Logaritmik denklemler. Logaritmik denklem: temel formüller ve teknikler

Matematik final sınavına hazırlık önemli bir bölüm olan “Logaritamalar”ı içerir. Bu konudaki görevler mutlaka Birleşik Devlet Sınavında yer almaktadır. Geçmiş yıllardan edinilen deneyimler, logaritmik denklemlerin birçok okul çocuğu için zorluklara neden olduğunu göstermektedir. Bu nedenle öğrenciler farklı seviyeler hazırlık.

Shkolkovo eğitim portalını kullanarak sertifika testini başarıyla geçin!

Birleşik birliğe hazırlık aşamasında Devlet sınavı Lise mezunları, sınav problemlerini başarılı bir şekilde çözmek için en eksiksiz ve doğru bilgileri sağlayan güvenilir bir kaynağa ihtiyaç duyarlar. Ancak ders kitabı her zaman elinizin altında olmuyor ve araştırılıyor. gerekli kurallar ve internette formüllerin bulunması çoğu zaman zaman alır.

Shkolkovo eğitim portalı, Birleşik Devlet Sınavına istediğiniz zaman istediğiniz yerde hazırlanmanıza olanak tanır. Web sitemiz, logaritmaların yanı sıra bir ve daha fazla bilinmeyene ilişkin büyük miktarda bilginin tekrarlanması ve özümsenmesi için en uygun yaklaşımı sunmaktadır. Kolay denklemlerle başlayın. Onlarla zorluk çekmeden başa çıkabiliyorsanız, daha karmaşık olanlara geçin. Belirli bir eşitsizliği çözmede sorun yaşıyorsanız, daha sonra geri dönebilmek için onu Favorilerinize ekleyebilirsiniz.

Görevi tamamlamak için gerekli formülleri, tekrarlanan özel durumları ve standart bir logaritmik denklemin kökünü hesaplama yöntemlerini “Teorik Yardım” bölümüne bakarak bulabilirsiniz. Shkolkovo öğretmenleri başarılı geçiş için gerekli tüm materyalleri en basit ve anlaşılır biçimde topladı, sistemleştirdi ve sundu.

Her türlü karmaşıklıktaki görevlerle kolayca başa çıkabilmek için portalımızda bazı standart logaritmik denklemlerin çözümüne aşina olabilirsiniz. Bunu yapmak için “Kataloglar” bölümüne gidin. Sunuyoruz çok sayıda denklemler dahil örnekler profil düzeyi Matematikte Birleşik Devlet Sınavı.

Rusya genelindeki okullardan öğrenciler portalımızı kullanabilirler. Derslere başlamak için sisteme kayıt olmanız ve denklem çözmeye başlamanız yeterli. Sonuçları pekiştirmek için her gün Shkolkovo web sitesine dönmenizi tavsiye ederiz.

Bugün hiçbir ön dönüşüme veya kök seçimine gerek olmayan en basit logaritmik denklemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. Ancak bu tür denklemleri çözmeyi öğrenirseniz, o zaman çok daha kolay olacaktır.

En basit logaritmik denklem log a f(x) = b formundaki bir denklemdir; burada a, b sayılardır (a > 0, a ≠ 1), f(x) belirli bir fonksiyondur.

Tüm logaritmik denklemlerin ayırt edici bir özelliği, logaritma işaretinin altında x değişkeninin bulunmasıdır. Eğer problemde başlangıçta verilen denklem buysa buna en basit denir. Diğer logaritmik denklemler özel dönüşümlerle en basit hale getirilir (bkz. “Logaritmanın temel özellikleri”). Bununla birlikte, çok sayıda incelik dikkate alınmalıdır: Fazladan kökler ortaya çıkabilir, bu nedenle karmaşık logaritmik denklemler ayrı ayrı ele alınacaktır.

Bu tür denklemler nasıl çözülür? Eşittir işaretinin sağındaki sayıyı, soldaki ile aynı tabandaki bir logaritma ile değiştirmek yeterlidir. O zaman logaritmanın işaretinden kurtulabilirsiniz. Şunu elde ederiz:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

Her zamanki denklemi elde ettik. Kökleri orijinal denklemin kökleridir.

Derece çıkarmak

Çoğu zaman, dışarıdan karmaşık ve tehditkar görünen logaritmik denklemler, karmaşık formüller gerektirmeden yalnızca birkaç satırda çözülür. Bugün tam da bu tür sorunlara bakacağız; sizden tek yapmanız gereken, formülü dikkatli bir şekilde kanonik forma indirgemek ve logaritmanın tanım alanını ararken kafanızın karışmamasıdır.

Bugün muhtemelen başlıktan da tahmin ettiğiniz gibi logaritmik denklemleri kanonik forma geçiş formüllerini kullanarak çözeceğiz. Bu video dersinin ana "püf noktası" derecelerle çalışmak, daha doğrusu dereceyi temelden ve argümandan çıkarmak olacaktır. Kurala bakalım:

Benzer şekilde, dereceyi tabandan türetebilirsiniz:

Görebildiğimiz gibi, logaritmanın argümanından dereceyi çıkardığımızda önümüzde sadece ek bir faktör varsa, o zaman dereceyi tabandan çıkardığımızda sadece bir çarpan değil, tersine çevrilmiş bir faktör elde ederiz. Bunun hatırlanması gerekiyor.

Son olarak en ilginç şey. Bu formüller birleştirilebilir ve şunu elde ederiz:

Elbette, bu geçişleri yaparken, tanımın kapsamının olası genişlemesi veya tam tersine, tanımın kapsamının daralmasıyla ilgili bazı tuzaklar vardır. Kendiniz karar verin:

günlük 3 x 2 = 2 ∙ günlük 3 x

İlk durumda x, 0'dan farklı bir sayı olabiliyorsa, yani x ≠ 0 gereksinimi varsa, o zaman ikinci durumda yalnızca x ile tatmin oluruz; bunlar yalnızca eşit değildir, aynı zamanda 0'dan kesinlikle büyüktür, çünkü logaritmanın tanımı, argümanın kesinlikle 0'dan büyük olmasıdır. Bu nedenle size 8-9. sınıf cebir dersinden harika bir formülü hatırlatacağım:

Yani formülümüzü şu şekilde yazmamız gerekiyor:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |

O zaman tanımın kapsamı daralmayacaktır.

Ancak bugünkü video eğitiminde kareler olmayacak. Görevlerimize bakarsanız sadece kökleri göreceksiniz. Bu nedenle bu kuralı uygulamayacağız ancak yine de aklınızda tutmanız gerekiyor ki doğru anda, gördüğünüzde ikinci dereceden fonksiyon bir argümanda veya bir logaritmanın tabanında bu kuralı hatırlayacak ve tüm dönüşümleri doğru bir şekilde gerçekleştireceksiniz.

Yani ilk denklem şu:

Bu sorunu çözmek için formülde bulunan terimlerin her birine dikkatlice bakmayı öneriyorum.

İlk terimi rasyonel üssü olan bir kuvvet olarak yeniden yazalım:

İkinci terime bakıyoruz: log 3 (1 − x). Burada hiçbir şey yapmaya gerek yok, burada her şey zaten dönüşmüş durumda.

Son olarak 0, 5. Önceki derslerde de söylediğim gibi logaritmik denklem ve formülleri çözerken ondalık kesirlerden ortak kesirlere geçmenizi şiddetle tavsiye ederim. Bunu yapalım:

0,5 = 5/10 = 1/2

Ortaya çıkan terimleri dikkate alarak orijinal formülümüzü yeniden yazalım:

log 3 (1 - x) = 1

Şimdi kanonik forma geçelim:

günlük 3 (1 − x ) = günlük 3 3

Argümanları eşitleyerek logaritma işaretinden kurtuluruz:

1 - x = 3

−x = 2

x = −2

İşte bu, denklemi çözdük. Ancak yine de işi riske atalım ve tanımın alanını bulalım. Bunu yapmak için orijinal formüle geri dönelim ve şunu görelim:

1 - x > 0

−x > −1

X< 1

Kök x = −2 bu gereksinimi karşılıyor, dolayısıyla x = −2 orijinal denklemin bir çözümü. Şimdi elimizde kesin ve net bir gerekçe var. İşte bu, sorun çözüldü.

Gelelim ikinci göreve:

Her terime ayrı ayrı bakalım.

İlkini yazalım:

İlk dönemi dönüştürdük. İkinci dönemle çalışıyoruz:

Son olarak eşittir işaretinin sağındaki son terim:

Ortaya çıkan formüldeki terimler yerine ortaya çıkan ifadeleri değiştiririz:

günlük 3 x = 1

Kanonik forma geçelim:

günlük 3 x = günlük 3 3

Argümanları eşitleyerek logaritma işaretinden kurtuluruz ve şunu elde ederiz:

x = 3

Yine de tedbiri elden bırakmamak için orijinal denkleme geri dönüp bir göz atalım. Orijinal formülde x değişkeni yalnızca bağımsız değişkende mevcuttur, bu nedenle,

x > 0

İkinci logaritmada x kökün altındadır ama yine argümanda bu nedenle kök 0'dan büyük olmalıdır, yani radikal ifade 0'dan büyük olmalıdır. Kök x = 3'e bakıyoruz. bu gereksinimi karşılar. Dolayısıyla x = 3 orijinal logaritmik denklemin bir çözümüdür. İşte bu, sorun çözüldü.

Bugünkü video eğitiminde iki önemli nokta var:

1) logaritmaları dönüştürmekten korkmayın ve özellikle logaritmanın işaretinden kuvvetleri çıkarmaktan korkmayın, aynı zamanda temel formülümüzü hatırlayın: bir argümandan bir kuvveti çıkarırken, değişiklik yapılmadan basitçe çıkarılır çarpan olarak kullanılır ve tabandan bir güç kaldırıldığında bu güç tersine çevrilir.

2) ikinci nokta kanonik formun kendisiyle ilgilidir. Logaritmik denklem formülünün dönüşümünün en sonunda kanonik forma geçişi yaptık. Size şu formülü hatırlatayım:

a = log b b a

Elbette "herhangi bir sayı b" ifadesiyle, logaritmanın bazında dayatılan gereklilikleri karşılayan sayıları kastediyorum, yani.

1 ≠ b > 0

Böyle bir b için ve temelini zaten bildiğimiz için bu gereklilik otomatik olarak yerine getirilecektir. Ancak bu gereksinimi karşılayan herhangi bir b için bu geçiş gerçekleştirilebilir ve logaritmanın işaretinden kurtulabileceğimiz kanonik bir form elde ederiz.

Tanım alanını ve ekstra kökleri genişletmek

Logaritmik denklemlerin dönüştürülmesi sürecinde tanım alanının örtülü bir şekilde genişletilmesi meydana gelebilir. Çoğu zaman öğrenciler bunu fark etmezler, bu da hatalara ve yanlış cevaplara yol açar.

En basit tasarımlarla başlayalım. En basit logaritmik denklem şudur:

loga f(x) = b

X'in bir logaritmanın yalnızca bir bağımsız değişkeninde mevcut olduğuna dikkat edin. Bu tür denklemleri nasıl çözeriz? Kanonik formu kullanıyoruz. Bunu yapmak için b = log a a b sayısını hayal edin, denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

log a f (x) = log a a b

Bu girdiye kanonik form denir. Sadece bugünkü derste değil, aynı zamanda herhangi bir bağımsız ve test çalışmasında da karşılaşacağınız logaritmik denklemleri buna indirgemelisiniz.

Kanonik forma nasıl ulaşılacağı ve hangi tekniklerin kullanılacağı pratik meselesidir. Anlaşılması gereken en önemli şey, böyle bir kaydı alır almaz sorunun çözülmüş olduğunu düşünebilmenizdir. Çünkü bir sonraki adım şunu yazmaktır:

f(x) = a b

Başka bir deyişle logaritma işaretinden kurtulup basitçe argümanları eşitliyoruz.

Bütün bu konuşmalar neden? Gerçek şu ki, kanonik biçim yalnızca en basit sorunlara değil aynı zamanda diğer sorunlara da uygulanabilir. Özellikle bugün karar vereceklerimiz. Bir göz atalım.

İlk görev:

Bu denklemdeki sorun nedir? Gerçek şu ki, fonksiyon aynı anda iki logaritmadadır. Bir logaritmanın diğerinden çıkarılmasıyla problem en basit haline indirilebilir. Ancak tanımlama alanında sorunlar ortaya çıkıyor: ekstra kökler görünebilir. Logaritmalardan birini sağa taşıyalım:

Bu giriş kanonik forma çok daha benzer. Ancak bir nüans daha var: Kanonik biçimde argümanlar aynı olmalıdır. Sol tarafta 3 tabanındaki logaritmayı, sağda ise 1/3 tabanındaki logaritmayı görüyoruz. Bu üslerin aynı sayıya getirilmesi gerektiğini biliyor. Örneğin negatif güçlerin ne olduğunu hatırlayalım:

Daha sonra çarpan olarak logun dışındaki “−1” üssünü kullanacağız:

Lütfen dikkat: Tabandaki derece ters çevrilir ve kesir haline getirilir. Farklı tabanlardan kurtularak neredeyse kanonik bir notasyon elde ettik ancak bunun karşılığında sağdaki “−1” faktörünü elde ettik. Bu faktörü bir kuvvete dönüştürerek argümana dahil edelim:

Tabii ki, kanonik formu aldıktan sonra, logaritmanın işaretini cesurca çizeriz ve argümanları eşitleriz. Aynı zamanda, kesirin “−1” üssüne yükseltildiğinde basitçe ters çevrildiğini - bir oran elde edildiğini hatırlatmama izin verin.

Oranın temel özelliğini kullanalım ve bunu çapraz olarak çarpalım:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

Önümüzde olan şey ikinci dereceden denklem bu yüzden bunu Vieta'nın formüllerini kullanarak çözüyoruz:

(x − 8)(x − 2) = 0

x1 = 8; x 2 = 2

Bu kadar. Sizce denklem çözüldü mü? HAYIR! Böyle bir çözüm için 0 puan alacağız çünkü orijinal denklem x değişkeniyle birlikte iki logaritma içeriyor. Bu nedenle tanım alanının dikkate alınması gerekmektedir.

Ve eğlencenin başladığı yer burasıdır. Çoğu öğrencinin kafası karışıyor: Logaritmanın tanım alanı nedir? Elbette tüm argümanların (iki tane var) sıfırdan büyük olması gerekir:

(x - 4)/(3x - 4) > 0

(x - 5)/(2x - 1) > 0

Bu eşitsizliklerin her biri çözülmeli, düz bir çizgi üzerinde işaretlenmeli, kesiştirilmeli ve ancak o zaman kesişimde hangi köklerin bulunduğu görülmelidir.

Dürüst olacağım: Bu tekniğin var olma hakkı var, güvenilir ve doğru cevabı alacaksınız, ancak içinde çok fazla gereksiz adım var. Öyleyse çözümümüzü tekrar gözden geçirelim ve görelim: Kapsamı tam olarak nereye uygulamamız gerekiyor? Başka bir deyişle, ekstra köklerin tam olarak ne zaman ortaya çıktığını açıkça anlamanız gerekir.

Başlangıçta iki logaritmamız vardı. Daha sonra bir tanesini sağa kaydırdık ama bu durum tanım alanını etkilemedi.
Sonra tabandaki kuvveti kaldırıyoruz ama hala iki logaritma var ve her birinde bir x değişkeni var.
Son olarak logun işaretlerinin üzerini çizeriz ve klasik kesirli rasyonel denklemi elde ederiz.

Tam olarak açık son adım Tanımın kapsamı genişliyor! Log işaretlerinden kurtulup kesirli-rasyonel bir denkleme geçtiğimizde, x değişkenine yönelik gereksinimler çarpıcı biçimde değişti!

Sonuç olarak, tanım alanı çözümün en başında değil, yalnızca belirtilen adımda, argümanların doğrudan eşitlenmesinden önce düşünülebilir.

Optimizasyon fırsatının yattığı yer burasıdır. Bir yandan her iki argümanın da sıfırdan büyük olması gerekiyor. Öte yandan, bu argümanları daha da eşitliyoruz. Dolayısıyla bunlardan en az biri pozitifse ikincisi de pozitif olacaktır!

Dolayısıyla iki eşitsizliğin aynı anda karşılanmasının gereğinden fazla olduğu ortaya çıktı. Bu kesirlerden sadece birini dikkate almak yeterlidir. Hangisi? Daha basit olan. Örneğin sağdaki kesire bakalım:

(x - 5)/(2x - 1) > 0

Bu tipik bir kesirli rasyonel eşitsizliktir; bunu aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz:

İşaretler nasıl yerleştirilir? Tüm köklerimizden açıkça daha büyük olan bir sayıyı alalım. Mesela 1 milyar ve kesirini yerine koyuyoruz. Pozitif bir sayı elde ederiz, yani. x = 5 kökünün sağında bir artı işareti olacaktır.

Sonra işaretler değişir, çünkü hiçbir yerde çokluğun kökleri yoktur. Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklarla ilgileniyoruz. Bu nedenle, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Şimdi cevapları hatırlayalım: x = 8 ve x = 2. Açıkçası bunlar henüz cevap değil, yalnızca cevaba adaylar. Hangisi belirtilen kümeye aittir? Elbette x = 8. Ama x = 2 tanım alanı açısından bize uymuyor.

Toplamda, ilk logaritmik denklemin cevabı x = 8 olacaktır. Artık tanım alanını hesaba katan yetkin, sağlam temellere sahip bir çözümümüz var.

Gelelim ikinci denkleme:

log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3

Denklemde ondalık kesir varsa ondan kurtulmanız gerektiğini hatırlatayım. Başka bir deyişle 0,5'i ortak kesir olarak yeniden yazalım. Bu tabanı içeren logaritmanın kolaylıkla hesaplanabildiğini hemen fark ederiz:

Bu çok önemli bir an! Hem tabanda hem de argümanda derecelerimiz olduğunda, bu derecelerin göstergelerini aşağıdaki formülü kullanarak türetebiliriz:

Orijinal logaritmik denklemimize geri dönelim ve onu yeniden yazalım:

log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)

Kanonik forma oldukça yakın bir tasarım elde ettik. Ancak terimler ve eşittir işaretinin sağındaki eksi işareti kafamızı karıştırıyor. Birini 5 tabanına göre logaritma olarak temsil edelim:

log 5 (x − 9) = log 5 5 1 – log 5 (x − 5)

Sağdaki logaritmaları çıkarın (bu durumda argümanları bölünmüştür):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

Müthiş. Böylece kanonik formu elde ettik! Günlük işaretlerinin üzerini çiziyoruz ve argümanları eşitliyoruz:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Bu, çapraz olarak çarpılarak kolayca çözülebilecek bir orandır:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

Açıkçası, ikinci dereceden indirgenmiş bir denklemimiz var. Vieta'nın formülleri kullanılarak kolayca çözülebilir:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

İki kökümüz var. Ancak bunlar nihai yanıtlar değil, yalnızca adaylardır çünkü logaritmik denklem aynı zamanda tanım alanının kontrol edilmesini de gerektirir.

Size hatırlatıyorum: ne zaman aramaya gerek yok Her argümanların sayısı sıfırdan büyük olacaktır. Bir bağımsız değişkenin (x - 9 veya 5/(x - 5)) sıfırdan büyük olmasını gerektirmek yeterlidir. İlk argümanı düşünün:

x - 9 > 0

x > 9

Açıkçası, yalnızca x = 10 bu gereksinimi karşılar, bu son cevaptır. Bütün sorun çözüldü.

Bir kez daha bugünkü dersin ana düşünceleri:

X değişkeni birkaç logaritmada göründüğünde, denklem temel olmaktan çıkar ve bunun için tanım alanının hesaplanması gerekecektir. Aksi takdirde cevaba kolayca fazladan kökler yazabilirsiniz.
Eşitsizliği hemen değil, tam olarak log işaretlerinden kurtulduğumuz anda yazarsak, alanın kendisiyle çalışmak önemli ölçüde basitleştirilebilir. Sonuçta argümanlar birbirine eşitlendiğinde yalnızca birinin sıfırdan büyük olmasını istemek yeterlidir.

Elbette, bir eşitsizliği oluşturmak için hangi argümanı kullanacağımızı kendimiz seçiyoruz, bu nedenle en basit olanı seçmek mantıklıdır. Örneğin, ikinci denklemde (x − 9) argümanını seçtik - doğrusal fonksiyon kesirli rasyonel ikinci argümanın aksine. Katılıyorum, x − 9 > 0 eşitsizliğini çözmek, 5/(x − 5) > 0 eşitsizliğini çözmekten çok daha kolaydır. Ancak sonuç aynı.

Bu açıklama ODZ aramasını büyük ölçüde basitleştirir, ancak dikkatli olun: yalnızca argümanlar tam olarak aynıysa iki yerine bir eşitsizlik kullanabilirsiniz. birbirine eşittir!

Elbette birileri şimdi şunu soracaktır: Farklı olan ne? Evet bazen. Örneğin, adımın kendisinde, bir değişken içeren iki argümanı çarptığımızda, gereksiz köklerin ortaya çıkma tehlikesi vardır.

Kendiniz karar verin: Öncelikle argümanların her birinin sıfırdan büyük olması gerekir, ancak çarpma işleminden sonra çarpımlarının sıfırdan büyük olması yeterlidir. Sonuç olarak bu kesirlerin her birinin negatif olduğu durum gözden kaçıyor.

Bu nedenle, karmaşık logaritmik denklemleri yeni anlamaya başlıyorsanız, hiçbir durumda x değişkenini içeren logaritmaları çarpmayın - bu genellikle gereksiz köklerin ortaya çıkmasına yol açacaktır. Fazladan bir adım atmak, bir terimi diğer tarafa taşımak ve kanonik bir form oluşturmak daha iyidir.

Peki bu tür logaritmaları çarpmadan yapamıyorsanız ne yapmanız gerektiğini bir sonraki video dersimizde tartışacağız. :)

Bir kez daha denklemdeki kuvvetler hakkında

Bugün logaritmik denklemlerle ilgili, daha doğrusu logaritmanın argümanlarından ve tabanlarından kuvvetlerin çıkarılmasıyla ilgili oldukça kaygan bir konuyu inceleyeceğiz.

Hatta çift kuvvetlerin kaldırılmasından bahsedeceğimizi bile söyleyebilirim, çünkü gerçek logaritmik denklemleri çözerken zorlukların çoğu çift kuvvetlerle ortaya çıkar.

Kanonik formla başlayalım. Diyelim ki log a f(x) = b şeklinde bir denklemimiz var. Bu durumda b sayısını b = log a a b formülünü kullanarak yeniden yazarız. Aşağıdakiler ortaya çıkıyor:

log a f (x) = log a a b

Daha sonra argümanları eşitliyoruz:

f(x) = a b

Sondan bir önceki formüle kanonik form denir. İlk bakışta ne kadar karmaşık ve korkutucu görünse de, herhangi bir logaritmik denklemi bu amaçla azaltmaya çalışırlar.

Öyleyse deneyelim. İlk görevle başlayalım:

Ön not: Daha önce de söylediğim gibi, logaritmik bir denklemdeki tüm ondalık kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmesi daha iyidir:

0,5 = 5/10 = 1/2

Bu gerçeği dikkate alarak denklemimizi yeniden yazalım. Hem 1/1000'in hem de 100'ün on'un kuvvetleri olduğuna dikkat edin ve sonra nerede olurlarsa olsunlar kuvvetleri çıkaralım: argümanlardan ve hatta logaritma tabanından:

Ve burada birçok öğrencinin aklına şu soru geliyor: "Sağdaki modül nereden geldi?" Aslında neden sadece (x − 1) yazmıyorsunuz? Elbette şimdi (x − 1) yazacağız, ancak tanım alanını hesaba katmak bize böyle bir gösterim hakkı veriyor. Sonuçta başka bir logaritma zaten (x - 1) içeriyor ve bu ifadenin sıfırdan büyük olması gerekiyor.

Fakat logaritmanın tabanından kareyi çıkardığımızda modülü tam olarak tabanda bırakmamız gerekir. Nedenini açıklayayım.

Gerçek şu ki, matematiksel açıdan bakıldığında derece almak, kök almakla eşdeğerdir. Özellikle (x − 1) 2 ifadesinin karesini aldığımızda aslında ikinci kökü almış oluyoruz. Ancak karekök bir modülden başka bir şey değildir. Kesinlikle modülçünkü x − 1 ifadesi negatif olsa bile karesi alındığında "eksi" yine de sönecektir. Kökün daha fazla çıkarılması bize herhangi bir eksi olmadan pozitif bir sayı verecektir.

Genel olarak, saldırgan hatalar yapmaktan kaçınmak için şunu bir kez ve tamamen hatırlayın:

Aynı kuvvete yükseltilmiş herhangi bir fonksiyonun eşit kuvvetinin kökü, fonksiyonun kendisine değil modülüne eşittir:

Logaritmik denklemimize dönelim. Modülden bahsederken acısız bir şekilde çıkarabileceğimizi savundum. Bu doğru. Şimdi nedenini açıklayacağım. Açıkçası iki seçeneği göz önünde bulundurmak zorunda kaldık:

x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x - 1
x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Bu seçeneklerin her birinin ele alınması gerekecektir. Ancak bir sorun var: orijinal formül zaten herhangi bir modül olmadan (x − 1) fonksiyonunu içeriyor. Logaritmanın tanım alanına göre, hemen x − 1 > 0 yazma hakkına sahibiz.

Çözüm sürecinde gerçekleştirdiğimiz modüller ve diğer dönüşümlerden bağımsız olarak bu gereksinimin karşılanması gerekmektedir. Bu nedenle ikinci seçeneği düşünmenin bir anlamı yok - asla ortaya çıkmayacak. Eşitsizliğin bu dalını çözerken bazı sayılar elde etsek bile, bunlar yine de nihai cevaba dahil edilmeyecektir.

Artık logaritmik denklemin kanonik formundan kelimenin tam anlamıyla bir adım uzaktayız. Birimi şu şekilde temsil edelim:

1 = log x - 1 (x - 1) 1

Ek olarak sağdaki −4 faktörünü de argümana dahil ediyoruz:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var. Logaritma işaretinden kurtuluyoruz:

10 −4 = x − 1

Ancak taban bir fonksiyon olduğundan (asal sayı değil), ayrıca bu fonksiyonun sıfırdan büyük olmasını ve bire eşit olmamasını da isteriz. Ortaya çıkacak sistem şu şekilde olacaktır:

x − 1 > 0 şartı otomatik olarak karşılandığı için (sonuçta x − 1 = 10 −4), eşitsizliklerden biri sistemimizden silinebilir. İkinci koşulun da üzeri çizilebilir çünkü x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

Bu, logaritmanın tanım alanının tüm gereksinimlerini otomatik olarak karşılayan tek köktür (ancak, sorunumuzun koşullarında açıkça yerine getirildiği için tüm gereksinimler elenmiştir).

Yani ikinci denklem:

3 günlük 3 x x = 2 günlük 9 x x 2

Bu denklem öncekinden temel olarak nasıl farklı? Keşke logaritmanın tabanları - 3x ve 9x - birbirlerinin doğal kuvvetleri olmadığı için. Bu nedenle önceki çözümde kullandığımız geçiş mümkün değildir.

En azından derecelerden kurtulalım. Bizim durumumuzda tek derece ikinci argümandadır:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

Ancak x değişkeni de tabanda olduğundan modül işareti kaldırılabilir. x > 0 ⇒ |x| = x. Logaritmik denklemimizi yeniden yazalım:

3 günlük 3 x x = 4 günlük 9 x x

Argümanların aynı olduğu ancak tabanların farklı olduğu logaritmalar elde ettik. Sonra ne yapacağız? Burada pek çok seçenek var, ancak bunlardan yalnızca ikisini ele alacağız; bunlar en mantıklı ve en önemlisi bunlar çoğu öğrenci için hızlı ve anlaşılır tekniklerdir.

İlk seçeneği zaten düşündük: belirsiz bir durumda, değişken tabanlı logaritmaları sabit bir tabana dönüştürün. Örneğin, bir ikiliye. Geçiş formülü basittir:

Elbette c değişkeninin rolü normal bir sayı olmalıdır: 1 ≠ c > 0. Bizim durumumuzda c = 2 olsun. Şimdi önümüzde sıradan bir kesirli rasyonel denklem var. Soldaki tüm unsurları topluyoruz:

Açıkçası, hem birinci hem de ikinci kesirlerde mevcut olduğundan log 2 x faktörünü kaldırmak daha iyidir.

log 2 x = 0;

3 günlük 2 9x = 4 günlük 2 3x

Her günlüğü iki terime ayırıyoruz:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

günlük 2 3x = günlük 2 3 + günlük 2 x

Bu gerçekleri dikkate alarak eşitliğin her iki tarafını da yeniden yazalım:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x)

6 günlük 2 3 + 3 günlük 2 x = 4 günlük 2 3 + 4 günlük 2 x

2 günlük 2 3 = günlük 2 x

Şimdi geriye kalan tek şey logaritmanın işaretinin altına ikiyi girmek (kuvvet haline dönüşecek: 3 2 = 9):

günlük 2 9 = günlük 2 x

Önümüzde klasik kanonik form var, logaritma işaretinden kurtulup şunu elde ediyoruz:

Beklendiği gibi bu kökün sıfırdan büyük olduğu ortaya çıktı. Geriye tanım alanını kontrol etmek kalıyor. Sebeplerine bakalım:

Ancak kök x = 9 bu gereksinimleri karşılar. Bu nedenle nihai karardır.

Sonuç bu karar basit: uzun düzenlerden korkmayın! Sadece başlangıçta rastgele yeni bir üs seçtik ve bu, süreci önemli ölçüde karmaşıklaştırdı.

Ama sonra şu soru ortaya çıkıyor: Hangi temel? en uygun? İkinci yöntemde bundan bahsedeceğim.

Orijinal denklemimize geri dönelim:

3 günlük 3x x = 2 günlük 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| =x

3 günlük 3 x x = 4 günlük 9 x x

Şimdi biraz düşünelim: Hangi sayı veya fonksiyon olacak? optimal temel? Açıkça görülüyor ki en iyi seçenek c = x olacak - zaten argümanlarda olan şey. Bu durumda log a b = log c b /log c a formülü şu şekli alacaktır:

Başka bir deyişle ifade basitçe tersine çevrilir. Bu durumda argüman ve temel yer değiştirir.

Bu formül çok faydalıdır ve karmaşık logaritmik denklemlerin çözümünde sıklıkla kullanılır. Ancak bu formülü kullanırken çok ciddi bir tuzak var. Taban yerine x değişkenini değiştirirsek, daha önce gözlemlenmeyen kısıtlamalar uygulanır:

Orijinal denklemde böyle bir sınırlama yoktu. Bu nedenle x = 1 durumunu ayrıca kontrol etmeliyiz. Bu değeri denklemimizde yerine koyalım:

3 günlük 3 1 = 4 günlük 9 1

Doğru sayısal eşitliği elde ederiz. Bu nedenle x = 1 bir köktür. Önceki yöntemde tam olarak aynı kökü çözümün en başında bulduk.

Ancak şimdi bu özel durumu ayrı ayrı ele aldığımıza göre, x ≠ 1 olduğunu rahatlıkla varsayabiliriz. O zaman logaritmik denklemimiz aşağıdaki biçimde yeniden yazılacaktır:

3 günlük x 9x = 4 günlük x 3x

Öncekiyle aynı formülü kullanarak her iki logaritmayı genişletiyoruz. Log x x = 1 olduğuna dikkat edin:

3 (log x 9 + log x x) = 4 (log x 3 + log x x)

3 günlük x 9 + 3 = 4 günlük x 3 + 4

3 günlük x 3 2 − 4 günlük x 3 = 4 − 3

2 günlük x 3 = 1

Böylece kanonik forma geldik:

günlük x 9 = günlük x x 1

x=9

İkinci kökü elde ettik. x ≠ 1 koşulunu karşılıyor. Bu nedenle, x = 1 ile birlikte x = 9 son cevaptır.

Gördüğünüz gibi hesaplamaların hacmi biraz azaldı. Ancak gerçek bir logaritmik denklemi çözerken adım sayısı çok daha az olacaktır çünkü her adımı bu kadar ayrıntılı açıklamanıza gerek yoktur.

Bugünkü dersin temel kuralı şudur: Eğer problem, aynı derecenin kökünün çıkarıldığı çift dereceli bir derece içeriyorsa, o zaman çıktı bir modül olacaktır. Ancak logaritmanın tanım alanına dikkat edilirse bu modül kaldırılabilir.

Ancak dikkatli olun: Bu dersten sonra çoğu öğrenci her şeyi anladığını düşünür. Ancak gerçek problemleri çözerken mantıksal zincirin tamamını yeniden üretemezler. Sonuç olarak denklem gereksiz kökler edinir ve cevabın yanlış olduğu ortaya çıkar.

Cebir 11. sınıf

Konu: “Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri”

Dersin Hedefleri:

eğitici: hakkında bilgi oluşturmak farklı yollarla Logaritmik denklemleri çözme, bunları her denklemde uygulama becerisi özel durum ve çözmek için herhangi bir yöntemi seçin;

gelişmekte: bilgiyi gözlemleme, karşılaştırma, yeni bir durumda uygulama, kalıpları belirleme, genelleme becerilerinin geliştirilmesi; karşılıklı kontrol ve öz kontrol becerilerini geliştirmek;

eğitici: eğitim çalışmalarına karşı sorumlu bir tutum geliştirmek, dersteki materyalin dikkatli algılanması, dikkatli not alma.

Ders türü : yeni materyalin tanıtılması dersi.

"Logaritmanın icadı gökbilimcinin işini azaltırken ömrünü uzattı."
Fransız matematikçi ve gökbilimci P.S. Laplace

Dersler sırasında

I. Dersin hedefini belirlemek

Logaritmanın incelenen tanımı, logaritmanın özellikleri ve logaritmik fonksiyon, logaritmik denklemleri çözmemize olanak sağlayacaktır. Tüm logaritmik denklemler, ne kadar karmaşık olursa olsun, tek tip algoritmalar kullanılarak çözülür. Bugünkü dersimizde bu algoritmalara bakacağız. Birçoğu yok. Eğer bunlara hakim olursanız, logaritmalı herhangi bir denklem her biriniz için mümkün olacaktır.

Dersin konusunu not defterinize yazın: “Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri.” Herkesi işbirliğine davet ediyorum.

II. Referans bilgilerinin güncellenmesi

Dersin konusunu çalışmaya hazırlanalım. Her görevi çözer ve cevabını yazarsınız; koşulu yazmanıza gerek yoktur. Çiftler halinde çalışın.

1) Fonksiyon hangi x değerleri için anlamlıdır:

(Cevaplar her slaytta kontrol edilir ve hatalar sıralanır)

2) Fonksiyonların grafikleri çakışıyor mu?

a) y = x ve

B)Ve

3) Eşitlikleri logaritmik eşitlikler olarak yeniden yazın:

4) Sayıları 2 tabanına göre logaritma olarak yazın:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Hesapla :

6) Bu eşitliklerdeki eksik unsurları onarmaya veya tamamlamaya çalışın.

III. Yeni malzemeye giriş

Ekranda aşağıdaki ifade görüntülenir:

“Denklem, tüm matematik susamlarını açan altın anahtardır.”
Modern Polonyalı matematikçi S. Kowal

Logaritmik bir denklemin tanımını formüle etmeye çalışın. (Logaritma işareti altında bilinmeyen içeren denklem ).

Hadi düşünelimen basit logaritmik denklem: kayıt A x = b (burada a>0, a ≠ 1). Logaritmik fonksiyon pozitif sayılar kümesinde arttığından (veya azaldığından) ve tüm değerleri aldığından gerçek değerler o zaman kök teoremine göre, herhangi bir b için bu denklemin sadece bir çözümü vardır ve pozitif bir çözüme sahiptir.

Logaritmanın tanımını hatırlayın. (Bir x sayısının a tabanına göre logaritması, x sayısını elde etmek için a tabanının yükseltilmesi gereken kuvvetin bir göstergesidir ). Logaritmanın tanımından hemen şu sonuç çıkar:A V böyle bir çözümdür.

Başlığı yazın:Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri

1. Logaritmanın tanımı gereği .

Formun en basit denklemleri bu şekilde çözülür.

Hadi düşünelim514(a) Sayısı ): Denklemi çözün

Bunu nasıl çözmeyi öneriyorsunuz? (Logaritmanın tanımı gereği )

Çözüm . , Dolayısıyla 2x – 4 = 4; x = 4.

Cevap: 4.

Bu görevde 2x – 4 > 0, çünkü> 0 olduğundan yabancı kökler görünmez vekontrol etmeye gerek yok . Bu görevde 2x – 4 > 0 koşulunu yazmaya gerek yoktur.

2. Potansiyelleştirme (belirli bir ifadenin logaritmasından bu ifadenin kendisine geçiş).

Hadi düşünelim519(g): kayıt 5 ( X 2 +8)- kayıt 5 ( X+1)=3 kayıt 5 2

Hangi özelliği fark ettiniz?(Tabanlar aynıdır ve iki ifadenin logaritmaları eşittir) . Ne yapılabilir?(Güçlendirin).

Logaritmik ifadelerin pozitif olduğu tüm x'ler arasında herhangi bir çözümün yer aldığı dikkate alınmalıdır.

Çözüm: ODZ:

X 2 +8>0 gereksiz eşitsizlik

kayıt 5 ( X 2 +8) = kayıt 5 2 3 + kayıt 5 ( X+1)

kayıt 5 ( X 2 +8)= kayıt 5 (8 X+8)

Orijinal denklemin potansiyelini artıralım

X 2 +8= 8 X+8

denklemi elde ederizX 2 +8= 8 X+8

Hadi çözelim:X 2 -8 X=0

x=0, x=8

Cevap: 0; 8

Genel olarakeşdeğer bir sisteme geçiş :

Denklem

(Sistem gereksiz bir koşul içeriyor - eşitsizliklerden birinin dikkate alınmasına gerek yok).

Sınıf için soru : Bu üç çözümden hangisini en çok beğendiniz? (Yöntemlerin tartışılması).

Her şekilde karar verme hakkına sahipsiniz.

3. Yeni bir değişkenin tanıtılması .

Hadi düşünelim520(g) . .

Ne fark ettin? (Bu log3x'e göre ikinci dereceden bir denklemdir) Sizin önerileriniz? (Yeni bir değişken tanıtın)

Çözüm . ODZ: x > 0.

İzin vermeko zaman denklem şu şekli alacaktır:. Diskriminant D > 0. Vieta teoremine göre kökler:.

Değiştirme konusuna geri dönelim:veya.

En basit logaritmik denklemleri çözdükten sonra şunu elde ederiz:

; .

Cevap : 27;

4. Denklemin her iki tarafının logaritması.

Denklemi çözün:.

Çözüm : ODZ: x>0, denklemin her iki tarafının 10 tabanında logaritmasını alalım:

. Bir kuvvetin logaritması özelliğini uygulayalım:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

logx = y olsun, o zaman (y + 3)y = 4

, (D > 0) kökleri Vieta teoremine göre: y1 = -4 ve y2 = 1.

Değiştirmeye geri dönelim ve şunu elde ederiz: lgx = -4,; logx = 1,. . Aşağıdaki gibidir: işlevlerden biri ise y = f(x) artar, diğeri y = g(x) X aralığında azalırsa denklem f(x)= g(x) X aralığında en fazla bir kökü vardır .

Bir kök varsa tahmin edilebilir. .

Cevap : 2

« Doğru kullanım yöntemler öğrenilebilir
yalnızca bunları çeşitli örneklere uygulayarak.
Danimarkalı matematik tarihçisi G. G. Zeiten

BEN V. Ev ödevi

S. 39 örnek 3'ü ele alın, çözün No. 514(b), No. 529(b), No. 520(b), No. 523(b)

V. Dersin özetlenmesi

Derste logaritmik denklemleri çözmenin hangi yöntemlerine baktık?

Sonraki derslerde daha fazlasına bakacağız karmaşık denklemler. Bunları çözmek için çalışılan yöntemler faydalı olacaktır.

Gösterilen son slayt:

“Dünyada her şeyden daha fazla olan şey nedir?
Uzay.
En akıllıca şey nedir?
Zaman.
En iyi kısmı nedir?
İstediğinizi başarın."
Thales

Herkesin istediğini elde etmesini diliyorum. İşbirliğiniz ve anlayışınız için teşekkür ederiz.

ana özellikler.

logax + logay = loga(x y);
logax – logay = loga (x: y).

aynı gerekçeler

Log6 4 + log6 9.

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım.

Logaritma çözme örnekleri

Ya bir logaritmanın tabanı veya argümanı bir kuvvet ise? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Elbette tüm bu kurallar, logaritmanın ODZ'sine uyulduğu takdirde anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x >

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Yeni bir temele geçiş

Logaritmanın logax'ı verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Ayrıca bakınız:

Logaritmanın temel özellikleri

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Üs 2,718281828…. Üssü hatırlamak için kuralı inceleyebilirsiniz: üs 2,7'ye eşittir ve Leo Nikolaevich Tolstoy'un doğum yılının iki katıdır.

Logaritmanın temel özellikleri

Bu kuralı bilerek, bileceksiniz ve Kesin değer katılımcılar ve Leo Tolstoy'un doğum tarihi.

Logaritma örnekleri

Logaritma ifadeleri

Örnek 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 özelliklerini kullanarak hesaplıyoruz

4. Nerede .

Örnek 2. Eğer x'i bulun

Örnek 3. Logaritmanın değeri verilsin

Log(x)'i hesaplayın, eğer

Logaritmanın temel özellikleri

Logaritmalar da diğer sayılar gibi her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar tam olarak sıradan sayılar olmadığından burada kurallar vardır. ana özellikler.

Bu kuralları kesinlikle bilmeniz gerekir - onlar olmadan tek bir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca bunlardan çok azı var - her şeyi bir günde öğrenebilirsiniz. Öyleyse başlayalım.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı düşünün: logax ve logay. Daha sonra bunlar eklenebilir ve çıkarılabilir ve:

logax + logay = loga(x y);
logax – logay = loga (x: y).

Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Not: önemli an Burada - aynı gerekçeler. Sebepler farklıysa bu kurallar işe yaramaz!

Bu formüller, tek tek parçaları dikkate alınmasa bile logaritmik bir ifadeyi hesaplamanıza yardımcı olacaktır (“Logaritma nedir” dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve şunu görün:

Logaritmaların tabanları aynı olduğundan toplam formülünü kullanırız:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Görev. İfadenin değerini bulun: log2 48 − log2 3.

Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Görev. İfadenin değerini bulun: log3 135 − log3 5.

Tabanlar yine aynı olduğundan elimizde:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı olarak hesaplanmayan “kötü” logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra tamamen normal sayılar elde edilir. Birçoğu bu gerçek üzerine inşa edilmiştir sınav kağıtları. Evet, Birleşik Devlet Sınavında test benzeri ifadeler tüm ciddiyetiyle (bazen neredeyse hiç değişiklik yapılmadan) sunulmaktadır.

Üslü logaritmadan çıkarma

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Elbette, logaritmanın ODZ'sine uyulursa tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi şekilde uygulamayı öğrenin. yani Logaritma işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz. En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Görev. İfadenin değerini bulun: log7 496.

İlk formülü kullanarak argümandaki dereceden kurtulalım:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Paydanın, tabanı ve argümanının tam kuvvetleri olan bir logaritma içerdiğine dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. Elimizde:

Son örneğin biraz açıklama gerektirdiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece paydayla çalışıyoruz.

Logaritma formülleri. Logaritma örnek çözümleri.

Orada duran logaritmanın temelini ve argümanını kuvvetler şeklinde sunduk ve üsleri çıkardık - “üç katlı” bir kesir elde ettik.

Şimdi ana kesirlere bakalım. Pay ve payda aynı sayıyı içerir: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dörtlü paya aktarılabilir ki yapılan da budur. Sonuç şuydu: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsederken bunların sadece aynı tabanlarla çalıştığını özellikle vurguladım. Peki ya sebepler farklıysa? Ya aynı sayının tam kuvvetleri değilse?

Yeni bir vakfa geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Bunları bir teorem şeklinde formüle edelim:

Logaritmanın logax'ı verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle c = x değerini ayarlarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanı ve argümanının değiştirilebileceği anlaşılmaktadır, ancak bu durumda ifadenin tamamı "tersine çevrilmiştir", yani. logaritma paydada görünür.

Bu formüllere sıradan sayısal ifadelerde nadiren rastlanır. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklem ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyen sorunlar var. Bunlardan birkaçına bakalım:

Görev. İfadenin değerini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritmanın argümanlarının tam güçler içerdiğini unutmayın. Göstergeleri çıkaralım: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı “tersine çevirelim”:

Faktörleri yeniden düzenlerken çarpım değişmediğinden, sakince dört ve ikiyi çarptık ve ardından logaritmalarla uğraştık.

Görev. İfadenin değerini bulun: log9 100 lg 3.

Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam kuvvetlerdir. Bunu bir kenara yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Çoğu zaman çözüm sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritması olarak gösterilmesi gerekir. Bu durumda aşağıdaki formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı argümandaki üs haline gelir. N sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir çünkü bu yalnızca bir logaritma değeridir.

İkinci formül aslında başka kelimelerle ifade edilmiş bir tanımdır. Buna şöyle denir: .

Aslında b sayısının b kuvveti bu kuvvete a sayısını verecek kadar yükseltilirse ne olur? Doğru: sonuç aynı a sayısıdır. Bu paragrafı dikkatlice tekrar okuyun; birçok kişi buna takılıp kalıyor.

Yeni bir tabana geçiş formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik de bazen mümkün olan tek çözümdür.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

log25 64 = log5 8 - basitçe tabandan ve logaritmanın argümanından kareyi aldığını unutmayın. Aynı tabanla kuvvetleri çarpma kurallarını hesaba katarsak şunu elde ederiz:

Bilmeyen varsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi :)

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması pek mümkün olmayan iki kimlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak sorunlarla karşılaşıyorlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri düzey" öğrenciler için bile sorunlar yaratıyorlar.

logaa = 1'dir. Bir kere şunu unutmayın: o tabanın herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
loga 1 = 0'dır. A tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir içeriyorsa logaritma sıfıra eşittir! Çünkü a0 = 1 tanımın doğrudan sonucudur.

Tüm özellikler bu kadar. Bunları uygulamaya koymayı unutmayın! Dersin başındaki kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.

Ayrıca bakınız:

b'nin a tabanına göre logaritması ifadeyi belirtir. Logaritmayı hesaplamak, eşitliğin sağlandığı x () kuvvetini bulmak anlamına gelir

Logaritmanın temel özellikleri

Logaritmalarla ilgili hemen hemen tüm problemler ve örnekler temel alınarak çözüldüğü için yukarıdaki özellikleri bilmek gerekir. Egzotik özelliklerin geri kalanı bu formüllerle matematiksel manipülasyonlar yoluyla elde edilebilir.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Logaritmaların toplamı ve farkı formülünü (3.4) hesaplarken oldukça sık karşılaşırsınız. Geri kalanı biraz karmaşıktır ancak bazı görevlerde karmaşık ifadeleri basitleştirmek ve değerlerini hesaplamak için vazgeçilmezdirler.

Yaygın logaritma durumları

Yaygın logaritmalardan bazıları, tabanın on, üstel veya iki olduğu logaritmalardır.
On tabanına göre logaritmaya genellikle ondalık logaritma denir ve basitçe lg(x) ile gösterilir.

Kayıtta esasların yazılmadığı kayıttan anlaşılıyor. Örneğin

Doğal logaritma, tabanı bir üs olan (ln(x) ile gösterilir) bir logaritmadır.

Üs 2,718281828…. Üssü hatırlamak için kuralı inceleyebilirsiniz: üs 2,7'ye eşittir ve Leo Nikolaevich Tolstoy'un doğum yılının iki katıdır. Bu kuralı bildiğinizde hem üssün tam değerini hem de Leo Tolstoy'un doğum tarihini bileceksiniz.

Ve ikinci tabanın bir diğer önemli logaritması şu şekilde gösterilir:

Bir fonksiyonun logaritmasının türevi, birin değişkene bölünmesine eşittir

İntegral veya ters türev logaritması ilişkiyle belirlenir.

Verilen materyal, logaritma ve logaritmalarla ilgili çok çeşitli problemleri çözmeniz için yeterlidir. Materyali anlamanıza yardımcı olmak için, sadece birkaç yaygın örnek vereceğim. Okul müfredatı ve üniversiteler.

Logaritma örnekleri

Logaritma ifadeleri

Örnek 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 özelliklerini kullanarak hesaplıyoruz

2.
Logaritmanın farkının özelliği ile elimizdeki

3.
Bulduğumuz özellikler 3.5'i kullanarak

4. Nerede .

Görünüşte karmaşık bir ifade, bir dizi kural kullanılarak basitleştirilerek oluşturulur

Logaritma değerlerini bulma

Örnek 2. Eğer x'i bulun

Çözüm. Hesaplama için son terim 5 ve 13'ün özelliklerine başvuruyoruz.

Bunu kayda geçirdik ve yas tuttuk

Tabanlar eşit olduğundan ifadeleri eşitliyoruz

Logaritmalar. İlk seviye.

Logaritmanın değeri verilsin

Log(x)'i hesaplayın, eğer

Çözüm: Değişkenin logaritmasını alarak terimlerinin toplamı üzerinden logaritmasını yazalım.

Bu, logaritmalar ve özellikleriyle tanışmamızın sadece başlangıcıdır. Hesaplamalar yapın, pratik becerilerinizi zenginleştirin; yakında logaritmik denklemleri çözmek için edindiğiniz bilgilere ihtiyacınız olacak. Bu tür denklemleri çözmenin temel yöntemlerini inceledikten sonra, bilginizi eşit derecede önemli başka bir konuya, logaritmik eşitsizliklere genişleteceğiz...

Logaritmanın temel özellikleri

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı düşünün: logax ve logay. Daha sonra bunlar eklenebilir ve çıkarılabilir ve:

logax + logay = loga(x y);
logax – logay = loga (x: y).

Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta aynı gerekçeler. Sebepler farklıysa bu kurallar işe yaramaz!

Görev. İfadenin değerini bulun: log6 4 + log6 9.

Logaritmaların tabanları aynı olduğundan toplam formülünü kullanırız:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Görev. İfadenin değerini bulun: log2 48 − log2 3.

Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Görev. İfadenin değerini bulun: log3 135 − log3 5.

Tabanlar yine aynı olduğundan elimizde:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı olarak hesaplanmayan “kötü” logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra tamamen normal sayılar elde edilir. Birçok test bu gerçeğe dayanmaktadır. Evet, Birleşik Devlet Sınavında test benzeri ifadeler tüm ciddiyetiyle (bazen neredeyse hiç değişiklik yapılmadan) sunulmaktadır.

Üslü logaritmadan çıkarma

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya bir logaritmanın tabanı veya argümanı bir kuvvet ise? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Logaritmalar nasıl çözülür?

En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Görev. İfadenin değerini bulun: log7 496.

İlk formülü kullanarak argümandaki dereceden kurtulalım:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Paydanın, tabanı ve argümanının tam kuvvetleri olan bir logaritma içerdiğine dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. Elimizde:

Son örneğin biraz açıklama gerektirdiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece paydayla çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın temelini ve argümanını kuvvetler şeklinde sunduk ve üsleri çıkardık - “üç katlı” bir kesir elde ettik.

Yeni bir temele geçiş

Yeni bir vakfa geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Bunları bir teorem şeklinde formüle edelim:

Logaritmanın logax'ı verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle c = x değerini ayarlarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanı ve argümanının değiştirilebileceği anlaşılmaktadır, ancak bu durumda ifadenin tamamı "tersine çevrilmiştir", yani. logaritma paydada görünür.

Bu formüllere sıradan sayısal ifadelerde nadiren rastlanır. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklem ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyen sorunlar var. Bunlardan birkaçına bakalım:

Görev. İfadenin değerini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritmanın argümanlarının tam güçler içerdiğini unutmayın. Göstergeleri çıkaralım: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı “tersine çevirelim”:

Faktörleri yeniden düzenlerken çarpım değişmediğinden, sakince dört ve ikiyi çarptık ve ardından logaritmalarla uğraştık.

Görev. İfadenin değerini bulun: log9 100 lg 3.

Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam kuvvetlerdir. Bunu bir kenara yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Çoğu zaman çözüm sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritması olarak gösterilmesi gerekir. Bu durumda aşağıdaki formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı argümandaki üs haline gelir. N sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir çünkü bu yalnızca bir logaritma değeridir.

İkinci formül aslında başka kelimelerle ifade edilmiş bir tanımdır. Buna şöyle denir: .

Yeni bir tabana geçiş formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik de bazen mümkün olan tek çözümdür.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

log25 64 = log5 8 - basitçe tabandan ve logaritmanın argümanından kareyi aldığını unutmayın. Aynı tabanla kuvvetleri çarpma kurallarını hesaba katarsak şunu elde ederiz:

Bilmeyen varsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi :)

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

logaa = 1'dir. Bir kere şunu unutmayın: o tabanın herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
loga 1 = 0'dır. A tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir içeriyorsa logaritma sıfıra eşittir! Çünkü a0 = 1 tanımın doğrudan sonucudur.

Tüm özellikler bu kadar. Bunları uygulamaya koymayı unutmayın! Dersin başındaki kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.

Hepimiz denklemlere aşinayız birincil sınıflar. Orada en basit örnekleri çözmeyi de öğrendik ve bunların yüksek matematikte bile uygulamalarını bulduklarını kabul etmeliyiz. İkinci dereceden denklemler de dahil olmak üzere denklemlerle her şey basittir. Bu konu ile ilgili sorun yaşıyorsanız mutlaka incelemenizi öneririz.

Muhtemelen zaten logaritmalardan da geçmişsinizdir. Ancak henüz bilmeyenler için ne olduğunu anlatmanın önemli olduğunu düşünüyoruz. Logaritma, logaritma işaretinin sağındaki sayıyı elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken kuvvete eşittir. Her şeyin sizin için netleşeceği bir örnek verelim.

3'ün dördüncü üssünü çıkarırsanız 81 elde edersiniz. Şimdi sayıları benzetmeyle değiştirin ve sonunda logaritmanın nasıl çözüldüğünü anlayacaksınız. Şimdi geriye kalan tek şey tartışılan iki kavramı birleştirmektir. Başlangıçta durum son derece karmaşık görünüyor, ancak daha yakından incelendiğinde ağırlık yerine oturuyor. Bu kısa makaleden sonra Birleşik Devlet Sınavının bu bölümünde sorun yaşamayacağınızdan eminiz.

Bugün çözmenin birçok yolu var benzer tasarımlar. Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde size en basit, en etkili ve en uygulanabilir olanı anlatacağız. Logaritmik denklemlerin çözümü en baştan başlamalıdır. basit örnek. En basit logaritmik denklemler bir fonksiyon ve onun içindeki bir değişkenden oluşur.

X'in argümanın içinde olduğuna dikkat etmek önemlidir. A ve b sayı olmalıdır. Bu durumda, fonksiyonu bir sayının bir üssü cinsinden basitçe ifade edebilirsiniz. Şuna benziyor.

Elbette bu yöntemi kullanarak logaritmik bir denklem çözmek sizi doğru cevaba götürecektir. Bu durumda öğrencilerin büyük çoğunluğunun sorunu neyin nereden geldiğini anlamamalarıdır. Sonuç olarak hatalara katlanmak ve istediğiniz puanları alamamak zorunda kalıyorsunuz. En rahatsız edici hata, harfleri karıştırmanız olacaktır. Denklemi bu şekilde çözmek için bu standart okul formülünü ezberlemeniz gerekir çünkü anlaşılması zordur.

Bunu kolaylaştırmak için başka bir yönteme (kanonik form) başvurabilirsiniz. Fikir son derece basit. Dikkatinizi tekrar soruna çevirin. A harfinin bir fonksiyon veya değişken değil, bir sayı olduğunu unutmayın. A bire eşit değildir ve sıfırdan büyüktür. b'de herhangi bir kısıtlama yoktur. Şimdi tüm formüllerden birini hatırlayalım. B aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

Bundan, logaritmalı tüm orijinal denklemlerin şu şekilde temsil edilebileceği sonucu çıkar:

Artık logaritmaları bırakabiliriz. Bu işe yarayacak basit tasarım bunu daha önce de görmüştük.

Bu formülün rahatlığı çoğu durumda kullanılabilmesidir. farklı durumlar ve yalnızca en basit tasarımlar için değil.

OOF'u dert etmeyin!

Birçok deneyimli matematikçi tanım alanına dikkat etmediğimizi fark edecektir. Kural, F(x)'in zorunlu olarak 0'dan büyük olduğu gerçeğine dayanmaktadır. Hayır, bu noktayı gözden kaçırmadık. Şimdi kanonik formun bir başka ciddi avantajından bahsediyoruz.

Burada fazladan kök olmayacak. Bir değişken yalnızca tek bir yerde görünecekse kapsam gerekli değildir. Otomatik olarak yapılır. Bu yargıyı doğrulamak için birkaç basit örneği çözmeyi deneyin.

Farklı tabanlara sahip logaritmik denklemler nasıl çözülür?

Bunlar zaten karmaşık logaritmik denklemlerdir ve bunları çözme yaklaşımının özel olması gerekir. Burada kendimizi kötü şöhretli kanonik biçimle sınırlamak nadiren mümkündür. Haydi başlayalım detaylı hikaye. Aşağıdaki yapıya sahibiz.

Fraksiyona dikkat edin. Logaritmayı içerir. Bunu bir görevde görürseniz, ilginç bir numarayı hatırlamaya değer.

Bu ne anlama geliyor? Her logaritma, uygun bir tabana sahip iki logaritmanın bölümü olarak temsil edilebilir. Ve bu formülün bu örnekte geçerli olan özel bir durumu vardır (c=b'yi kastediyoruz).

Bu tam olarak örneğimizde gördüğümüz kesirdir. Böylece.

Esasen kesri tersine çevirdik ve daha uygun bir ifade elde ettik. Bu algoritmayı unutmayın!

Artık logaritmik denklemin farklı tabanlar içermemesi gerekiyor. Tabanı kesir olarak temsil edelim.

Matematikte bir tabandan derece elde edebileceğiniz bir kural vardır. Aşağıdaki inşaat sonuçları.

Görünüşe göre bizi şimdi ifademizi kanonik forma dönüştürmekten ve basitçe çözmekten alıkoyan ne? O kadar basit değil. Logaritma öncesinde kesir olmamalıdır. Bu durumu düzeltelim! Bir kesirin derece olarak kullanılmasına izin verilir.

Sırasıyla.

Tabanlar aynıysa logaritmaları kaldırabilir ve ifadeleri eşitleyebiliriz. Bu şekilde durum eskisinden çok daha basit hale gelecektir. Geriye her birimizin 8. hatta 7. sınıfta nasıl çözeceğini bildiği temel bir denklem kalacak. Hesaplamaları kendiniz yapabilirsiniz.

Bu logaritmik denklemin tek gerçek kökünü elde ettik. Logaritmik denklem çözme örnekleri oldukça basit değil mi? Artık Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak ve geçmek için en karmaşık görevleri bile bağımsız olarak halledebileceksiniz.

Sonuç nedir?

Herhangi bir logaritmik denklem durumunda, çok tek bir noktadan başlarız. önemli kural. İfadeyi maksimuma çıkaracak şekilde hareket etmek gerekiyor basit görünüm. Bu durumda, yalnızca görevi doğru bir şekilde çözmekle kalmayacak, aynı zamanda mümkün olan en basit ve en mantıklı şekilde yapma şansınız da artacaktır. Matematikçiler her zaman tam olarak böyle çalışır.

Özellikle bu durumda zor yolları aramanızı kesinlikle önermiyoruz. Birkaçını hatırla Basit kurallar, herhangi bir ifadeyi dönüştürmenize olanak tanır. Örneğin iki veya üç logaritmayı aynı tabana indirgeyin veya tabandan bir kuvvet alın ve bundan kazanın.

Logaritmik denklemleri çözmenin sürekli pratik gerektirdiğini de hatırlamakta fayda var. Yavaş yavaş daha fazlasına geçeceksiniz karmaşık yapılar ve bu sizi Birleşik Devlet Sınavındaki tüm problem çeşitlerini güvenle çözmeye yönlendirecektir. Sınavlarınıza önceden iyi hazırlanın, iyi şanslar!