Matematiksel tümevarım yöntemi üzerine ders. Doğal sayıların bölünebilirliği ile ilgili problemlerin çözümünde matematiksel tümevarım yönteminin uygulanması

Rusya'da evlilikler

SSCB'de evlilik, eşlerin tamamen eşit haklara sahip olduğu, bir erkek ve bir kadının gönüllü birliğidir. SSCB'de, yalnızca devlet nüfus dairelerinde (sicil daireleri) yapılan evliliklerin yanı sıra, Sovyet nüfus dairelerinin kurulmasından veya restorasyonundan önce dini törenlere göre gerçekleştirilen evlilikler tanınmaktadır. 1944 yılına kadar sözde kayıtlı gerçek evlilik (kayıtlı).

Rusya Federasyonu Aile Kanunu'na göre, aşağıdaki yasal olarak önemli evlilik belirtileri ayırt edilmektedir.

• Evlilik gönüllü bir birlikteliktir. Evliliğe girebilmek için, evlenen kişilerin özgürce ve gönüllü olarak açıklanmış karşılıklı rızası gereklidir.
• Evlilik, evlilikteki her eşin eşit haklara ve sorumluluklara sahip olduğu anlamına gelen eşit bir birliktir.
• Evlilik, kanunların koyduğu belirli kurallara uygun olarak yapılan bir birlikteliktir. Evliliğin uygun şekilde kaydedilmesi, vatandaşların devletin koruması altına aldığı evlilik topluluğuna girdiğinin kanıtıdır.

Evlenmenin şartları şunlardır:

• evlenmek isteyen kişilerin gönüllü rızası;
• evlenmek isteyen kişiler evlenme yaşına ulaşmış olmalıdır (genel kural olarak on sekiz yaşındadır, ancak yerel yönetimlerin izniyle 16 ila 18 yaşlarında evliliğe girilebilir ve eğer yaş sınırı varsa yaş azaltılabilir). Rusya Federasyonu evlenme yaşının düşürülmesine ilişkin yasayı kabul etmektedir, Rusya Federasyonu aile mevzuatı evlenme yaşının düşürülebileceği bir sınır belirlememektedir, bu nedenle her konunun bu konuda kendi düzenlemeleri vardır).

Rusya'da evliliğe izin verilmiyor:

• kişilerden birinin halihazırda kayıtlı bir evliliği varsa;
• yakın akrabalar arasında;
• evlat edinen ebeveynler ile evlat edinilen çocuklar arasında;
• en az bir kişinin zihinsel bozukluk nedeniyle mahkeme tarafından ehliyetsiz ilan edilmesi halinde;
• aynı cinsiyetten kişiler arasında.

Rusya'nın ait olduğu laik devletlerde ve bazı inançlarda, evliliğin feshine (boşanmaya) çeşitli gerekçelerle izin verilmektedir. Rusya'da ortak çocuğu olmayan her iki eşin de rızasıyla sicil dairesinde boşanma mümkündür. Eşlerden birinin boşanmaya karşı olması ve ortak reşit olmayan çocukların bulunması durumunda (boşananların karşılıklı rızası olsa dahi) boşanma mahkeme yoluyla gerçekleştirilir. Çocuk haklarının korunması açısından, eğer eş çocuk bekliyorsa, kocanın onun rızası olmadan boşanma davası bile açma hakkı yoktur.

Farklı dini sistemlerde boşanma prosedürü Rusya Federasyonu'ndakinden çok daha karmaşık veya çok daha basit olabilir. Örneğin, Katolik bir evliliğin sona ermesi neredeyse imkansızdır, ancak Müslüman hukukunda boşanma için kocanın yalnızca özel bir ifade söylemesi yeterlidir. Ancak bu basitlik bile diğer düzenlemelerle sınırlıdır.

Rusya'da her yıl 1 milyondan biraz fazla çift evleniyor, yaklaşık 700 bin aile ise boşanma davası açıyor.

Sayısal bileşime bağlı olarak aile türleri Nükleer (evlilik) Genişletilmiş Üreme (ebeveynler ve küçük çocuklar) Oryantasyon (yalnızca evli çiftler) Üç veya daha fazla nesli birleştirir Hanehalkı sorumluluklarının dağılımının niteliğine göre aile türleri Ataerkil (geleneksel) Anaerkil Bağlılık (demokratik) Liderlik rolü, ev işi ile "erkek" ve "kadın" işi arasında net bir ayrım yaparak, ekonomik olarak ailenin geçimini sağlayan erkeğe aittir. Bir erkek, ailesinin geçimini ekonomik olarak sağlayamaz ve bir kadın, Toplumsal üretime katılmaya zorlanırken aynı zamanda ev sorumluluklarını da üstleniyor. Her türlü ev işi eşler tarafından dönüşümlü olarak yapılmaktadır. Aile sorunlarına ilişkin kararlar ortaklaşa alınır. Aile yetiştirilme tarzına göre aile türleri Otoriter Liberal Demokrat Aile reisinin otoritesinin tanınması, taleplerinin koşulsuz yerine getirilmesi, zorlayıcı tedbirler. Bireyin çıkarları, diğer insanların ve bir bütün olarak toplumun çıkarlarının üstünde yer alır. Eğitimin temeli inanç, kendi kendine eğitim, çocuklar ve ebeveynler arasındaki işbirliğidir.

Yasal olarak kayıtlı evliliklerin aksine, gerçek evlilikler de vardır. Gerçek evlilik, bir erkek ve bir kadının uzun vadeli açık bir birlikte yaşamasıdır, ancak bu ilişkinin yasal kaydı yoktur. İÇİNDE Rusya Federasyonu hukuki sonuçlar yalnızca evlilik kaydının hukuki gerçeğinden kaynaklanır.

AİLENİN İŞLEVLERİ Bunlar, faaliyetinin tezahür yolları, tüm ailenin ve bireysel üyelerinin yaşam biçimleridir. Üreme Eğitsel Eğlence (boş zaman) Ekonomik-ekonomik Sosyal statü Manevi-ahlaki Psikolojik Cinsel Birincil sosyal kontrol

AİLE İŞLEVLERİ Ailenin işlevi Kendini nasıl gösterir Üreme Nüfusun sosyal düzeyde biyolojik olarak yeniden üretimi ve kişisel düzeyde çocuk ihtiyacının karşılanması. Bireyin kişilik olarak eğitimsel oluşumu, sosyalleşmesi. Ekonomik ve ekonomik yönetim ev, reşit olmayanlar ve engelli aile üyeleri için mali destek. Rekreasyonel (boş zaman) Aile üyeleri için rasyonel boş zaman organizasyonu. Belirli bir sosyal statünün sağlanması sosyal durum aile üyeleri, üreme sosyal yapı toplum. Birincil sosyal kontrol Aile üyelerinin davranışlarını yasal ve ahlaki normlar ve gelenekler yardımıyla düzenlemek. Her aile üyesinin kişiliğinin manevi ve ahlaki gelişimi. Psikolojik (duygusal) Aile üyelerine duygusal ve psikolojik destek sağlamak, ailede olumlu bir atmosfer yaratmak. Cinsiyetler arasındaki ilişkilerin cinsel düzenlenmesi.

Ders #50

Ders konusu : Matematiksel tümevarım yöntemi.

Dersin amacı: TanışınMatematiksel tümevarım yönteminin özü, ispat problemlerini çözerken bu yöntemi uygulamayı öğrenmek, hesaplama becerilerini geliştirmeye devam etmek ve matematik okuryazarlığını geliştirmeye devam etmektir.

Dersler sırasında.

Zamanı organize etmek. Ders hedeflerini belirleme

Temel bilginin etkinleştirilmesi.

Geometrik ilerlemenin tanımı, geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formül.

Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı için formülü tekrarlayın.

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı için formülü tekrarlayın

3. Yeni materyal öğrenmek

Birçok problemi çözerken, matematiksel önermelerin geçerliliğini kanıtlarken ve formüller türetirken sıklıkla akıl yürütme denir.matematiksel tümevarım yöntemiyle.

Örneğin formülü türetirken bu tür bir akıl yürütme kullandınız.Nhem de birinci terimin toplamı için formül türetirkenNaritmetik ve geometrik ilerlemelerin üyeleri.

Bu yöntemin özü şu şekildedir: Doğal bir sayının göründüğü bazı ifadelerin geçerliliğini belirlemeniz gerekiyorsaN, O:

1) amaçlanan ifadenin belirli bir değer için geçerli olup olmadığı kontrol edilirN(örneğinN=1).

2) ifadenin bazı keyfi değerler için doğru olduğu varsayılırN = k , ve bu durumda bunun aynı zamanda doğru olduğu da kanıtlanmıştır.N = k + 1. Bundan, ifadenin her değer için doğru olduğu sonucuna varırız.Nçünkü adaleti ne zaman keşfedildiN=1 ve kanıtlanmış olana göre bu aynı zamanda için de doğrudur.N= 2 ve bu durum için doğrudurN= 2 ise bu durum için de doğrudurN= 3 vb.

Şimdi bu yöntemi kullanma örneklerine bakalım.

Örnek 1. Her doğal durum için şunu kanıtlayalım:Neşitlik var

Formül şunun için doğrudur:N= 1, çünkü:

Formülün doğru olduğunu varsayalım.n = k .

Bu durumda bunun aynı zamanda doğru olduğunu kanıtlayalım.N = k+1, yani

Doğrudan doğrulama, formülün doğru olduğunu gösterdiN =1; dolayısıyla aşağıdakiler için de geçerli olacaktır:N= 2 ve dolayısıylaN= 3, dolayısıylan = 4 ve genel olarak herhangi bir doğal içinN.

4.Problem çözme

№249(a)

Bu problemde formülü kanıtlamanız gerekiyorN – bumatematiksel tümevarım yöntemini kullanan bir aritmetik ilerlemenin üyesi

Şu tarihte:N=1 elimizde bir 1 =a 1.

Diyelim ki bu formül için doğrukterim, yani eşitlik a k = A 1 + D( k-1)

Bu durumda bu formülün () için de doğru olduğunu kanıtlayalım.k+1)'inci üye. Gerçekten mi,

A k +1 = A 1 + D( k+1-1) = a 1 + dk

Öte yandan tanımı gereği arif. prog. A k +1 = A k + D

Son iki ifadenin sol tarafları = ve sağ tarafları eşit olduğundan:

A k + D= bir 1 + dkveya bir k = A 1 + D( k-1)

Ortaya çıkan doğru eşitlik, formülün olduğunu belirtmemizi sağlar.NBir aritmetik ilerlemenin üçüncü terimi herhangi bir doğal sayı için uygundur.N

№ 255

Sayının 11 olduğunu kanıtlayalım n+1 +12 2 N -1 tüm doğal değerler içinN133'e bölünebilir

Şu tarihte:N=1 elimizde 11 var 1+1 +12 2*1-1 =133, 133 bölü 133

Diyelim ki ne zamanN= kmiktar 11 k +1 +12 2 k -1 133'e bölünebilir

Bu toplamın 133'e bölünebildiğini kanıtlayalım.N= k+1, yani on bir k +2 +12 2 k +1 133'e bölünebilir

11 k+2 +12 2k+1 =11*11 k +1 +144*12 k-1 =11*11 k +1 +11*12 2k-1 +133*12 2k-1 =11(11 k+1 +12 2k-1 )+133*12 2k-1

Ortaya çıkan toplamın her terimi 133'e bölünür. Dolayısıyla 11 k +2 +12 2 k +1 ayrıca 133'e bölün.

5. Yansıma

6. D/z'yi ayarlama

§15 251 numaralı çözümü çöz

MBOU Lisesi "Teknik ve Ekonomik"

MATEMATİKSEL İNDÜKSİYON YÖNTEMİ

MATEMATİKSEL İNDÜKSİYON YÖNTEMİ.

AÇIKLAYICI NOT

Metodolojik gelişim “Matematiksel tümevarım yöntemi” matematiksel profilin 10. sınıf öğrencileri için derlendi.

Birincil hedefler: Öğrencilere matematiksel tümevarım yöntemini tanıtmak ve çözerken bunun nasıl uygulanacağını öğretmek çeşitli görevler.

İÇİNDE metodolojik gelişimİlköğretim matematik soruları dikkate alınır: bölünebilirlik problemleri, özdeşliklerin ispatı, eşitsizliklerin ispatı, Olimpiyatlarda önerilen problemler de dahil olmak üzere değişen karmaşıklık derecelerinde problemler önerilmektedir.

Deneysel bilimlerde tümevarımsal sonuçların rolü çok büyüktür. Daha sonra kesinti yoluyla daha fazla sonuç çıkarılabilecek hükümleri verirler. İsim matematiksel tümevarım yöntemi aldatıcı - aslında bu yöntem tümdengelimlidir ve tümevarım yoluyla tahmin edilen ifadelerin kesin kanıtını sağlar. Matematiksel tümevarım yöntemi matematiğin farklı dalları arasındaki bağlantıların belirlenmesine yardımcı olur ve öğrencinin matematik kültürünün gelişmesine yardımcı olur.

Matematiksel tümevarım yönteminin tanımı. Tam ve eksik indüksiyon. Eşitsizliklerin kanıtı. Kimlik kanıtı. Bölünebilme problemlerinin çözümü. “Matematiksel tümevarım yöntemi” konusundaki çeşitli problemlerin çözümü.

ÖĞRETMENLER İÇİN EDEBİYAT

1. M. L. Galitsky. Cebir ve matematiksel analiz dersinin derinlemesine incelenmesi. – M.Eğitim 1986.

2. L.I.Zvavich. Cebir ve analizin başlangıcı. Didaktik materyaller. M. Bustard.2001.

3. N.Ya.Vilenkin. Cebir ve matematiksel analiz. M Aydınlanma.1995.

4. Yu.V.Mikheev. Matematiksel tümevarım yöntemi. NSU.1995.

ÖĞRENCİLER İÇİN EDEBİYAT

1. N.Ya.Vilenkin. Cebir ve matematiksel analiz. M Aydınlanma.1995.

2. Yu.V.Mikheev. Matematiksel tümevarım yöntemi. NSU.1995.

ANAHTAR KELİMELER

Tümevarım, aksiyom, matematiksel tümevarım ilkesi, tam tümevarım, eksik tümevarım, ifade, özdeşlik, eşitsizlik, bölünebilirlik.

KONUYA DIDAKTİK EK

"MATEMATİK İNVÜKSİYON YÖNTEMİ".

Ders 1.

Matematiksel tümevarım yönteminin tanımı.

Matematiksel tümevarım yöntemi aşağıdakilerden biridir: son derece etkili yöntem yeni sonuçlar aramak ve yapılan varsayımların doğruluğunu kanıtlamak. Matematikteki bu yöntem yeni olmasa da ona olan ilgi azalmıyor. Açık bir sunumla ilk kez matematiksel tümevarım yöntemi, 17. yüzyılda seçkin Fransız bilim adamı Blaise Pascal tarafından, o zamandan beri kendi adını taşıyan sayı üçgeninin özelliklerini kanıtlarken kullanıldı. Ancak matematiksel tümevarım fikri eski Yunanlılar tarafından biliniyordu. Matematiksel tümevarım yöntemi, aksiyom olarak kabul edilen matematiksel tümevarım ilkesine dayanmaktadır. Örnekleri kullanarak matematiksel tümevarım fikrine bakalım.

Örnek No.1.

Kare bir parça ile iki parçaya bölünür, ardından elde edilen parçalardan biri iki parçaya bölünür ve bu böyle devam eder. Karenin kaç parçaya bölüneceğini belirleyin P adımlar?

Çözüm.

İlk adımdan sonra duruma göre 2 parça alacağız. İkinci adımda bir parçayı değiştirmeden bırakıp ikinciyi 2 parçaya bölüp 3 parça elde ediyoruz. Üçüncü adımda 2 parçayı değiştirmeden bırakıp üçüncüyü ikiye bölüp 4 parça elde ediyoruz. Dördüncü adımda 3 parçayı değiştirmeden bırakıp son parçayı ikiye bölüp 5 parça elde ediyoruz. Beşinci adımda 6 parça elde edeceğiz. Bu, şunu öneriyor: P alacağımız adımlar (n+1) Parça. Ancak bu önermenin kanıtlanması gerekiyor. Sonra olduğunu varsayalım İle karenin bölüneceği adımlar (k+1) Parça. Sonra (k+1) attığımız adım İle parçalar değişmeden kalacak, ancak (k+1) parçayı iki parçaya bölün ve alın (k+2) parçalar. Bu şekilde istediğiniz kadar tartışabileceğinizi fark ediyorsunuz, sonsuza kadar. Yani bizim varsayımımız şu: P karenin bölüneceği adımlar (n+1) kısmı kanıtlanmış hale gelir.

Örnek No.2.

Büyükannenin reçeli çok seven bir torunu vardı, özellikle de litrelik kavanoz. Ama büyükannem ona dokunmama izin vermedi. Torunlar da büyükannelerini aldatmayı planladılar. Her gün bu kavanozdan 1/10 litre yemeye ve üzerine su ekleyip iyice karıştırmaya karar verdi. Reçel yarıya kadar suyla seyreltildiğinde görünümü aynı kalırsa büyükannenin bu aldatmacayı keşfetmesi kaç gün sürer?

Çözüm.

Kavanozda ne kadar saf reçel kaldığını bulalım. P günler. İlk günden sonra kavanozda 9/10 reçel ve 1/10 sudan oluşan bir karışım kalacaktır. İki gün sonra kavanozdaki su ve reçel karışımının 1/10'u kaybolacak ve kalacaktır (1 litre karışım 9/10 litre reçel, 1/10 litre karışımın 9/100 litre reçel içermektedir) )

9/10 – 9/100=81/100=(9/10) 2 litre reçel. Üçüncü gün 81/100 reçel ve 19/100 sudan oluşan karışımın 1/10 litresi kavanozdan kaybolacaktır. 1 litre karışımda 81/100 litre reçel, 1/10 litre karışımda 81/1000 litre reçel bulunmaktadır. 81/100 – 81/1000=

729/1000=(9/10) 3 gün sonra 3 litre reçel kalır, geri kalanı su ile alınır. Bir model ortaya çıkıyor. Başından sonuna kadar P bankada kalan gün sayısı (9/10) P sıkıştım. Ama yine söylüyorum bu sadece bizim tahminimiz.

İzin vermek İle– keyfi bir doğal sayı. Sonra olduğunu varsayalım İle gün kavanozda (9/10) litre reçel kalacaktır. Bakalım başka bir gün bankada ne olacak, yani (k+1) gün. Kavanozdan kaybolacak 1/10l oluşan bir karışım (9/10) İle ben reçel ve su. İÇİNDE 1 litre karışım (9/10) İle ben reçel, içinde 1/10l karışımlar (9/10) k+1 ben reçel. Artık bunu rahatlıkla söyleyebiliriz P bankada kalan gün sayısı (9/10) P ben reçel. Banka 6 gün içinde 531444/1000000l reçel, 7 gün sonra - 4782969/10000000l reçel, yani yarıdan az.

Cevap: 7 gün sonra büyükanne aldatmacayı keşfedecektir.

Ele alınan sorunların çözümünde en önemli şeyleri vurgulamaya çalışalım. Her birini bireysel veya dedikleri gibi özel durumları dikkate alarak çözmeye başladık. Daha sonra gözlemlerimize dayanarak bazı varsayımlarda bulunduk. P(n) doğal durumuna bağlı olarak P.

ifade doğrulandı, yani kanıtlandı P(1), P(2), P(3);

şunu önerdi P(n)Şunun için geçerli p=k ve bunun bir sonraki aşamada doğru olacağı sonucuna vardı n, n=k+1.

Ve sonra şunun gibi bir mantık yürüttüler: P(1) Sağ, P(2) Sağ, P(3) Sağ, P(4) doğru...bu doğru anlamına geliyor P(p).

Matematiksel tümevarım ilkesi.

İfade P(n) doğal durumuna bağlı olarak P, tüm doğal ürünler için geçerli P, Eğer

1) beyanın geçerliliği kanıtlandığında n=1;

2) ifadenin geçerliliği varsayımından P(n) en p=k meli

adalet P(n) en n=k+1.

Matematikte, matematiksel tümevarım ilkesi, kural olarak, doğal sayı dizisini tanımlayan aksiyomlardan biri olarak seçilir ve bu nedenle kanıt olmadan kabul edilir. Matematiksel tümevarım ilkesini kullanan ispat yöntemine genellikle matematiksel tümevarım yöntemi denir. Bu yöntemin teoremlerin, özdeşliklerin, bölünebilirlik problemlerinin çözümünde eşitsizliklerin ve diğer birçok problemin kanıtlanmasında yaygın olarak kullanıldığını unutmayın.

Ders 2

Tam ve eksik indüksiyon.

Matematiksel bir ifadenin sonlu sayıda nesneyle ilgili olması durumunda, her nesne için test yapılarak kanıtlanabilir, örneğin "Her iki basamaklı çift sayı, iki asal sayının toplamıdır." Bir ifadeyi sonlu sayıda durum için test ettiğimiz ispat yöntemine tam matematiksel tümevarım denir. Bu yöntem nispeten nadiren kullanılır, çünkü ifadeler çoğunlukla sonsuz kümelerde dikkate alınır. Örneğin “Herhangi bir çift sayı iki asal sayının toplamına eşittir” teoremi henüz kanıtlanmadı veya çürütülmedi. Bu teoremi ilk milyar için test etsek bile bu bizi onun kanıtına bir adım daha yaklaştırmaz.

Doğa bilimlerinde, deneyi birkaç kez kontrol eden ve sonucu tüm durumlara aktaran eksik tümevarım kullanılır.

Örnek No. 3.

Tamamlanmamış tümevarım kullanarak küp toplamı formülünü tahmin edin doğal sayılar.

Çözüm.

1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;

1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; ...; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .

Kanıt.

için doğru olsun p=k.

Bunun doğru olduğunu kanıtlayalım n=k+1.

Sonuç: Doğal sayıların küplerinin toplamı formülü herhangi bir doğal sayı için doğrudur P.

Örnek No. 4.

Eşitlikleri düşünün ve bu örneklerin hangi genel yasaya yol açtığını tahmin edin.

Çözüm.

1=0+1

2+3+4=1+8

5+6+7+8+9=8+27

10+11+12+13+14+15+16=27+64

17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125

……………………………………………………………..

Örnek No. 5.

Aşağıdaki ifadeleri toplam olarak yazın:

1)
2)
3)
; 4)
.

Yunan harfi"sigma".

Örnek No. 6.

Aşağıdaki miktarları işareti kullanarak yazın
:

2)

Örnek No. 7.

Aşağıdaki ifadeleri çarpım olarak yazın:

1)

3)
4)

Örnek No. 8.

Aşağıdaki eserleri işareti kullanarak yazınız

(Yunancada büyük harf "pi")

1)
2)

Örnek No. 9.

Bir polinomun değerinin hesaplanması F ( N )= N 2 + N +11 , en n=1,2,3,4,5,6,7 herhangi bir doğal durum için varsayım yapılabilir.P sayı F ( N ) basit.

Bu varsayım doğru mu?

Çözüm.

Bir toplamın her terimi bir sayıya bölünüyorsa, toplam o sayıya bölünür;
herhangi bir doğal sayı için asal sayı değildirP.

Sonlu sayıda vakanın analizi matematikte önemli bir rol oynar: Belirli bir ifadenin kanıtını vermeden, henüz bilinmiyorsa bu ifadenin doğru formülasyonunu tahmin etmeye yardımcı olur. St.Petersburg Bilimler Akademisi üyesi Goldbach, ikiyle başlayan herhangi bir doğal sayının toplamının en fazla olmadığı hipotezine bu şekilde ulaştı. üç basit sayılar.

Ders #3.

Matematiksel tümevarım yöntemi, kişinin çeşitli kimlikleri kanıtlamasına olanak tanır.

Örnek No. 10. Bunu herkese kanıtlayalım P kimlik tutar

Çözüm.

Hadi koyalım

bunu kanıtlamamız lazım

Bunu özdeşliğin doğruluğundan kanıtlayalım.

kimliğin gerçeğini takip eder

Matematiksel tümevarım ilkesi kullanılarak özdeşliğin doğruluğu herkes için kanıtlanmıştır. P.

Örnek No. 11.

Kimliğini kanıtlayalım

Kanıt.

elde edilen eşitlikler terim terim.

;
. Bu, bu kimliğin herkes için geçerli olduğu anlamına gelirP .

4 numaralı ders.

Matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak kimliklerin kanıtı.

Örnek No. 12. Kimliğini kanıtlayalım

Kanıt.

Matematiksel tümevarım ilkesini kullanarak eşitliğin herkes için doğru olduğunu kanıtladık. P.

Örnek No. 13. Kimliğini kanıtlayalım

Kanıt.

Matematiksel tümevarım ilkesini kullanarak bu ifadenin her doğal durum için doğru olduğunu kanıtladık. P.

Örnek No. 14. Kimliğini kanıtlayalım

Kanıt.

Örnek No. 15. Kimliğini kanıtlayalım

1) n=1;

2) için p=k eşitlik geçerlidir

3) eşitliğin geçerli olduğunu kanıtlarız p=k+1:

Sonuç: Kimlik her türlü doğal kişi için geçerlidir. P.

Örnek No. 16. Kimliğini kanıtlayalım

Kanıt.

Eğer n=1 , O

Kimliğin devam etmesine izin ver p=k.

Kimliğin geçerli olduğunu kanıtlayalım n=k+1.

O halde özdeşlik herhangi bir doğal durum için doğrudur. P.

5 numaralı ders.

Matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak kimliklerin kanıtı.

Örnek No. 17. Kimliğini kanıtlayalım

Kanıt.

Eğer n=2 , o zaman doğru eşitliği elde ederiz:

Eşitlik doğru olsunp=k:

İfadenin geçerliliğini kanıtlayalım n=k+1.

Matematiksel tümevarım ilkesine göre özdeşlik kanıtlanmıştır.

Örnek No. 18. Kimliğini kanıtlayalım
n≥2 olduğunda.

Şu tarihte: n=2 bu kimlik çok yeniden yazılacak basit biçimde

ve açıkçası doğru.

izin ver p=k Gerçekten

.

İfadenin geçerliliğini kanıtlayalımn=k+1, yani eşitlik geçerlidir: .

Böylece özdeşliğin herhangi bir doğal sayı için doğru olduğunu kanıtlamış olduk. n≥2.

Örnek No. 19. Kimliğini kanıtlayalım

Şu tarihte: n=1 doğru eşitliği elde ederiz:

Diyelim ki ne zaman p=k aynı zamanda doğru eşitliği de elde ederiz:

Eşitliğin geçerli olduğunu kanıtlayalım. p=k+1:

O halde kimlik herhangi bir doğal sayı için geçerlidir P.

6 numaralı ders.

Bölünebilme problemlerinin çözümü.

Örnek No. 20. Matematiksel tümevarımla kanıtlayın ki

bölü 6 iz bırakmadan.

Kanıt.

Şu tarihte: n=1 şeklinde bir bölünme var6 iz bırakmadan,
.

izin ver p=k ifade
çoklu6.

Bunu ne zaman kanıtlayalım p=k+1 ifade
çoklu6 .

Her terim bir kattır 6 , dolayısıyla toplam bir kattır 6 .

Örnek No. 21.
Açık5 iz bırakmadan.

Kanıt.

Şu tarihte: n=1 ifade kalansız bölünür
.

izin ver p=k ifade
ayrıca bölünmüş5 iz bırakmadan.

Şu tarihte: p=k+1 bölü 5 .

Örnek No. 22. Bir ifadenin bölünebilirliğini kanıtlayın
Açık16.

Kanıt.

Şu tarihte: n=1çoklu 16 .

izin ver p=k
çoklu16.

Şu tarihte: p=k+1

Tüm terimler bölünebilir 16: birincisi açıktır, ikincisi varsayıma dayalıdır ve üçüncüsü parantez içinde çift sayıdır.

Örnek No. 23. Bölünebilirliği kanıtlayın
Açık676.

Kanıt.

Önce şunu kanıtlayalım
bölü
.

Şu tarihte: n=0
.

izin ver p=k
bölü26 .

sonra p=k+1 bölü 26 .

Şimdi problem ifadesinde formüle edilen ifadenin kanıtını gerçekleştireceğiz.

Şu tarihte: n=1 bölü 676.

Şu tarihte: p=k olduğu doğru
bölü26 2 .

Şu tarihte: p=k+1 .

Her iki terim de bölünebilir 676 ; ilk olarak - çünkü bölünebilirliği kanıtladık 26 parantez içindeki ifade, ikincisi ise tümevarım varsayımına göre bölünür.

7 numaralı ders.

Bölünebilme problemlerinin çözümü.

Örnek No. 24.

Kanıtla
bölü5 iz bırakmadan.

Kanıt.

Şu tarihte: n=1
bölü5.

Şu tarihte: p=k
bölü5 iz bırakmadan.

Şu tarihte: p=k+1 her terim şuna bölünür:5 iz bırakmadan.

Örnek No. 25.

Kanıtla
bölü6 iz bırakmadan.

Kanıt.

Şu tarihte: n=1
bölü6 iz bırakmadan.

izin ver p=k
bölü6 iz bırakmadan.

Şu tarihte: p=k+1 bölü 6 her terim bölünebildiği için kalansız6 kalansız: ilk terim tümevarım hipotezine göredir, ikincisi açıktır, üçüncüsü ise çünkü
çift ​​sayı.

Örnek No. 26.

Kanıtla
bölündüğünde9 geri kalanı verir 1 .

Kanıt.

Hadi bunu kanıtlayalım
bölü9 .

Şu tarihte: n=1
bölü 9 . izin ver p=k
bölü9 .

Şu tarihte: p=k+1 bölü 9 .

Örnek No. 27.

ile bölünebileceğini kanıtlayın15 iz bırakmadan.

Kanıt.

Şu tarihte: n=1 bölü 15 .

izin ver p=k bölü 15 iz bırakmadan.

Şu tarihte: p=k+1

İlk terim bir kattır15 tümevarım hipotezine göre ikinci terim aşağıdakilerin katıdır:15 – açıkçası, üçüncü terim bir katıdır15 , Çünkü
çoklu5 (örnek No. 21'de kanıtlanmıştır), dördüncü ve beşinci terimler de katlardır5 ki bu açıktır, o zaman toplam bir kattır15 .

Ders No. 8-9.

Eşitsizliklerin matematiksel tümevarımla kanıtlanması

Örnek No. 28.
.

Şu tarihte: n=1 sahibiz
- Sağ.

izin ver p=k
- gerçek eşitsizlik.

Şu tarihte: p=k+1

O halde eşitsizlik herhangi bir doğal durum için geçerlidir. P.

Örnek No. 29. Eşitsizliğin doğru olduğunu kanıtlayın
herhangi P.

Şu tarihte: n=1 doğru eşitsizliği elde ederiz 4 >1.

izin ver p=k eşitsizlik doğrudur
.

Bunu ne zaman kanıtlayalım p=k+1 eşitsizlik doğrudur

Herhangi bir doğal için İle eşitsizlik var.

Eğer
en
O

Örnek No. 30.

herhangi bir doğal ortamda P Ve herhangi biri

İzin vermek n=1
, Sağ.

Eşitsizliğin geçerli olduğunu varsayalım. p=k:
.

Şu tarihte: p=k+1

Örnek No. 31. Eşitsizliğin geçerliliğini kanıtlayın

herhangi bir doğal ortamda P.

Öncelikle herhangi bir doğal durum için bunu kanıtlayalım. T eşitsizlik doğrudur

Eşitsizliğin her iki tarafını da şu şekilde çarpalım:
. Eşdeğer bir eşitsizlik elde ederiz veya
;
; - bu eşitsizlik her doğal durum için geçerlidir T.

Şu tarihte: n=1 orijinal eşitsizlik doğrudur
;
;
.

Eşitsizliğin sürmesine izin verin p=k:
.

Şu tarihte: p=k+1

10 numaralı ders.

Konuyla ilgili problemlerin çözümü

Matematiksel tümevarım yöntemi.

Örnek No. 32. Bernoulli eşitsizliğini kanıtlayın.

Eğer
, o zaman tüm doğal değerler içinP eşitsizlik geçerli

Kanıt.

Şu tarihte: n=1 kanıtlanan eşitsizlik şu şekli alır
ve açıkçası adil. için doğru olduğunu varsayalım.p=k yani ne
.

Koşul gereği
, O
ve bu nedenle eşitsizlik, her iki kısmı da çarpıldığında anlamını değiştirmez.
:

Çünkü
, o zaman bunu anlıyoruz

.

Yani eşitsizlik doğrudur n=1 ve onun gerçekliğinden p=köyle olsa bile doğrudur n=k+1. Bu, matematiksel tümevarım sayesinde tüm doğal durumlar için geçerli olduğu anlamına gelir. P.

Örneğin,

Örnek No. 33. Tüm doğal değerleri bulunP eşitsizliğin doğru olduğu

Çözüm.

Şu tarihte: n=1 eşitsizlik adildir. Şu tarihte: n=2 eşitsizlik de doğrudur.

Şu tarihte: n=3 eşitsizlik artık geçerli değil. Yalnızca n=6 eşitsizlik geçerlidir, dolayısıyla tümevarımın temeli olarak alabiliriz n=6.

Bazı doğal durumlar için eşitsizliğin doğru olduğunu varsayalım. İle:

Eşitsizliği düşünün

Son eşitsizlik sağlanırsa
Ölçek Konuyla ilgili n=1 tekrar tekrar verilmektedir: n≥5, burada P- -doğal sayı.

giriiş

Ana bölüm

1. Tam ve eksik tümevarım

2. Matematiksel tümevarım ilkesi

3. Matematiksel tümevarım yöntemi

4. Örnekleri çözme

5. Eşitlikler

6. Sayıları bölme

7. Eşitsizlikler

Çözüm

Kullanılmış literatür listesi

giriiş

Herhangi bir matematiksel araştırmanın temeli tümdengelim ve tümevarım yöntemleridir. Tümdengelimli akıl yürütme yöntemi genelden özele doğru akıl yürütmektir, yani. Başlangıç ​​noktası genel sonuç, son noktası ise özel sonuç olan akıl yürütmedir. Tümevarım, belirli sonuçlardan genel sonuçlara geçerken kullanılır; tümdengelim yönteminin tersidir.

Matematiksel tümevarım yöntemi ilerlemeyle karşılaştırılabilir. Sonuç olarak en alttan başlıyoruz mantıksal düşünme en yükseğe geliyoruz. İnsan her zaman ilerleme için, düşüncelerini mantıksal olarak geliştirme yeteneği için çabalamıştır; bu, doğanın kendisinin onu tümevarımsal düşünmeye mahkum ettiği anlamına gelir.

Matematiksel tümevarım yönteminin uygulama kapsamının artmasına rağmen, Okul müfredatı kendisine çok az zaman veriliyor. Peki ne söyle bir kişiye faydalı Beş kelimelik teori duyacağı, beş ilkel problemi çözeceği ve sonuç olarak hiçbir şey bilmediği için A alacağı iki veya üç dersi getirecek.

Ancak tümevarımsal düşünebilmek çok önemlidir.

Ana bölüm

Orijinal anlamında “tümevarım” kelimesi, bir dizi spesifik ifadeye dayanarak genel sonuçların elde edildiği akıl yürütmeye uygulanır. Bu tür akıl yürütmenin en basit yöntemi tam tümevarımdır. İşte böyle bir akıl yürütmenin bir örneği.

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Bu dokuz eşitlik, ilgilendiğimiz sayıların her birinin aslında iki basit terimin toplamı olarak temsil edildiğini gösteriyor.

Dolayısıyla tam tümevarım, genel ifadenin sonlu sayıda olası durumların her birinde ayrı ayrı kanıtlanmasından oluşur.

Bazen genel sonuç, hepsini değil, yeterli olanı dikkate aldıktan sonra tahmin edilebilir. çok sayıdaözel durumlar (sözde eksik tümevarım).

Eksik tümevarımla elde edilen sonuç, tüm özel durumları kapsayan kesin matematiksel akıl yürütmeyle kanıtlanıncaya kadar yalnızca bir hipotez olarak kalır. Başka bir deyişle, matematikte eksik tümevarım, kesin kanıtlamanın meşru bir yöntemi olarak görülmez, ancak yeni gerçekleri keşfetmenin güçlü bir yöntemidir.

Örneğin ardışık ilk n tek sayının toplamını bulmak istiyorsunuz. Özel durumları ele alalım:

1+3+5+7+9=25=5 2

Bu birkaç özel durumu değerlendirdikten sonra aşağıdaki genel sonuç ortaya çıkıyor:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

onlar. ardışık ilk n tek sayının toplamı n 2'dir

Elbette yapılan gözlem henüz verilen formülün geçerliliğinin kanıtı olamaz.

Tam tümevarım matematikte yalnızca sınırlı uygulamalara sahiptir. Birçok ilginç matematiksel ifade sonsuz sayıda özel durumu kapsar, ancak bunları sonsuz sayıda durum için test edemeyiz. Eksik tümevarım sıklıkla hatalı sonuçlara yol açar.

Çoğu durumda, bu tür zorluklardan kurtulmanın yolu, matematiksel tümevarım yöntemi adı verilen özel bir akıl yürütme yöntemine başvurmaktır. Aşağıdaki gibidir.

Herhangi bir n doğal sayısı için belirli bir ifadenin geçerliliğini kanıtlamanız gerektiğini varsayalım (örneğin, ilk n tek sayıların toplamının n 2'ye eşit olduğunu kanıtlamanız gerekir). Doğal sayılar kümesi sonsuz olduğundan, n'nin her değeri için bu ifadenin doğrudan doğrulanması imkansızdır. Bu ifadeyi kanıtlamak için öncelikle n=1 için geçerliliğini kontrol edin. Daha sonra, k'nin herhangi bir doğal değeri için, söz konusu ifadenin n=k için geçerliliğinin, onun n=k+1 için de geçerliliğini gerektirdiğini kanıtlarlar.

Daha sonra ifadenin tümü için kanıtlanmış olduğu kabul edilir. Aslında bu ifade n=1 için doğrudur. Ama o zaman bu aynı zamanda için de geçerlidir sonraki tarih n=1+1=2. İfadenin n=2 için geçerliliği, n=2+ için de geçerliliği anlamına gelir

1=3. Bu, n=4 vb. için ifadenin geçerliliğini ima eder. Sonunda herhangi bir n doğal sayısına ulaşacağımız açıktır. Bu, ifadenin herhangi bir n için doğru olduğu anlamına gelir.

Söylenenleri özetleyerek aşağıdaki genel prensibi formüle ediyoruz.

Matematiksel tümevarım ilkesi.

Eğer teklif A( N ), doğal sayıya bağlı olarak N , için doğru N =1 ve bunun doğru olmasından n=k (Nerede k -herhangi bir doğal sayı), bundan sonraki sayı için de doğru olduğu sonucu çıkar n=k+1 , o zaman varsayım A( N ) herhangi bir doğal sayı için doğru N .

Matematiksel tümevarım yöntemini kullanan ispat aşağıdaki şekilde gerçekleştirilir. İlk olarak kanıtlanacak ifadenin n=1 olup olmadığı kontrol edilir, yani. A(1) ifadesinin doğruluğu kanıtlanmıştır. İspatın bu kısmına tümevarım temeli denir. Daha sonra ispatın tümevarım adımı adı verilen kısmı gelir. Bu bölümde, n=k ifadesinin geçerliliği varsayımı altında (tümevarım varsayımı), yani n=k+1 ifadesinin geçerliliğini kanıtlarlar. A(k)ÞA(k+1) olduğunu kanıtlayın.

ÖRNEK 1

1+3+5+…+(2n-1)=n 2 olduğunu kanıtlayın.

Çözüm: 1) n=1=1 2 elimizde. Buradan,

ifade n=1 için doğrudur, yani. A(1) doğrudur.

2) A(k)ÞA(k+1) olduğunu kanıtlayalım.

K herhangi bir doğal sayı olsun ve ifade n=k için doğru olsun;

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

O zaman bu ifadenin bir sonraki doğal sayı olan n=k+1 için de doğru olduğunu kanıtlayalım; Ne

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

Aslında,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Yani A(k)ÞA(k+1). Matematiksel tümevarım ilkesine dayanarak, A(n) varsayımının herhangi bir nÎN için doğru olduğu sonucuna varırız.

ÖRNEK 2

Kanıtla

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), burada x¹1

Çözüm: 1) n=1 için şunu elde ederiz:

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

dolayısıyla n=1 için formül doğrudur; A(1) doğrudur.

2) k herhangi bir doğal sayı olsun ve formül n=k için doğru olsun;

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1).

O zaman eşitliğin geçerli olduğunu kanıtlayalım

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Aslında

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Yani A(k)ÞA(k+1). Matematiksel tümevarım ilkesine dayanarak, formülün herhangi bir n doğal sayısı için doğru olduğu sonucuna varıyoruz.

ÖRNEK 3

Dışbükey bir n-gon'un köşegen sayısının n(n-3)/2'ye eşit olduğunu kanıtlayın.

Çözüm: 1) n=3 için ifade doğrudur

 A 3 =3(3-3)/2=0 köşegenler;

A 2 A(3) doğrudur.

2) Diyelim ki her durumda

dışbükey bir k-gon-

A 1 x A k =k(k-3)/2 köşegenleri.

Ve k Bunu bir dışbükeyde kanıtlayalım

(k+1)-gon numarası

köşegenler A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

A 1 A 2 A 3 …A k A k+1 bir dışbükey (k+1)-gon olsun. İçine bir A 1 A k köşegeni çizelim. Saymak toplam sayısı bu (k+1)-gon'un köşegenlerini, k-gonundaki köşegenlerin sayısını saymanız gerekir A 1 A 2 ...A k, elde edilen k-2 sayısına ekleyin, yani. A k+1 köşesinden çıkan (k+1)-gon köşegenlerinin sayısı ve ayrıca A 1 A k köşegeni dikkate alınmalıdır.

Böylece,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Yani A(k)ÞA(k+1). Matematiksel tümevarım ilkesi nedeniyle bu ifade herhangi bir dışbükey n-gon için doğrudur.

ÖRNEK 4

Herhangi bir n için aşağıdaki ifadenin doğru olduğunu kanıtlayın:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

Çözüm: 1) n=1 olsun, o zaman

X 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1.

Bu, n=1 için ifadenin doğru olduğu anlamına gelir.

2) n=k olduğunu varsayalım

X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6.

3) n=k+1 için bu ifadeyi düşünün

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

Eşitliğin n=k+1 için doğru olduğunu kanıtladık, dolayısıyla matematiksel tümevarım yöntemi sayesinde bu ifade herhangi bir n doğal sayısı için doğrudur.

ÖRNEK 5

Herhangi bir n doğal sayısı için eşitliğin doğru olduğunu kanıtlayın:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

Çözüm: 1) n=1 olsun.

O zaman X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

n=1 için ifadenin doğru olduğunu görüyoruz.

2) Eşitliğin n=k için doğru olduğunu varsayalım.