Kombinatorik sınavı. Sınavda kombinatoryal problemler

Enformatikte Birleşik Devlet Sınavında kombinatoryal yöntemler, 10 No'lu problemi (eski B4) çözmek için kullanılır. Kombinatoryal teknikleri kullanarak tipik problemlerin çözümünü ele alalım.

Enformatik 2014 Birleşik Devlet Sınavı'nın demo versiyonundan B4 numaralı problemi çözelim.

Görev. Acil durum sinyallerinin iletilmesi için sırayla fırlatılan özel renkli işaret fişeklerinin kullanılması kararlaştırıldı. Bir füze dizisi - bir sinyal; Renklerin gittiği sıra önemlidir. Stokta üç farklı renkte füze varsa, tam olarak bu tür beş işaret fişeği fırlatılarak kaç farklı sinyal iletilebilir (her türden sınırsız sayıda füze vardır, dizideki füzelerin rengi tekrarlanabilir)?

Çözüm.

Roketler, bir dizide beş roket ile üç farklı renkte olabilir. Bu, üç elementten (n = 3, k = 5) beşinci cilt örneğinin dikkate alındığı anlamına gelir.

Bir kombinatoryal şema tanımlayalım. Sorun bildiriminde iki hüküm:

• "Renklerin gittiği sıra esastır";
• “Sıradaki füzelerin rengi tekrar edilebilir”;

Cevap. 243

2016 yılında bilgisayar bilimi sınavının demo versiyonundan 10 numaralı problemi çözelim.

Igor, mesajları iletmek için bir kod kelimesi tablosu derler, her mesajın kendi kod kelimesi vardır. Kod sözcükleri olarak Igor, yalnızca P, I, P harflerinin bulunduğu ve P harfinin tam olarak 1 kez göründüğü 5 harfli sözcükler kullanır. Diğer geçerli harflerin her biri, kod sözcüğünde herhangi bir sayıda görünebilir veya hiç görünmeyebilir. Igor kaç farklı kod sözcüğü kullanabilir?

Çözüm.

1) "P" harfi tam olarak 1 kez görünür, yani kelimede 5 konumdan birinde olabilir.

2) "I" ve "P" harfleri kalan 4 pozisyonu dolduracaktır. 2 elementten (k = 4, n = 2) 4 boyutlu örnekleri ele alalım. Kod sözcükleri hem harflerin sırasına göre hem de kompozisyona göre farklılık gösterebilir, bu da kombinatoryal şemanın tekrarlı yerleştirme olduğu anlamına gelir. Bu tür yerleşimlerin sayısını bulalım:

Cevap. 80

Tipik eğitim problemi # 10 Bilişimde Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak için.

Görev. Vasya, dört harfli alfabeden (A, C, R, T) 5 harfli kelimeler oluşturur ve her kelimede A harfi tam olarak 2 kez kullanılır. Diğer geçerli harflerin her biri, bir kelimede herhangi bir sayıda veya hiç görünmeyebilir. Bir kelimede, herhangi bir geçerli harf dizisinin mutlaka anlamlı olmadığı kabul edilir. Vasya'nın yazabileceği kaç kelime var?

Çözüm.

1) kelimedeki pozisyonları numaralandırırız, daha sonra "A" harflerinin düzenlenmesinin varyantları, beşten iki basamaktan oluşan sırasız bir seçim olarak gösterilebilir. Bu nedenle, kombinatoryal şema, tekrarsız kombinasyonlardır.

2) geçerli karakterlerin geri kalanı 3 pozisyon alacaktır. Bu 3 örnekten 3'ü hem sıra hem de karakter seti açısından farklılık gösterecektir. Açıktır ki, kombinatoryal şema tekrarlayan yerleşimlerdir.

3) çarpım kuralını uygulayın: 27 * 10 = 270

Olasılık teorisindeki problemleri çözerken, aynı zamanda klasik olasılığın tanımı olan aynı formülü sürekli olarak kullanırız:

burada k olumlu sonuçların sayısıdır, n sonuçların toplam sayısıdır (bkz. "Olasılık Teorisi Testi").

Ve bu formül, görevler kolay olduğu ve pay ve paydadaki sayılar açık olduğu sürece harika çalışıyor.

Ancak son zamanlarda yapılan deneme sınavları, matematikte gerçek KULLANIM'da çok daha karmaşık yapılarla karşılaşılabileceğini göstermiştir. n ve k değerlerini bulmak sorunlu hale gelir. Bu durumda, kombinatorikler kurtarmaya gelir. Yasaları, istenen değerlerin doğrudan problemin metninden türetilmediği durumlarda çalışır.

Bugünün dersinde katı formülasyonlar ve uzun teoremler olmayacak - bunlar çok karmaşık ve ayrıca gerçek problemleri çözmek için tamamen işe yaramazlar B6. Bunun yerine, basit kurallara bakacağız ve sınavda gerçekten meydana gelen belirli görevleri analiz edeceğiz. O zaman hadi gidelim!

Kombinasyon ve faktöriyel sayısı

Tam olarak k farklı nesneyi seçmek istediğiniz n nesne (kalemler, şekerler, votka şişeleri - her neyse) olsun. Daha sonra böyle bir seçim için seçeneklerin sayısına, her biri k'nin n öğesinin kombinasyonlarının sayısı denir. Bu sayı C n k olarak belirtilir ve özel bir formül kullanılarak hesaplanır.

atama:

İfade n! "en-factorial" olarak okunur ve 1'den n'ye kadar olan tüm doğal sayıların çarpımını belirtir: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

Ayrıca matematikte tanım gereği 0! = 1 - böyle bir saçmalık nadirdir, ancak yine de olasılık teorisindeki problemlerde ortaya çıkar.

Bu formül bize ne veriyor? Aslında, pratikte hiçbir ciddi sorun onsuz çözülemez.

Ne yazık ki, okul faktöriyellerle nasıl çalışacağını hiç bilmiyor. Ek olarak, kombinasyon sayısı formülünde kafa karıştırmak çok kolaydır: n sayısı nerede ve ne anlama geliyor ve k nerede. Başlamak için şunu unutmayın: alt sayı her zaman en üsttedir - tıpkı olasılığı belirleme formülünde olduğu gibi (olasılık asla birden büyük değildir).

Daha iyi anlamak için, en basit kombinatoryal problemlerden birkaçını analiz edelim:

Görev. Barmen 6 çeşit yeşil çaya sahiptir. Çay seremonisi için tam olarak 3 farklı çeşit yeşil çay ikram edilmesi gerekmektedir. Bir barmen bir siparişi kaç farklı şekilde yerine getirebilir?

Burada her şey basit: k = 3 çeşit seçmeniz gereken n = 6 çeşit var. Kombinasyon sayısı aşağıdaki formülle bulunabilir:

Görev. 20 kişilik bir grupta konferansta konuşma yapmak üzere 2 temsilci seçilmelidir. Bunu kaç yolla yapabilirsiniz?

Yine toplamda n = 20 öğrencimiz var ama k = 2 öğrenci seçmemiz gerekiyor. Kombinasyon sayısını bulun:

Dikkat: Farklı faktöriyellerde yer alan faktörler kırmızı ile işaretlenmiştir. Bu faktörler ağrısız bir şekilde azaltılabilir ve böylece toplam hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltır.

Görev. Normal sunuculardan 2 kat daha ucuza çeşitli kusurlara sahip 17 sunucu depoya getirildi. Müdür okul için bu tür 14 sunucu satın aldı, biriktirdiği parayı çaldı ve kızına 200.000 ruble için samur bir kürk manto aldı. Bir yönetici kusurlu sunucuları kaç farklı şekilde seçebilir?

Görevde kafa karıştırıcı olabilecek birçok gereksiz veri var. En önemli gerçekler: Toplamda n = 17 sunucu var ve yöneticinin k = 14 sunucuya ihtiyacı var. Kombinasyon sayısını sayıyoruz:

İptal edilen çarpanlar tekrar kırmızı ile işaretlenmiştir. Toplamda 680 kombinasyon vardı. Genel olarak, yönetmenin seçebileceği çok şey var.

Gördüğünüz gibi, n'den k'ye kadar olan kombinasyonların sayısı oldukça basit bir şekilde hesaplanır. Sorun, birçok öğrencinin faktöriyellerle hiç çalışmamış olmasıdır. Onlar için bu yeni ve alışılmadık bir matematiksel nesnedir ve bu konuda ustalaşmak için biraz eğitim gerekir.

İyi haber şu ki, birçok problemde C n k formülünün cevabı bulmak için oldukça yeterli olduğu ortaya çıkıyor. Ancak kötü haberler de var: Ek kurallara ihtiyaç duyulan bu nadir durumlarda, sorunun çözümü çarpıcı biçimde karmaşıklaşıyor. Şimdi bu kuralları ele alacağız.

çarpma yasası

Kombinatorikte çarpma yasası: Bağımsız kümelerdeki kombinasyonların (yollar, kombinasyonlar) sayısı çarpılır.

Başka bir deyişle, bir eylemi gerçekleştirmenin A yolları ve başka bir eylemi gerçekleştirmenin B yolları olduğunu varsayalım. Yol ayrıca bu eylemlerden bağımsızdır, yani. birbirleriyle hiçbir şekilde ilişkili değildir. Ardından, formüle göre birinci ve ikinci eylemleri gerçekleştirmenin yollarını bulabilirsiniz: C = A · B.

Görev. Petya'da 4 jeton 1 ruble ve 2 jeton 10 ruble var. Petya bakmadan cebinden 1 ruble değerinde 1 jeton ve bir yeraltı geçidindeki bir büyükanneden 11 rubleye sigara almak için 10 ruble değerinde 1 jeton çıkardı. Bu paraları kaç farklı şekilde seçebilir?

Böylece, önce Petya, 1 ruble değerinde n = 4 mevcut madeni paradan k = 1 jeton alır. Bunu yapmanın yol sayısı C 4 1 = ... = 4'tür.

Sonra Petya tekrar cebine ulaşır ve 10 ruble değerinde n = 2 mevcut madeni paradan k = 1 madeni para çıkarır. Burada kombinasyon sayısı C 2 1 = ... = 2'ye eşittir.

Bu eylemler bağımsız olduğu için toplam seçenek sayısı C = 4 2 = 8'dir.

Görev. Sepette 8 beyaz ve 12 siyah top bulunmaktadır. Bu sepetten 2 beyaz ve 2 siyah top kaç farklı şekilde elde edilebilir?

Sepette n = 8 beyaz top var, içinden k = 2 top seçmeniz gerekiyor. Bu C 8 2 = ... = 28 farklı şekilde yapılabilir.

Ayrıca sepette n = 12 siyah top var ve bunlardan tekrar k = 2 top seçmemiz gerekiyor. Bunu yapmanın yol sayısı C 12 2 = ... = 66'ya eşittir.

Beyaz topun seçimi ve siyahın seçimi bağımsız olaylar olduğundan, toplam kombinasyon sayısı çarpma yasasına göre hesaplanır: C = 28 · 66 = 1848. Gördüğünüz gibi, oldukça fazla olabilir. çok seçenek.

Çarpma yasası, iki veya daha fazla basit olandan oluşan karmaşık bir eylemi kaç farklı şekilde gerçekleştirebileceğinizi gösterir - hepsinin bağımsız olması koşuluyla.

Pek çok kişinin matematik deneme sınavında Problem B6'yı çözmesi için yeterli olmayan bu formüldü. Elbette, kombinatoriklerin kullanılmadığı başka çözüm yöntemleri de var - ve bunları kesinlikle gerçek sınava daha yakın olarak ele alacağız. Bununla birlikte, hiçbiri şu anda üzerinde çalıştığımız tekniklerle güvenilirlik ve özlülük açısından karşılaştırılamaz.

ekleme yasası

Çarpma yasası, birbirine bağlı olmayan “yalıtılmış” olaylarla işliyorsa, toplama yasası bunun tam tersidir. Asla aynı anda gerçekleşmeyen birbirini dışlayan olaylarla ilgilenir.

Örneğin, “Petya cebinden 1 jeton çıkardı” ve “Petya cebinden tek bir jeton çıkarmadı” birbirini dışlayan olaylardır, çünkü tek bir jeton çıkarmadan bir jeton çıkarmak imkansızdır.

Aynı şekilde, "Rastgele top - beyaz" ve "Rastgele top - siyah" olayları da birbirini dışlar.

Kombinatorikte toplama yasası: Eğer birbirini dışlayan iki eylem sırasıyla A ve B yollarıyla gerçekleştirilebiliyorsa, bu olaylar birleştirilebilir. Bu durumda X = A + B yollarıyla gerçekleştirilebilecek yeni bir olay ortaya çıkacaktır.

Başka bir deyişle, birbirini dışlayan eylemleri (olaylar, seçenekler) birleştirirken, kombinasyonlarının sayısı toplanır.

Birbirini dışlayan seçeneklerden herhangi biri ile tatmin olduğumuzda, toplama yasasının kombinatorikte mantıklı bir "VEYA" olduğunu söyleyebiliriz. Ve bunun tersi, çarpma yasası, hem birinci hem de ikinci eylemlerin aynı anda yürütülmesiyle ilgilendiğimiz mantıksal bir "VE" dir.

Görev. Sepette 9 siyah ve 7 kırmızı top bulunmaktadır. Oğlan aynı renkten 2 top çıkarır. Bunu kaç yolla yapabilir?

Toplar aynı renkteyse, birkaç seçenek vardır: ikisi de siyah veya kırmızıdır. Açıkçası, bu seçenekler birbirini dışlar.

İlk durumda, çocuk mevcut n = 9 arasından k = 2 siyah top seçmelidir. Bunu yapmanın yollarının sayısı C 9 2 = ... = 36'ya eşittir.

Benzer şekilde, ikinci durumda n = 7 olası kırmızı top arasından k = 2 kırmızı top seçiyoruz. Yol sayısı C 7 2 = ... = 21'dir.

Toplam yol sayısını bulmak için kalır. Siyah ve kırmızı bilyeli seçenekler birbirini dışlayan olduğundan, toplama yasasına göre X = 36 + 21 = 57'yi elde ederiz.

Görev. Tezgahta 15 gül ve 18 lale satılmaktadır. 9. sınıf öğrencisi, sınıf arkadaşına 3 çiçek almak istiyor ve tüm çiçekler aynı olmalı. Böyle bir buketi kaç farklı şekilde yapabilir?

Geleneksel olarak, tüm çiçekler aynı olmalıdır. Bu da ya 3 gül ya da 3 lale alacağımız anlamına geliyor. Her durumda, k = 3.

Güller için n = 15 seçenek arasından seçim yapmanız gerekecek, yani kombinasyon sayısı C 15 3 = ... = 455. Lale için ise n = 18 ve kombinasyon sayısı C 18'dir. 3 = ... = 816.

Güller ve laleler birbirini dışlayan seçenekler olduğundan, toplama yasasına göre çalışıyoruz. Toplam seçenek sayısını elde ederiz X = 455 + 816 = 1271. Cevap bu.

Ek şartlar ve kısıtlamalar

Sorunun metninde çok sık olarak, bizi ilgilendiren kombinasyonlara önemli kısıtlamalar getiren ek koşullar vardır. İki cümleyi karşılaştırın:

1. Farklı renklerde 5 adet kalem seti bulunmaktadır. 3 çizim vuruşunu kaç farklı şekilde seçebilirsin?
2. Farklı renklerde 5 adet kalem seti bulunmaktadır. Birinin kırmızı olması gerekiyorsa, ana hatlar çizmek için 3 tutamacı kaç şekilde seçebilirsiniz?

Farkı hissediyor musun? İlk durumda, istediğimiz renkleri alma hakkımız var - ek bir kısıtlama yok. İkinci durumda, her şey daha karmaşıktır, çünkü kırmızı bir tutamaç seçmemiz gerekir (orijinal sette olduğu varsayılır).

Açıkçası, herhangi bir kısıtlama, toplam seçenek sayısını büyük ölçüde azaltacaktır. Peki, bu durumda kombinasyon sayısını nasıl bulabilirsiniz? Sadece aşağıdaki kuralı unutmayın:

Aralarından k eleman seçmeniz gereken bir dizi n eleman olsun. Ek kısıtlamaların getirilmesiyle, n ve k sayıları aynı miktarda azalır.

Başka bir deyişle, 5 tutamaçtan 3'ünü seçmeniz gerekiyorsa ve bunlardan birinin kırmızı olması gerekiyorsa, n = 5 - 1 = 4 eleman, k = 3 - 1 = 2 eleman arasından seçim yapmanız gerekecektir. Bu nedenle C 5 3 yerine C 4 2 düşünülmelidir.

Şimdi bu kuralın belirli örneklerde nasıl çalıştığını görelim:

Görev. 2 mükemmel öğrenci de dahil olmak üzere 20 kişilik bir grupta, konferansa katılmak için 4 kişi seçilmelidir. Mükemmel öğrencilerin konferansa gitmesi gerekiyorsa, bu dördü kaç yolu seçebilirsiniz?

Yani, n = 20 öğrencilik bir grup var. Ama sadece k = 4 tanesini seçmeniz gerekiyor. Ek kısıtlama yoksa, seçeneklerin sayısı C 20 4 kombinasyonlarının sayısına eşitti.

Ancak bize ek bir şart daha verildi: Bu dördü arasında 2 mükemmel öğrenci olmalı. Böylece yukarıdaki kurala göre n ve k sayılarını 2 azaltıyoruz.

Görev. Petya'nın cebinde 6'sı ruble ve 2'si 10 ruble olmak üzere 8 jeton var. Petya başka bir cebe üç bozuk para koyar. Her iki 10 rublelik madalyonun başka bir cebe düştüğü biliniyorsa Petya bunu kaç farklı şekilde yapabilir?

Yani, n = 8 jeton var. Petya, 2 tanesi on ruble olmak üzere k = 3 madeni para bırakır. Aktarılacak 3 jetondan 2'sinin zaten sabitlendiği ortaya çıktı, bu nedenle n ve k sayıları 2 ile azaltılmalıdır.

Her iki örnekte de, faktöriyellerle çalışmanın ayrıntılarını kasten atladım - tüm hesaplamaları kendiniz yapmaya çalışın. Tabii ki, bu sorunları çözmenin başka yolları da var. Örneğin, çarpma yasasını kullanarak. Her iki durumda da, cevap aynı olacaktır.

Sonuç olarak, ilk problemde 153 varyant aldığımızı belirtmek isterim - bu, ilk C 20 4 = ... = 4845 varyantından çok daha azdır. Benzer şekilde, 8 jetondan 3'ü C 8 3 = ... = 56 şekilde kaydırılabilir, bu son problemde elde ettiğimiz 6 yoldan çok daha fazladır.

Bu örnekler, herhangi bir kısıtlamanın getirilmesinin "seçme özgürlüğümüzü" önemli ölçüde azalttığını açıkça göstermektedir.

Bu makale, Vladimir Zlatkovich Sharich ve Dmitry Vasilyevich Maksimov'un foxford PDA'daki derslerinden materyal kullanıyor.

1. Tam olarak bir yedide kaç tane dört basamaklı sayı vardır?

Dört basamaklı bir sayı gibi görünüyor. Dört basamaklı bir sayı tam olarak bir yedi içeriyorsa, o zaman durabilir.

1) ilk etapta ve daha sonra 0'dan 9'a kadar herhangi bir sayı, 7 sayısı hariç diğer üç yerde olabilir ve çarpım kuralına göre yedinin içinde olduğu dört basamaklı sayılar elde ederiz. ilk yer.

2) birincisi hariç herhangi bir yerde ve sonra, ürünün kuralına göre elde ederiz. 7 sayısının yeri için üç olasılığımız var, ilk etapta 8 sayı olabilir (sıfır ve 7 hariç tüm sayılar), 7 sayısının olmadığı yerlerde - 9 sayı.

Ortaya çıkan seçenekleri toplarız ve tam olarak bir yedi içeren dört basamaklı sayılar elde ederiz.

2. Tam olarak iki yedide kaç tane beş basamaklı sayı vardır?

Önceki görevde olduğu gibi, iki olasılığımız var:

1) Yedilerden biri birinci sırada, ikincisi ise kalan dört yerden herhangi birinde. 7 rakamının işgal etmediği üç yerde 9 rakamdan herhangi biri kullanılabilir (7 rakamı hariç her şey). Bu durumda sayılar elde ederiz.

2) Yedilerin hiçbiri önce gelmez. Bu durumda, elimizde kalan 4 sıraya 2 yedili yerleştirme fırsatları. Biri ilk olmak üzere 7 sayısının işgal etmediği 3 yerimiz kaldı ve böylece sayıları elde ediyoruz.

Ortaya çıkan seçenekleri toplarız ve tam olarak iki yedili içeren beş basamaklı sayılar elde ederiz.

3. Rakamları farklı olan beş basamaklı kaç tane sayı vardır?

İlk basamak 0 olamayacağından, artan sırada 1-9 arasındaki bir basamak dizisini düşünün.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Bu diziden 5 rastgele basamak seçersek, örneğin:

1, 2 , 3, 4 , 5, 6, 7 , 8 , 9

sonra sayıları farklı olan ve artan sırada düzenlenmiş beş basamaklı bir sayı elde ederiz.

Yani sayıları farklı olan ve artan sırada düzenlenmiş 126 beş basamaklı sayı vardır.

Pascal üçgeni ve kombinasyon sayısı.

4. Topal kralın sorunu. Bir tahta büyüklüğünde yapalım. Şah, tahtanın sol üst köşesindedir ve tahtanın etrafında sadece sağa ve aşağı hareket ederek hareket edebilir. Şah, tahtanın sol alt köşesine kaç farklı şekilde ulaşabilir?

Her hücre için kralın ona kaç yolla ulaşabileceğini hesaplayalım.

Şah sadece sağa ve aşağı hareket edebildiğinden, ilk sütunun ve ilk satırın herhangi bir hücresine tek şekilde ulaşabilir:

Tahtada rastgele bir hücre düşünün. Yukarıdaki kafese ulaşılabilirse şekilde ve onun solunda bulunan hücrede ise, o zaman hücrenin kendisine yollardan ulaşılabilir (bu, kralın sadece sağa ve aşağı hareket edebilmesinden, yani aynı odaya girememesinden kaynaklanır). hücre iki kez):

Bu kuralı kullanarak ilk hücreleri dolduralım:

Hücreleri doldururken, sadece yan tarafını çevirdiğimizi görüyoruz.

Her hücredeki sayı, kralın sol üstten bu hücreye kaç şekilde girebileceğini gösterir.

Örneğin, hücreye (4; 3) - dördüncü satır, üçüncü sütuna girmek için kral 4-1 = 3 adım sağa ve 3-1 = 2 adım aşağı yapmalıdır. Yani sadece 3 + 2 = 5 adım. Bu adımların olası dizilerinin sayısını bulmamız gerekiyor:

Yani, 2 dikey (veya 3 yatay) oku 5 yere kaç şekilde yerleştirebileceğimizi bulun. Yol sayısı şuna eşittir:

Yani, tam olarak bu hücredeki sayı.

Son hücreye girebilmek için kral, dikey olan tüm adımları atmalıdır. Böylece son hücreye girebilir

yollar.

Kombinasyon sayısı için bir tekrar alabilirsiniz:

Bu oranın anlamı aşağıdaki gibidir. Sahip olduğumuz yol, aşağıdakilerden oluşan bir kümedir. n elementler. Ve bu kalabalıktan seçim yapmamız gerekiyor ben elementler. Bunu yapabileceğimiz tüm yollar örtüşmeyen iki gruba ayrılmıştır. Yapabiliriz:

a) bir elemanı sabitleyin ve geri kalanından n-1- seçilecek öğe l-1öğe. Bu yollarla yapılabilir.

b) kalanlardan seçim yapın n-1- tüm element ben elementler. Bu yollarla yapılabilir.

toplamda alırız

yollar.

Oranı da alabilirsiniz:

Gerçekten de, bu eşitliğin sol tarafı, aşağıdakileri içeren kümeden bazı alt kümeleri seçmenin yollarını gösterir. n elementler. (0 eleman, 1 eleman vb. içeren bir altküme.) Numaralandırırsak n elemanlar, sonra bir zincir elde ederiz n 0, verilen öğenin seçilmediği ve 1'in seçildiği anlamına gelen sıfırlar ve birler. Sıfırlardan ve birlerden oluşan tüm bu kombinasyonlar.

Dışında, eleman sayısı çift olan alt kümelerin sayısı, eleman sayısı tek olan alt kümelerin sayısına eşittir:

Bu ilişkiyi ispatlayalım. Bunun için eleman sayısı çift olan altkümeler ile eleman sayısı tek olan altkümeler arasında birebir denklik olduğunu ispatlıyoruz.

Kümenin bir elemanını düzeltiriz:

Şimdi rasgele bir alt küme alıyoruz ve bu öğeyi içermiyorsa, ona seçilen öğeyle aynı öğelerden oluşan bir alt küme artı bu öğeyi atarız. Ve seçilen altküme zaten bu öğeyi içeriyorsa, ona, seçili olanla aynı öğelerden oluşan bir alt küme, eksi bu öğeyi atarız. Açıktır ki, bu alt küme çiftlerinden biri çift sayıda öğe içerirken diğeri tek öğe içerir.

5. ifadeyi düşünün

1. Bu polinomun kaç terimi var?

a) Benzer üyeleri getirmeden önce

b) Benzer üyeleri getirdikten sonra.

2. Çarpımın katsayısını bulunuz

Terimlerin toplamını bir kuvvete yükseltirken, bu toplamı kendimizle çarpmalıyız. Her biri m derecesine sahip tek terimlilerin toplamını elde ederiz. Bir kümedeki değişkenlerden oluşan çeşitli işlerin sayısı, sıra ve tekrar olasılığı dikkate alınarak, kümeden tekrarlı yerleştirme sayısına eşittir. küzerinde m:

Benzer terimleri alıntıladığımızda, her türden eşit sayıda faktör içeren aynı ürünleri ele alıyoruz. Bu durumda, benzer terimleri indirdikten sonra polinomun terim sayısını bulmak için, tekrarlı kombinasyonların sayısını bulmamız gerekir. küzerinde m:

Ürünün katsayısını bulun .

İfade bir iştir m kümeden öğeler ve öğe bir kez alınır, öğe bir kez alınır vb. ve son olarak öğe bir kez alınır. Ürün katsayısı olası ürün sayısına eşittir:

Özel bir durumu ele alalım: - Newton'un iki terimlisi. Ve binom katsayılarının formülünü elde ederiz.

Bir binomun bir kuvvete yükseltilmesiyle elde edilen keyfi bir polinom terimi, A'nın binom katsayısı olduğu forma sahiptir. Zaten aldığımız gibi,

Böylece,

O zaman x = 1 ve y = 1 koyarsak, şunu elde ederiz

6. Çekirge sorunu.

Sırayla n hücre vardır. Çekirge, rastgele sayıda hücre ile sağa atlayarak en soldaki hücreden en sağdaki hücreye gitmelidir.

a) Bunu kaç farklı şekilde yapabilir?

Sorunun durumunu tasvir edelim:

Bir çekirge, herhangi bir iç kafesli veya kafessiz en sağdaki kafese girebilir. Hücrenin içinde çekirge varsa hücreye 1, değilse 0 değerini atayalım, örneğin şöyle:

o zaman bizde n-2 hücreler , her biri 0 veya 1 değerini alabilir. Problem, aşağıdakilerden oluşan dizilerin sayısını bulmaya indirgenir. n-2 sıfırlar ve birler. Bu tür diziler.

b) Bir çekirge kaç farklı yoldan gidebilir? n- kafes yaparak k adımlar?

İçine almak için n- kafes yaparak k adımlar, çekirge tam olarak vurmalı k-1 ilk ve son arasındaki hücre. Çünkü her zaman son hücreye son adımı atıyor. Yani, soru kaç yol seçebileceğinizdir. k-1 hücre n-2 hücre mi?

Cevap: .

c) Bir çekirge kaç farklı yoldan gidebilir? n- sonraki hücre, bir veya iki hücre sağa mı taşınıyor?

Her hücreye kaç şekilde girebileceğinizi yazalım.

Birinci ve ikinci hücrelere tek şekilde ulaşabilirsiniz: ilkinde - hiçbir yerde bırakmadan ve ikincisinde birinciden:

Üçüncüye birinciden veya ikinciden, yani iki yolla ulaşılabilir:

Dördüncüsü - ikinci veya üçüncüden, yani 1 + 2 = 3 yol:

Beşincide - üçüncü veya dördüncüden, yani 2 + 3 = 5 yol:
Bir desen görebilirsiniz: bir çekirgenin bir hücreye kaç farklı yolla girebileceğini bulmak için kçekirgenin önceki iki hücreye girebileceği yolların sayısını eklemeniz gerekir:

İlginç bir sayı dizimiz var - Fibonacci sayıları- bu birinci ve ikincinin bire eşit olduğu ve sonraki her birinin önceki iki sayının toplamı olduğu doğrusal yinelenen doğal sayılar dizisi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 .. ...

Bu bölüm, yalnızca profil seviyesindeki matematik sınavının versiyonuna değil, aynı zamanda sınavın temel seviyedeki versiyonuna veya versiyonuna yerleştirilebilecek kadar basit olan olasılık teorisindeki problemlerin ilk bölümünü içerir. 9. sınıf sınavı için.

Demo sürümleri KULLANIM 2018 olasılık teorisinin unsurlarının bilgisini test etmek için yıllarca görev sayısı altında bulunabilir. 10 temel seviye ve sayı altı için 4 profil seviyesi için

Bu tür sorunları aşamalı olarak çözmeyi öğrenmek daha iyidir.

Sadece olasılığı belirlemek için görevler

A olayının olasılığı kesirdir

P(A) = __, mn

Numarası olan payda m temel olaylar, elverişli A olayı ve paydada n - sayı tümünden temel olaylar.

Bu nedenle, sorunu çözmek için, olumlu ve olası tüm temel olayların sayısını hesaplamak gerekir.
Hatırlayalım - temel olaylar (test sonuçları) ikili uyumsuz ve eşit derecede mümkün... Bazen barizdir ve bazen düşünmeye değer. "İkili uyumsuz", örneğin, bir kişinin aynı anda iki otobüste seyahat edemeyeceği anlamına gelir. Örneğin, bir dinozor ve bir köpekle sokakta buluşmak "eşit derecede mümkün" değildir.

Vurgulanan ifadelere dikkat edin. Çoğu zaman, iki sorunun koşullarının yalnızca bir kelimede farklılık gösterdiği ve çözümler doğrudan zıt olabileceği görülür. Ve tam tersi, görünüşte farklı sorular, ama aslında aynı. Dikkat olmak!

Genel olarak tüm olası olaylardan daha elverişli olaylar olamayacağını unutmayın, bu da kesrin payının asla paydayı geçemeyeceği anlamına gelir. Bir olayın olasılığı ile ilgili sorunun cevabı, koşulu sağlayan bir sayı içermelidir. 0 ≤ P ≤ 1 ... Farklı bir cevap alırsanız, kesinlikle yanlıştır.

örnek 1

Uçakta acil çıkışların yanında 12, kabinleri ayıran bölmelerin arkasında 18 koltuk bulunuyor. Koltukların geri kalanı uzun boylu bir yolcu için elverişsizdir. Yolcu V. uzun. Check-in sırasında olma olasılığını bulun rastgele yer seçiminde uçakta 300 koltuk varsa yolcu V. rahat bir koltuk alacaktır.

Çözüm

"Geri kalan koltuklar uygun değilse", bahsedilen 12 + 18 = 30 koltuk uygundur.
Yolcu V., uçaktaki 300 koltuktan herhangi birini alabilir, bu da tüm olası olaylar anlamına gelir. n= 300. Ancak yolcu V. uygun bir yere ulaştığında, yerler gibi olaylar, m = 30.

P(A) = ___ 30 300 = 0,1.

Cevap: 0,1

Yukarıda sunulan örnek, temel bir olayın en basit kavramını uygular. Bir kişi sadece bir koltuk alabileceğinden etkinlikler bağımsızdır. Ve koşul, kayıt sırasında yerin rastgele seçilmesini özellikle şart koştuğundan, o zaman eşit derecede mümkündür. Bu nedenle, aslında olayları değil, uçaktaki koltukları saydık.

Örnek 2

Bir grup turistte 30 kişi var. Her uçuşta 6 kişi olacak şekilde birkaç adımda helikopterle ulaşılması zor bir alana atılırlar. Helikopterin turistleri taşıma sırası rastgeledir. Turist P.'nin ilk helikopter uçuşunu uçurma olasılığını bulun.

Çözüm

Helikopterin kaç uçuş yapması gerektiğini belirleyin
30: 6 = 5 (uçuşlar).
Turist P. herhangi birini uçurabilir, ancak bunlardan yalnızca biri "olumlu" olacaktır - ilki. Buradan n = 5, m = 1.

P(A) = 1/5 = 0,2.

Cevap: 0,2

Bu örnekte, temel bir olayı neyin oluşturduğunu zaten düşünmelisiniz. İşte oluşturulmuş bir helikopter uçuşu. Bir kişi yalnızca bir uçuşa binebilir, yani. sadece 6 kişilik bir grupta - olaylar bağımsızdır. Sorunun durumuna göre, uçuşların sırası rastgeledir, yani. her grup için tüm uçuşlar eşit derecede mümkündür. Uçuşları sayıyoruz.

Örnek 3

10'dan 19'a kadar olan doğal sayılar kümesinden rastgele bir sayı seçiliyor. 3 ile tam bölünebilme olasılığı kaçtır?

Çözüm

Verilen sayıları bir satıra yazalım ve 3 ile bölünebilenleri işaretleyelim.

10, 11, 12 , 13, 14, 15 , 16, 17, 18 , 19

Verilen 10 sayıdan 3'ünün 3'e tam bölünebildiği ortaya çıktı.
Cevabı genel formüle göre buluyoruz

P(A) = 3/10 = 0,3.

Cevap: 0,3

107'den 198'e kadar olan doğal sayılar kümesinden rastgele bir sayı seçiliyor. 3 ile tam bölünebilme olasılığı kaçtır?

O zaman "doğal satırdaki her üç sayının 3'e bölündüğünü" (4'e 4 - her dörtte bir, her beşte bir 5'e ...) hatırlamanız ve satırın bölümündeki üç sayının grup sayısını belirlemeniz gerekir. 107 ila 198.
1, 2, ..., 105, 106, 107, 108, ..., 197, 198 , 199, ...
Bu sitede sadece 92 sayı var: 198 - 106 = 92.
30 tam grup ve bir eksik grup oluştururlar (92/3 = 30 tam ve geri kalanda 2 grup). Her tam grupta 3'e bölünebilen bir sayı vardır. Son iki sayı olan eksik grupta 197 3'e tam bölünemez, 198 tam bölünür. Toplamda, "toplam" 92'den 30 + 1 = 31 "olumlu" sayımız var.

P (A) = 31/92 ≈ 0.337

Şimdi kendini kontrol et.

1. sorun

Biyoloji için bilet koleksiyonunda 55 bilet var, bunlardan 11'i botanik hakkında bir soru içeriyor. Sınav için rastgele seçilen bir bilette bulunma olasılığını bulun öğrenci alacak Botanik ile ilgili bir soru.

Olay A - "Botanik sorusu olan bir bilet seçimi". Yalnızca bir bilet seçebilirsiniz (etkinlikler çiftler halinde uyumsuzdur), tüm biletler aynıdır (etkinlikler eşit derecede mümkündür) ve tüm biletler bir öğrenciye açıktır (tam grup). Yani "bilet seçimi" olayı temeldir. Biletler gibi birçok etkinlik var, yani. n = 55. Botanik sorusu olan biletler kadar olumlu etkinlik var, ör. m = 11. Formüle göre P(A) = 11/55 = 1/5 = 0.2.

Cevap: 0,2

Yorum Yap: Gerçekten de, "gündelik" durum o kadar tanıdık ve basittir ki, hangi olayların temel ve hangilerinin elverişli olduğu sezgisel olarak açıktır. Ayrıca, gerekli olmadıkça çözümün bu bölümünü ayrıntılı olarak açıklamayacağım.

Amaç 2.

Matematik biletleri koleksiyonunda sadece 25 bilet var, 10 tanesinde eşitsizlikler hakkında bir soru var. Sınav için rastgele seçilen bir bilette bulunma olasılığını bulun öğrenci almayacak eşitsizlikler sorusu.

Yöntem I.
A Olayı - "eşitsizlikler konusunda sorgusuz sualsiz bilet seçimi". Toplamda 25 bilet var, 10 biletin eşitsizlikler hakkında sorusu varsa, 25 - 10 = 15 biletin yok. Böylece, olası sonuçların toplam sayısı n = 25, A olayı için elverişli sonuçların sayısı, m = 15. Formüle göre P (A) = 15/25 = 3/5 = 0.6.

Yöntem II.
A Olayı - "eşitsizlikler üzerine bir soru içeren bir bilet seçme". Problem 1'deki gibi, P (A) = 10/25 = 2/5 = 0.4 elde ederiz. Ancak bu görevin sorusu, görev 1'in sorusunun tersidir, yani. ters olay B - "eşitsizlikler sorunu olmadan biletin seçimi" olasılığına ihtiyacımız var. Ters olayın olasılığı, P (B) = 1 - P (A) = 1 - 0.4 = 0.6 formülüyle hesaplanır.

Cevap: 0,6

Sorun 3

Jimnastik şampiyonasına 20 sporcu katılıyor: 8'i Rusya'dan, 7'si ABD'den, geri kalanı Çin'den. Jimnastikçilerin performans sırası kura ile belirlenir. İlk atletin Çin'den olma olasılığını bulun.

Etkinlik A - "Çin'den performans sergileyen ilk jimnastikçi."
Seçim sayısını belirlemek için önce bir düşünelim çekilişin sonucu ne olur? İlköğretim etkinliği için ne alacağız? Bir sporcunun performansın sayısıyla topu çektiği ve ikincisinin kalanlardan bir şey çekmesi gerektiği bir prosedür hayal edersek, koşullu olasılığı kullanan karmaşık bir çözüm olacaktır. Cevap alınabilir (örneğin, problem 6'daki yöntem II'ye bakınız). Ama "gündelik" durumu farklı bir bakış açısıyla ele alabiliyorsanız, neden karmaşık matematiği dahil ediyorsunuz?
Çekilişin bittiğini ve her cimnastikçinin halihazırda elinde bir numaralı top tuttuğunu düşünelim. Her birinin sadece bir topu vardır, tüm topların farklı numaraları vardır, "1" numaralı top sadece sporculardan birine aittir. Hangisi? Kura organizatörleri, tüm sporcuların bu topu almak için eşit fırsata sahip olmasını sağlamakla yükümlüdür, aksi takdirde haksızlık olur. Bu, olayın - "sporcu için" 1 numaralı top" - temel olduğu anlamına gelir.
Toplamda n = 20 sporcu vardır, Çinli bir kadın için "1" numaralı bir top olumlu bir olaydır, Çin'den tüm sporcular m = 20 - 8 - 7 = 5. Formüle göre P (A) = 5 /20 = 1/4 = 0.25 ...

Cevap: 0,25

4. sorun

Gülle atma yarışmasına Finlandiya'dan 4, Danimarka'dan 7, İsveç'ten 9 ve Norveç'ten 5 sporcu katılıyor. Sporcuların yarıştığı sıra kura ile belirlenir. Son rakibin İsveçli olma olasılığını bulun.

Önceki göreve benzer.
Etkinlik A - "Performans sergileyen son atlet İsveç'tendir". Temel bir olay - "son sayı belirli bir sporcuya gitti." Toplam sporcu sayısı n = 4 + 7 + 9 + 5 = 25. Olumlu olay - İsveç'ten son numarayı alan sporcu. İsveç'ten toplam sporcu m = 9.
Formüle göre P(A) = 5/20 = 9/25 = 0.36.

Cevap: 0,36

Sorun 5

Dalış şampiyonasında 8'i Rusya'dan, 9'u Paraguay'dan olmak üzere 25 sporcu yarışıyor. Performansların sırası kura ile belirlenir. Paraguaylı bir atlayıcının altıncı sırada yarışma olasılığını bulun.

Önceki 2 göreve benzer.
Olay A - "Altıncı Paraguay'dan bir jumper." İlköğretim etkinliği - "belirli bir sporcu için altı numara." Toplam Sporcu n = 25. Uğurlu Olay - Paraguay'dan “6” numaralı Sporcu. Paraguaylı toplam sporcu m = 9.
Formüle göre P(A) = 9/25 = 0.36.

Cevap: 0,36

Yorum Yap: Son üç görev aslında tamamen aynı, ancak ilk bakışta soruları farklı görünüyor. Ne için? Öğrenciyi şaşırtmak için mi? Hayır, derleyicilerin farklı bir görevi vardır: sınavın aynı zorluk derecesinde birçok farklı seçeneği olmalıdır. Bu nedenle, "zor soru" dan korkmayın, problemde açıklanan durumu her yönden düşünmeniz gerekir.

6. sorun

Sanatçıların yarışması 5 gün içinde yapılır. Her ülkeden birer tane olmak üzere toplam 80 performans açıklandı. İlk gün 8 performans var, geri kalanlar kalan günlere eşit olarak bölünüyor. Performansların sırası kura ile belirlenir. Rus temsilcinin konuşmasının yarışmanın üçüncü gününde gerçekleşmesi olasılığı nedir?

Yöntem I.
Olay A - "Rus temsilcisinin konuşması üçüncü gün gerçekleşecek." Tüm ülkelerden temsilciler eşit olduğundan (her ülkeden bir tane) bir performans temel bir etkinlik olarak kabul edilebilir. Toplam n = 80 performans. İlk gün 8 gösteri, kalan 5 - 1 = 4 gün (80 - 8) / 4 = 18 gösteri var. Bu, üçüncü günde 18 performansın gerçekleşeceği anlamına gelir - bunlar Ruslar için uygun olaylardır, m = 18.
P(A) = 18/80 = 9/40 = 0.225 formülüne göre.

Yöntem II.
A olayı - "Rusya temsilcisinin konuşması üçüncü gün gerçekleşecek", B olayı - "Rusya temsilcisinin konuşması Olumsuz ilk gün gerçekleşecek ", olay C -" Rus temsilcisinin konuşması üçüncü gün gerçekleşecek şartıyla ilk gün performans göstermedi."
Koşullu olasılığın tanımına göre, P (A) = P (B) P (C).
80 - 8 = 72 kişi ilk gün performans göstermeyecek. Formüle göre P(B) = 72/80 = 9/10 = 0.9.
Rusya temsilcisinin performansı ilk gün düşmezse, sonraki 4 günden herhangi birinde aynı konuşma şansına sahiptir (performansların geri kalanı eşit olarak dağıtılır, bu da günlerin eşit şekilde mümkün olduğu anlamına gelir). Formüle göre P(C) = 1/4 = 0.25.
Bu nedenle P(A) = 0,9 0,25 = 0,225.

Cevap: 0,225

Yorum Yap: Olasılık problemleri genellikle farklı şekillerde çözülür. Kendiniz için daha net olanı seçin.

7. Sorun

Ortalama olarak, satışa sunulan 1000 bahçe pompasından 5'i sızdırıyor. İzlemek için rastgele seçilen bir pompanın sızıntı yapmama olasılığını bulun.

Olay A - "seçilen pompa sızdırmıyor".
Toplamda n=1000 pompa vardır.5 tanesi sızdırıyor yani sızdırmıyorlar m=1000 - 5=995.
P(A) = 995/1000 = 0.995 formülüne göre.

Cevap: 0,995

8. Sorun

Fabrika çanta üretiyor. Ortalama olarak, her 100 kalite torbada gizli kusurlu sekiz torba vardır. Satın aldığınız çantanın kaliteli olma olasılığını bulun. Sonucu en yakın yüzlüğe yuvarlayın.

Olay A - "kaliteli satın alınan çanta".
Toplam n = 100 + 8 = 108 torba (100 kalite ve 8 kusurlu). Kalite m = 100 torba.
Formüle göre P (A) = 100/108 = 0.9259259 ≈ 0.93.

Cevap: 0,93

Not 1: Bu sorunu öncekiyle karşılaştırın. Durumdaki her kelimeye dikkat etmek ne kadar önemlidir!
Not 2: Karar verirken yuvarlama kurallarını tekrarladık kelime problemleri.

9. Sorun

Badminton şampiyonasının ilk turu başlamadan önce, katılımcılar rastgele kura ile oyun çiftlerine ayrılır. Toplamda, Ruslan Orlov da dahil olmak üzere Rusya'dan 10 katılımcı da dahil olmak üzere şampiyonaya 26 badminton oyuncusu katılıyor. İlk turda Ruslan Orlov'un Rusya'dan bir badminton oyuncusuyla oynama olasılığını bulun?

Etkinlik A - "Ruslan Orlov, Rusya'dan bir badminton oyuncusuyla oynayacak."
Badminton müsabakaları genellikle eleme ile yapılır ve sadece ilk turda 26 badminton oyuncusunun tamamı katılır. Ancak tüm olası sonuçların sayısı 26 değil, n = 26 - 1 = 25, çünkü Ruslan Orlov kendi kendisiyle oynayamıyor. Aynı nedenle, m = 10 - 1 = 9, çünkü Ruslan Orlov Rusya'dan gelen 10 katılımcıdan biri.
Formüle göre P(A) = 9/25 = 0.36.

Cevap: 0,36

Kombinatorik öğelerini kullanan görevler

Toplama kuralı: eğer bir nesne A seçilebilirse k yollar ve nesne B - ben yollar ( A gibi değil), ardından nesne "veya A veya "seçebilirsin m + l yollar.

Çarpma kuralı: A nesnesi seçilebilirse k yollar ve bu tür her seçimden sonra başka bir B nesnesi seçilebilir ( her neyse A nesnesinden) ben yollar, sonra nesne çiftleri A ve B seçilebilir ben yollar.

Çarpma kuralına "VE kuralı" da denir ve toplama kuralı "VEYA kuralı"dır. "VE" yollarının bağımsızlığını ve "VEYA" için uyumsuzluk (öyle değil) kontrol etmeyi unutmayın.

Aşağıdaki görevler hem seçenekleri numaralandırarak hem de kullanarak çözülebilir. Her sorunu çözmek için birkaç yol veriyorum, çünkü bir şekilde hızlı bir şekilde çözülebilir, diğerinde uzun zaman alır ve çünkü biri bir yaklaşımı anlar ve başka biri. Ancak bu, tüm yöntemleri sökmenin zorunlu olduğu anlamına gelmez. Bir sevgiliyi iyi öğrenmek daha iyidir. Seçim senin.

Örnek 4

Rastgele bir deneyde simetrik bir madeni para beş kez atılıyor. İki kez tura vurma olasılığını bulun.

Bu sorun birkaç yolla çözülebilir. Bölüm başlığına tekabül edeni, yani sadece kombinatoryal formülleri uygulayarak düşünün.

Çözüm

Beş yazı tura atışının her birinde, kısaca "o" veya "p" için sonuçlardan biri - tura veya tura - gerçekleştirilebilir. Böylece, bir dizi testin sonucu, iki orijinal harften ve dolayısıyla tekrarlardan oluşan beş harfli bir grup olacaktır. Örneğin, "yer", arka arkaya iki kez tura, sonra tura, tekrar tura ve tekrar tura düştüğü anlamına gelir. Bu nedenle, sayıyı hesaplamak için tümünden olası sonuçlar, yerleşimlerin sayısını saymanız gerekir. n= 2 ila k= 5, formül tarafından belirlenen tekrarlarla

A — n k = n k; A — 2 5 = 2 5 = 32.

Olumlu sonuçlar - kafalar tam olarak iki kez düşecek - örneğin "opppo" veya "poopp" gibi farklı konumlarda olabilen üç "p" ve iki "o" harfinden oluşan beş harfli "kelimeler", yani bunlar tekrarlı permütasyonlardır. Sayıları formülle belirlenir

P — n = ______ n! nÖ! · n P! = ____ 5 ! 2! 3! = _______ 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 = 10,

Nereye n= 5 yeniden düzenlenmiş harf sayısı, n o = 2 ve n p = 3 - sırasıyla "o" ve "p" harflerinin tekrar sayısı.

Klasik olasılık formülü ile P = elde ederiz. __ 10 32 = 0,3125

Cevap: 0,3125

Ancak bu formülleri bilmiyorsanız okul matematik sınavlarından korkmayın. Sadece OGE ve temel KULLANIM'da değil, aynı zamanda profil seviyesinin KULLANIM'ında da genellikle kısa bir dizi testin düşünülmesi önerilir. Bu gibi durumlarda, sonuçları açıkça yazabilecek ve gözden geçirebileceksiniz. Dene.

Sorun 10

Rastgele bir deneyde simetrik bir madeni para üç kez atılıyor. Asla tura gelmeme olasılığını bulun.

Yöntem I.
3 yazı tura atışının olası tüm sonuçlarını yazabilir ve düşünebilirsiniz: (ooo, oop, oro, opr, roo, pop, ppo, ppr), burada o "tura" için bir kısaltmadır, p "tura" için bir kısaltmadır ". Liste, n = 8, m = 1 olduğunu gösterir (Yalnızca uygun ppr).
P (A) = 1/8 = 0.125 formülüne göre.

Yöntem II.
Test koşullarının Bernoulli şemasını p = 1/2 ve q = 1/2 ile karşıladığı ve formülü kullandığı not edilebilir.
P (0) = C 0 3 (1/2) 0 (1/2) (3-0) = 1 (1/2) 3 = 1/8 = 0.125.

Cevap: 0,125

ödev 11

Rastgele bir deneyde simetrik bir madeni para üç kez atılıyor. Tam olarak bir kez tura gelme olasılığını bulun.

Yöntem I.
Test aynıdır ve sonuçlar önceki durumdakiyle aynıdır: (ooo, oop, oro, orr, roo, pop, ppo, ppr). Listeden n = 8, m = 3 olduğu görülebilir. (Olumlu: (op, pop, pp)).
P (A) = 3/8 = 0.375 formülüne göre.

Yöntem II.
Test koşulları, p = 1/2 ve q = 1/2 ile Bernoulli şemasını karşılar, dolayısıyla formül
P (1) = C 1 3 (1/2) 1 (1/2) (3-1) = 3 (1/2) 1 (1/2) 2 = 3/8 = 0,375.

Cevap: 0,375

ödev 12

Rastgele bir deneyde simetrik bir madeni para üç kez atılıyor. Tura gelme olasılığını bulun en azından bir kere.

Yöntem I.
Test aynıdır ve sonuçlar önceki durumlarla aynıdır: (ooo, oop, oro, orr, roo, pop, ppo, ppr). Listeden n = 8, m = 7 olduğu görülebilir. (Ooo hariç hepsi olumlu).
P (A) = 7/8 = 0.875 formülüne göre.

Yöntem II.
Bernoulli formülüne göre, toplama kuralı dikkate alınarak (en az 1/3 = veya 1 veya 2 veya 3)
P (A) = P (1) + P (2) + P (3) = C 1 3 (1/2) 1 (1/2) (3-1) + C 2 3 (1/2) 2 ( 1/2) (3-2) + C 3 3 (1/2) 3 (1/2) (3-3) = (3 + 3 + 1) (1/2) 3 = 7 / 8 = 0.875.

Yöntem III.
"En az bir kez haber verme" etkinliği, "ön bilgi" etkinliğinin tam tersidir. İkincisinin olasılığı 0.125'tir. Problem 10'da tanımladık.
Dolayısıyla, zıt olayın olasılığı için formüle göre P (A) = 1 - 0.125 = 0.875.

Cevap: 0,875

ödev 13

Rastgele bir deneyde simetrik bir madeni para dört kez atılıyor. Asla tura gelmeme olasılığını bulun.

Bağımsız testler için çarpma kuralını kullanalım.
Her atışta 2 sonuç mümkündür, yani 4 atışta 2 · 2 · 2 · 2 = 16 sonuç mümkündür.
Her atışta turalar tek bir şekilde düşmeyecek, yani 4 atışta tek yön 1 · 1 · 1 · 1 = 1 düşmeyecek.
P (A) = 1/16 = 0.0625 formülüne göre.

Cevap: 0,0625

Yorum Yap: Tabii ki, bu sorun daha önce tartışılan yollardan herhangi biri ile çözülebilir. Ancak olası sonuçların sayısı ne kadar fazlaysa, seçenekleri sıralayarak karar vermek o kadar uzun ve anlamsız olur.

Aksini bilmeyen veya daha kısa bir çözümü daha uzun bir çözümle test etmek isteyenler için yine de yazacağım: (oooo, ooop, ooro, oorr, oroo, orop, oro, oppr, pooo, poop, poro, ppp, proo , ppp, ppp , pprr). Ama gerçekten boşaldığından emin olmak için herşey olası sonuçlar, yine de 2'den 4'e kadar olan yerleşim sayısını tekrarlarla saymaya değer: A — n k = n k; A — 2 3 = 2 4 = 16.

Çok sayıda atış için en iyi yol Bernoulli formülüdür. Bu görevde kendiniz deneyin.

ödev 14

Rastgele bir deneyde iki zar atılıyor. Toplamın 8 puan olma olasılığını bulun. Sonucu en yakın yüzlüğe yuvarlayın.

Yöntem I.
Bir kalıp için, testin 6 farklı sonucu olabilir (1,2, ..., 6 puanlarının kaybı) ve diğer için - 6 sonuç bağımsız birinciden. İki zar atıldığında olası sonuçların toplam sayısı çarpma kuralına göre belirlenir. n= 6 × 6 = 36.
Olumlu sonuçların sayısını belirlemek için, toplam 8'in hangi terimlerden elde edildiğini görelim:
1 + 7 = 8; 2 + 6 = 8; 3 + 5 = 8; 4 + 4 = 8; 5 + 3 = 8; 6 + 2 = 8; 7 + 1 = 8.
İlk ve son seçenekler bizim durumumuzda imkansız olaylardır, 7 sayısı sıradan zarlarda değildir. Gerisi, ilk terim bir kemiğe, ikincisi ise diğerine düşerse gerçekleşir. Olumlu sonuçlar ("2; 6", "3; 5", "4; 4", "5; 3", "6; 2"), toplam m
Bir zar için testin 6 farklı sonucu olabilir (1,2, ..., 6 puanlarının kaybı), ve diğer için - 6 sonuç, ve üçüncü - 6 sonuç için, bağımsız ayrı. Üç zar atıldığında olası sonuçların toplam sayısı çarpma kuralına göre belirlenir. n= 6 × 6 × 6 = 216.
Olumlu sonuçların sayısını belirlemek için, hangi 3 terimden 7 sayısını alabileceğimize bakalım. Toplamın, terimlerin yerlerinin yeniden düzenlenmesinden değişmediğini hatırlayın.
veya 7 = 1 + 1 + 5 (3 permütasyon) veya 1 + 2 + 4 (6 permütasyon) veya 1 + 3 + 3 (3 permütasyon) veya 2 + 2 + 3 (3 permütasyon)
Böylece toplama kuralına göre m= 3 + 6 + 3 + 3 = 3 zarın puanlarının toplamı olarak 7 almanın 15 yolu.
Formüle göre P (A) = 15/216 = 0.069444444 ≈ 0.07.

(Hesaplama hakkında daha fazla bilgi m: İlk olarak, örneğin şemaya göre 7 sayısının hangi terimlerden oluşabileceğini belirliyoruz.

,
ve terimleri artan sırada düzenleyin (gereksiz veya eksik permütasyonlarla hataları ortadan kaldırmak için). Ve sonra permütasyonları ya formüllerle dikkatlice sayarız pk = k! - tekrarsız permütasyonlar, P k 1, k 2, ..., k n = k! / (K 1! K 2! ... k n!) - tekrarlar veya akıl yürütme ile permütasyonlar.
Formüllere göre: P3 = 3! = 1 2 3 = 6 ve P 1,2 = 3! / (1! 2!) = 1 2 3 / (1 1 2) = 3.
Akıl yürütme: 2 sayı aynı ve 3. farklıysa, 1., 2. veya 3. sıralarda durabilir, 3 permütasyon elde edersiniz, eğer 3 sayı da farklıysa, her biri 1'de durabilir yer ve kalan ikisi sırasıyla 2. ve 3. veya 3. ve 2. yerleri alır, ardından 3 · 2 = 6 permütasyon.

Yöntem II.
Bu görev için, plakayı kullanarak seçenekleri de sayabilirsiniz, ancak zaten 3 boyutlu!

Ayrıntılı bir çözüm en iyi şekilde animasyonda görülür.

Cevap: 0,07

Tabloları kullanarak problem çözme

Tarayıcınız destekliyorsa flaş o zaman bakabilirsin animasyonlu grafik çözümleri

yöntem II- tabloları kullanarak seçeneklerin numaralandırılması. ( Görüntülemek için simgeye tıklayın.)

Bu örnekleri yalnızca belirli bir soruna çözüm olarak değil, aynı zamanda sınav için bir çözüm yöntemi seçimini nihai olarak belirlemek için test sonuçlarını toplama ve çarpma kurallarının bir gösterimi olarak görmeye çalışın. Hangisi daha iyi - seçeneklerin sıralanmasıyla mı yoksa formüllerle mi?

Çıktı: Olası ve olumlu olayların sayısını "parmaklarınızda", diyagramları, tabloları sayabiliyorsanız, bu görevin olasılık teorisindeki problemler tek bir eylemde tek bir formül kullanılarak çözülebilir ... Ancak, deney ne kadar karmaşıksa ("... bozuk para dört kez atılır ... "," ... üç zar atılır ... ")," basit "çözüm ne kadar hantalsa ve" karmaşık "- formülleri kullanarak o kadar kısadır , kurallar ve teoremler.

Ancak, klasik olasılık tanımıyla ilgili problemleri çözerken hala hatalar yapıyorsanız, o zaman belki de ünlü bir dinozor anekdotunda olduğu gibi aynı kökene sahiptirler. Bu durumda, bağlantıyı takip edin

Olasılıkların toplama ve çarpma kuralları ile ilgili problemler

• Lyutikas V.S. Okul çocuğu olasılık teorisi hakkında. - M. "Eğitim", 1976.
• Mosteller F. Çözümleri olan elli eğlenceli olasılıksal problem. Başına. İngilizceden - M. "Bilim", 1985.