Okul trigonometri kursu. Dersler: Trigonometri

Trigonometrinin tarihi, astronomi ile ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır, çünkü eski bilim adamları, bu bilimin sorunlarını çözmek için bir üçgendeki çeşitli büyüklüklerin ilişkilerini incelemeye başladılar.

Günümüzde trigonometri, üçgenlerin açı değerleri ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyen ve aynı zamanda trigonometrik fonksiyonların cebirsel kimliklerinin analiziyle ilgilenen mikro bir matematik dalıdır.

"Trigonometri" terimi

Matematiğin bu dalına adını veren terim, ilk olarak Alman matematikçi Pitiscus'un 1505 yılında yazdığı bir kitabın başlığında keşfedilmiştir. "Trigonometri" kelimesi Yunanca kökenlidir ve "bir üçgeni ölçmek" anlamına gelir. Daha kesin olmak gerekirse, bu rakamın gerçek ölçümünden değil, çözümünden, yani bilinmeyen unsurlarının değerlerinin bilinenleri kullanarak belirlenmesinden bahsediyoruz.

Trigonometri hakkında genel bilgi

Trigonometrinin tarihi iki bin yıldan fazla bir süre önce başladı. Başlangıçta ortaya çıkışı, bir üçgenin açıları ve kenarları arasındaki ilişkilerin açıklığa kavuşturulması ihtiyacıyla ilişkilendirildi. Araştırma sırasında ortaya çıktı ki matematiksel ifade Bu ilişkiler, başlangıçta sayısal tablolar olarak tasarlanan özel trigonometrik fonksiyonların tanıtılmasını gerektirir.

Matematikle ilgili birçok bilim için gelişmenin itici gücü trigonometrinin tarihiydi. Antik Babil bilim adamlarının araştırmalarıyla ilişkili açı ölçü birimlerinin (derece) kökeni, birçok uygulamalı bilimde kullanılan modern ondalık gösterimin ortaya çıkmasına neden olan altmışlık gösterim sistemine dayanmaktadır.

Trigonometrinin başlangıçta astronominin bir parçası olarak var olduğu varsayılmaktadır. Daha sonra mimaride kullanılmaya başlandı. Ve zamanla, bu bilimi çeşitli alanlara uygulamanın uygunluğu ortaya çıktı insan aktivitesi. Bunlar özellikle astronomi, deniz ve hava seyrüseferi, akustik, optik, elektronik, mimari ve diğerleridir.

Erken yüzyıllarda trigonometri

Hayatta kalan bilimsel kalıntılara ilişkin verilerden yola çıkan araştırmacılar, trigonometri tarihinin, (küresel) üçgenleri çözmenin yollarını bulmayı ilk düşünen Yunan gökbilimci Hipparchus'un çalışmalarıyla bağlantılı olduğu sonucuna vardı. Eserleri M.Ö. 2. yüzyıla kadar uzanmaktadır.

Ayrıca o zamanların en önemli başarılarından biri, daha sonra Pisagor teoremi olarak anılacak olan dik üçgenlerde bacaklar ile hipotenüs arasındaki ilişkinin belirlenmesiydi.

Trigonometrinin gelişim tarihi Antik Yunan Kopernik'ten önce geçerli olan jeosantrik teorinin yazarı olan gökbilimci Ptolemy'nin adıyla ilişkilidir.

Yunan gökbilimciler sinüsleri, kosinüsleri ve teğetleri bilmiyorlardı. Bir yay kullanarak bir dairenin kirişinin değerini bulmalarına olanak tanıyan tablolar kullandılar. Akorları ölçmek için kullanılan birimler derece, dakika ve saniyeydi. Bir derece yarıçapın altmışta birine eşitti.

Ayrıca eski Yunanlıların araştırmaları küresel trigonometrinin gelişimini ilerletti. Özellikle Öklid "İlkeler" adlı eserinde kürelerin hacimleri arasındaki ilişkilerin yasaları hakkında bir teorem verir. çeşitli çaplar. Bu alandaki çalışmaları, sanatın gelişmesine bir tür ivme kazandırdı. ilgili alanlar bilgi. Bu, özellikle astronomik aletlerin teknolojisi, harita projeksiyonları teorisi, göksel koordinat sistemi vb.

Orta Çağ: Hintli bilim adamlarının araştırması

Hintli ortaçağ gökbilimcileri önemli bir başarı elde etti. Antik bilimin 4. yüzyılda ölümü, matematiğin gelişim merkezinin Hindistan'a taşınmasına yol açtı.

Trigonometrinin matematik öğretiminin ayrı bir bölümü olarak ortaya çıkış tarihi Orta Çağ'da başladı. O zaman bilim adamları akorları sinüslerle değiştirdiler. Bu keşif, kenarların ve açıların incelenmesiyle ilgili fonksiyonların tanıtılmasını mümkün kıldı, yani trigonometri o zaman astronomiden ayrılarak matematiğin bir dalına dönüşmeye başladı.

Aryabhata'da ilk sinüs tabloları vardı; bunlar 3o, 4o, 5o boyunca çizilmişti. Daha sonra ortaya çıktı ayrıntılı seçenekler tablolar: özellikle Bhaskara 1 o'da sinüs tablosu verdi.

Trigonometri üzerine ilk özel inceleme 10.-11. yüzyıllarda ortaya çıktı. Yazarı Orta Asyalı bilim adamı Al-Biruni'ydi. Ortaçağ yazarı, ana eseri "Mas'ud'un Kanonu"nda (Kitap III), trigonometriyi daha da derinleştirerek bir sinüs tablosu (15 inçlik artışlarla) ve bir teğet tablosu (1°'lik artışlarla) verir. ).

Avrupa'da trigonometrinin gelişiminin tarihi

Arapça eserlerin Latinceye çevrilmesinden sonra (XII-XIII yüzyıllar), Hintli ve İranlı bilim adamlarının fikirlerinin çoğu ödünç alındı. Avrupa bilimi. Avrupa'da trigonometrinin ilk sözleri 12. yüzyıla kadar uzanıyor.

Araştırmacılara göre, Avrupa'daki trigonometri tarihi, "Düz ve Ters Akorlar Üzerine Dört İnceleme" makalesinin yazarı olan İngiliz Richard of Wallingford'un adıyla bağlantılı. Tamamen trigonometriye adanmış ilk çalışma onun çalışmasıydı. 15. yüzyıla gelindiğinde pek çok yazar eserlerinde trigonometrik fonksiyonlardan bahsetmişti.

Trigonometrinin tarihi: Modern zamanlar

Modern zamanlarda çoğu bilim insanı trigonometrinin yalnızca astronomi ve astrolojide değil aynı zamanda yaşamın diğer alanlarında da son derece önemli olduğunu fark etmeye başladı. Bunlar öncelikle uzun deniz yolculuklarında topçu, optik ve navigasyondur. Bu nedenle, 16. yüzyılın ikinci yarısında bu konu, Nicolaus Copernicus ve Francois Vieta da dahil olmak üzere o zamanın birçok önde gelen insanının ilgisini çekti. Kopernik, “Göksel Kürelerin Dönmesi Üzerine” (1543) adlı eserinde trigonometriye birkaç bölüm ayırdı. Kısa bir süre sonra, 16. yüzyılın 60'lı yıllarında, Kopernik'in öğrencisi Rheticus, "Astronomi'nin Optik Kısmı" adlı çalışmasında on beş basamaklı trigonometrik tablolardan alıntı yaptı.

“Matematiksel Kanon”da (1579), kanıtlanmamış olsa da, düzlem ve küresel trigonometrinin ayrıntılı ve sistematik bir karakterizasyonunu verir. Ve sinüs dalgasının doğduğu kişi Albrecht Dürer oldu.

Leonhard Euler'in Değerleri

Trigonometriye modern içerik ve biçim kazandırmak Leonhard Euler'in erdemiydi. "Sonsuzların Analizine Giriş" (1748) adlı eseri, "trigonometrik fonksiyonlar" teriminin modern olana eşdeğer bir tanımını içerir. Böylece bu bilim adamı şunu belirleyebildi: Ama hepsi bu değil.

Tüm sayı doğrusu üzerindeki trigonometrik fonksiyonların tanımı, Euler'in sadece kabul edilebilir fonksiyonlar üzerine yaptığı araştırmalar sayesinde mümkün hale geldi. negatif açılar 360°'nin üzerindeki açılar da vardır. Çalışmalarında kosinüs ve teğetin olduğunu ilk kez kanıtlayan oydu. dik açı olumsuz. Kosinüs ve sinüsün tamsayı kuvvetlerinin genişletilmesi de bu bilim adamının eseriydi. Genel teori trigonometrik seriler ve elde edilen serilerin yakınsaklığının incelenmesi Euler'in araştırmasının konusu değildi. Ancak ilgili problemler üzerinde çalışırken bu alanda birçok keşif yaptı. Trigonometri tarihinin devam etmesi onun çalışmaları sayesinde oldu. Eserlerinde küresel trigonometri konularına kısaca değindi.

Trigonometri uygulamaları

Trigonometri gerçekte uygulamalı bir bilim değildir Gündelik Yaşam görevleri nadiren uygulanır. Ancak bu gerçek onun önemini azaltmaz. Örneğin, gökbilimcilerin yakındaki yıldızlara olan mesafeyi doğru bir şekilde ölçmelerine ve uydu navigasyon sistemlerini izlemelerine olanak tanıyan üçgenleme tekniği çok önemlidir.

Trigonometri ayrıca navigasyon, müzik teorisi, akustik, optik, finansal piyasa analizi, elektronik, olasılık teorisi, istatistik, biyoloji, tıpta (örneğin kod çözmede) kullanılır. ultrason muayeneleri Ultrason ve bilgisayarlı tomografi), ilaç, kimya, sayı teorisi, sismoloji, meteoroloji, oşinoloji, haritacılık, fiziğin birçok dalı, topografya ve jeodezi, mimari, fonetik, ekonomi, elektronik mühendisliği, makine mühendisliği, bilgisayar grafikleri, kristalografi vb. Trigonometri ve onun doğa bilimleri ve matematik çalışmalarındaki rolü bugün hala araştırılmaktadır. Belki gelecekte daha da fazla uygulama alanı olacaktır.

Temel kavramların kökeninin tarihi

Trigonometrinin ortaya çıkışı ve gelişiminin tarihi bir asırdan daha eskilere dayanmaktadır. Matematik biliminin bu bölümünün temelini oluşturan kavramların ortaya çıkışı da bir gecede gerçekleşmedi.

Dolayısıyla “sinüs” kavramının çok uzun bir geçmişi vardır. MÖ 3. yüzyıla kadar uzanan bilimsel çalışmalarda üçgen ve daire parçaları arasındaki çeşitli ilişkilerden bahsedilmektedir. Öklid, Arşimet ve Pergeli Apollonius gibi büyük antik bilim adamlarının eserleri, bu ilişkilerin ilk çalışmalarını zaten içermektedir. Yeni keşifler belirli terminolojik açıklamalar gerektirdi. Böylece Hintli bilim adamı Aryabhata akora "yay teli" anlamına gelen "jiva" adını verir. Arapça matematik metinleri Latince'ye çevrildiğinde terimin yerini benzer bir anlam olan sinüs (yani "bükülme") aldı.

"Kosinüs" kelimesi çok daha sonra ortaya çıktı. Terim, Latince "tamamlayıcı sinüs" ifadesinin kısaltılmış versiyonudur.

Teğetlerin ortaya çıkışı, gölgenin uzunluğunu belirleme probleminin çözülmesiyle ilişkilidir. "Teğet" terimi, 10. yüzyılda teğetleri ve kotanjantları belirlemek için ilk tabloları derleyen Arap matematikçi Abu-l-Wafa tarafından tanıtıldı. Ancak Avrupalı bilim adamlarının bu başarılardan haberi yoktu. Alman matematikçi ve gökbilimci Regimontanus, bu kavramları 1467'de yeniden keşfetti. Teğet teoreminin kanıtı onun meziyetidir. Ve bu terim "ilgili" olarak tercüme edilir.

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgini çektiyse bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

1. Giriş.

Okula yaklaşırken spor salonundaki adamların seslerini duyuyorum, yoluma devam ediyorum - şarkı söylüyorlar, resim çiziyorlar... her yerde duygular ve hisler var. Ofisim, cebir dersim, onuncu sınıf öğrencilerim. İşte trigonometri dersinin hacminin yarısını oluşturduğu ders kitabımız ve içinde iki yer imi var - bunlar trigonometri teorisi ile ilgili olmayan kelimeleri bulduğum yerlerdir.

Az sayıda öğrenci arasında matematiği seven, onun güzelliğini hisseden ve trigonometri çalışmanın neden gerekli olduğunu, öğrenilen materyalin nerede uygulandığını sormayan öğrenciler var. Çoğunluk, kötü not almamak için ödevleri tamamlayan kişilerdir. Ve matematiğin uygulamalı değerinin, başarılı olmak için yeterli bilgiyi elde etmek olduğuna kesinlikle inanıyoruz. Birleşik Devlet Sınavını geçmek ve üniversiteye kabul (gir ve unut).

Sunulan dersin temel amacı trigonometrinin uygulamalı değerini göstermektir. çeşitli alanlar insan aktivitesi. Verilen örnekler, öğrencilerin matematiğin bu bölümü ile okulda çalışılan diğer konular arasındaki bağlantıyı görmelerine yardımcı olacaktır. Bu dersin içeriği öğrenciler için mesleki eğitimin bir unsurudur.

Görünüşte uzun zamandır bilinen bir gerçek hakkında yeni bir şey anlatın. Zaten bildiklerimizle öğrenilecekler arasında mantıksal bir bağlantı gösterin. Kapıyı biraz aç ve dışarı bak Okul müfredatı. Olağandışı görevler, günümüz olaylarıyla bağlantılar - bunlar hedeflerime ulaşmak için kullandığım teknikler. Sonuçta okul matematiği bir ders olarak öğrenmeye değil, bireyin, düşüncesinin ve kültürünün gelişimine katkıda bulunur.

2. Cebir ve analiz ilkeleri üzerine ders özeti (10. sınıf).

Organizasyon zamanı: Altı tabloyu yarım daire şeklinde düzenleyin (iletki modeli), masaların üzerine öğrenciler için çalışma sayfaları (Ek 1).

Dersin konusunu duyuruyor: “Trigonometri basit ve anlaşılırdır.”

Cebir ve temel analiz sırasında trigonometriyi incelemeye başlıyoruz, matematiğin bu bölümünün uygulamalı önemi hakkında konuşmak istiyorum.

Ders tezi:

"Doğanın büyük kitabı ancak onun yazıldığı dili bilenler tarafından okunabilir ve bu dil matematiktir."
(G.Galileo).

Dersin sonunda bu kitaba bakıp yazıldığı dili anlayıp anlayamadığımızı birlikte düşüneceğiz.

Trigonometri dar açı.

Trigonometri Yunanca bir kelimedir ve çevrildiğinde “üçgenlerin ölçülmesi” anlamına gelir. Trigonometrinin ortaya çıkışı yeryüzündeki ölçümler, inşaat ve astronomi ile ilişkilidir. Ve onunla ilk tanışmanız, bir iletkiyi elinize aldığınızda oldu. Masaların nasıl konumlandırıldığını fark ettiniz mi? Aklınızda düşünün: Eğer bir tabloyu akor olarak alırsak, o zaman onun uzandığı yayın derece ölçüsü nedir?

Açı ölçüsünü hatırlayalım: 1 ° = 1/360 bir dairenin parçası (“derece” – Latince grad – adımdan gelir). Çemberin neden 360 parçaya bölündüğünü, örneğin uzunluk ölçümünde olduğu gibi neden 10, 100 veya 1000 parçaya bölünmediğini biliyor musunuz? Size versiyonlardan birini anlatacağım.

Daha önce insanlar, Dünya'nın Evrenin merkezi olduğuna ve hareketsiz olduğuna ve Güneş'in, dünyanın jeosentrik sistemi olan "jeo" - Dünya ( Şekil No.1). Astronomik gözlemler yapan Babilli rahipler, ekinoks gününde Güneş'in, gün doğumundan gün batımına kadar, gökkubbede Güneş'in görünen çapının (çapının) tam olarak 180 katına denk gelen bir yarım daire çizdiğini keşfettiler. ° - Güneş'in izi. ( Şekil No.2).

Uzun bir süre boyunca trigonometri doğası gereği tamamen geometrikti. Trigonometriye girişinize dik üçgenleri çözerek devam edeceksiniz. Bir dik üçgenin dar açısının sinüsünün karşı kenarın hipotenüse oranı olduğunu, kosinüsün komşu kenarın hipotenüse oranı olduğunu, tanjantın karşı kenarın komşu kenara oranı ve kotanjant olduğunu öğreneceksiniz. bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır. Ve bunu hatırla dik üçgen belirli bir açıya sahip olan kenarların oranı üçgenin boyutuna bağlı değildir. Rastgele üçgenleri çözmek için sinüs ve kosinüs teoremlerini öğrenin.

2010 yılında Moskova metrosu 75 yaşına girdi. Her gün metroya iniyoruz ve bunu fark etmiyoruz...

Görev No.1. Moskova metrosundaki tüm yürüyen merdivenlerin eğim açısı 30 derecedir. Bunu, yürüyen merdivendeki lambaların sayısını ve lambalar arasındaki yaklaşık mesafeyi bilerek istasyonun yaklaşık derinliğini hesaplayabilirsiniz. Tsvetnoy Bulvarı istasyonundaki yürüyen merdivenlerde 15, Prazhskaya istasyonunda 2 lamba bulunmaktadır. Yürüyen merdiven girişinden ilk lambaya ve son lambadan yürüyen merdiven çıkışına kadar lambalar arasındaki mesafeler 6 m ise bu istasyonların derinliğini hesaplayınız ( Şekil No.3). Cevap: 48 m ve 9 m

Ev ödevi. Moskova metrosunun en derin istasyonu Zafer Parkı'dır. Derinliği nedir? Ödev sorununuzu çözmek için eksik verileri bağımsız olarak bulmanızı öneririm.

ellerimde lazer işaretleyici aynı zamanda bir telemetredir. Örneğin tahtaya olan mesafeyi ölçelim.

Çinli tasarımcı Huan Qiaokun, iki lazer telemetreyi ve iletkiyi tek bir cihazda birleştirmeyi tahmin etti ve bir düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafeyi belirlemenize olanak tanıyan bir araç elde etti ( Şekil No.4). Sizce bu sorunu hangi teorem çözer? Kosinüs teoreminin formülasyonunu hatırlayın. Bilginizin zaten böyle bir buluş yapmak için yeterli olduğu konusunda bana katılıyor musunuz? Geometri problemlerini çözün ve her gün küçük keşifler yapın!

Küresel trigonometri.

Öklid'in düz geometrisine (planimetri) ek olarak, şekillerin özelliklerinin bir düzlemde değil, diğer yüzeylerde, örneğin bir topun yüzeyinde dikkate alındığı başka geometriler de olabilir ( Şekil No.5). Öklid dışı geometrilerin gelişiminin temelini atan ilk matematikçi N.I. Lobaçevski - "Geometrinin Kopernik'i". 1827'den itibaren 19 yıl Kazan Üniversitesi'nin rektörlüğünü yaptı.

Küresel geometrinin bir parçası olan küresel trigonometri, bir küre üzerindeki büyük dairelerin yaylarından oluşan bir küre üzerindeki üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki ilişkileri dikkate alır ( Şekil No.6).

Tarihsel olarak küresel trigonometri ve geometri astronomi, jeodezi, navigasyon ve haritacılık ihtiyaçlarından doğmuştur. Bu yönlerden hangisini düşünün son yıllar o kadar hızlı bir gelişme gösterdi ki, sonucu modern iletişimcilerde zaten kullanılıyor. ... Modern Uygulama navigasyon, alıcısından gelen sinyale göre bir nesnenin konumunu ve hızını belirlemenizi sağlayan bir uydu navigasyon sistemidir.

Küresel Navigasyon Sistemi (GPS). Alıcının enlem ve boylamını belirlemek için en az üç uydudan sinyal almak gerekir. Dördüncü uydudan sinyal alınması, nesnenin yüzeyden yüksekliğini belirlemeyi mümkün kılar ( Şekil No.7).

Alıcı bilgisayar, tüm daireleri bir noktadan çizen bir çözüm bulunana kadar dört bilinmeyenli dört denklemi çözer ( Şekil No.8).

Akut açı trigonometrisi bilgisinin daha karmaşık pratik problemleri çözmek için yetersiz olduğu ortaya çıktı. Dönme ve dairesel hareketleri incelerken açı ve dairesel yayın değeri sınırlı değildir. Genelleştirilmiş bir argümanın trigonometrisine geçme ihtiyacı doğdu.

Genelleştirilmiş bir argümanın trigonometrisi.

Daire ( Şekil No.9). Pozitif açılar saat yönünün tersine, negatif açılar saat yönünde çizilir. Böyle bir anlaşmanın geçmişini biliyor musunuz?

Bilindiği üzere mekanik ve güneş saati elleri “güneş boyunca” dönecek şekilde tasarlanmıştır, yani. Güneş'in Dünya etrafındaki görünür hareketini gördüğümüz yönde. (Dersin başlangıcını hatırlayın - dünyanın jeosentrik sistemi). Ancak Kopernik'in Dünya'nın Güneş etrafındaki gerçek (pozitif) hareketinin keşfiyle birlikte, Güneş'in Dünya etrafında gördüğümüz (yani görünen) hareketi hayali (negatif) olmuştur. Dünyanın güneş merkezli sistemi (helio - Güneş) ( Şekil No.10).

Isınmak.

Çıkarmak sağ elÖnünüzde masanın yüzeyine paralel olarak 720 derecelik dairesel bir dönüş gerçekleştirin.
Çıkarmak sol elÖnünüzde masa yüzeyine paralel olarak (–1080) derecelik dairesel bir dönüş gerçekleştirin.
Ellerinizi omuzlarınıza koyun ve ileri geri 4 dairesel hareket yapın. Dönme açılarının toplamı nedir?

2010 yılında Vancouver’da Kış Olimpiyat Oyunları düzenlendi; bir patencinin yaptığı egzersizi derecelendirme kriterlerini problemi çözerek öğreniyoruz.

Görev No.2. Bir patenci “vida” hareketini 12 saniyede yaparken 10.800 derecelik bir dönüş yaparsa “mükemmel” notu alıyor. Patencinin bu süre zarfında kaç devir yapacağını ve dönüş hızını (saniyedeki devir) belirleyin. Cevap: 2,5 devir/sn.

Ev ödevi. Aynı dönüş süresinde hızı saniyede 2 devir ise, "yetersiz" notu alan patenci hangi açıda döner?

Dönme hareketleriyle ilişkili yayların ve açıların en uygun ölçüsünün, bir açı veya yayın daha büyük bir ölçü birimi olarak radyan (yarıçap) ölçüsü olduğu ortaya çıktı ( Şekil No.11). Açıların ölçülmesine ilişkin bu ölçüm, Leonhard Euler'in dikkate değer çalışmaları sayesinde bilime girmiştir. İsviçre doğumluydu, 30 yıl Rusya'da yaşadı ve St. Petersburg Bilimler Akademisi'nin üyesiydi. Tüm trigonometrinin “analitik” yorumunu ona borçluyuz; şu anda çalışmakta olduğunuz formülleri türetmiş, tek tip işaretler sunmuştur: günah Xçünkü X tg X ctg X.

17. yüzyıla kadar trigonometrik fonksiyonlar doktrininin gelişimi geometrik bir temel üzerine inşa edilmişse, 17. yüzyıldan itibaren trigonometrik fonksiyonlar mekanik, optik, elektrik alanındaki problemlerin çözümünde, salınımlı süreçleri ve dalgayı tanımlamak için uygulanmaya başlandı. yayılma. Periyodik süreçler ve salınımlarla uğraşmamız gereken her yerde trigonometrik fonksiyonlar uygulama alanı bulmuştur. Periyodik süreçlerin yasalarını ifade eden fonksiyonların yalnızca özel bir anlamı vardır. doğal mülkiyet: Aynı argüman değişim aralığından sonra değerlerini tekrarlarlar. Herhangi bir fonksiyondaki değişiklikler en açık şekilde grafiğinde yansıtılır ( Şekil No.12).

Rotasyonla ilgili problemleri çözerken yardım için zaten vücudumuza başvurduk. Kalp atışlarımızı dinleyelim. Kalp bağımsız bir organdır. Beyin, kalp dışında tüm kaslarımızı kontrol eder. Kendi kontrol merkezi vardır - sinüs düğümü. Kalbin her kasılmasıyla sinüs düğümünden (darı tanesi büyüklüğünde) başlayarak tüm vücuda yayılır. elektrik. Elektrokardiyograf kullanılarak kaydedilebilir. Bir elektrokardiyogram (sinüzoid) çizer ( Şekil No.13).

Şimdi müzik hakkında konuşalım. Matematik müziktir, zeka ve güzelliğin birleşimidir.
Müzik hesaplamada matematik, soyutlamada cebir, güzellikte trigonometridir. Harmonik salınım(harmonik) sinüzoidal bir salınımdır. Grafik, dinleyicinin kulak zarındaki hava basıncının nasıl değiştiğini gösterir: periyodik olarak bir yay çizerek yukarı ve aşağı. Hava şimdi daha güçlü, şimdi daha zayıf baskı yapıyor. Çarpma kuvveti çok küçüktür ve titreşimler çok hızlı meydana gelir: her saniye yüzlerce ve binlerce şok. Bu tür periyodik titreşimleri ses olarak algılarız. İki farklı harmoniğin eklenmesi daha fazla salınım sağlar karmaşık şekil. Üç harmoniğin toplamı daha da karmaşıktır ve doğal, doğal sesler ve sesler müzik Enstrümanlarıçok sayıda harmonikten oluşur. ( Şekil No.14.)

Her harmonik üç parametreyle karakterize edilir: genlik, frekans ve faz. Salınım frekansı, bir saniyede kaç tane hava basıncı şokunun meydana geldiğini gösterir. Yüksek frekanslar “yüksek”, “zayıf” sesler olarak algılanır. 10 KHz'in üzerinde – gıcırtı, ıslık sesi. Küçük frekanslar “düşük”, “bas” sesler, gürleme olarak algılanır. Genlik, titreşimlerin aralığıdır. Kapsam ne kadar büyük olursa kulak zarına olan etki de o kadar büyük olur ve duyduğumuz ses de o kadar yüksek olur ( Şekil No.15). Faz, salınımların zaman içindeki yer değiştirmesidir. Faz derece veya radyan cinsinden ölçülebilir. Faza bağlı olarak grafikteki sıfır noktası kayar. Bir harmonik ayarlamak için, fazı –180 ila +180 derece arasında belirtmek yeterlidir, çünkü büyük değerlerde salınım tekrarlanır. Aynı genlik ve frekansa sahip iki sinüzoidal sinyal, ancak farklı aşamalar cebirsel olarak toplayın ( Şekil No.16).

Ders özeti. Büyük Doğa Kitabı'ndan birkaç sayfa okuyabildiğimizi mi sanıyorsunuz? Trigonometrinin uygulamalı önemini öğrendikten sonra, insan faaliyetinin çeşitli alanlarındaki rolü sizin için daha netleşti mi, sunulan materyali anladınız mı? Daha sonra bugün tanıştığınız veya daha önce bildiğiniz trigonometrinin uygulama alanlarını hatırlayın ve listeleyin. Umarım her biriniz bugünkü derste yeni ve ilginç bir şeyler bulmuşsunuzdur. Belki bu yeni şey size gelecekteki mesleğinizi seçmenin yolunu söyleyecektir, ancak kim olursanız olun, matematik eğitiminiz profesyonel ve entelektüel olarak gelişmiş bir kişi olmanıza yardımcı olacaktır.

Ev ödevi. Ders özetini okuyun (

- -
Genellikle, KORKUNÇ MATEMATİK ile birini korkutmak istediklerinde, çok karmaşık ve iğrenç bir şey olarak her türlü sinüs ve kosinüsleri örnek olarak gösterirler. Ama aslında anlaşılıp çözülebilecek güzel ve ilginç bir bölüm.
Konu 9. sınıfta başlıyor ve ilk seferde her şey her zaman net olmuyor, pek çok incelik ve püf noktası var. Konuyla ilgili bir şeyler söylemeye çalıştım.

Trigonometri dünyasına giriş:
Formüllere dalmadan önce sinüs, kosinüs vb.'nin ne olduğunu geometriden anlamanız gerekir.
Açının sinüsü- karşı (açı) tarafın hipotenüse oranı.
Kosinüs- komşunun hipotenüse oranı.
Teğet- bitişik tarafın karşı tarafı
Kotanjant- karşı tarafa bitişik.

Şimdi birim yarıçaplı bir daire düşünün koordinat uçağı ve üzerinde bir alfa açısı işaretleyin: (resimler tıklanabilir, en azından bazı)
-
-
İnce kırmızı çizgiler, dairenin kesişim noktasından dik olan ve öküz ve oy eksenindeki dik açıdır. Kırmızı x ve y, eksenlerdeki x ve y koordinatlarının değeridir (gri x ve y, bunların yalnızca çizgiler değil koordinat eksenleri olduğunu belirtmek içindir).
Açıların öküz ekseninin pozitif yönünden saat yönünün tersine hesaplandığı unutulmamalıdır.
Bunun için sinüs, kosinüs vb.'yi bulalım.
sin a: karşı kenar y'ye eşittir, hipotenüs ise 1'e eşittir.
sin a = y / 1 = y
Y ve 1'i nereden aldığımı tamamen açıklığa kavuşturmak için, harfleri düzenleyelim ve üçgenlere bakalım.
- -
AF = AE = 1 - dairenin yarıçapı.
Bu nedenle yarıçap olarak AB = 1'dir. AB - hipotenüs.
BD = CA = y - oh'nun değeri olarak.
AD = CB = x - Oh'a göre değer olarak.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Sonraki kosinüs:
cos a: bitişik kenar - AD = x
çünkü a = AD / AB = x / 1 = x

Biz de çıktı alıyoruz teğet ve kotanjant.
tg a = y / x = sin a / cos a
karyola a = x / y = çünkü a / sin a
Aniden teğet ve kotanjant formülünü elde ettik.

Peki, bunun nasıl çözüldüğüne somut olarak bakalım.
Örneğin a = 45 derece.
Bir açısı 45 derece olan bir dik üçgen elde ediyoruz. Bazıları için bunun bir eşkenar üçgen olduğu hemen anlaşılıyor, ama yine de anlatacağım.
Üçgenin üçüncü açısını bulalım (birincisi 90, ikincisi 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Eğer iki açı eşitse, kenarları da eşittir, kulağa böyle geliyor.
Yani, bu tür iki üçgeni üst üste eklersek, köşegeni yarıçapı = 1 olan bir kare elde ederiz. Pisagor teoremine göre, kenarı a olan bir karenin köşegeninin şuna eşit olduğunu biliyoruz: ikinin kökleri.
Şimdi düşünüyoruz. 1 (hipotenüs yani köşegen) karenin kenarı çarpı ikinin köküne eşitse, karenin kenarı da 1/sqrt(2) olmalıdır ve bu kesrin payını ve paydasını çarparsak ikinin kökünden sqrt(2)/2 elde ederiz. Üçgen ikizkenar olduğundan AD = AC => x = y
Trigonometrik fonksiyonlarımızı bulma:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
çünkü 45 = kare(2)/2 / 1 = kare(2)/2
tg 45 = kare(2)/2 / kare(2)/2 = 1
ctg 45 = kare(2)/2 / kare(2)/2 = 1
Geriye kalan açı değerleriyle de aynı şekilde çalışmanız gerekiyor. Yalnızca üçgenler ikizkenar olmayacaktır, ancak kenarlar Pisagor teoremi kullanılarak aynı kolaylıkla bulunabilir.
Bu şekilde trigonometrik fonksiyonların farklı açılardan değerlerinin bir tablosunu elde ederiz:
-
-
Üstelik bu masa hileli ve çok kullanışlı.
Herhangi bir güçlük çekmeden kendiniz nasıl oluşturabilirsiniz: Bunun gibi bir tablo çizin ve kutulara 1 2 3 rakamlarını yazın.
-
-
Şimdi bu 1 2 3'ün kökünü alıp 2'ye bölüyoruz. Şöyle çıkıyor:
-
-
Şimdi sinüsün üzerini çizip kosinüsü yazıyoruz. Değerleri yansıtılmış sinüstür:
-
-
Teğetin türetilmesi de aynı derecede kolaydır; sinüs çizgisinin değerini kosinüs çizgisinin değerine bölmeniz gerekir:
-
-
Kotanjant değeri, tanjantın ters çevrilmiş değeridir. Sonuç olarak şöyle bir şey elde ediyoruz:
- -

Notörneğin bu teğet P/2'de mevcut değildir. Nedenini düşünün. (Sıfıra bölemezsiniz.)

Burada hatırlamanız gerekenler: sinüs y değeri, kosinüs x değeridir. Teğet, y'nin x'e oranıdır ve kotanjant bunun tersidir. yani sinüs/kosinüs değerlerini belirlemek için yukarıda anlattığım tabloyu ve koordinat eksenleri olan bir daire çizmek yeterlidir (değerlere 0, 90, 180, 360).
- -

Umarım ayırt edebilirsiniz çeyrekler:
- -
Sinüs, kosinüs vb.'nin işareti açının hangi çeyrekte olduğuna bağlıdır. Bununla birlikte, ikinci ve üçüncü çeyrekte x'in negatif, üçüncü ve dördüncü çeyrekte y'nin negatif olduğunu hesaba katarsanız, kesinlikle ilkel mantıksal düşünme sizi doğru cevaba götürecektir. Korkutucu ya da korkutucu bir şey yok.

bahsetmenin yanlış olmayacağını düşünüyorum azaltma formülleri ala hayaletler, herkesin duyduğu gibi, bunda bir nebze de olsa doğruluk payı var. Gereksiz olduğu için böyle formüller yoktur. Tüm bu eylemin anlamı şu: Sadece ilk çeyreğe ait açı değerlerini (30 derece, 45, 60) rahatlıkla buluyoruz. Trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir, dolayısıyla herhangi bir geniş açıyı ilk çeyreğe sürükleyebiliriz. O zaman anlamını hemen bulacağız. Ancak sadece sürüklemek yeterli değildir; işareti hatırlamanız gerekir. İndirgeme formülleri bunun içindir.
Yani elimizde geniş bir açı var, daha doğrusu 90 dereceden fazla: a = 120. Ve bunun sinüsünü ve kosinüsünü bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için 120'yi çalışabileceğimiz aşağıdaki açılara ayıracağız:
günah a = günah 120 = günah (90 + 30)
Bu açının ikinci çeyrekte olduğunu görüyoruz, oradaki sinüs pozitif, dolayısıyla sinüsün önündeki + işareti korunuyor.
90 dereceden kurtulmak için sinüsü kosinüs olarak değiştiririz. Bu, hatırlamanız gereken bir kuraldır:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Veya bunu başka bir şekilde hayal edebilirsiniz:
günah 120 = günah (180 - 60)
180 dereceden kurtulmak için fonksiyonu değiştirmiyoruz.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Aynı değeri elde ettik, yani her şey doğru. Şimdi kosinüs:
çünkü 120 = çünkü (90 + 30)
İkinci çeyrekteki kosinüs negatif olduğundan eksi işareti koyduk. Ve 90 dereceyi kaldırmamız gerektiğinden fonksiyonu tam tersiyle değiştiriyoruz.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1 / 2
Veya:
çünkü 120 = çünkü (180 - 60) = - çünkü 60 = - 1 / 2

İlk çeyreğe açıları aktarmak için bilmeniz, yapabilmeniz ve yapmanız gerekenler:
- açıyı sindirilebilir terimlere ayrıştırın;
- açının hangi çeyrekte olduğunu dikkate alın ve bu çeyrekteki fonksiyon negatif veya pozitif ise uygun işareti koyun;
-gereksiz şeylerden kurtulun:
*90, 270, 450'den ve kalan 90+180n'den kurtulmanız gerekiyorsa (burada n herhangi bir tam sayıdır), o zaman fonksiyon tersine çevrilir (sinüsten kosinüse, teğetten kotanjanta ve tersi);
*180'den ve kalan 180+180n'den (n herhangi bir tam sayı olmak üzere) kurtulmanız gerekiyorsa fonksiyon değişmez. (Burada bir özellik var ama kelimelerle anlatmak zor ama olsun).
Bu kadar. Birkaç kuralı hatırlayıp kolayca kullanabiliyorken formülleri ezberlemenin gerekli olduğunu düşünmüyorum. Bu arada, bu formüllerin kanıtlanması çok kolaydır:
-
-
Ayrıca hantal tablolar da derliyorlar, o zaman şunu biliyoruz:
-
-

Trigonometrinin temel denklemleri: onları çok ama çok iyi, ezbere bilmeniz gerekiyor.
Temel trigonometrik kimlik(eşitlik):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
İnanmıyorsanız, kendiniz kontrol edip kendiniz görmek daha iyidir. Farklı açıların değerlerini değiştirin.
Bu formül çok ama çok faydalıdır, bunu her zaman hatırlayın. bunu kullanarak sinüsten kosinüse ve tersini ifade edebilirsiniz, bu bazen çok faydalıdır. Ancak diğer formüllerde olduğu gibi, bununla nasıl başa çıkacağınızı bilmeniz gerekir. Trigonometrik fonksiyonun işaretinin açının bulunduğu çeyreğe bağlı olduğunu daima unutmayın. Bu yüzden kökü çıkarırken çeyreği bilmeniz gerekir.

Teğet ve kotanjant: Bu formülleri zaten en başında türetmiştik.
tg a = sin a / cos a
cot a = cos a / sin a

Teğet ve kotanjant çarpımı:
tg a * ctg a = 1
Çünkü:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - kesirler iptal edilir.

Gördüğünüz gibi tüm formüller bir oyun ve bir kombinasyondur.
İlk formülün kosinüs karesi ve sinüs karesine bölünmesiyle elde edilen iki tane daha var:
-
-
Sıfıra bölemeyeceğiniz için son iki formülün a açısının değeri üzerinde bir sınırlama ile kullanılabileceğini lütfen unutmayın.

Toplama formülleri: vektör cebiri kullanılarak kanıtlanmıştır.
- -
Nadiren kullanılır, ancak doğru bir şekilde. Taramada formüller var ancak bunlar okunaksız olabilir veya dijital formun algılanması daha kolay olabilir:
- -

Çift açılı formüller:
Toplama formüllerine göre elde edilirler, örneğin: çift açının kosinüsü cos 2a = cos (a + a) - bu size bir şey hatırlatıyor mu? Betayı alfayla değiştirdiler.
- -
Sonraki iki formül, sin^2(a) = 1 - cos^2(a) ve cos^2(a) = 1 - sin^2(a) ilk ikamesinden türetilir.
Çift açının sinüsü daha basittir ve çok daha sık kullanılır:
- -
Ve özel sapkınlar, tan a = sin a / cos a, vb. verildiğinde, bir çift açının teğetini ve kotanjantını türetebilirler.
-
-

Yukarıda adı geçen kişiler için Üçlü açı formülleri:çift açı formüllerini zaten bildiğimiz için 2a ve a açıları toplanarak elde edilirler.
-
-

Yarım açı formülleri:
- -
Nasıl türetildiğini, daha doğrusu nasıl açıklayacağımı bilmiyorum... Bu formülleri ana trigonometrik özdeşliği a/2 ile değiştirerek yazarsak cevap yakınsar.

Trigonometrik fonksiyonların toplanması ve çıkarılması için formüller:
-
-
Toplama formüllerinden elde ediliyor ama kimsenin umrunda değil. Sık sık olmazlar.

Anladığınız gibi, hala bir sürü formül var, listelemek anlamsız çünkü onlar hakkında yeterli bir şey yazamayacağım ve kuru formüller her yerde bulunabilir ve bunlar daha önceki mevcut formüllerle bir oyundur. Her şey son derece mantıklı ve kesindir. sana son olarak şunu söyleyeyim yardımcı açı yöntemi hakkında:
a cosx + b sinx ifadesini Acos(x+) veya Asin(x+) biçimine dönüştürmeye yardımcı açı (veya ek argüman) ekleme yöntemi denir. Yöntem, trigonometrik denklemleri çözerken, fonksiyonların değerlerini tahmin ederken, ekstremum problemlerde kullanılır ve bazı problemlerin yardımcı açı getirilmeden çözülemeyeceğini belirtmek önemlidir.
Bu yöntemi nasıl açıklamaya çalışırsanız çalışın, hiçbir şey çıkmadı, bu yüzden bunu kendiniz yapmanız gerekecek:
-
-
Korkunç bir şey ama faydalı. Sorunları çözerseniz çözüme kavuşacaktır.
Buradan örneğin: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Dersin bir sonraki bölümünde trigonometrik fonksiyonların grafikleri yer alacaktır. Ama bu bir ders için yeterli. Okulda altı ay boyunca bunu öğrettiklerini düşünürsek.

Sorularınızı yazın, sorunları çözün, bazı görevlerin taranmasını isteyin, çözün, deneyin.
Daima senin, Dan Faraday.

Sinüs, kosinüs, teğet - bu kelimeleri lise öğrencilerinin huzurunda telaffuz ederken, üçte ikisinin daha fazla konuşmaya olan ilgisini kaybedeceğinden emin olabilirsiniz. Bunun nedeni, okulda trigonometrinin temellerinin gerçeklikten tamamen ayrı olarak öğretilmesi ve bu nedenle öğrencilerin formüller ve teoremler üzerinde çalışmanın anlamını görememeleri gerçeğinde yatmaktadır.

Aslında, daha yakından incelendiğinde, bu bilgi alanının hem uygulamalı hem de çok ilginç olduğu ortaya çıkıyor - trigonometri astronomi, inşaat, fizik, müzik ve diğer birçok alanda kullanılıyor.

Temel kavramları tanıyalım ve matematik biliminin bu dalını incelemek için çeşitli nedenleri adlandıralım.

Hikaye

İnsanlığın hangi noktada geleceğin trigonometrisini sıfırdan yaratmaya başladığı bilinmiyor. Bununla birlikte, MÖ 2. binyılda Mısırlıların bu bilimin temellerine aşina oldukları belgelenmiştir: arkeologlar, piramidin bilinen iki taraftaki eğim açısını bulmanın gerekli olduğu bir görevi olan bir papirüs bulmuşlardır.

Eski Babil'in bilim adamları daha ciddi başarılar elde etti. Yüzyıllar boyunca astronomi çalışarak bir takım teoremlerde ustalaştılar, özel yollar Bu arada, bugün kullandığımız açı ölçümleri: derece, dakika ve saniye, bu birimlerin Babillilerden geldiği Greko-Romen kültüründe Avrupa bilimi tarafından ödünç alındı.

Trigonometrinin temelleriyle ilgili ünlü Pisagor teoreminin yaklaşık dört bin yıl önce Babilliler tarafından bilindiği varsayılmaktadır.

İsim

Kelimenin tam anlamıyla, "trigonometri" terimi "üçgenlerin ölçümü" olarak tercüme edilebilir. Yüzyıllar boyunca bilimin bu bölümündeki çalışmanın ana amacı dik üçgen veya daha doğrusu açıların büyüklükleri ile kenarlarının uzunlukları arasındaki ilişkiydi (bugün trigonometrinin sıfırdan incelenmesi bu bölümle başlıyor) . Hayatta, bir nesnenin gerekli tüm parametrelerini (veya nesneye olan mesafeyi) ölçmenin pratik olarak imkansız olduğu ve daha sonra eksik verilerin hesaplamalar yoluyla elde edilmesinin gerekli olduğu durumlar vardır.

Örneğin geçmişte insanlar uzay nesnelerine olan mesafeyi ölçemiyordu, ancak bu mesafeleri hesaplama girişimleri çağımızın başlangıcından çok önce yapılmıştı. Trigonometri navigasyonda da çok önemli bir rol oynadı: Biraz bilgi sahibi olan kaptan geceleri her zaman yıldızlara göre yön bulabilir ve rotayı ayarlayabilirdi.

Temel konseptler

Trigonometriye sıfırdan hakim olmak, birkaç temel terimi anlamayı ve hatırlamayı gerektirir.

Belirli bir açının sinüsü karşı tarafın hipotenüse oranıdır. Karşı bacağın, düşündüğümüz açının karşısında kalan taraf olduğunu açıklığa kavuşturalım. Böylece, eğer bir açı 30 derece ise, üçgenin herhangi bir boyutu için bu açının sinüsü her zaman ½'ye eşit olacaktır. Bir açının kosinüsü, komşu kenarın hipotenüse oranıdır.

Teğet, karşı tarafın bitişik tarafa oranıdır (veya aynı şekilde sinüsün kosinüse oranıdır). Kotanjant, teğete bölünen birimdir.

Yarıçapı bir birim olan bir dairenin uzunluğunun yarısı olan ünlü Pi sayısından (3,14...) bahsetmeye değer.

Popüler hatalar

Trigonometriyi sıfırdan öğrenen insanlar, çoğunlukla dikkatsizlik nedeniyle bir takım hatalar yaparlar.

Öncelikle geometri problemlerini çözerken sinüs ve kosinüs kullanımının yalnızca dik üçgende mümkün olduğunu unutmamalısınız. Bir öğrencinin "otomatik olarak" bir üçgenin en uzun kenarını hipotenüs olarak alması ve yanlış hesaplama sonuçları alması olur.

İkincisi, ilk başta seçilen açı için sinüs ve kosinüs değerlerini karıştırmak kolaydır: 30 derecelik sinüsün sayısal olarak 60 kosinüsüne eşit olduğunu ve bunun tersi olduğunu hatırlayın. Yanlış bir sayı koyarsanız sonraki tüm hesaplamalar yanlış olacaktır.

Üçüncüsü, sorun tamamen çözülene kadar hiçbir değeri yuvarlamamalı, kök çıkarmamalı veya ortak bir kesri ondalık sayı olarak yazmamalısınız. Genellikle öğrenciler bir trigonometri probleminde "güzel" bir sayı elde etmeye çalışırlar ve hemen üçün kökünü çıkarmaya çalışırlar, ancak tam olarak tek bir eylemden sonra bu kök azaltılabilir.

"Sinüs" kelimesinin etimolojisi

“Sinüs” kelimesinin tarihi gerçekten sıra dışıdır. Gerçek şu ki, bu kelimenin Latinceden birebir çevirisi “içi boş” anlamına geliyor. Bunun nedeni, bir dilden diğerine çeviri sırasında kelimenin doğru anlaşılmasının kaybolmasıdır.

Temel trigonometrik fonksiyonların isimleri, sinüs kavramının Sanskritçe'de "string" kelimesiyle belirtildiği Hindistan'dan gelmektedir - gerçek şu ki, segment, üzerinde durduğu dairenin yayı ile birlikte bir yay gibi görünüyordu . Arap medeniyetinin en parlak döneminde, Hintlerin trigonometri alanındaki başarıları ödünç alındı ve bu terim Arapça transkripsiyon şeklinde. Öyle oldu ki bu dilde zaten vardı benzer kelime, bir depresyonu ifade eder ve eğer Araplar yerli ve ödünç alınan bir kelime arasındaki fonetik farkı anladıysa, o zaman Avrupalılar bilimsel incelemeleri Latince'ye çevirerek yanlışlıkla kelimenin tam anlamıyla tercüme ettiler. Arapça kelime Bunun sinüs kavramıyla hiçbir ilgisi yoktur. Bu güne kadar hala kullanıyoruz.

Değer tabloları

Olası tüm açıların sinüsleri, kosinüsleri ve teğetleri için sayısal değerleri içeren tablolar vardır. Aşağıda, "kuklalar" için trigonometrinin zorunlu bir bölümü olarak öğrenilmesi gereken 0, 30, 45, 60 ve 90 derecelik açılara ilişkin verileri sunuyoruz; neyse ki bunların hatırlanması oldukça kolaydır.

Bir açının sinüs veya kosinüsünün sayısal değeri "aklınızdan çıkarsa", bunu kendiniz elde etmenin bir yolu vardır.

Geometrik gösterim

Bir daire çizelim ve apsis ve koordinat eksenlerini merkezinden geçirelim. Apsis ekseni yatay, ordinat ekseni dikeydir. Genellikle sırasıyla "X" ve "Y" olarak imzalanırlar. Şimdi dairenin merkezinden düz bir çizgi çizeceğiz, böylece daire ile X ekseni arasında ihtiyacımız olan açı elde edilecek. Son olarak düz çizginin daireyle kesiştiği noktadan X eksenine dik bir çizgi bırakıyoruz.Ortaya çıkan parçanın uzunluğu şuna eşit olacaktır: Sayısal değer açımızın sinüsü.

Örneğin bir sınav sırasında gerekli değeri unuttuysanız ve elinizde bir trigonometri ders kitabınız yoksa bu yöntem çok uygundur. Bu şekilde kesin bir sayı elde edemezsiniz, ancak ½ ile 1,73/2 (30 derecelik açının sinüs ve kosinüsü) arasındaki farkı kesinlikle göreceksiniz.

Başvuru

Trigonometriyi kullanan ilk uzmanlardan bazıları, açık denizlerde başlarının üzerindeki gökyüzü dışında başka bir referans noktası olmayan denizcilerdi. Bugün, gemi kaptanları (uçaklar ve diğer ulaşım araçları) yıldızları kullanarak en kısa yolu aramıyorlar, ancak trigonometri kullanılmadan imkansız olan GPS navigasyonuna aktif olarak başvuruyorlar.

Fiziğin neredeyse her bölümünde sinüs ve kosinüsleri kullanan hesaplamalar bulacaksınız: mekanikte kuvvet uygulaması, kinematikte nesnelerin yolunun hesaplanması, titreşimler, dalga yayılımı, ışığın kırılması - temel trigonometri olmadan yapamazsınız. formüllerde.

Trigonometri olmadan düşünülemeyecek bir diğer meslek de kadastroculuktur. Bir teodolit ve bir seviye veya daha karmaşık bir cihaz olan bir takometre kullanarak, bu insanlar dünya yüzeyindeki farklı noktalar arasındaki yükseklik farkını ölçerler.

Tekrarlanabilirlik

Trigonometri, bir üçgenin yalnızca açıları ve kenarlarıyla ilgilenmez, ancak burası varlığının başladığı yerdir. Döngüselliğin mevcut olduğu tüm alanlarda (biyoloji, tıp, fizik, müzik vb.) muhtemelen adı size tanıdık gelen bir grafikle karşılaşacaksınız - bu bir sinüs dalgasıdır.

Böyle bir grafik, zaman ekseni boyunca açılmış ve dalgaya benzeyen bir dairedir. Eğer fizik dersinde osiloskopla çalıştıysanız neyden bahsettiğimizi anlayacaksınız. Hakkında konuşuyoruz. Hem müzik ekolayzır hem de kalp atış hızı monitörü, çalışmalarında trigonometri formüllerini kullanır.

Nihayet

Trigonometrinin nasıl öğrenileceğini düşünürken, çoğu ortaokul ve lise öğrencisi, yalnızca ders kitaplarından sıkıcı bilgilerle tanıştıkları için bunun zor ve pratik olmayan bir bilim olduğunu düşünmeye başlar.

Pratik olmama konusuna gelince, hemen hemen her faaliyet alanında sinüsleri ve teğetleri idare etme yeteneğinin bir dereceye kadar gerekli olduğunu zaten gördük. Karmaşıklığa gelince... Düşünün: Eğer insanlar bu bilgiyi iki bin yıldan fazla bir süre önce kullansaydı, bir yetişkinin günümüzün lise öğrencisinden daha az bilgiye sahip olduğu bir zamanda, bu bilim alanını üzerinde çalışmak gerçekten mümkün müydü? temel Seviye kişisel olarak sana mı? Sorunları çözmek için birkaç saatlik düşünceli pratik yapın ve çalışarak hedefinize ulaşacaksınız. temel kurs aptallar için trigonometri denir.

Talimatlar

Trigonometrik fonksiyonların açıklamasına geçelim. Tüm açıklamalar yukarıdaki şekle bağlanacaktır. B köşesindeki açıyı z açısı olarak alalım. O zaman z açısının sinüsü, karşı kenarın hipotenüse oranına eşit olacaktır.
Başka bir deyişle sin(z)= b/c (şekle bakınız). Benzer şekilde z açısının kosinüsünü de tanımlayabiliriz: bitişik kenarın hipotenüse oranı. Veya: cos(z)= a/c.

Çizimi çok fazla ertelemeyin ve teğete geçin. Z açısının tanjantı, z açısının sinüsünün z açısının kosinüsüne oranıdır veya başka bir deyişle karşı tarafın bitişik kenara oranıdır.
Formül tg(z)= b/a.
Kotanjant, eksi birinci kuvvete yükseltilen teğettir ve bu, ona aşağıdaki tanımı vermemize olanak tanır: z açısının kotanjantı, bitişik bacağın 'ye oranıdır.
Formül ctg(z)=a/b.

Tüm okul trigonometrisinin bu dört kavrama dayandığını söyleyebiliriz. Arsinüs, arkkosinüs, arktanjant, arkkotanjant vb. gibi diğer fonksiyonlar yukarıdan türetilir.

Not

Trigonometrinin Önemi:
Trigonometri en yaygın olarak inşaatta, mukavemet analizinde, karmaşık mekanik sistemlerin tasarımında ve hatta kuantum mekaniğinde kullanılır.

Yararlı tavsiye

Kullandığınızda trigonometri problemleri önemli ölçüde kolaylaşır trigonometrik özdeşlikler. Bağlantı açıklamada.

Kaynaklar:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1 %82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D0%B6%D0%B4 %D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0

Trigonometrik denklemler- bunlar bilinmeyen bir argümanın fonksiyonlarını içeren denklemlerdir (örneğin: 5sinx-3cosx =7). Bunları nasıl çözeceğinizi öğrenmek için bunun için bazı yöntemleri bilmeniz gerekir.

Talimatlar

Bir denklemin çarpanlara ayrılması. Öncelikle tüm terimleri sola kaydırıp çarpanlara ayırıyoruz.

Homojenliğe indirgeme. Tüm terimler aynı derecede ve sinüs ve kosinüs aynı açıda ise denklemlere homojen denklemler denir.

Bunu yapmak için şunları yapmalısınız: önce tüm üyelerini sağ taraftan sol tarafa taşıyın; tüm ortak faktörleri parantezlerin dışında bırakın; faktörleri ve parantezleri sıfıra eşitleyin; eşit parantezler şunu verir homojen denklem daha az bir ölçüde cos (veya sin) ile en yüksek güce bölünmesi gereken; tan için elde edilen cebirsel denklemi çözün.

Bir sonraki yöntem yarım açıya gitmektir. Örneğin şu denklemi çözün: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Yarım açıya geçersek: 6 sin (x/2) cos (x/2) – 5 cos² (x/2) + 5 sin² (x/2) = 7 sin² (x/2) + 7 cos² (x/ 2), ardından tüm terimleri tek bir parçaya (sağda) indirgeyip denklemi çözüyoruz.

Bir çarpımı toplama dönüştürme yöntemi. Burada uygun formülleri kullanmanız gerekir. Örneğin, verilen: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.

Sol tarafı toplama dönüştürerek çözelim, yani:

cos 4x – cos 8x = cos 4x,

8x = p/2 + pk,

x = p / 16 + pk / 8.

Son yönteme evrensel ikame denir. İfadeyi dönüştürüyoruz ve bir ikame yapıyoruz, örneğin Cos(x/2)=u ve ardından denklemi u parametresiyle çözüyoruz. Sonucu aldığımızda değeri tersine çeviriyoruz.

Konuyla ilgili video

Okulda çok az kişi cebiri severdi. Halihazırda başarılı olan birçok insan, bu "anlaşılmaz kancalara sahip bilimin" anlamını anlayamamıştır. Ancak öyle ya da böyle, şu anda 18 yaşın altındaki herkes matematikte Birleşik Devlet Sınavına girmek zorunda kalacak, bu nedenle trigonometrinin ne olduğunu ve bu "anlaşılmaz" sinüsleri, kosinüsleri, teğetleri hala anlamayan okul çocukları onu anlamaya çalışmalıdır.

İhtiyacın olacak

Bir parça kağıt, bir cetvel, bir pusula, bir grafik kağıdı.

Talimatlar

Öncelikle tüm trigonometrinin bir dik üçgende yer aldığını anlamalısınız. temel konseptler bacaklar gibi, hipotenüs, birim çember. Ve elbette trigonometriyle en yakından ilişkili olan Pisagor teoremini de unutmamalıyız.