Herhangi bir üçgen etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapı. Bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur

Bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur? Bu soru her zaman planimetri okuyan okul çocukları için geçerlidir. Aşağıda bu görevle nasıl başa çıkabileceğinize dair birkaç örneğe bakacağız.

Problemin koşullarına göre çemberin yarıçapını bu şekilde bulabilirsiniz.

Formül 1: R = L / 2π, burada L ve π 3,141'e eşit bir sabittir...

Formül 2: R = √(S / π), burada S dairenin alanıdır.

Formül 1: R = B/2, burada B hipotenüstür.

Formül 2: R = M*B, burada B hipotenüstür ve M buna çizilen medyandır.

Düzenli bir çokgen etrafında çevrelenmişse bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur?

Formül: R = A / (2 * sin (360/(2*n))), burada A, şeklin kenarlarından birinin uzunluğu, n ise bu geometrik şeklin kenar sayısıdır.

Yazılı bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur

Çokgenin her tarafına dokunduğunda yazılı daire denir. Birkaç örneğe bakalım.

Formül 1: R = S / (P/2), burada - S ve P sırasıyla şeklin alanı ve çevresidir.

Formül 2: R = (P/2 - A) * tg (a/2), burada P çevre, A kenarlardan birinin uzunluğu ve bu tarafın karşısındaki açıdır.

İçinde yazılıysa bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur? dik üçgen

Formül 1:

Eşkenar dörtgen içine yazılmış bir dairenin yarıçapı

Hem eşkenar hem de eşit olmayan herhangi bir eşkenar dörtgenin içine bir daire yazılabilir.

Formül 1: R = 2 * H, burada H, geometrik şeklin yüksekliğidir.

Formül 2: R = S / (A*2), burada S ve A, kenarının uzunluğudur.

Formül 3: R = √((S * sin A)/4), burada S eşkenar dörtgenin alanıdır ve sin A bu geometrik şeklin dar açısının sinüsüdür.

Formül 4: R = B*G/(√(B² + G²), burada B ve G, geometrik şeklin köşegenlerinin uzunluklarıdır.

Formül 5: R = B*sin (A/2), burada B eşkenar dörtgenin köşegenidir ve A, köşegeni birleştiren köşelerdeki açıdır.

Bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı

Problem ifadesinde şeklin tüm kenarlarının uzunlukları verilmişse, önce (P)'yi ve ardından yarı çevreyi (p) hesaplayın:

P = A+B+C, burada A, B, C geometrik şeklin kenarlarının uzunluklarıdır.

Formül 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

Ve eğer aynı üç tarafı da bilerek size de verilirse, gerekli yarıçapı hesaplayabilirsiniz. Aşağıdaki şekilde.

Formül 2: R = S * 2(A + B + C)

Formül 3: R = S/n = S / (A+B+B)/2), burada - n, geometrik şeklin yarı çevresidir.

Formül 4: R = (n - A) * tan (A/2), burada n üçgenin yarı çevresidir, A kenarlarından biridir ve tg (A/2) açının yarısının tanjantıdır bu tarafın karşısında.

Ve aşağıdaki formül, içinde yazılı olan dairenin yarıçapını bulmanıza yardımcı olacaktır.

Formül 5: R = A * √3/6.

Dik üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı

Sorun bacakların uzunluklarını ve hipotenüsü veriyorsa, yazılı dairenin yarıçapı aşağıdaki gibi belirlenir.

Formül 1: R = (A+B-C)/2, burada A, B kenarlardır, C hipotenüstür.

Size yalnızca iki bacak verilmişse, hipotenüsü bulmak ve yukarıdaki formülü kullanmak için Pisagor teoremini hatırlamanın zamanı gelmiştir.

C = √(A²+B²).

Bir karenin içine yazılan dairenin yarıçapı

Bir karenin içine yazılan dairenin 4 kenarı da temas noktalarında tam olarak ikiye bölünür.

Formül 1: R = A/2, burada A, karenin kenar uzunluğudur.

Formül 2: R = S / (P/2), burada S ve P sırasıyla karenin alanı ve çevresidir.

İhtiyacın olacak

Verilen parametrelere sahip üçgen
Pusula
Cetvel
Kare
Sinüs ve kosinüs tablosu
Matematiksel kavramlar
Bir üçgenin yüksekliğini belirleme
Sinüs ve kosinüs formülleri
Üçgen alan formülü

Talimatlar

İle bir üçgen çizin gerekli parametreler. Bir üçgenin ya üç kenarı ya da iki kenarı ve bunlar arasında bir açı ya da bir kenarı ve iki komşu açısı vardır. Üçgenin köşelerini A, B ve C olarak, açılarını α, β ve γ olarak ve köşelerin karşısındaki kenarları a, b ve c olarak etiketleyin.

Üçgenin her tarafına çizin ve kesişme noktalarını bulun. Yükseklikleri, kenarlar için karşılık gelen indekslerle birlikte h olarak belirtin. Kesişme noktasını bulun ve O olarak etiketleyin. Bu, dairenin merkezi olacaktır. Böylece bu dairenin yarıçapları OA, OB ve OS segmentleri olacaktır.

İki formül kullanarak yarıçapı bulun. Birincisi, önce hesaplamanız gerekir. Üçgenin tüm kenarlarına, açılardan herhangi birinin sinüsünün 2'ye bölünmesiyle eşittir.

Bu durumda çevrelenen dairenin yarıçapı aşağıdaki formülle hesaplanır:

Diğeri için kenarlardan birinin uzunluğu ve karşı açının sinüsü yeterlidir.

Yarıçapı hesaplayın ve üçgenin çevresini tanımlayın.

Yararlı tavsiye

Bir üçgenin yüksekliğinin ne olduğunu hatırlayın. Bu, bir köşeden karşı tarafa çizilen bir diktir.

Bir üçgenin alanı, kenarlardan birinin karesi ile iki bitişik açının sinüslerinin çarpımı, bu açıların toplamının sinüsünün iki katına bölünmesiyle de temsil edilebilir.
S=а2*sinβ*sinγ/2sinγ

Kaynaklar:

çevrelenmiş daire yarıçaplı tablo
Eşkenar etrafında çevrelenmiş bir dairenin yarıçapı

Bir çokgenin tüm köşelerine değmesi durumunda çevrelenmiş olduğu kabul edilir. Dikkat çeken şey, bu merkezin daireçokgenin kenarlarının orta noktalarından çizilen dikmelerin kesişme noktası ile çakışır. Yarıçap tarif edildi daire tamamen etrafında tanımlandığı çokgene bağlıdır.

İhtiyacın olacak

Bir çokgenin kenarlarını ve alanını/çevresini bilin.

Talimatlar

Not

Bir çokgenin etrafına bir daire yalnızca düzenli olması durumunda çizilebilir, yani. tüm kenarları eşittir ve tüm açıları eşittir.
Bir çokgenin çevrelediği dairenin merkezinin onun kesişimi olduğunu belirten tez dik açıortaylar, tüm normal çokgenler için geçerlidir.

Kaynaklar:

çokgenin yarıçapı nasıl bulunur

Bir çokgen için çevrel çember oluşturmak mümkünse, bu çokgenin alanı daha az alan sınırlı daire ama daha fazla alan yazılı daire. Bazı çokgenler için formüllerin bulduğu bilinmektedir. yarıçap yazılı ve çevrelenmiş daireler.

Talimatlar

Çokgenin her tarafına dokunan bir çokgenin içine yazılmış bir daire. Bir üçgen için yarıçap daireler: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, burada p yarı-çevredir; a, b, c - üçgenin kenarları. Formül basitleştirildiği için: r = a/(2*3^1/2), a üçgenin kenarıdır.

Bir çokgenin çevrelediği daire, çokgenin tüm köşelerinin üzerinde bulunduğu bir dairedir. Bir üçgen için yarıçap şu formülle bulunur: R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), burada p yarı çevredir; a, b, c - üçgenin kenarları. Doğru olanı için daha kolay: R = a/3^1/2.

Çokgenler için yazılı yarıçapların oranını ve kenarlarının uzunluklarını bulmak her zaman mümkün değildir. Çoğu zaman çokgenin etrafında bu tür daireler oluşturmakla sınırlıdırlar ve daha sonra fiziksel olarak yarıçap kullanarak çevreler ölçüm aletleri veya vektör uzayı.
Dışbükey bir çokgenin çevrel çemberini oluşturmak için, iki köşesinin ortaortayları oluşturulur; bunların kesişiminde çevrel çemberin merkezi bulunur. Yarıçap, açıortayların kesişme noktasından çokgenin herhangi bir köşesinin tepe noktasına kadar olan mesafe olacaktır. Çokgenin içine inşa edilen dikmelerin kenarlarının merkezlerinden kesiştiği yerde yazılanların merkezi (bu dikmeler ortancadır). Bu tür iki dikin inşa edilmesi yeterlidir. Yazılı daire yarıçapı mesafeye eşit ortanca diklerin kesişme noktasından çokgenin kenarına kadar.

Konuyla ilgili video

Not

Rastgele verilen bir çokgenin içine bir daire çizmek ve onun etrafındaki bir daireyi tanımlamak imkansızdır.

Yararlı tavsiye

a+c = b+d ise bir dörtgen içine bir daire yazılabilir; burada a, b, c, d sırasıyla dörtgenin kenarlarıdır. Karşıt açılarının toplamı 180 dereceye eşitse, bir dörtgenin etrafında bir daire tanımlanabilir;

Bir üçgen için bu tür daireler her zaman mevcuttur.

İpucu 4: Üç kenara dayalı bir üçgenin alanı nasıl bulunur?

Bir üçgenin alanını bulmak okul planimetrisinde en sık karşılaşılan sorunlardan biridir. Bir üçgenin üç kenarını bilmek herhangi bir üçgenin alanını belirlemek için yeterlidir. Özel durumlarda ve eşkenar üçgenler sırasıyla iki ve bir tarafın uzunluklarını bilmek yeterlidir.

İhtiyacın olacak

üçgenlerin kenar uzunlukları, Heron formülü, kosinüs teoremi

Talimatlar

Heron'un üçgenin alanı formülü şu şekildedir: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Yarı çevre p'yi yazarsak şunu elde ederiz: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Örneğin kosinüs teoremini uygulayarak bir üçgenin alanı için bir formül elde edebilirsiniz.

Kosinüs teoremine göre, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Sunulan gösterimler kullanılarak bunlar şu şekilde de yazılabilir: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dolayısıyla cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Bir üçgenin alanı da iki kenar ve aralarındaki açı kullanılarak S = a*c*sin(ABC)/2 formülüyle bulunur. ABC açısının sinüsü, temel denklem kullanılarak ifade edilebilir. trigonometrik özdeşlik: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Alan formülünde sinüsü yerine koyup yazarak ABC üçgeninin alan formülüne ulaşabilirsiniz.

Konuyla ilgili video

Kartezyen koordinat sisteminde bir üçgeni benzersiz şekilde tanımlayan üç nokta, onun köşeleridir. Koordinat eksenlerinin her birine göre konumlarını bilerek, bu düz şeklin, çevresi ile sınırlı olanlar da dahil olmak üzere herhangi bir parametresini hesaplayabilirsiniz. kare. Bu birkaç yolla yapılabilir.

Talimatlar

Alanı hesaplamak için Heron formülünü kullanın üçgen. Şeklin üç tarafının boyutlarını içerir, bu nedenle hesaplamalarınıza ile başlayın. Her bir tarafın uzunluğu, koordinat eksenleri üzerindeki çıkıntılarının uzunluklarının karelerinin toplamının köküne eşit olmalıdır. A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) ve C(X₃,Y₃,Z₃ koordinatlarını gösterirsek, kenar uzunlukları şu şekilde ifade edilebilir: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Hesaplamaları basitleştirmek için yardımcı bir değişken - yarı çevre (P) ekleyin. Bunun tüm kenarların uzunluklarının toplamının yarısı olması gerçeğinden yola çıkarak: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Hesaplamak kare(S) Heron formülünü kullanarak - yarı çevrenin çarpımının kökünü ve bununla her bir kenar uzunluğu arasındaki farkı alın. İÇİNDE Genel görünümşu şekilde yazılabilir: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)² + (Y₁) -Y₂ )² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√((X₁- X₃) ² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).

Pratik hesaplamalar için özel hesap makinelerinin kullanılması uygundur. Bunlar, bazı sitelerin sunucularında barındırılan ve her şeyi yapacak olan komut dosyalarıdır. gerekli hesaplamalar uygun forma girdiğiniz koordinatlara göre. Bu tür tek hizmet, hesaplamaların her adımı için açıklama ve gerekçe sunmamasıdır. Bu nedenle, genel hesaplamalarla değil, yalnızca nihai sonuçla ilgileniyorsanız, örneğin http://planetcalc.ru/218/ sayfasına gidin.

Form alanlarına her köşenin her koordinatını girin üçgen- Ax, Ay, Az vb. olarak buradalar. Üçgen iki boyutlu koordinatlarla belirtilmişse Az, Bz ve Cz alanlarına sıfır yazın. "Hesaplama doğruluğu" alanında, artı veya eksi fareye tıklayarak gerekli ondalık basamak sayısını ayarlayın. Formun altında bulunan turuncu "Hesapla" butonuna basmanıza gerek yoktur, hesaplamalar onsuz yapılacaktır. Cevabı “Alan” yazısının yanında bulacaksınız. üçgen" - turuncu düğmenin hemen altında bulunur.

Kaynaklar:

noktalarda köşeleri olan bir üçgenin alanını bulun

Bazen dışbükey bir çokgenin etrafına, tüm köşelerin köşeleri onun üzerinde olacak şekilde çizebilirsiniz. Çokgene göre böyle bir daireye çevrelenmiş olarak adlandırılmalıdır. O merkez yazılı şeklin çevresi içinde olması gerekmez, ancak açıklanan özelliklerin kullanılması gerekir daire Bu noktayı bulmak genellikle çok zor değildir.

İhtiyacın olacak

Cetvel, kurşun kalem, iletki veya kare, pusula.

Talimatlar

Etrafında bir daire tanımlamanız gereken çokgen kağıda çizilirse, bulmak için merkez ve bir cetvel, kalem ve iletki veya kare ile bir daire yeterlidir. Şeklin herhangi bir tarafının uzunluğunu ölçün, ortasını belirleyin ve çizimde bu yere bir yardımcı nokta yerleştirin. Bir kare veya iletki kullanarak, çokgenin içine karşı kenarla kesişene kadar bu tarafa dik bir parça çizin.

Aynı işlemi çokgenin diğer kenarları için de yapın. Oluşturulan iki bölümün kesişimi istenen nokta olacaktır. Bu, açıklananın ana özelliğinden kaynaklanmaktadır. daire- o merkez herhangi bir kenarı her zaman bu kenarlara çizilen açıortayların kesişme noktasında yer alan dışbükey bir çokgende

Görülüyor ki, her iki tarafta üçgen Ortasından çizilen bir dikme ve bu dikmelerin kesişme noktasını köşelere bağlayan doğru parçaları iki eşit dikdörtgen oluşturur. üçgen. MA, MB, MC segmentleri eşittir.

Size bir üçgen veriliyor. Her iki tarafın ortasını bulun - bir cetvel alın ve kenarlarını ölçün. Ortaya çıkan boyutları ikiye bölün. Her birinin üst kısmından yarısını ayırın. Sonuçları noktalarla işaretleyin.

Her noktadan kenara bir dik çizin. Bu dik doğruların kesişme noktası çevrelenen dairenin merkezi olacaktır. Bir dairenin merkezini bulmak için iki dik nokta yeterlidir. Üçüncüsü kendi kendini test etmek için tasarlanmıştır.

Tüm açıların dar olduğu bir üçgende kesişme noktalarının iç tarafta olduğuna dikkat edin. üçgen. Bir dik üçgende hipotenüs üzerinde yer alır. B – onun dışında. Ayrıca geniş açının karşısındaki kenara dik olan merkeze doğru değildir. üçgen, ve dışarı.

Not

Bir üçgenin kenarları, açıları ve çevrelenen dairenin yarıçapları arasındaki ilişkiyi kuran bir sinüs teoremi vardır. Bu bağımlılık şu formülle ifade edilir: a/sina = b/sinb = с/sinc = 2R, burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır; sina, sinb, sinc – bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri; R, üçgenin etrafında tanımlanabilecek dairenin yarıçapıdır.

Kaynaklar:

bir dörtgenin çevresi nasıl tanımlanır

Tanımlanan tanıma göre daire Belirli bir çokgenin köşelerinin tüm köşelerinden geçmesi gerekir. Bu durumda, ne tür bir çokgen olduğu hiç önemli değil - üçgen, kare, dikdörtgen, yamuk veya başka bir şey. Ayrıca çokgenin düzenli veya düzensiz olması da önemli değildir. Sadece çevresinde çokgenler olduğunu dikkate almanız gerekir. daire tarif edilemez. Her zaman açıklayabilirsin daireüçgenin etrafında. O zaman dörtgenlere gelince daire bir kare veya dikdörtgen veya ikizkenar yamuk etrafında tanımlanabilir.

İhtiyacın olacak

Belirtilen çokgen
Cetvel
Kare
Kalem
Pusula
İletki
Sinüs ve kosinüs tabloları
Matematiksel kavramlar ve formüller
Pisagor teoremi
Sinüs teoremi
Kosinüs teoremi
Üçgenlerin benzerlik belirtileri

Talimatlar

Verilen parametrelerle bir çokgen oluşturun ve etrafını tanımlamanın mümkün olup olmadığı daire. Eğer size bir dörtgen verilmişse, onun karşıt açılarının toplamını hesaplayınız. Her biri 180°'ye eşit olmalıdır.

Tarif etmek daire, yarıçapını hesaplamanız gerekir. Farklı çokgenlerde dairenin merkezinin nerede olduğunu unutmayın. Bir üçgende, belirli bir üçgenin tüm yüksekliklerinin kesişme noktasındadır. Bir kare ve dikdörtgenlerde - köşegenlerin kesişme noktasında, yamuk için - simetri ekseninin kenarların orta noktalarını birleştiren çizgiyle kesişme noktasında ve diğer herhangi bir dışbükey çokgen için - noktada medyanın kenarlara dik kesişimi.

Pisagor teoremini kullanarak bir kare ve bir dikdörtgenin çevrelediği dairenin çapını hesaplayın. Eşit olacak kare kök dikdörtgenin kenarlarının karelerinin toplamından. Tüm kenarları eşit olan bir karenin köşegeni, bir kenarının karesinin iki katının kareköküne eşittir. Çapı 2'ye bölmek yarıçapı verir.

Üçgenin çevre yarıçapını hesaplayın. Üçgenin parametreleri koşullarda belirtildiği için yarıçapı R = a/(2·sinA) formülünü kullanarak hesaplayın; burada a, üçgenin kenarlarından biridir, ? - onun karşısındaki açı. Bu kenar yerine karşı kenarı ve açıyı alabilirsiniz.

Yamuk çevresinde çevrelenen dairenin yarıçapını hesaplayın. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) Bu formülde a ve b, koşullardan bilinen yamuğun tabanları, h yüksekliği, d ise köşegen, p = 1/ 2*(a+d+c) . Eksik değerleri hesaplayın. Yükseklik sinüs veya kosinüs teoremi kullanılarak hesaplanabilir; yamuğun kenarlarının uzunlukları ve açılar koşullarda verilmiştir. Yüksekliği bilerek ve üçgenlerin benzerliklerini dikkate alarak köşegeni hesaplayın. Bundan sonra yukarıdaki formülü kullanarak yarıçapı hesaplamaya devam eder.

Konuyla ilgili video

Yararlı tavsiye

Başka bir çokgenin çevrelediği bir dairenin yarıçapını hesaplamak için bir dizi ek yapı gerçekleştirin. Daha fazla al basit rakamlar parametreleri sizin tarafınızdan bilinen.

İpucu 3: Dar açı ve hipotenüs kullanılarak dik üçgen nasıl çizilir

Bir üçgenin köşelerinden birindeki açı 90° ise buna dik üçgen denir. Bu açının karşısındaki kenara hipotenüs, üçgenin iki dar açısının karşısındaki kenarlara ise bacaklar denir. Hipotenüsün uzunluğu ve bunlardan birinin değeri ise keskin köşeler o zaman bu veri en az iki şekilde bir üçgen oluşturmak için yeterlidir.

İlk seviye

Çevrelenmiş daire. Görsel kılavuz (2019)

Ortaya çıkabilecek ilk soru şudur: Ne anlatılıyor - neyin etrafında?

Aslında bazen herhangi bir şeyin etrafında oluyor ama biz bir üçgenin etrafını saran bir daireden (bazen "hakkında" da diyorlar) bahsedeceğiz. Nedir?

Ve hayal edin, inanılmaz bir olay gerçekleşiyor:

Bu gerçek neden şaşırtıcı?

Ama üçgenler farklıdır!

Ve herkes için içinden geçecek bir daire var her üç zirve boyunca yani sınırlandırılmış daire.

Bunun kanıtı Muhteşem gerçek Teorinin aşağıdaki düzeylerinde bulunabilir, ancak burada yalnızca, örneğin bir dörtgen alırsak, o zaman dört köşeden geçen bir dairenin herkes için olmayacağını not ediyoruz. Örneğin, bir paralelkenar mükemmel bir dörtgendir, ancak dört köşesinin tamamından geçen bir daire yoktur!

Ve sadece bir dikdörtgen için var:

Hadi bakalım, ve her üçgenin her zaman kendi çevrelenmiş dairesi vardır! Hatta bu çemberin merkezini bulmak her zaman oldukça kolaydır.

Bunun ne olduğunu biliyor musun dik açıortay?

Şimdi üçgenin kenarlarına dik olan en fazla üç ortayı düşünürsek ne olacağını görelim.

Görünüşe göre (ve biz kanıtlamasak da tam olarak kanıtlanması gereken şey bu) üç dik doğru da bir noktada kesişiyor. Resme bakın - üç dik açıortayın tümü bir noktada kesişiyor.

Sınırlandırılmış dairenin merkezinin her zaman üçgenin içinde olduğunu mu düşünüyorsunuz? Hayal edin - her zaman değil!

Ama eğer dar açılı, sonra - içeride:

Dik üçgenle ne yapmalı?

Ve ek bir bonusla:

Sınırlandırılmış dairenin yarıçapından bahsettiğimize göre: keyfi bir üçgen için bu neye eşittir? Ve bu sorunun bir cevabı var: sözde .

Yani:

Ve tabi ki,

1. Varoluş ve çember merkezi

Burada şu soru ortaya çıkıyor: Her üçgen için böyle bir daire var mı? Herkes için evet olduğu ortaya çıktı. Üstelik şimdi çevrelenen dairenin merkezinin nerede olduğu sorusuna da cevap veren bir teorem formüle edeceğiz.

Bunun gibi:

Cesur olalım ve bu teoremi kanıtlayalım. "" konusunu zaten okuduysanız ve üç açıortayın neden bir noktada kesiştiğini anladıysanız, o zaman sizin için daha kolay olacaktır, ancak okumadıysanız endişelenmeyin: şimdi çözeceğiz.

İspatı noktaların yeri (GLP) kavramını kullanarak gerçekleştireceğiz.

Peki, örneğin toplar kümesi yuvarlak nesnelerin “geometrik yeri” midir? Hayır, elbette, çünkü yuvarlak... karpuzlar var. Konuşabilen bir grup insan mı, “geometrik bir yer” mi? Hayır, çünkü konuşamayan bebekler de var. Hayatta, gerçek bir "noktaların geometrik konumu" örneğini bulmak genellikle zordur. Geometride daha kolaydır. Örneğin tam olarak ihtiyacımız olan şey şu:

Burada küme dik açıortaydır ve " " özelliği "doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta (bir nokta) olmaktır."

Kontrol edelim mi? Bu nedenle iki şeyden emin olmanız gerekir:

Bir parçanın uçlarından eşit uzaklıkta olan herhangi bir nokta, ona dik açıortay üzerinde bulunur.

C ile c'yi bağlayalım. O halde doğrunun ortancası ve yüksekliği b'dir. Bu, - ikizkenar - dik açıortay üzerinde bulunan herhangi bir noktanın ve noktalarından eşit uzaklıkta olmasını sağladığımız anlamına gelir.

Ortasını alıp birleştirelim ve. Sonuç medyandır. Ancak duruma göre sadece orta kenar ikizkenar değil aynı zamanda yükseklik yani dik açıortaydır. Bu, noktanın tam olarak dik açıortay üzerinde olduğu anlamına gelir.

Tüm! Bu gerçeği tam olarak doğruladık Bir parçanın dik açıortayı, parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki noktaların yeridir.

Bunların hepsi iyi hoş da, çevrelenmiş çemberi unuttuk mu? Hiç de değil, kendimize bir “saldırı için sıçrama tahtası” hazırladık.

Bir üçgen düşünün. Diyelim ki bölümlere iki iki dik dik çizelim ve. Adını vereceğimiz bir noktada kesişecekler.

Şimdi dikkat edin!

Nokta dik açıortayın üzerindedir;
nokta dik açıortay üzerindedir.
Bu da ve demektir.

Bundan birkaç şey çıkar:

İlk olarak nokta, parçaya dik olan üçüncü açıortay üzerinde bulunmalıdır.

Yani, dik açıortayın da noktadan geçmesi gerekir ve üç dik açıortay da bir noktada kesişir.

İkincisi: Merkezi bir noktada ve yarıçapı olan bir daire çizersek, o zaman bu daire de hem noktadan hem de noktadan geçecektir, yani çevrelenmiş bir daire olacaktır. Bu, herhangi bir üçgen için üç dik açıortayın kesişiminin çevrelenen dairenin merkezi olmasının zaten mevcut olduğu anlamına gelir.

Ve son şey: benzersizlik hakkında. Noktanın benzersiz bir şekilde elde edilebileceği (neredeyse) açıktır, dolayısıyla daire benzersizdir. Peki, "neredeyse" ifadesini sizin düşüncenize bırakacağız. Böylece teoremi kanıtladık. “Yaşasın!” diye bağırabilirsiniz.

Peki ya problem "sınırlandırılmış dairenin yarıçapını bulun" diye sorarsa? Veya tam tersi, yarıçap verilmiştir, ancak başka bir şey bulmanız mı gerekiyor? Çevrel dairenin yarıçapını üçgenin diğer elemanlarıyla ilişkilendiren bir formül var mı?

Lütfen dikkat: sinüs teoremi şunu belirtir: Sınırlandırılmış dairenin yarıçapını bulmak için bir tarafa (herhangi bir!) ve onun karşısındaki açıya ihtiyacınız vardır.. Bu kadar!

3. Çemberin merkezi - içeride veya dışarıda

Şimdi soru şu: Sınırlandırılmış dairenin merkezi üçgenin dışında olabilir mi?
Cevap: Mümkün olduğu kadar. Üstelik bu her zaman geniş bir üçgende olur.

Ve genel olarak konuşursak:

DAİRESEL DAİRE. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

1. Bir üçgenin çevrelediği daire

Bu, bu üçgenin üç köşesinden de geçen dairedir.

2. Varoluş ve çember merkezi

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Başarılı olmak için Birleşik Devlet Sınavını geçmek, düşük bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu üniversiteye kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha açık yollar olduğu için daha fazla olasılık ve hayat daha mı parlaklaşıyor? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın - 299 ovmak.
Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 999 ovmak.

Evet, ders kitabımızda bu tür 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

İkinci durumda sana vereceğiz simülatör "Her konu için, tüm karmaşıklık seviyelerinde çözümleri ve cevapları olan 6000 problem." Herhangi bir konudaki problemlerin çözümüne el atmanız kesinlikle yeterli olacaktır.

Aslında bu bir simülatörden çok daha fazlasıdır; tam bir eğitim programıdır. Gerektiğinde ÜCRETSİZ olarak da kullanabilirsiniz.

Tüm metinlere ve programlara erişim, sitenin TÜM varlığı boyunca sağlanmaktadır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Çevre – geometrik şekil, sonradan ortaya çıkan tanıdık okul öncesi yaş. Daha sonra özelliklerini öğreneceksiniz ve özellikler. Rastgele bir çokgenin köşeleri bir daire üzerinde bulunuyorsa ve şeklin kendisi de onun içinde yer alıyorsa, o zaman dairenin içine yazılmış geometrik bir şekle sahip olursunuz.

Yarıçap kavramı, bir daire üzerindeki herhangi bir noktadan merkeze olan mesafeyi karakterize eder. İkincisi, çokgenin her iki tarafına dik olanların kesişiminde bulunur. Terminolojiye karar verdikten sonra, herhangi bir çokgen türü için yarıçapı bulmaya yardımcı olacak ifadeleri ele alalım.

Sınırlandırılmış bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur - normal çokgen

Bu şeklin herhangi bir sayıda köşesi olabilir, ancak tüm kenarları eşittir. İçine düzgün bir çokgenin yerleştirildiği dairenin yarıçapını bulmak için şeklin kenar sayısını ve uzunluğunu bilmek yeterlidir.
R = b/2sin(180°/n),
b – kenar uzunluğu,
n, şeklin köşelerinin (veya kenarlarının) sayısıdır.
Altıgen durumu için verilen ilişki aşağıdaki forma sahip olacaktır:
R = b/2sin(180°/6) = b/2sin30°,
R = b.

Dikdörtgenin çevre yarıçapı nasıl bulunur

Bir dörtgen, 2 çift paralel kenara sahip bir daire içine yerleştirildiğinde ve iç köşeler 90°, çokgenin köşegenlerinin kesişme noktası onun merkezi olacaktır. Pisagor ilişkisini ve dikdörtgenin özelliklerini kullanarak yarıçapı bulmak için gerekli ifadeleri elde ederiz:
R = (√m2 + l2)/2,
R = d/2,
m, l – dikdörtgenin kenarları,
d onun köşegenidir.

Sınırlandırılmış bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur - kare

Dairenin içine bir kare yerleştirin. İkincisi 4 tarafı olan normal bir çokgendir. Çünkü Kare, dikdörtgenin özel bir durumu olduğundan köşegenleri de kesişme noktalarında ikiye bölünür.
R = (√m 2 + l 2)/2 = (√m 2 + m 2)/2 = m√2/2 = m/√2,
R = d/2,
m – karenin kenarı,
d onun köşegenidir.

Sınırlandırılmış bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur - ikizkenar yamuk

Bir daireye bir yamuk yerleştirilirse, yarıçapı belirlemek için kenarlarının ve köşegeninin uzunluğunu bilmeniz gerekir.
R = m*l*d/4√p(p – m)*(p – l)*(p – d),
p = (m + l + d)/2,
m, l – yamuğun kenarları,
d onun köşegenidir.

Sınırlandırılmış bir dairenin yarıçapı nasıl bulunur - bir üçgen

Serbest Üçgen

Bir üçgeni tanımlayan dairenin yarıçapını belirlemek için kenarlarının boyutunu bilmek yeterlidir.
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k),
p = (m + l + k)/2,
m, l, k – üçgenin kenarları.
Kenarın uzunluğu ve karşısındaki açının derece ölçüsü biliniyorsa yarıçap şu şekilde belirlenir:
MLK üçgeni için
R = m/2sinM = l/2sinL = k/2sinK,

M, L, K – açıları (köşeleri).
Bir şeklin alanı göz önüne alındığında, içine yerleştirildiği dairenin yarıçapını da hesaplayabilirsiniz:
R = m*l*k/4S,
m, l, k – üçgenin kenarları,
S onun alanıdır.

İkizkenar üçgen

Bir üçgen ikizkenar ise 2 kenarı birbirine eşittir. Böyle bir şekli tanımlarken yarıçap aşağıdaki ilişki kullanılarak bulunabilir:
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k), ancak m = l
R = m2 /√(4m2 – k2),
m, k – üçgenin kenarları.

Sağ üçgen

Üçgenin açılarından biri doğruysa ve şeklin etrafında bir daire çevrelenmişse, ikincisinin yarıçapının uzunluğunu belirlemek için üçgenin bilinen kenarlarının varlığı gerekli olacaktır.
R = (√m 2 + l 2)/2 = k/2,
m, l – bacaklar,
k – hipotenüs.