ekseni üzerinde bir nokta bulunuyorsa, bu nokta ve her iki izdüşümleri çakışır.

Bir nokta izdüşüm düzlemleri üzerinde yer almıyorsa buna denir. genel konum noktası. Aşağıda, özel işaretler yoksa, incelenen nokta genel konumdaki bir noktadır.

Bir noktanın dik izdüşüm düzlemleri üzerindeki model izdüşümlerinin nasıl elde edileceğini açıklamak için (Şekil 4), uzun bir dikdörtgen şeklinde bir parça kalın kağıt almak gerekir. Çıkıntılar arasında bükülmesi gerekir. Katlama çizgisi, düzlemlerin kesişme eksenini gösterecektir. Bundan sonra bükülmüş kağıt parçası tekrar düzleştirilirse, şekilde gösterilene benzer bir diyagram elde ederiz.

İki projeksiyon düzlemini çizim düzlemi ile birleştirerek, katlama çizgisini gösteremezsiniz, yani düzlemlerin kesişme eksenini diyagramda çizmeyin.

Bir diyagram üzerinde inşa ederken, her zaman projeksiyonları yerleştirmelisiniz. a ve a? A noktası, düzlemlerin kesişme eksenine dik olan bir dikey çizgi üzerinde (Şekil 14). Bu nedenle, düzlemlerin kesişme ekseninin konumu tanımsız kalsa, ancak yönü belirlenmiş olsa bile, düzlemlerin kesişme ekseni sadece diyagramdaki düz çizgiye dik olabilir. Ah?.

İlk şekil 14a'daki gibi nokta diyagramında izdüşüm ekseni yoksa, bu noktanın uzaydaki konumunu hayal edebilirsiniz. Bunu yapmak için, çizgiye dik herhangi bir yere çizin Ah? ikinci şekildeki gibi (Şekil 14) projeksiyon eksenini ayarlayın ve çizimi bu eksen boyunca bükün. Noktalardaki diklikleri geri yüklersek a ve a? kesişmeden önce bir puan alabilirsin A. Projeksiyon ekseninin konumu değiştirilirken, projeksiyon düzlemlerine göre noktanın farklı konumları elde edilir, ancak projeksiyon ekseninin konumunun belirsizliği, uzaydaki birkaç noktanın veya şeklin göreceli konumunu etkilemez.

Çıkıntıların profil düzlemini düşünün. İki dik düzlemdeki izdüşümler genellikle şeklin konumunu belirler ve gerçek boyutlarını ve şeklini bulmayı mümkün kılar. Ancak iki projeksiyonun yeterli olmadığı zamanlar vardır. Ardından üçüncü projeksiyonun yapısını uygulayın.

Üçüncü projeksiyon düzlemi, aynı anda her iki projeksiyon düzlemine de dik olacak şekilde gerçekleştirilir (Şekil 15). Üçüncü uçak denir profil.

Bu tür yapılarda, yatay ve ön düzlemlerin ortak çizgisine denir. eksen x , yatay ve profil düzlemlerinin ortak çizgisi - eksen de ve ön ve profil düzlemlerinin ortak düz çizgisi - eksen z . Nokta ÖÜç düzleme de ait olan, başlangıç ​​noktası olarak adlandırılır.

Şekil 15a noktayı göstermektedir A ve projeksiyonlarından üçü. Profil düzlemine projeksiyon ( a??) arandı profil projeksiyonu ve belirtmek a??.

Üç projeksiyondan oluşan A noktasının bir diyagramını elde etmek için bir, bir, tüm düzlemlerin oluşturduğu trihedron'u y ekseni boyunca kesmek (Şekil 15b) ve tüm bu düzlemleri ön izdüşüm düzlemi ile birleştirmek gerekir. Yatay düzlem eksen etrafında döndürülmelidir x ve profil düzlemi eksene yakındır zŞekil 15'te okla gösterilen yönde.

Şekil 16, çıkıntıların konumunu gösterir ha? ve a?? puan A, üç düzlemin de çizim düzlemi ile birleştirilmesi sonucunda elde edilir.

Kesim sonucunda y ekseni diyagram üzerinde iki farklı yerde oluşur. Yatay bir düzlemde (Şekil 16), dikey bir konum alır (eksene dik) x) ve profil düzleminde - yatay (eksene dik z).

Şekil 16 üç projeksiyonu göstermektedir ha? ve a?? A noktaları şemada kesin olarak tanımlanmış bir konuma sahiptir ve açık koşullara tabidir:

a ve a? her zaman eksene dik bir dikey düz çizgi üzerinde bulunmalıdır x;

a? ve a?? her zaman eksene dik aynı yatay çizgi üzerinde bulunmalıdır z;

3) yatay bir izdüşüm ve yatay bir çizgiden çizildiğinde, ancak bir profil izdüşümünden a??- dikey bir düz çizgi, oluşturulan çizgiler, projeksiyon eksenleri arasındaki açının açıortayı üzerinde mutlaka kesişecektir, çünkü şekil oa de a 0 a n bir karedir.

Bir noktanın üç izdüşümünü oluştururken, her nokta için üç koşulun tümünün yerine getirilip getirilmediğini kontrol etmek gerekir.

Uzaydaki bir noktanın konumu, adı verilen üç sayı kullanılarak belirlenebilir. koordinatlar. Her koordinat, bir noktanın bir projeksiyon düzleminden uzaklığına karşılık gelir.

Nokta mesafesi A profil düzlemine koordinat x, burada x = Ha?(Şek. 15), ön düzleme olan mesafe - y koordinatına göre ve y = Ha?, ve yatay düzleme olan mesafe koordinattır z, burada z = bir.

Şekil 15'te A noktası dikdörtgen bir kutunun genişliğini kaplar ve bu kutunun ölçümleri bu noktanın koordinatlarına karşılık gelir, yani koordinatların her biri Şekil 15'te dört kez sunulur, yani:

x \u003d a?A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a?A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = bir x a? = bir y bir?.

Diyagramda (Şekil 16), x ve z koordinatları üç kez gerçekleşir:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = bir x a? = Oa z = bir y bir?.

Koordinata karşılık gelen tüm segmentler x(veya z) birbirine paraleldir. Koordinat de dikey eksen tarafından iki kez temsil edilir:

y \u003d Oa y \u003d bir x bir

ve iki kez - yatay olarak bulunur:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Bu fark, diyagramda y ekseninin iki farklı konumda bulunmasından kaynaklanmaktadır.

Her projeksiyonun konumunun diyagramda yalnızca iki koordinat tarafından belirlendiğine dikkat edilmelidir, yani:

1) yatay - koordinatlar x ve de,

2) ön - koordinatlar x ve z,

3) profil - koordinatlar de ve z.

koordinatları kullanma x, y ve z, diyagram üzerinde bir noktanın izdüşümlerini oluşturabilirsiniz.

A noktası koordinatlarla verilmişse, kayıtları şu şekilde tanımlanır: A ( X; y; z).

Nokta projeksiyonları oluştururken A aşağıdaki koşullar kontrol edilmelidir:

1) yatay ve önden çıkıntılar a ve a? x x;

2) ön ve profil çıkıntıları a? ve a? eksene aynı dik olarak yerleştirilmelidir z ortak bir koordinatları olduğu için z;

3) yatay izdüşüm ve ayrıca eksenden kaldırıldı x, profil projeksiyonu gibi a eksenden uzak z, projeksiyon ah yana? ve ha? ortak bir koordinata sahip olmak de.

Nokta, izdüşüm düzlemlerinden herhangi birinde bulunuyorsa, koordinatlarından biri sıfıra eşittir.

İzdüşüm ekseni üzerinde bir nokta bulunduğunda, iki koordinatı sıfırdır.

Bir nokta orijindeyse, koordinatlarının üçü de sıfırdır.

Çıkıntıların profil düzlemini düşünün. İki dik düzlemdeki izdüşümler genellikle şeklin konumunu belirler ve gerçek boyutlarını ve şeklini bulmayı mümkün kılar. Ancak iki projeksiyonun yeterli olmadığı zamanlar vardır. Ardından üçüncü projeksiyonun yapısını uygulayın.

Üçüncü projeksiyon düzlemi, aynı anda her iki projeksiyon düzlemine de dik olacak şekilde gerçekleştirilir (Şekil 15). Üçüncü uçak denir profil.

Bu tür yapılarda, yatay ve ön düzlemlerin ortak çizgisine denir. eksen x , yatay ve profil düzlemlerinin ortak çizgisi - eksen de ve ön ve profil düzlemlerinin ortak düz çizgisi - eksen z . Nokta ÖÜç düzleme de ait olan, başlangıç ​​noktası olarak adlandırılır.

Şekil 15a noktayı göstermektedir A ve projeksiyonlarından üçü. Profil düzlemine projeksiyon ( a) arandı profil projeksiyonu ve belirtmek a.

Üç projeksiyondan oluşan A noktasının bir diyagramını elde etmek için bir, bir, tüm düzlemlerin oluşturduğu trihedron'u y ekseni boyunca kesmek (Şekil 15b) ve tüm bu düzlemleri ön izdüşüm düzlemi ile birleştirmek gerekir. Yatay düzlem eksen etrafında döndürülmelidir x ve profil düzlemi eksene yakındır zŞekil 15'te okla gösterilen yönde.

Şekil 16, çıkıntıların konumunu gösterir bir, bir ve a puan A, üç düzlemin de çizim düzlemi ile birleştirilmesi sonucunda elde edilir.

Kesim sonucunda y ekseni diyagram üzerinde iki farklı yerde oluşur. Yatay bir düzlemde (Şekil 16), dikey bir konum alır (eksene dik) x) ve profil düzleminde - yatay (eksene dik z).

Şekil 16 üç projeksiyonu göstermektedir bir, bir ve a A noktaları şemada kesin olarak tanımlanmış bir konuma sahiptir ve açık koşullara tabidir:

a ve a her zaman eksene dik bir dikey düz çizgi üzerinde bulunmalıdır x;

a ve a her zaman eksene dik aynı yatay çizgi üzerinde bulunmalıdır z;

3) yatay bir izdüşüm ve yatay bir çizgiden çizildiğinde, ancak bir profil izdüşümünden a- dikey bir düz çizgi, oluşturulan çizgiler, projeksiyon eksenleri arasındaki açının açıortayı üzerinde mutlaka kesişecektir, çünkü şekil oa de a 0 a n bir karedir.

Bir noktanın üç izdüşümünü oluştururken, her nokta için üç koşulun tümünün yerine getirilip getirilmediğini kontrol etmek gerekir.

nokta koordinatları

Uzaydaki bir noktanın konumu, adı verilen üç sayı kullanılarak belirlenebilir. koordinatlar. Her koordinat, bir noktanın bir projeksiyon düzleminden uzaklığına karşılık gelir.

Nokta mesafesi A profil düzlemine koordinat x, burada x = a˝A(Şek. 15), ön düzleme olan mesafe - y koordinatına göre ve y = aa, ve yatay düzleme olan mesafe koordinattır z, burada z = bir.

Şekil 15'te A noktası dikdörtgen bir kutunun genişliğini kaplar ve bu kutunun ölçümleri bu noktanın koordinatlarına karşılık gelir, yani koordinatların her biri Şekil 15'te dört kez sunulur, yani:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = bir x a′ = bir y a˝.

Diyagramda (Şekil 16), x ve z koordinatları üç kez gerçekleşir:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d bir y a,

z = bir x á = Oa z = bir y a˝.

Koordinata karşılık gelen tüm segmentler x(veya z) birbirine paraleldir. Koordinat de dikey eksen tarafından iki kez temsil edilir:

y \u003d Oa y \u003d bir x bir

ve iki kez - yatay olarak bulunur:

y \u003d Oa y \u003d bir z a˝.

Bu fark, diyagramda y ekseninin iki farklı konumda bulunmasından kaynaklanmaktadır.

Her projeksiyonun konumunun diyagramda yalnızca iki koordinat tarafından belirlendiğine dikkat edilmelidir, yani:

1) yatay - koordinatlar x ve de,

2) ön - koordinatlar x ve z,

3) profil - koordinatlar de ve z.

koordinatları kullanma x, y ve z, diyagram üzerinde bir noktanın izdüşümlerini oluşturabilirsiniz.

A noktası koordinatlarla verilmişse, kayıtları şu şekilde tanımlanır: A ( X; y; z).

Nokta projeksiyonları oluştururken A aşağıdaki koşullar kontrol edilmelidir:

1) yatay ve önden çıkıntılar a ve a x x;

2) ön ve profil çıkıntıları a ve a eksene aynı dik olarak yerleştirilmelidir z ortak bir koordinatları olduğu için z;

3) yatay izdüşüm ve ayrıca eksenden kaldırıldı x, profil projeksiyonu gibi a eksenden uzak z, a′ ve a˝ projeksiyonları ortak bir koordinata sahip olduğundan de.

Nokta, izdüşüm düzlemlerinden herhangi birinde bulunuyorsa, koordinatlarından biri sıfıra eşittir.

İzdüşüm ekseni üzerinde bir nokta bulunduğunda, iki koordinatı sıfırdır.

Bir nokta orijindeyse, koordinatlarının üçü de sıfırdır.

Düz bir çizginin projeksiyonu

Bir çizgiyi tanımlamak için iki noktaya ihtiyaç vardır. Bir nokta, yatay ve ön düzlemlerde iki izdüşümle tanımlanır, yani iki noktasının yatay ve ön düzlemlerdeki izdüşümleri kullanılarak düz bir çizgi belirlenir.

Şekil 17, projeksiyonları göstermektedir ( a ve bir, b ve B) iki puan A ve B. Onların yardımıyla, düz bir çizginin konumu AB. Bu noktaların aynı adlı projeksiyonlarını bağlarken (örn. a ve b, bir ve B) projeksiyonlar alabilirsiniz ab ve ab doğrudan AB.

Şekil 18, her iki noktanın izdüşümlerini gösterir ve Şekil 19, bunların içinden geçen düz bir çizginin izdüşümlerini gösterir.

Düz bir çizginin izdüşümleri, iki noktasının izdüşümleriyle belirlenirse, bunlar, düz hat üzerinde alınan noktaların izdüşümlerinin tanımlarına karşılık gelen iki bitişik Latin harfiyle gösterilir: çizginin önden izdüşümünü belirtmek için vuruşlarla. düz çizgi veya vuruşsuz - yatay projeksiyon için.

Düz bir çizginin tek tek noktalarını değil, bir bütün olarak projeksiyonlarını düşünürsek, bu projeksiyonlar sayılarla gösterilir.

eğer bir nokta İLE düz bir çizgide yatıyor AB, с ve с́ izdüşümleri aynı çizginin izdüşümlerinde ab ve ab. Şekil 19 bu durumu göstermektedir.

Düz izler

düz iz- bu, bir düzlem veya yüzeyle kesiştiği noktadır (Şekil 20).

Yatay iz düz bir nokta denir Hçizginin yatay düzlemle buluştuğu yerde ve önden- nokta V, bu düz çizginin ön düzlemle buluştuğu yer (Şekil 20).

Şekil 21a, Şekil 21b'de düz bir çizginin yatay izini ve ön izini göstermektedir.

Bazen düz bir çizginin profil izi de düşünülür, W- düz bir çizginin bir profil düzlemi ile kesişme noktası.

Yatay iz yatay düzlemdedir, yani yatay izdüşümü H bu iz ile örtüşür ve ön H x ekseni üzerinde yer alır. Ön iz ön düzlemde yer alır, bu nedenle ön izdüşümü ν́ onunla çakışır ve yatay v x ekseni üzerinde uzanır.

Böyle, H = H, ve V= v. Bu nedenle, düz bir çizginin izlerini belirtmek için harfler kullanılabilir. H ve

Hattın çeşitli pozisyonları

Düz çizgi denir doğrudan genel pozisyon, projeksiyon düzlemlerinden herhangi birine paralel veya dik değilse. Genel konumdaki bir çizginin izdüşümleri de izdüşüm eksenlerine ne paralel ne de diktir.

İzdüşüm düzlemlerinden birine paralel olan düz çizgiler (eksenlerden birine dik).Şekil 22, yatay düzleme paralel (z eksenine dik) bir düz çizgiyi gösterir, yatay bir düz çizgidir; Şekil 23, ön düzleme paralel (eksene dik) düz bir çizgiyi göstermektedir. de), ön düz çizgidir; Şekil 24, profil düzlemine paralel (eksene dik) düz bir çizgiyi göstermektedir. x), bir profil düz çizgisidir. Bu çizgilerin her birinin eksenlerden biriyle dik açı oluşturmasına rağmen, onu kesmezler, sadece onunla kesişirler.

Yatay çizginin (Şekil 22) yatay düzleme paralel olması nedeniyle, ön ve profil çıkıntıları, yatay düzlemi tanımlayan eksenlere, yani eksenlere paralel olacaktır. x ve de. Bu nedenle projeksiyonlar ab|| x ve a˝b˝|| de z. Yatay izdüşüm ab, arsa üzerinde herhangi bir pozisyon alabilir.

Ön çizgide (Şekil 23) projeksiyon ab|| x ve a˝b˝ || z, yani eksene diktirler de ve bu nedenle bu durumda önden projeksiyon abçizgi herhangi bir pozisyon alabilir.

Profil hattında (Şek. 24) ab|| y, ab|| z, ve her ikisi de x eksenine diktir. Projeksiyon a˝b˝ diyagrama herhangi bir şekilde yerleştirilebilir.

Yatay çizgiyi ön düzleme yansıtan düzlemi göz önüne aldığınızda (Şekil 22), bu çizgiyi profil düzlemine de yansıttığını görebilirsiniz, yani çizgiyi aynı anda iki projeksiyon düzlemine yansıtan bir düzlemdir - ön ve profil. Bu nedenle denir çift ​​çıkıntılı uçak. Aynı şekilde, ön hat için (Şekil 23), çift çıkıntılı düzlem onu ​​yatay ve profil çıkıntıların düzlemlerine ve profil için (Şek. 23) - yatay ve ön çıkıntıların düzlemlerine yansıtır. .

İki projeksiyon düz bir çizgi tanımlayamaz. iki projeksiyon 1 ve bir profil düz çizgi (Şekil 25) bu düz çizginin iki noktasının üzerlerindeki izdüşümlerini belirtmeden bu düz çizginin uzaydaki konumunu belirlemeyecektir.

Verilen iki simetri düzlemine dik olan bir düzlemde, diyagramdaki verilerin kendisine ait olduğu sonsuz sayıda doğru olabilir. 1 ve bir onların projeksiyonlarıdır.

Bir nokta bir çizgi üzerindeyse, o zaman izdüşümleri her durumda bu çizgideki aynı isimdeki izdüşümlerde bulunur. Profil hattı için bunun tersi durum her zaman geçerli değildir. İzdüşümlerinde, belirli bir noktanın izdüşümlerini keyfi olarak belirtebilir ve bu noktanın belirli bir çizgide olduğundan emin olamazsınız.

Her üç özel durumda da (Şekil 22, 23 ve 24), düz çizginin çıkıntı düzlemine göre konumu onun keyfi bölümüdür. AB düz çizgilerin her biri üzerinde alınan , projeksiyon düzlemlerinden birine bozulma olmadan, yani paralel olduğu düzleme yansıtılır. Bölüm AB yatay düz çizgi (Şekil 22), yatay bir düzleme gerçek boyutlu bir projeksiyon verir ( ab = AB); Bölüm ABön düz çizgi (Şek. 23) - ön düzlem V düzleminde tam boyutta ( ab = AB) ve segment AB profil düz çizgisi (Şek. 24) - profil düzleminde tam boyutta W (a˝b˝\u003d AB), yani. çizimdeki segmentin gerçek boyutunu ölçmek mümkündür.

Başka bir deyişle, incelenen doğrunun izdüşüm düzlemleriyle oluşturduğu açıların doğal boyutları diyagramlar yardımıyla belirlenebilir.

Düz bir doğrunun yatay bir düzlemle yaptığı açı H, α harfini ön düzlemle - β harfi, profil düzlemi ile - γ harfi ile belirtmek gelenekseldir.

İncelenen düz çizgilerin hiçbirinin kendisine paralel bir düzlemde izi yoktur, yani yatay düz çizginin yatay izi yoktur (Şekil 22), ön düz çizginin ön izi yoktur (Şekil 23) ve profil düz çizginin profil izi yoktur (Şek. 24 ).

Bu yazımızda, bir noktanın düzlem üzerine izdüşümü nasıl oluşturulur ve bu izdüşümün koordinatları nasıl belirlenir sorularına cevap bulacağız. Teorik kısımda projeksiyon kavramına güveneceğiz. Terimlerin tanımlarını vereceğiz, bilgilere resimlerle eşlik edeceğiz. Örnekleri çözerek edinilen bilgileri pekiştirelim.

Projeksiyon, projeksiyon türleri

Mekansal figürlerin değerlendirilmesinde kolaylık sağlamak için bu figürleri gösteren çizimler kullanılır.

tanım 1

Bir figürün bir düzleme yansıtılması- mekansal bir figürün çizimi.

Açıkçası, bir projeksiyon oluşturmak için kullanılan bir takım kurallar vardır.

tanım 2

projeksiyon- inşaat kurallarını kullanarak bir düzlemde uzamsal bir figür çizimi oluşturma süreci.

projeksiyon düzlemi görüntünün oluşturulduğu düzlemdir.

Belirli kuralların kullanılması, projeksiyonun türünü belirler: merkezi veya paralel.

Paralel izdüşümün özel bir durumu, dik izdüşüm veya dik izdüşümdür: geometride esas olarak kullanılır. Bu nedenle, "dikey" sıfatının kendisi konuşmada genellikle atlanır: geometride sadece "bir şeklin izdüşümü" derler ve bununla dik izdüşüm yöntemiyle bir izdüşümün inşasını kastederler. Özel durumlarda, elbette, aksi şart koşulabilir.

Bir şeklin bir düzleme izdüşümü aslında bu şeklin tüm noktalarının izdüşümü olduğu gerçeğini not ediyoruz. Bu nedenle, bir çizimdeki uzamsal bir figürü inceleyebilmek için, bir noktayı bir düzleme yansıtma temel becerisini kazanmak gerekir. Aşağıda ne hakkında konuşacağız.

Çoğu zaman geometride, bir düzlem üzerine izdüşümden bahsetmişken, bunların dik izdüşüm kullanımı anlamına geldiğini hatırlayın.

Bir noktanın bir düzleme izdüşümü tanımını elde etmemizi sağlayacak yapılar yapacağız.

Üç boyutlu bir uzayın verildiğini ve içinde - bir α düzlemi ve α düzlemine ait olmayan bir M 1 noktası olduğunu varsayalım. Verilen bir M 1 noktasından geçen düz bir çizgi çizin a verilen α düzlemine dik. a çizgisi ile α düzleminin kesişme noktası Hı olarak gösterilecektir, yapım gereği M1 noktasından α düzlemine bırakılan dikmenin tabanı olarak hizmet edecektir.

Belirli bir α düzlemine ait bir M2 noktası verilirse, M2 kendisinin α düzlemine bir izdüşümü olarak hizmet edecektir.

tanım 3

ya noktanın kendisidir (belirli bir düzleme aitse) ya da belirli bir noktadan belirli bir düzleme bırakılan dikmenin tabanıdır.

Düzlemdeki bir noktanın izdüşümünün koordinatlarını bulma, örnekler

Üç boyutlu uzayı verelim: dikdörtgen koordinat sistemi O x y z, düzlem α, nokta M 1 (x 1, y 1, z 1) . M1 noktasının belirli bir düzleme izdüşümünün koordinatlarını bulmak gerekir.

Çözüm, bir noktanın bir düzlem üzerine izdüşümünün yukarıdaki tanımından açıkça çıkmaktadır.

M 1 noktasının α düzlemine izdüşümünü H 1 olarak gösteriyoruz. Tanıma göre, H 1, verilen α düzlemi ile a çizgisinin M1 noktasından geçen (düzlüğe dik) kesişme noktasıdır. Şunlar. İhtiyacımız olan M1 noktasının izdüşümünün koordinatları, a çizgisinin ve a düzleminin kesişme noktasının koordinatlarıdır.

Bu nedenle, bir noktanın bir düzleme izdüşümünün koordinatlarını bulmak için gereklidir:

α düzleminin denklemini alın (ayarlanmamışsa). Düzlem denklemlerinin türleri hakkında bir makale burada size yardımcı olacaktır;

M1 noktasından geçen ve α düzlemine dik olan düz bir çizginin denklemini belirleyin (belirli bir düzleme dik belirli bir noktadan geçen düz bir çizgi denkleminin konusunu inceleyin);

a çizgisinin ve a düzleminin kesişme noktasının koordinatlarını bulun (makale - düzlemin ve çizginin kesişme noktasının koordinatlarını bulma). Elde edilen veriler, M1 noktasının ihtiyacımız olan α düzlemine izdüşümünün koordinatları olacaktır.

Teoriyi pratik örnekler üzerinde ele alalım.

örnek 1

M 1 (- 2, 4, 4) noktasının 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0 düzlemine izdüşümünün koordinatlarını belirleyin.

Çözüm

Gördüğümüz gibi, düzlemin denklemi bize verildi, yani. onu oluşturmaya gerek yok.

M 1 noktasından geçen ve verilen düzleme dik a doğrusunun kanonik denklemlerini yazalım. Bu amaçlar için, a düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleriz. a doğrusu verilen düzleme dik olduğundan, a hattının yönlendirici vektörü 2 x - 3 y + z - 2 = 0 düzleminin normal vektörüdür. Böylece, a → = (2 , - 3 , 1) – a çizgisinin yön vektörü.

Şimdi uzayda M 1 (- 2, 4, 4) noktasından geçen ve yön vektörü olan bir doğrunun kanonik denklemlerini oluşturuyoruz. a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

İstenilen koordinatları bulmak için sonraki adım, x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 doğrusu ile düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını belirlemektir. 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Bu amaçla, kanonik denklemlerden kesişen iki düzlemin denklemlerine geçiyoruz:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Bir denklem sistemi oluşturalım:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Ve Cramer'in yöntemini kullanarak çözün:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Böylece, belirli bir α düzleminde belirli bir M 1 noktasının istenen koordinatları şöyle olacaktır: (0, 1, 5) .

Yanıt vermek: (0 , 1 , 5) .

Örnek 2

А (0 , 0 , 2) noktaları, üç boyutlu uzayın O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde verilmiştir; (2, - 1, 0) içinde ; C (4, 1, 1) ve M1 (-1, -2, 5). M 1 projeksiyonunun koordinatlarını A B C düzlemine bulmak gerekir.

Çözüm

Her şeyden önce, verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini yazıyoruz:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ xyz - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6y + 6z - 12 = 0 ⇔ x - 2y + 2z - 4 = 0

AB C düzlemine dik M 1 noktasından geçecek olan a düz çizgisinin parametrik denklemlerini yazalım. x - 2 y + 2 z - 4 \u003d 0 düzlemi, (1, -) koordinatlarına sahip normal bir vektöre sahiptir. 2, 2), yani vektör a → = (1 , - 2 , 2) – a çizgisinin yön vektörü .

Şimdi, M 1 çizgisinin noktasının koordinatlarına ve bu çizginin yönlendirici vektörünün koordinatlarına sahip olarak, çizginin uzaydaki parametrik denklemlerini yazıyoruz:

Daha sonra x - 2 y + 2 z - 4 = 0 düzleminin ve doğrunun kesişme noktasının koordinatlarını belirliyoruz.

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Bunu yapmak için, düzlemin denklemini yerine koyarız:

x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 λ , z = 5 + 2 λ

Şimdi, x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ parametrik denklemlerini kullanarak, x, y ve z değişkenlerinin değerlerini λ = - 1'de buluyoruz: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Böylece, M 1 noktasının A B C düzlemine izdüşümü (- 2, 0, 3) koordinatlarına sahip olacaktır.

Yanıt vermek: (- 2 , 0 , 3) .

Koordinat düzlemleri ve koordinat düzlemlerine paralel düzlemler üzerinde bir noktanın izdüşümünün koordinatlarını bulma sorusu üzerinde ayrı ayrı duralım.

M 1 (x 1, y 1, z 1) noktaları ve O x y , O x z ve O y z koordinat düzlemleri verilsin. Bu noktanın bu düzlemlerdeki izdüşüm koordinatları sırasıyla: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) ve (0 , y 1 , z 1) olacaktır. Verilen koordinat düzlemlerine paralel düzlemleri de göz önünde bulundurun:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Ve verilen M 1 noktasının bu düzlemlerdeki izdüşümleri x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 ve - D A , y 1 , z 1 koordinatlarına sahip noktalar olacaktır .

Bu sonucun nasıl elde edildiğini gösterelim.

Örnek olarak, M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasının A x + D = 0 düzlemine izdüşümünü tanımlayalım. Davaların geri kalanı benzer.

Verilen düzlem O y z koordinat düzlemine paraleldir ve i → = (1 , 0 , 0) bunun normal vektörüdür. Aynı vektör, O y z düzlemine dik olan doğrunun yönlendirici vektörü olarak hizmet eder. Daha sonra, M1 noktasından çizilen ve belirli bir düzleme dik olan düz bir çizginin parametrik denklemleri şöyle görünecektir:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Bu doğrunun ve verilen düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını bulun. Önce A x + D = 0 denklemine şu eşitlikleri koyarız: x = x 1 + λ, y = y 1, z = z 1 ve şunu elde ederiz: A (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - DA - x bir

Ardından, λ = - D A - x 1 için düz çizginin parametrik denklemlerini kullanarak istenen koordinatları hesaplıyoruz:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Yani, M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasının düzleme izdüşümü - D A , y 1 , z 1 koordinatlarına sahip bir nokta olacaktır.

Örnek 2

M 1 (- 6 , 0 , 1 2) noktasının O x y koordinat düzlemine ve 2 y - 3 = 0 düzlemine izdüşümünün koordinatlarını belirlemek gerekir.

Çözüm

O x y koordinat düzlemi, z = 0 düzleminin tamamlanmamış genel denklemine karşılık gelecektir. M 1 noktasının z \u003d 0 düzlemine izdüşümü koordinatlara sahip olacaktır (- 6, 0, 0) .

2 y - 3 = 0 düzlem denklemi y = 3 2 2 olarak yazılabilir. Şimdi sadece M 1 (- 6 , 0 , 1 2) noktasının izdüşümünün koordinatlarını y = 3 2 2 düzlemine yazın:

6 , 3 2 2 , 1 2

Yanıt vermek:(- 6 , 0 , 0) ve - 6 , 3 2 2 , 1 2

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

BİR NOKTAYI İKİ PROJEKSİYON DÜZEYİNDE PROJEKSİYONU

Düz bir çizgi parçasının AA 1 oluşumu, herhangi bir H düzleminde A noktasının hareket ettirilmesinin bir sonucu olarak temsil edilebilir (Şekil 84, a) ve bir düzlemin oluşumu, bir AB düz çizgi parçasının yer değiştirmesi olarak temsil edilebilir ( 84, b).

Nokta, bir çizginin ve yüzeyin ana geometrik öğesidir, bu nedenle bir nesnenin dikdörtgen izdüşümünün incelenmesi, bir noktanın dikdörtgen izdüşümlerinin oluşturulmasıyla başlar.

İki dik düzlemin oluşturduğu dihedral açının uzayında - ön (dikey) çıkıntılar düzlemi ve H çıkıntılarının yatay düzlemi, A noktasını yerleştiririz (Şekil 85, a).

Projeksiyon düzlemlerinin kesişme çizgisi, projeksiyon ekseni olarak adlandırılan ve x harfi ile gösterilen düz bir çizgidir.

V düzlemi burada bir dikdörtgen olarak ve H düzlemi bir paralelkenar olarak gösterilmektedir. Bu paralelkenarın eğik tarafı genellikle yatay tarafına 45°'lik bir açıyla çizilir. Eğik kenarın uzunluğu, gerçek uzunluğunun 0,5'ine eşit olarak alınır.

A noktasından, dikler V ve H düzlemlerinde indirilir. Dikeylerin V ve H projeksiyon düzlemleriyle kesiştiği a "ve a noktaları, A noktasının dikdörtgen izdüşümleridir. Uzaydaki Aaa x a şekli bir dikdörtgendir. Görsel görüntüdeki bu dikdörtgenin yan ekseni 2 kat küçültülür.

V'yi x düzlemlerinin kesişim çizgisi etrafında döndürerek H düzlemini V düzlemi ile hizalayalım. Sonuç, A noktasının karmaşık bir çizimidir (Şekil 85, b)

Karmaşık çizimi basitleştirmek için, V ve H projeksiyon düzlemlerinin sınırları belirtilmemiştir (Şekil 85, c).

A noktasından izdüşüm düzlemlerine çizilen diklere izdüşüm çizgileri denir ve bu izdüşüm çizgilerinin tabanlarına - a ve a noktalarına A noktasının izdüşümleri denir: a" A noktasının ön izdüşümüdür, a yatay izdüşümdür A noktası

Çizgi a "a, projeksiyon bağlantısının dikey çizgisi olarak adlandırılır.

Bir noktanın izdüşümünün karmaşık bir çizim üzerindeki konumu, bu noktanın uzaydaki konumuna bağlıdır.

A noktası H yatay projeksiyon düzleminde yer alıyorsa (Şek. 86, a), yatay izdüşüm a verilen nokta ile çakışır ve ön izdüşüm a "eksen üzerinde bulunur. B noktası ön izdüşümde bulunduğunda V düzlemi, önden izdüşümü bu noktayla çakışıyor ve yatay izdüşüm x ekseninde yatıyor.X ekseni üzerinde uzanan belirli bir C noktasının yatay ve önden izdüşümleri bu noktayla çakışıyor.Karmaşık bir nokta çizimi A, B ve C, Şekil 86, b'de gösterilmiştir.

ÜÇ PROJEKSİYON DÜZLEMİ ÜZERİNDE BİR NOKTAYI PROJEKSİYONU

Bir cismin şeklini iki projeksiyondan hayal etmenin imkansız olduğu durumlarda, üç projeksiyon düzlemine yansıtılır. Bu durumda, V ve H düzlemlerine dik olan W uzantılarının profil düzlemi tanıtılır. Şek. 87 a.

Üçyüzlü bir açının kenarları (izdüşüm düzlemlerinin kesişimi) izdüşüm eksenleri olarak adlandırılır ve x, y ve z ile gösterilir. İzdüşüm eksenlerinin kesişimi, izdüşüm eksenlerinin başlangıcı olarak adlandırılır ve O harfi ile gösterilir. Dikey çizgiyi A noktasından W izdüşüm düzlemine bırakalım ve dikin tabanını a harfi ile işaretleyerek, A noktasının profil projeksiyonunu elde edin.

Karmaşık bir çizim elde etmek için, H ve W düzlemlerinin A noktaları, V düzlemi ile hizalanır ve onları Ox ve Oz eksenleri etrafında döndürür. A noktasının karmaşık bir çizimi, Şek. 87b ve c.

A noktasından projeksiyon düzlemlerine uzanan çıkıntılı çizgilerin bölümlerine A noktasının koordinatları denir ve şu şekilde gösterilir: x A, y A ve z A.

Örneğin, A noktasının z A koordinatı, a "ax segmentine eşittir (Şekil 88, a ve b), A noktasından H yatay projeksiyon düzlemine olan mesafedir. A noktasındaki koordinat, aa x segmenti, A noktasından V çıkıntılarının ön düzlemine olan mesafedir. aa y segmentine eşit x A koordinatı, A noktasından W çıkıntılarının profil düzlemine olan mesafedir.

Böylece, bir noktanın izdüşümü ile izdüşüm ekseni arasındaki mesafe, noktanın koordinatlarını belirler ve karmaşık çizimini okumanın anahtarıdır. Bir noktanın iki projeksiyonu ile bir noktanın üç koordinatı da belirlenebilir.

A noktasının koordinatları verilirse (örneğin, x A \u003d 20 mm, y A \u003d 22 mm ve z A \u003d 25 mm), bu noktanın üç projeksiyonu oluşturulabilir.

Bunu yapmak için, Oz ekseni yönünde O koordinatlarının başlangıcından, z A koordinatı ve y A koordinatı yerleştirilir. x koordinat A'ya eşit segmentler. Ortaya çıkan noktalar a "ve a A noktasının önden ve yatay izdüşümleri.

İki izdüşüm a "ve bir A noktasına göre, profil izdüşümü üç şekilde oluşturulabilir:

1) O orijinden, koordinata eşit Oa y yarıçaplı bir yardımcı yay çizilir (Şekil 87, b ve c), elde edilen a noktasından y1 Oz eksenine paralel düz bir çizgi çizer ve bir z A'ya eşit parça;

2) a y noktasından, Oy eksenine 45 ° açıyla bir yardımcı düz çizgi çizilir (Şekil 88, a), bir y1 noktası elde edilir, vb.;

3) O orijinden, Oy eksenine 45 ° 'lik bir açıyla yardımcı bir düz çizgi çizin (Şekil 88, b), bir y1 noktası alın, vb.