Doğada fraktallar nelerdir. sınırda fenomenleri göstermek için

Matematikte olağandışı özelliklere sahip kendine benzer kümeler

19. yüzyılın sonundan bu yana, matematikte klasik analiz açısından patolojik özelliklere sahip kendine benzer nesnelerin örnekleri ortaya çıkmıştır. Bunlar aşağıdakileri içerir:

• Cantor kümesi hiçbir yerde yoğun, sayılamayan mükemmel bir küme değildir. Prosedürü değiştirerek, hiçbir yerde yoğun bir pozitif uzunluk seti de elde edilebilir;
• Sierpinski üçgeni ("masa örtüsü") ve Sierpinski halısı, uçaktaki Cantor setinin analoglarıdır;
• Menger'in süngeri, üç boyutlu uzayda Cantor setinin bir benzeridir;
• hiçbir yerde türevlenemez sürekli fonksiyonun Weierstrass ve Van der Waerden örnekleri;
• Koch eğrisi, herhangi bir noktada teğeti olmayan, sonsuz uzunlukta, kendi kendini kesmeyen sürekli bir eğridir;
• Peano eğrisi, karenin tüm noktalarından geçen sürekli bir eğridir;
• Bir Brownian parçacığının yörüngesi de olasılık 1 ile hiçbir yerde türevlenemez. Hausdorff boyutu iki [ ] .

Fraktal eğrileri elde etmek için özyinelemeli prosedür

Büzülme Eşlemelerinin Sabit Noktaları Olarak Fraktallar

Kendine-benzerlik özelliği matematiksel olarak kesin olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Uçağın daralma haritaları olsun. Düzlemin tüm kompakt (kapalı ve sınırlı) alt kümeleri kümesinde aşağıdaki eşlemeyi göz önünde bulundurun: Ψ: K ↦ ∪ ben = 1 n ψ ben (K) (\ displaystyle \ Psi \ iki nokta üst üste K \ mapto \ fincan _ (i = 1) ^ (n) \ psi _ (i) (K))

haritalama olduğu gösterilebilir. Ψ (\ displaystyle \ Psi) Hausdorff metriği ile kompaktlar kümesi üzerinde bir daralma eşlemesidir. Sonuç olarak, Banach teoremi ile bu haritanın benzersiz bir sabit noktası vardır. Bu sabit nokta bizim fraktalımız olacak.

Yukarıda açıklanan fraktal eğrileri elde etmek için özyinelemeli prosedür, bu yapının özel bir durumudur. İçindeki tüm eşlemeler ψ ben, ben = 1,…, n (\ displaystyle \ psi _ (i), \, i = 1, \ nokta, n)- benzerlik ekranı ve n (\ görüntü stili n)- jeneratör bağlantılarının sayısı.

Karşılık gelen dinamik sistemlerin davranışına bağlı olarak düzlem noktalarını renklendirerek karmaşık dinamiklere dayalı güzel grafik görüntüler oluşturmak popülerdir. Örneğin Mandelbrot setini tamamlamak için aspirasyon hızına göre noktaları renklendirebilirsiniz. z n (\ görüntü stili z_ (n)) sonsuzluğa (en küçük sayı olarak tanımlanır) n (\ görüntü stili n) hangi | z n | (\ görüntü stili | z_ (n) |) sabit bir büyük değeri aşacak A (\ görüntü stili A)).

Biyomorflar, canlı organizmalara benzeyen karmaşık dinamiklere dayanan fraktallardır.

stokastik fraktallar

Doğal nesnelerin şekli genellikle fraktaldır. Bunları modellemek için stokastik (rastgele) fraktallar kullanılabilir. Stokastik fraktal örnekleri:

• düzlemde ve uzayda Brown hareketinin yörüngesi;
• düzlemdeki Brown hareketinin yörüngesinin sınırı. 2001'de Lawler, Schramm ve Werner, Mandelbrot'un boyutunun 4/3 olduğu varsayımını kanıtladılar.
• Schramm-Löwner evrimleri - örneğin Ising ve süzülme modelinde, istatistiksel mekaniğin kritik iki boyutlu modellerinde ortaya çıkan uyumlu olarak değişmez fraktal eğriler.
• Farklı çeşit rastgele fraktallar, yani her adımda rastgele bir parametrenin girildiği özyinelemeli bir prosedür kullanılarak elde edilen fraktallar. Plazma, bilgisayar grafiklerinde böyle bir fraktalın kullanımına bir örnektir.

Fraktal özelliklere sahip doğal nesneler

Doğal nesneler ( yarı fraktallar) yapının eksikliği ve kesin olmayan tekrarları ile ideal soyut fraktallardan farklıdır. Doğal olarak oluşan fraktal benzeri yapıların çoğu (bulut sınırları, kıyı şeridi, ağaçlar, bitki yaprakları, mercanlar, ...) fraktal yapı küçük ölçekte kaybolduğu için yarı fraktallardır. Canlı bir hücrenin boyutu ve nihayetinde moleküllerin boyutu tarafından getirilen sınırlamalar nedeniyle doğal yapılar ideal fraktallar olamazlar.

• Vahşi yaşamda:
  • Deniz yıldızı ve kestaneler
  • Çiçekler ve bitkiler (brokoli, lahana)
  • Ağaçların taçları ve bitkilerin yaprakları
  • Meyve (ananas)
  • İnsan ve hayvanların dolaşım sistemi ve bronşları
• Cansız doğada:
  • Coğrafi nesnelerin sınırları (ülkeler, bölgeler, şehirler)
  • Pencere camlarında ayaz desenler
  • Sarkıtlar, dikitler, helikitler.

Başvuru

Doğa Bilimleri

Fizikte fraktallar, türbülanslı sıvı akışı, karmaşık difüzyon-yüzme süreçleri, alevler, bulutlar ve benzerleri gibi doğrusal olmayan süreçler modellenirken doğal olarak ortaya çıkar. Fraktallar, petrokimya gibi gözenekli malzemeleri modellemek için kullanılır. Biyolojide, popülasyonları modellemek ve iç organ sistemlerini (kan damarı sistemi) tanımlamak için kullanılırlar. Koch eğrisi oluşturulduktan sonra, boyut hesaplanırken kullanılması önerildi. kıyı şeridi.

radyo mühendisliği

fraktal antenler

Tasarımda fraktal geometriyi kullanma

Fraktal özellikler bir heves değildir ve matematikçilerin boş hayal gücünün meyvesi değildir. Onları inceleyerek, daha önce tamamen göz ardı edilmese de, yalnızca yaklaşık olarak, niteliksel olarak gözle değerlendirilen, çevremizdeki nesnelerin ve fenomenlerin önemli özelliklerini ayırt etmeyi ve tahmin etmeyi öğreniriz. Örneğin, doktorlar, karmaşık sinyallerin, ensefalogramların veya kalp üfürümlerinin fraktal boyutlarını karşılaştırarak, bazı ciddi hastalıkları, hastaya hala yardım edilebilecekken erken bir aşamada teşhis edebilirler. Benzer şekilde, analist, fiyatların önceki davranışını karşılaştırarak, modelin başlangıcında, modelin daha da gelişmesini öngörebilir, böylece tahminde büyük hatalardan kaçınabilir.

Fraktalların düzensizliği

Fraktalların ilk özelliği düzensizlikleridir. Bir fraktal bir fonksiyon tarafından tanımlanırsa, matematiksel terimlerdeki düzensizlik özelliği, böyle bir fonksiyonun türevlenebilir olmadığı, yani herhangi bir noktada düzgün olmadığı anlamına gelecektir. Aslında, bu pazarla en doğrudan ilişkiye sahiptir. Fiyat dalgalanmaları bazen o kadar değişken ve değişkendir ki birçok tüccarın kafasını karıştırır. Sizinle olan görevimiz tüm bu kaosu söküp düzene sokmak.

Bunu biliyor musun:çok çeşitli yatırım fırsatları Alpari'nin sağladığı, başka hiçbir Forex komisyoncusu övünemez.

Fraktalların kendine benzerliği

İkinci özellik, bir fraktalın kendine benzerlik özelliğine sahip bir nesne olduğunu söyler. Bu, her bir parçası geliştirme sürecinde tüm modelin gelişimini bir bütün olarak tekrarlayan ve görünür değişiklikler olmaksızın çeşitli ölçeklerde yeniden üretilen özyinelemeli bir modeldir. Bununla birlikte, nesneyi algılamamızı büyük ölçüde etkileyebilecek değişiklikler hala meydana gelir.

Kendine benzerlik, nesnenin karakteristik bir ölçeğine sahip olmadığı anlamına gelir: böyle bir ölçeği olsaydı, parçanın büyütülmüş kopyasını orijinal fotoğraftan hemen ayırt ederdiniz. Kendine benzer nesnelerin her zevke uygun sonsuz sayıda ölçeği vardır. Kendine benzerliğin özü aşağıdaki örnekle gösterilebilir. Önünüzde, Öklid'in çizgiyi tanımladığı gibi "gerçek" bir geometrik düz çizginin, "genişliksiz uzunluk"un bir anlık görüntüsünün olduğunu ve arkadaşınızla eğlendiğinizi, size orijinal anlık görüntüyü gösterip göstermediğini tahmin etmeye çalıştığınızı hayal edin. (orijinal) veya düz bir çizginin herhangi bir parçasının anlık görüntüsü. Ne kadar uğraşırsanız uğraşın, parçanın büyütülmüş kopyasından aslını asla ayırt edemezsiniz, düz çizgi tüm kısımlarında aynı şekilde düzenlenmiştir, kendisine benzer, ancak bu dikkat çekici özelliği biraz farklıdır. düz çizginin karmaşık olmayan yapısı, "düzlüğü" tarafından gizlenmiştir (Şekil 7).

Benzer şekilde, bir nesnenin anlık görüntüsü ile herhangi bir parçasının uygun şekilde büyütülmüş bir anlık görüntüsünü ayırt edemiyorsanız, kendine benzer bir nesnenin önündesiniz demektir. En azından bir miktar simetriye sahip tüm fraktallar kendine benzerdir. Bu, yapılarının bazı parçalarının belirli uzamsal aralıklarla kesinlikle tekrarlandığı anlamına gelir. Açıkçası, bu nesneler herhangi bir nitelikte olabilir ve görünümleri ve şekilleri, ölçekten bağımsız olarak değişmeden kalır. Kendine benzer bir fraktal örneği:

Finansta bu kavram temelsiz bir soyutlama değil, pratik bir piyasa özdeyişinin teorik olarak yeniden formüle edilmesidir - yani, bir hisse senedinin veya para biriminin hareketlerinin zaman çerçevesi ve fiyattan bağımsız olarak yüzeysel olarak benzer olduğu. Gözlemci, grafiğin görünümünden verilerin haftalık, günlük veya saatlik değişimler için olup olmadığını söyleyemez.

Elbette, tüm fraktallar, matematikçilerin ve sanatçıların hayal gücüyle doğan, gelecekteki fraktal sanat müzesinin o harika sergileri gibi düzenli, sonsuz tekrar eden bir yapıya sahip değildir. Doğal olarak oluşan birçok fraktal (kayaların ve metallerin fraktal yüzeyleri, bulutlar, döviz fiyatları, türbülanslı akışlar, köpük, jeller, kurum parçacıklarının konturları, vb.) geometrik benzerlikten yoksundur, ancak her parçada bütünün istatistiksel özelliklerini ısrarla yeniden üretir. Doğrusal olmayan bir gelişim biçimine sahip fraktallar, Mandelbrot tarafından multifraktallar olarak adlandırılmıştır. Bir multifraktal, değişken fraktal boyutları olan yarı fraktal bir nesnedir. Doğal olarak, gerçek nesneler ve süreçler multifraktallarla çok daha iyi tanımlanır.

Bu istatistiksel öz-benzerlik veya ortalama öz-benzerlik, birçok doğal nesne arasında fraktalları ayırt eder.

Bir öz-benzerlik örneği düşünün Döviz piyasası:

Bu şekillerde, Şekil 2'de farklı bir zaman ölçeğine sahip olmakla birlikte benzer olduklarını görüyoruz. 15 dakikalık bir ölçek, Şek. b haftalık fiyat ölçeği. Görüldüğü gibi bu alıntılar birbirini mükemmel bir şekilde tekrar etme özelliğine sahip değildir, ancak benzer olduğunu düşünebiliriz.

En basit fraktallar bile - geometrik olarak kendine benzer fraktallar - olağandışı özelliklere sahiptir. Örneğin, bir von Koch kar tanesi, sonlu bir alanı sınırlamasına rağmen sonsuz uzunlukta bir çevreye sahiptir (Şekil 9). Ayrıca, o kadar dikenlidir ki, konturun hiçbir noktasında ona teğet çizilemez (bir matematikçi, bir von Koch kar tanesinin hiçbir yerde türevlenebilir olmadığını, yani hiçbir noktada pürüzsüz olmadığını söyler).

Mandelbrot, nesne düzensizliğinin değişen derecelerde amplifikasyonu için kesirli ölçüm sonuçlarının sabit kaldığını buldu. Yani her türlü düzensizliğin bir düzenliliği (doğruluk, düzenlilik) vardır. Bir şeyin rastgele bir şekilde ortaya çıktığını düşündüğümüzde, bu, bu rastgeleliğin doğasını anlamadığımızı gösterir. Piyasa açısından bu, aynı tipik oluşumların oluşumunun farklı zaman dilimlerinde gerçekleşmesi gerektiği anlamına gelir. Bir dakikalık çizelge, fraktal oluşumu aylık olanla aynı şekilde tanımlayacaktır. Emtia ve finans piyasaları tablolarında bulunan bu “kendine benzerlik”, piyasa eylemlerinin ekonomik, temel analiz davranışından ziyade “doğa” davranışı paradigmasına daha yakın olduğunun tüm işaretlerini göstermektedir.

Bu rakamlarda, yukarıdakilerin onayını bulabilirsiniz. Solda, sağda dakika ölçeğine sahip bir grafik görebilirsiniz - haftalık. Dolar / Yen (Şekil 9 (a)) ve Euro / Dolar (Şekil 9 (b)) döviz çiftlerini farklı fiyat ölçekleriyle göstermektedir. JPY/USD döviz çifti EUR/USD'ye göre farklı bir oynaklığa sahip olsa da aynı fiyat hareket yapısını gözlemleyebiliriz.

Fraktal boyut

Fraktalların üçüncü özelliği, fraktal nesnelerin Öklid'den farklı bir boyuta (başka bir deyişle topolojik boyut) sahip olmasıdır. Fraktal boyut, eğrinin karmaşıklığının bir göstergesidir. Farklı fraktal boyutlara sahip kesitlerin değişimini ve sistemin dış ve iç faktörlerden nasıl etkilendiğini analiz ederek, sistemin davranışını tahmin etmeyi öğrenebilir. Ve en önemlisi, kararsız koşulları teşhis edin ve tahmin edin.

Modern matematiğin cephaneliğinde Mandelbrot, nesnelerin kusurluluğunun uygun bir nicel ölçüsünü buldu - konturun kıvrımlılığı, yüzey kırışması, kırılma ve hacmin gözenekliliği. İki matematikçi - Felix Hausdorff (1868-1942) ve Abram Samoilovich Besicovich (1891-1970) tarafından önerildi. Artık yaratıcılarının şanlı isimlerini (Hausdorff - Besicovich boyutu) - Hausdorff - Besicovich boyutunu hak ediyor. Boyut nedir ve finansal piyasaların analizi ile ilgili olarak neden buna ihtiyacımız var? Ondan önce sadece bir tür boyut biliyorduk - topolojik (Şekil 11). Boyut kelimesinin kendisi, bir nesnenin kaç boyutu olduğunu gösterir. Bir segment, düz bir çizgi için 1'e eşittir, yani. sadece bir boyutumuz var, yani bir doğru parçasının veya bir doğrunun uzunluğu. Bir düzlem için boyut 2 olacaktır, çünkü iki boyutlu bir boyutumuz, uzunluğumuz ve genişliğimiz vardır. Uzay veya hacimsel nesneler için boyut 3'tür: uzunluk, genişlik ve yükseklik.

Bilgisayar oyunlarıyla ilgili bir örneğe bakalım. Oyun 3B grafiklerde yapılırsa, uzamsal ve hacimseldir, 2B grafiklerde ise grafikler bir düzlemde gösterilir (Şekil 10).

Hausdorff-Besicovitch boyutundaki en olağandışı (daha doğrusu - olağandışı olurdu), topolojik bir boyut gibi sadece tam sayıları değil, aynı zamanda kesirli değerleri de alabilmesiydi. Düz bir çizgi (sonsuz, yarı-sonsuz veya sonlu bir segment için) için bire eşit olan Hausdorff - Besicovitch boyutu, artan kıvrımlılıkla artarken topolojik boyut, çizgide meydana gelen tüm değişiklikleri inatla görmezden gelir.

Boyut, bir setin karmaşıklığını karakterize eder (örneğin, düz bir çizgi). Bu, topolojik boyutu 1'e (düz çizgi) eşit olan bir eğri ise, o zaman eğri sonsuz sayıda bükülme ve dallanma ile fraktal boyutu ikiye yaklaşacak kadar karmaşık hale gelebilir, yani. neredeyse tüm düzlemi doldurur (şek. 12)

Değerini artıran Hausdorff - Besicovitch boyutu, topolojik boyutun "yerinde" yapacağı gibi, 1'den doğrudan 2'ye geçiş yapacağı için onu aniden değiştirmez. Hausdorff - Besicovitch boyutu - ve bu ilk bakışta olağandışı görünebilir ve şaşırtıcı, kesirli değerler alır: düz bir çizgi için bire eşit, hafif sarmalı bir çizgi için 1,15'e, daha fazla sarmalı bir çizgi için 1,2'ye, çok sarmal bir çizgi için 1,5'e eşit olur, vb.

Hausdorff-Besicovich boyutunun kesirli, tamsayı olmayan değerleri alma yeteneğini özellikle vurgulamak için Mandelbrot'un neolojizmi ile ortaya çıkardığı ve onu fraktal bir boyut olarak adlandırdığı. Dolayısıyla, fraktal boyut (yalnızca Hausdorff-Besicovich değil, başka herhangi bir boyut) tam olarak değil, aynı zamanda kesirli değerleri de alabilen bir boyuttur.

Doğrusal geometrik fraktallar için boyut, kendi kendine benzerliklerini karakterize eder. Şek. 17 (A), çizgi, her birinin uzunluğu r = 1/3 olan N = 4 doğru parçasından oluşur. Sonuç olarak, oranı elde ederiz:

D = logN / log (1 / r)

Multifraktallardan (doğrusal olmayan) bahsettiğimizde durum tamamen farklıdır. Burada boyut, bir nesnenin benzerliğinin tanımı olarak anlamını kaybeder ve kendine benzer nesnelerin benzersiz boyutundan çok daha az doğal olan çeşitli genellemeler yoluyla belirlenir.

Döviz piyasasında boyut, fiyat tekliflerinin oynaklığını karakterize etmek için kullanılabilir. Her döviz çifti, fiyat ölçeğinde kendi davranışı ile karakterize edilir. Pound/Dolar çifti için (Şekil 13(a)) Euro/Dolar çiftinden (Şekil 13(b)) daha sakindir. En ilginç şey, bu para birimlerinin fiyat seviyelerine aynı yapı içinde hareket etmesi, ancak boyutlarının farklı olması, gün içi ticareti ve deneyimsiz bir gözün gözünden kaçan kalıplardaki değişiklikleri etkileyebiliyor.

İncirde. 14, ilgili boyutu gösterir matematiksel model, bu terimin anlamına daha derinlemesine nüfuz edebilmeniz için. Her üç resmin de bir döngü gösterdiğine dikkat edin. İncirde. ve boyut, Şekil 1'de 1.2'dir. b boyut 1.5'tir ve Şek. 1.9'da. Boyuttaki bir artışla, bir nesnenin algılanmasının daha karmaşık hale geldiği ve salınımların genliğinin arttığı görülebilir.

Finansal piyasalarda, boyutsallık sadece fiyat oynaklığının kalitesine değil, aynı zamanda döngülerin (dalgaların) detaylandırılmasına da yansır. Onun sayesinde bir dalganın belirli bir zaman ölçeğine aitliğini ayırt edebileceğiz. İncirde. 15, günlük fiyat ölçeğinde Euro / Dolar çiftini gösterir. Dikkat edin, oluşan döngüyü ve yeni, daha büyük bir döngünün başlangıcını açıkça görebilirsiniz. Saatlik ölçeğe geçerek ve döngülerden birini artırarak, daha küçük döngüleri ve D1'de bulunan büyük döngünün bir kısmını fark edebileceğiz (Şekil 16). Döngülerin detaylandırılması, ör. boyutları, durumun gelecekte nasıl gelişebileceğini başlangıç ​​koşullarından belirlememizi sağlar. Şunu söyleyebiliriz: fraktal boyut, söz konusu kümenin ölçek değişmezliği özelliğini yansıtır.

Değişmezlik kavramı Mandelbrot tarafından "sızdırmazlık maddesi" - ölçeklenebilir, yani. bir nesne değişmezlik özelliğine sahip olduğunda, farklı görüntü ölçeklerine sahiptir.

İncirde. 16, daire A bir mini döngüyü (ayrıntılı dalga), daire B - daha büyük bir döngünün dalgasını işaretler. Tam olarak boyutsallık nedeniyle, TÜM döngüleri her zaman aynı fiyat ölçeğinde belirleyemeyiz.

Forex Piyasasında Döngüler bölümünde periyodik olmayan döngülerin gelişiminin tanımı ve özellikleri ile ilgili sorunlardan bahsedeceğiz, şimdi bizim için asıl olan boyutun finansal piyasalarda nasıl ve nerede kendini gösterdiğini anlamaktı.

Böylece, gerçek bir nesne klasik modeller biçiminde temsil edilemediğinde model olarak fraktalların kullanıldığını söyleyebiliriz. Bu, verilerin doğrusal olmayan ilişkiler ve deterministik olmayan (rastgele) doğasıyla uğraştığımız anlamına gelir. Dünya görüşü anlamında doğrusal olmama, gelişim yollarının çok değişkenli olması, alternatif yollardan bir seçimin varlığı ve belirli bir evrim hızının yanı sıra evrimsel süreçlerin geri döndürülemezliği anlamına gelir. Matematiksel anlamda doğrusal olmama, birden büyük güçlerde istenen miktarları veya ortamın özelliklerine bağlı katsayıları içeren belirli bir tür matematiksel denklem (doğrusal olmayan diferansiyel denklemler) anlamına gelir. Doğrusal olmayan dinamik bir sistemin basit bir örneği:

Johnny yılda 2 inç uzar. Bu sistem Johnny'nin boyunun zamanla nasıl değiştiğini açıklıyor. Bu yıl Johnny'nin boyu x (n) olsun. Gelecek yılki büyümesi x (n + 1) olarak yazılsın. Daha sonra dinamik sistemi bir denklem şeklinde yazabiliriz:

x (n + 1) = x (n) + 2.

Görmek? Bu basit matematik değil mi? Bugün Johnny'nin boyunu x (n) = 38 inç olarak girersek, Sağ Taraf gelecek yıl Johnny'nin boyunu alacağımız denklem, x (n + 1) = 40 inç:

x (n + 1) = x (n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Bir denklemde sağdan sola hareket etmeye yineleme (tekrarlama) denir. Johnny'nin yeni yüksekliğini 40 inç denklemin yanına koyarak (yani x (n) = 40) denklemi tekrarlayabiliriz ve x (n + 1) = 42 elde ederiz. Denklemi yinelersek (tekrar edersek) 3 kez, Johnny'nin boyunu 3 yılda, yani 38 inçten başlayarak 44 inç elde ederiz.

Deterministik dinamik bir sistemdir. Bunu deterministik olmayan (stokastik) yapmak isteseydik, şöyle bir model yapabilirdik: Johnny yılda 2 inç, aşağı yukarı uzar ve denklemi şu şekilde yazarız:

x (n + 1) = x (n) + 2 + e

burada e küçük bir hatadır (2'ye göre küçük), belirli bir olasılık dağılımını temsil eder.

Orijinal deterministik denkleme geri dönelim. Orijinal denklem, x (n + 1) = x (n) + 2, doğrusaldır. Doğrusal, değişkenler veya sabitler eklediğiniz veya değişkenleri sabitlerle çarptığınız anlamına gelir. Örneğin, denklem

z (n + l) = z (n) + 5 y (n) -2 x (n)

doğrusaldır. Ancak değişkenleri çarparsanız veya birden büyük bir güce yükseltirseniz, denklem (sistem) doğrusal olmaz. Örneğin, denklem

x (n + 1) = x (n) 2

x (n) kare olduğundan doğrusal değildir. denklem

x ve y değişkenleri çarpıldığı için doğrusal değildir.

Klasik modelleri uyguladığımızda (örneğin, trend, regresyon, vb.), bir nesnenin geleceğinin açık bir şekilde deterministik olduğunu söyleriz, yani. tamamen başlangıç ​​koşullarına bağlıdır ve kendisini net bir tahmine borçludur. Bu modellerden birini Excel'de kendiniz yapabilirsiniz. Klasik bir modelin bir örneği, sürekli azalan veya artan bir trend şeklinde sunulabilir. Ve nesnenin geçmişini bilerek davranışını tahmin edebiliriz (modelleme için ilk veriler). Ve fraktallar, nesnenin çeşitli geliştirme seçeneklerine sahip olduğu ve sistemin durumu, o anda bulunduğu konuma göre belirlendiği zaman kullanılır. Yani, kaotik gelişmeyi simüle etmeye çalışıyoruz. Bankalararası döviz piyasası tam da böyle bir sistemdir.

Şimdi düz bir çizgiden, doğal özellikleriyle fraktal dediğimiz şeyi nasıl elde edebileceğinize bakalım.

İncirde. 17 (A) Koch eğrisini gösterir. Bir doğru parçası alın, uzunluğu = 1, yani. hala topolojik boyut. Şimdi onu üç parçaya böleceğiz (her biri 1/3 uzunluğunda) ve ortadaki üçte birini çıkaracağız. Ancak ortadaki üçte birlik kısmı, bir eşkenar üçgenin iki kenarı olarak düşünülebilecek iki doğru parçasıyla (her biri uzunluğunun 1/3'ü) değiştireceğiz. Bu aşama iki (b) tasarımı Şekil 2'de gösterilmektedir. 17 (A). Bu noktada her biri 1/3 uzunluğunda 4 küçük paya sahibiz, böylece tüm uzunluk 4 (1/3) = 4/3 olur. Daha sonra bu işlemi 4 küçük çizgi vuruşunun her biri için tekrarlarız. Bu aşama üç (c). Bu bize her biri 1/9 uzunluğunda 16 daha küçük çizgi parçası verecektir. Yani tüm uzunluk şimdi 16/9 veya (4/3) 2'dir. Sonuç olarak, kesirli bir boyut elde ettik. Ancak sadece bu, oluşturulan yapıyı düz çizgiden ayırmaz. Kendine benzer hale geldi ve herhangi bir noktasında teğet çizmek imkansız (Şekil 17 (B)).

Herkese merhaba! Benim ismim, Ribenek Valeria, Ulyanovsk ve bugün bilimsel makalelerimden birkaçını LKI web sitesinde yayınlayacağım.

Bu blogdaki ilk bilimsel makalem, fraktallar... Hemen makalelerimin hemen hemen her izleyici için tasarlandığını söyleyeceğim. Onlar. Umarım hem okul çocukları hem de öğrenciler için ilgi çekici olur.

Son zamanlarda matematik dünyasının fraktallar gibi ilginç nesnelerini öğrendim. Ama onlar sadece matematikte mevcut değiller. Her yerde bizi çevreliyorlar. Fraktallar doğaldır. Bu yazıda fraktalların ne olduğundan, fraktal türleri, bu nesnelerin örneklerinden ve uygulamalarından bahsedeceğim. Başlangıç ​​olarak, size kısaca fraktalın ne olduğunu anlatacağım.

fraktal(Latin fractus - ezilmiş, kırılmış, kırılmış), kendine benzerlik özelliğine sahip, yani her biri bir bütün olarak bütün şekle benzeyen birkaç parçadan oluşan karmaşık bir geometrik figür. Daha geniş anlamda, fraktallar, Öklid uzayında kesirli bir metrik boyuta (Minkowski veya Hausdorff anlamında) veya topolojik dışında bir metrik boyuta sahip nokta kümeleri olarak anlaşılır. Örnek olarak, dört farklı fraktalın resmini ekleyeceğim.

Size biraz fraktalların tarihçesinden bahsedeceğim. 70'lerin sonlarında ortaya çıkan fraktal ve fraktal geometri kavramları, 80'lerin ortalarından itibaren matematikçilerin ve programcıların günlük yaşamının bir parçası haline geldi. "Fraktal" kelimesi, 1975 yılında Benoit Mandelbrot tarafından üzerinde çalıştığı düzensiz fakat kendine benzer yapılara atıfta bulunmak için icat edildi. Fraktal geometrinin doğuşu genellikle 1977'de Mandelbrot'un Doğanın Fraktal Geometrisi kitabının yayınlanmasıyla ilişkilendirilir. Çalışmalarında, 1875-1925 döneminde aynı alanda çalışan diğer bilim adamlarının (Poincare, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) bilimsel sonuçlarını kullandı. Ancak çalışmalarını tek bir sistemde birleştirmek yalnızca zamanımızda mümkün oldu.

Fraktalların birçok örneği var, çünkü dediğim gibi, bizi her yerde çevreliyorlar. Benim düşünceme göre, tüm Evrenimiz bile devasa bir fraktaldır. Sonuçta, atomun yapısından Evrenin kendisinin yapısına kadar içindeki her şey birbirini aynen tekrarlar. Ama elbette daha fazlası var özel örnekler farklı alanlardan fraktallar. Örneğin fraktallar karmaşık dinamiklerde bulunur. Orada doğal olarak doğrusal olmayan çalışmalarda ortaya çıkıyorlar. dinamik sistemler... En çok çalışılan durum, dinamik sistemin yinelemelerle belirtilmesidir. polinom veya holomorfik değişkenler kompleksinin bir fonksiyonu yüzeyde. Bu türden en ünlü fraktallardan bazıları Julia kümesi, Mandelbrot kümesi ve Newton'un havzalarıdır. Aşağıda, sırayla, resimler yukarıdaki fraktalların her birini göstermektedir.

Fraktallara başka bir örnek de fraktal eğrilerdir. Fraktal eğrileri örneğini kullanarak bir fraktalın nasıl oluşturulacağını açıklamak en iyisidir. Bu eğrilerden biri sözde Koch Kar Tanesi'dir. var basit prosedür düzlemde fraktal eğriler elde etmek. Jeneratör adı verilen sınırlı sayıda bağlantıya sahip rastgele bir çoklu çizgi tanımlayalım. Ardından, içindeki her parçayı bir jeneratörle değiştiririz (daha doğrusu, jeneratöre benzer kesikli bir çizgi). Ortaya çıkan kesik çizgide, her segmenti tekrar bir jeneratörle değiştirin. Sonsuza kadar devam edersek, limitte fraktal bir eğri elde ederiz. Koch Kar Tanesi (veya eğrisi) aşağıda gösterilmiştir.

Ayrıca çok çeşitli fraktal eğriler vardır. Bunların en ünlüsü, daha önce bahsedilen Koch Kar Tanesi, ayrıca Levi eğrisi, Minkowski eğrisi, Dragon'un kırık eğrisi, Piyano eğrisi ve Pisagor ağacıdır. Bu fraktalların görüntüsünü ve tarihlerini, isterseniz Wikipedia'da kolayca bulabileceğinizi düşünüyorum.

Üçüncü örnek veya fraktal türü, stokastik fraktallardır. Bu fraktallar, düzlemde ve uzayda Brown hareketinin yörüngesini, Schramm-Löwner evrimini, çeşitli rastgele fraktal türlerini, yani her adımda rastgele bir parametrenin girildiği özyinelemeli bir prosedür kullanılarak elde edilen fraktalları içerir.

Ayrıca tamamen matematiksel fraktallar da vardır. Bunlar örneğin Cantor seti, Menger süngeri, Sierpinski üçgeni ve diğerleridir.

Ama belki de en ilginç fraktallar doğal olanlardır. Doğal fraktallar, doğada fraktal özelliklere sahip nesnelerdir. Ve burada liste zaten uzun. Her şeyi listelemeyeceğim çünkü muhtemelen hepsini listeleyemem ama size bazılarından bahsedeceğim. Örneğin, doğada bu tür fraktallar bizim kan dolaşım sistemi ve akciğerler. Ve ayrıca ağaçların taçları ve yaprakları. Ayrıca denizyıldızı içerir, deniz kestaneleri, mercanlar, deniz kabukları, lahana veya brokoli gibi bazı bitkiler. Yaban hayatından bu tür birkaç doğal fraktal aşağıda açıkça gösterilmiştir.

Cansız doğayı düşünürsek, o zaman ilginç örnekler yaşamaktan çok daha fazlası. Şimşek, kar taneleri, bulutlar, herkes tarafından iyi bilinir, soğuk günlerde pencerelerdeki desenler, kristaller, dağ sıraları - bunların hepsi cansız doğadan doğal fraktal örnekleridir.

Örnekleri ve fraktal türlerini inceledik. Fraktalların kullanımına gelince, çeşitli bilgi alanlarında kullanılırlar. Fizikte, fraktallar, aşağıdakiler gibi doğrusal olmayan süreçleri simüle ederken doğal olarak ortaya çıkar: türbülanslı akış sıvılar, karmaşık difüzyon-adsorpsiyon süreçleri, alevler, bulutlar, vb. Fraktallar, örneğin petrokimyada, gözenekli malzemelerin modellenmesinde kullanılır. Biyolojide, popülasyonları modellemek ve iç organ sistemlerini (kan damarı sistemi) tanımlamak için kullanılırlar. Koch eğrisinin oluşturulmasından sonra, kıyı şeridinin uzunluğu hesaplanırken kullanılması önerildi. Fraktallar ayrıca radyo mühendisliği, bilişim ve bilgisayar teknolojisi, telekomünikasyon ve hatta ekonomide aktif olarak kullanılmaktadır. Ve elbette, fraktal görüş, çağdaş sanat ve mimaride aktif olarak kullanılmaktadır. İşte fraktal resimlere bir örnek:

Ve böylece, fraktal gibi alışılmadık bir matematiksel fenomen hakkındaki hikayemi tamamlamayı düşünüyorum. Bugün fraktalın ne olduğunu, nasıl ortaya çıktığını, fraktal çeşitlerini ve örneklerini öğrendik. Ayrıca uygulamalarından bahsettim ve bazı fraktalları görsel olarak gösterdim. Umarım şaşırtıcı ve büyüleyici fraktal nesnelerin dünyasına bu kısa geziyi beğenmişsinizdir.

Bir ağaç, bir deniz kıyısı, bir bulut veya elimizdeki kan damarlarının ortak noktası nedir? İlk bakışta, tüm bu nesnelerin ortak hiçbir yanı yokmuş gibi görünebilir. Bununla birlikte, aslında, listelenen tüm nesnelerin doğasında bulunan bir yapı özelliği vardır: kendilerine benzerler. Daldan ve ağacın gövdesinden, onlardan daha küçük dallar vardır - hatta daha küçük olanlar, vb., yani dal bütün ağaç gibidir. Dolaşım sistemi benzer şekilde düzenlenmiştir: arteriyoller arterlerden ayrılır ve onlardan oksijenin organlara ve dokulara girdiği en küçük kılcal damarlar. Deniz kıyısının uydu görüntülerine bakalım: koyları ve yarımadaları göreceğiz; bir de kuşbakışı bakalım: koylar ve burunlar göreceğiz; Şimdi sahilde durduğumuzu ve ayaklarımıza baktığımızı düşünelim: Her zaman suya diğerlerinden daha fazla taşan çakıl taşları vardır. Yani yakınlaştırıldığında kıyı şeridi kendisine benzer kalıyor. Amerikalı (Fransa'da yetiştirilmiş olsa da) matematikçi Benoit Mandelbrot, nesnelerin bu özelliğini fraktallık olarak adlandırdı ve bu tür nesnelerin kendileri - fraktallar (Latin fraktusundan - kırık).

Bu kavramın kesin bir tanımı yoktur. Bu nedenle "fraktal" kelimesi matematiksel bir terim değildir. Genellikle bir fraktal, aşağıdaki özelliklerden bir veya daha fazlasını karşılayan bir geometrik şekil olarak adlandırılır: Herhangi bir büyütmede karmaşık bir yapıya sahiptir (örneğin, herhangi bir kısmı en basit geometrik şekil olan düz bir çizginin aksine - bir çizgi segmenti). (Yaklaşık olarak) kendine benzer. Topolojik olandan daha büyük olan kesirli bir Hausdorff (fraktal) boyutuna sahiptir. Özyinelemeli prosedürlerle oluşturulabilir.

Geometri ve Cebir

19. ve 20. yüzyılların başında fraktalların incelenmesi sistematikten daha epizodikti, çünkü daha önceki matematikçiler esas olarak aşağıdakileri kullanarak araştırmaya uygun "iyi" nesneler üzerinde çalıştılar. yaygın yöntemler ve teoriler. 1872'de Alman matematikçi Karl Weierstrass, hiçbir yerde türevi alınamayan sürekli bir fonksiyon örneği oluşturur. Ancak, yapısı tamamen soyuttu ve algılanması zordu. Bu nedenle, 1904'te İsveçli Helge von Koch, hiçbir yerde teğeti olmayan ve çizilmesi oldukça basit olan sürekli bir eğri icat etti. Bir fraktalın özelliklerine sahip olduğu ortaya çıktı. Bu eğrinin varyantlarından birine "Koch kar tanesi" denir.

Figürlerin kendi kendine benzerlik fikirleri, Benoit Mandelbrot'un gelecekteki akıl hocası Fransız Paul Pierre Levy tarafından alındı. 1938'de, başka bir fraktal olan Lévy C-eğrisini tanımlayan "Bütüne benzer parçalardan oluşan düzlem ve uzaysal eğriler ve yüzeyler" adlı makalesini yayınladı. Yukarıdaki fraktalların tümü, şartlı olarak bir yapıcı (geometrik) fraktal sınıfına atfedilebilir.

Başka bir sınıf, Mandelbrot kümesini içeren dinamik (cebirsel) fraktallardır. Bu yöndeki ilk çalışmalar 20. yüzyılın başında başlamış ve Fransız matematikçi Gaston Julia ve Pierre Fatou'nun isimleriyle ilişkilendirilmiştir. 1918'de, Julia'nın karmaşık rasyonel fonksiyonların yinelemelerine ayrılmış neredeyse iki yüz sayfalık hatırası, Julia'nın kümelerinin tanımlandığı yayınlandı - Mandelbrot kümesiyle yakından ilişkili bütün bir fraktal ailesi. Bu eser Fransız Akademisi ödülüne layık görüldü, ancak tek bir illüstrasyon içermediği için keşfedilen nesnelerin güzelliğini takdir etmek imkansızdı. Bu çalışmanın Julia'yı zamanın matematikçileri arasında yüceltmesine rağmen, çabucak unutuldu. Bilgisayarlar ancak yarım yüzyıl sonra yeniden ilgi odağı oldu: Fraktallar dünyasının zenginliğini ve güzelliğini görünür kılan onlardı.

fraktal boyutlar

Bildiğiniz gibi bir geometrik şeklin boyutu (ölçü sayısı), bu şekil üzerinde bulunan bir noktanın konumunu belirlemek için gereken koordinat sayısıdır.
Örneğin, bir eğri üzerindeki bir noktanın konumu bir koordinatla, bir yüzeyde (mutlaka bir düzlem değil) iki koordinatla, üç boyutlu uzayda üç koordinatla belirlenir.
Daha genel bir matematiksel bakış açısından, boyutu şu şekilde tanımlayabilirsiniz: tek boyutlu (topolojik bir bakış açısından) nesneler (segment) için doğrusal boyutlardaki bir artış, diyelim ki iki kez, boyutta bir artışa yol açar. (uzunluk) iki kez, iki boyutlu (kare ) için doğrusal boyutlardaki aynı artış, boyutta (alan) 4 kat, üç boyutlu (küp) için - 8 kat artışa yol açar. Yani, "gerçek" (Hausdorff olarak adlandırılan) boyut, bir nesnenin "boyutundaki" bir artışın logaritmasının, onun doğrusal boyutundaki bir artışın logaritmasına oranı olarak hesaplanabilir. Yani, D segmenti için = log (2) / log (2) = 1, düzlem için D = log (4) / log (2) = 2, hacim için D = log (8) / log (2 ) = 3.
Şimdi, birim segmentin üç eşit parçaya bölündüğü ve orta aralığın bu segment olmadan bir eşkenar üçgen ile değiştirildiği yapı için Koch eğrisinin boyutunu hesaplayalım. Minimum segmentin lineer boyutlarında üç kat artış ile Koch eğrisinin uzunluğu log (4) / log (3) ~ 1.26 artar. Yani, Koch eğrisinin boyutu kesirlidir!

Bilim ve sanat

1982'de Mandelbrot'un, yazarın fraktallar hakkında o sırada mevcut olan hemen hemen tüm bilgileri toplayıp sistemleştirdiği ve kolay ve erişilebilir bir şekilde sunduğu "Doğanın Fraktal Geometrisi" kitabı yayınlandı. Mandelbrot sunumunda ana vurguyu hantal formüllere ve matematiksel yapılara değil, okuyucuların geometrik sezgilerine yaptı. Yazarın monografın bilimsel bileşenini ustaca seyrelttiği bilgisayar tarafından oluşturulan çizimler ve tarihi hikayeler sayesinde kitap en çok satanlar oldu ve fraktallar halk tarafından bilinir hale geldi. Matematikçi olmayanlar arasındaki başarıları, büyük ölçüde, bir lise öğrencisinin anlayabileceği çok basit yapılar ve formüllerin yardımıyla, şaşırtıcı karmaşıklık ve güzellikteki görüntülerin elde edilmesinden kaynaklanmaktadır. Kişisel bilgisayarlar yeterince güçlü hale geldiğinde, sanatta bütün bir eğilim bile ortaya çıktı - fraktal resim ve hemen hemen her bilgisayar sahibi bunu yapabilirdi. Artık internette bu konuya adanmış birçok siteyi kolayca bulabilirsiniz.

Koch eğrisini elde etme şeması

Savaş ve Barış

Yukarıda belirtildiği gibi, fraktal özelliklere sahip doğal nesnelerden biri kıyı şerididir. İlginç bir hikaye, Mandelbrot'un bilimsel makalesinin temelini oluşturan ve aynı zamanda "Doğanın Fraktal Geometrisi" kitabında da açıklanan uzunluğunu ölçme girişimi ile veya daha doğrusu onunla bağlantılıdır. Bu, çok yetenekli ve eksantrik bir matematikçi, fizikçi ve meteorolog olan Lewis Richardson tarafından sahnelenen bir deneydir. Araştırmasının yönlerinden biri, iki ülke arasında bir silahlı çatışmanın nedenleri ve olasılığının matematiksel bir tanımını bulma girişimiydi. Dikkate aldığı parametreler arasında, savaşan iki ülkenin ortak sınırının uzunluğu da vardı. Sayısal deneyler için veri toplarken, farklı kaynaklarda İspanya ve Portekiz arasındaki ortak sınır hakkındaki verilerin çok farklı olduğunu buldu. Bu onu aşağıdakileri keşfetmeye yöneltti: Bir ülkenin sınırlarının uzunluğu, onları ölçtüğümüz cetvele bağlıdır. Ölçek ne kadar küçük olursa, kenarlık o kadar uzun olur. Bunun nedeni, daha yüksek bir büyütme ile, daha önce ölçümlerin pürüzlülüğü nedeniyle göz ardı edilen daha fazla kıyı kıvrımının dikkate alınmasının mümkün hale gelmesidir. Ve ölçekteki her artışla, çizgilerin daha önce hesaba katılmamış kıvrımları açılacaksa, o zaman sınırların uzunluğunun sonsuz olduğu ortaya çıkar! Doğru, gerçekte bu olmaz - ölçümlerimizin doğruluğunun sınırlı bir sınırı vardır. Bu paradoksa Richardson etkisi denir.

Yapıcı (geometrik) fraktallar

Genel durumda yapıcı bir fraktal oluşturmaya yönelik algoritma aşağıdaki gibidir. Öncelikle iki uygun geometrik şekle ihtiyacımız var, bunlara taban ve parça diyelim. İlk aşamada, gelecekteki fraktalın temeli tasvir edilmiştir. Daha sonra bazı parçaları uygun bir ölçekte alınan bir parça ile değiştirilir - bu, inşaatın ilk yinelemesidir. Ardından, ortaya çıkan şekil bazı parçaları tekrar bir parçaya benzer şekillere dönüştürür, vb. Bu işleme süresiz olarak devam edersek, limitte bir fraktal elde ederiz.

Örnek olarak Koch eğrisini kullanarak bu sürece bakalım (önceki sayfadaki kenar çubuğuna bakın). Koch eğrisinin temeli olarak, herhangi bir eğri alabilirsiniz ("Koch kar tanesi" için bu bir üçgendir). Ancak kendimizi en basit durumla sınırlayacağız - bir segment. Parça, şeklin üst kısmında gösterilen kesik bir çizgidir. Algoritmanın ilk yinelemesinden sonra, bu durumda, ilk segment parçayla çakışacak, ardından onu oluşturan segmentlerin her biri, bir parçaya benzer kesikli bir çizgi ile değiştirilecektir, vb. Şekil, ilk dört adımını göstermektedir. bu süreç.

Matematik dilinde: dinamik (cebirsel) fraktallar

Bu tür fraktallar, doğrusal olmayan dinamik sistemlerin (dolayısıyla adı) incelenmesinde ortaya çıkar. Böyle bir sistemin davranışı, karmaşık bir doğrusal olmayan fonksiyon (polinom) f (z) ile tanımlanabilir. Karmaşık düzlemde bir z0 başlangıç ​​noktası alın (kenar çubuğuna bakın). Şimdi, karmaşık düzlemde, aşağıdakilerin her biri bir öncekinden elde edilen böyle sonsuz bir sayı dizisini düşünün: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn) ). z0 başlangıç ​​noktasına bağlı olarak, böyle bir dizi farklı şekillerde davranabilir: n -> ∞ gibi sonsuzluğa yönelir; bir son noktaya yakınsama; döngüsel olarak bir dizi sabit değer alın; daha karmaşık seçenekler de mümkündür.

Karışık sayılar

Karmaşık bir sayı, iki bölümden oluşan bir sayıdır - gerçek ve hayali, yani x + iy resmi toplamı (burada x ve y gerçek sayılardır). ben sözde. hayali birim, yani denklemi sağlayan bir sayı ben ^ 2 = -1. Temel matematiksel işlemler karmaşık sayılar üzerinden tanımlanır - toplama, çarpma, bölme, çıkarma (sadece karşılaştırma işlemi tanımlanmaz). Karmaşık sayıları görüntülemek için, genellikle geometrik bir temsil kullanılır - düzlemde (karmaşık olarak adlandırılır), gerçek kısım apsis üzerine ve hayali kısım ordinat üzerine yerleştirilir, karmaşık sayı ise Kartezyen ile bir noktaya karşılık gelir. x ve y koordinatları.

Böylece, karmaşık düzlemin herhangi bir z noktası, f (z) fonksiyonunun yinelemeleri sırasında kendi davranış karakterine sahiptir ve tüm düzlem parçalara bölünür. Bu durumda, bu parçaların sınırları üzerinde bulunan noktalar şu özelliğe sahiptir: keyfi olarak küçük bir yer değiştirme için, davranışlarının doğası keskin bir şekilde değişir (bu noktalara çatallanma noktaları denir). Böylece, belirli bir davranış tipine sahip nokta kümelerinin yanı sıra çatallanma noktaları kümelerinin de genellikle fraktal özelliklere sahip olduğu ortaya çıkıyor. Bunlar f (z) fonksiyonu için Julia kümeleridir.

ejderha ailesi

Tabanı ve parçayı değiştirerek inanılmaz çeşitlilikte yapıcı fraktallar elde edebilirsiniz.
Ayrıca üç boyutlu uzayda da benzer işlemler yapılabilir. Hacimsel fraktal örnekleri Menger süngeri, Sierpinski piramidi ve diğerleridir.
Ejderha ailesine yapıcı fraktallar da denir. Bazen kaşiflerin adıyla "Otoyol Harter'ın ejderhaları" olarak adlandırılırlar (biçimlerinde Çin ejderhalarına benzerler). Bu eğriyi çizmenin birkaç yolu vardır. Bunlardan en basit ve en sezgisel olanı şudur: yeterince uzun bir kağıt şeridi almanız (kağıt ne kadar ince olursa o kadar iyi) ve ikiye katlamanız gerekir. Ardından, ilk kez aynı yönde iki kez bükün. Birkaç tekrardan sonra (genellikle beş veya altı kattan sonra, şerit düzgün bir şekilde bükülemeyecek kadar kalınlaşır), şeridi geriye doğru bükmeniz ve katlarda 90˚ açı oluşturmaya çalışmanız gerekir. Daha sonra ejderhanın eğrisi profilde ortaya çıkacaktır. Elbette bu, fraktal nesneleri tasvir etmeye yönelik tüm girişimlerimiz gibi yalnızca bir yaklaşıklık olacaktır. Bilgisayar, bu süreçte daha birçok adımı tasvir etmenizi sağlar ve sonuç çok güzel bir rakamdır.

Mandelbrot seti biraz farklı bir şekilde inşa edilmiştir. fc (z) = z 2 + с fonksiyonunu düşünün, burada c bir karmaşık sayıdır. Bu fonksiyonun bir dizisini z0 = 0 ile oluşturalım, c parametresine bağlı olarak sonsuza kadar uzaklaşabilir veya sınırlı kalabilir. Ayrıca, bu dizinin sınırlandığı tüm c değerleri Mandelbrot kümesini oluşturur. Mandelbrot'un kendisi ve birçok matematikçi keşfeden diğer matematikçiler tarafından ayrıntılı olarak incelenmiştir. ilginç özellikler bu set.

Julia ve Mandelbrot kümelerinin tanımlarının birbirine benzediği görülmektedir. Aslında, bu iki küme yakından ilişkilidir. Yani, Mandelbrot kümesi, Julia kümesinin fc (z) bağlı olduğu karmaşık parametre c'nin tüm değerleridir (bazı ek koşullarla iki ayrık parçaya bölünemezse bir küme bağlı olarak adlandırılır).

Fraktallar ve yaşam

Bugün, fraktal teorisi, insan faaliyetinin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Araştırma için tamamen bilimsel bir nesneye ve daha önce bahsedilen fraktal resme ek olarak, bilgi teorisinde fraktallar grafik verileri sıkıştırmak için kullanılır (burada fraktalların kendi kendine benzerlik özelliği esas olarak kullanılır - sonuçta, küçük bir parçayı hatırlamak için). parçaların geri kalanını alabileceğiniz bir çizim ve dönüşümler, tüm dosyayı depolamaktan çok daha az bellek gerekir). Fraktalı tanımlayan formüllere rastgele pertürbasyonlar eklenerek, bazı gerçek nesneleri çok makul bir şekilde ileten stokastik fraktallar elde edilebilir - kabartma elementler, su kütlelerinin yüzeyi, bazı bitkiler, fizikte, coğrafyada ve bilgisayar grafiklerinde başarıyla kullanılır. simüle edilmiş nesnelerin gerçek nesnelerle benzerliği. Radyo elektroniğinde, son on yılda fraktal şekilli antenler üretmeye başladılar. Az yer kaplayarak oldukça yüksek kaliteli sinyal alımı sağlarlar. Ekonomistler, döviz kuru eğrilerini (30 yıl önce Mandelbrot tarafından keşfedilen bir özellik) tanımlamak için fraktalları kullanır. Bu, şaşırtıcı derecede güzel ve çeşitli fraktal dünyasına yapılan bu küçük geziyi sonlandırıyor.

70'lerin sonlarında ortaya çıkan fraktal ve fraktal geometri kavramları, 80'lerin ortalarından itibaren matematikçilerin ve programcıların günlük yaşamının bir parçası haline geldi. Fraktal kelimesi Latince fraktustan türetilmiştir ve çeviri anlamında parçalardan oluşan anlamındadır. Benoit Mandelbrot tarafından 1975'te üzerinde çalıştığı düzensiz fakat kendine benzer yapıları belirtmek için önerildi. Fraktal geometrinin doğuşu genellikle Mandelbrot'un 1977'de The Fraktal Geometry of Nature adlı kitabının yayınlanmasıyla ilişkilendirilir. Çalışmaları, 1875-1925 döneminde aynı alanda çalışan diğer bilim adamlarının (Poincaré, Fatou, Julia, vb.) Cantor, Hausdorff Ancak onların çalışmalarını tek bir sistemde birleştirmek ancak zamanımızda mümkün oldu.
Fraktalların günümüzde bilgisayar grafiklerindeki rolü oldukça büyüktür. Örneğin, çok karmaşık şekillerdeki çizgileri ve yüzeyleri tanımlamak için birkaç katsayı yardımıyla gerektiğinde kurtarmaya gelirler. Bilgisayar grafikleri açısından, yapay bulutlar, dağlar, deniz yüzeyleri oluşturmak için fraktal geometri vazgeçilmezdir. Aslında bulundu kolay yol görüntüleri doğal olanlara çok benzeyen karmaşık Öklid olmayan nesnelerin temsilleri.
Kendi kendine benzerlik, fraktalların temel özelliklerinden biridir. En basit durumda, fraktalın küçük bir kısmı tüm fraktal hakkında bilgi içerir. Mandelbrot tarafından verilen bir fraktal tanımı kulağa şöyle gelir: "Bir fraktal, bir anlamda bütüne benzeyen parçalardan oluşan bir yapıdır."

var Büyük sayı fraktal denilen matematiksel nesneler (Sierpinski üçgeni, Koch kar tanesi, Peano eğrisi, Mandelbrot seti ve Lorentzian çekicileri). Fraktallar, birçok fiziksel olayı ve oluşumu büyük bir doğrulukla tanımlar. gerçek dünya: dağlar, bulutlar, çalkantılı (girdap) akıntılar, ağaçların kökleri, dalları ve yaprakları, kan damarları, basit geometrik şekillerden uzak. Benoit Mandelbrot ilk kez çığır açan "Doğanın Fraktal Geometrisi" adlı çalışmasında dünyamızın fraktal doğası hakkında konuştu.
Fraktal terimi, Benoit Mandelbrot tarafından 1977'de "Fractals, Form, Chaos and Dimension" adlı temel çalışmasında tanıtıldı. Mandelbrot'a göre fraktal kelimesi, bir fraktalın özünü "kırık", düzensiz bir küme olarak yansıtan Latince fraktus - fraksiyonel ve frangere - kırmak kelimelerinden gelir.

Fraktalların sınıflandırılması.

Tüm fraktal çeşitlerini temsil etmek için genel kabul görmüş sınıflandırmalarına başvurmak uygundur. Fraktalların üç sınıfı vardır.

1. Geometrik fraktallar.

Bu sınıfın fraktalları en açıklayıcı olanlardır. İki boyutlu durumda, jeneratör adı verilen bir çoklu çizgi (veya üç boyutlu durumda yüzey) kullanılarak elde edilirler. Algoritmanın bir adımında, çoklu çizgiyi oluşturan bölümlerin her biri, karşılık gelen ölçekte bir çoklu çizgi oluşturucu ile değiştirilir. Bu işlemin sonsuz tekrarı sonucunda geometrik bir fraktal elde edilir.

Bu tür fraktal nesnelerden birinin örneğini ele alalım - Koch triad eğrisi.

Üçlü Koch eğrisinin oluşturulması.

1 uzunluğunda düz bir doğru parçası alın. tohum... Çekirdeği 1/3 uzunluğunda üç eşit parçaya bölün, orta kısmı atın ve 1/3 uzunluğunda iki halkadan oluşan kesik bir çizgi ile değiştirin.

Toplam uzunluğu 4/3 olan 4 bağlantıdan oluşan bir çoklu çizgi elde edeceğiz - sözde birinci nesil.

Koch eğrisinin bir sonraki nesline geçmek için, her bir bağlantının orta kısmını atmak ve değiştirmek gerekir. Buna göre, ikinci neslin uzunluğu 16/9, üçüncü - 64/27 olacaktır. Bu işleme süresiz olarak devam edersek, sonuç bir üçlü Koch eğrisi olur.

Şimdi Koch triad eğrisinin kutsal adalarını ele alalım ve fraktallara neden "canavar" denildiğini öğrenelim.

İlk olarak, bu eğrinin uzunluğu yoktur - gördüğümüz gibi, uzunluğu nesil sayısıyla birlikte sonsuz olma eğilimindedir.

İkinci olarak, bu eğriye bir teğet oluşturmak imkansızdır - her noktası, türevin bulunmadığı bir bükülme noktasıdır - bu eğri düzgün değildir.

Uzunluk ve pürüzsüzlük, hem Öklid geometrisi hem de Lobachevsky, Riemann'ın geometrisi tarafından incelenen eğrilerin temel özellikleridir. Geleneksel geometrik analiz yöntemlerinin Koch eğrisi üçlüsüne uygulanamaz olduğu ortaya çıktı, bu nedenle Koch eğrisi bir canavar - geleneksel geometrilerin pürüzsüz sakinleri arasında bir "canavar" oldu.

Harter-Haytway "ejderhasını" inşa etmek.

Başka bir fraktal nesne elde etmek için yapım kurallarını değiştirmeniz gerekir. Üreten eleman dik açılarla bağlanmış iki eşit parça olsun. Sıfır nesilde, köşe üstte olacak şekilde birim segmenti bu üretici elemanla değiştirin. Böyle bir değiştirme ile bağlantının ortasının kaydığını söyleyebiliriz. Sonraki nesiller oluşturulurken kural yerine getirilir: soldaki ilk bağlantı bir üretici eleman ile değiştirilir, böylece bağlantının ortası hareket yönünün soluna kaydırılır ve sonraki bağlantılar değiştirilirken, segmentlerin orta noktalarının yer değiştirme yönleri değişmelidir. Şekil, yukarıdaki prensibe göre inşa edilen eğrinin ilk birkaç neslini ve 11. neslini göstermektedir. Eğri, n sonsuza doğru gittiği için Harter-Heitway ejderhası olarak adlandırılır.
Bilgisayar grafiklerinde, ağaçların ve çalıların görüntülerini elde etmek için geometrik fraktalların kullanılması gereklidir. 2B geometrik fraktallar, hacimsel dokular (bir nesnenin yüzeyindeki desenler) oluşturmak için kullanılır.

2. Cebirsel fraktallar

Bu en büyük fraktal grubudur. N boyutlu uzaylarda doğrusal olmayan işlemler kullanılarak elde edilirler. En çok çalışılan iki boyutlu süreçlerdir. Doğrusal olmayan bir yinelemeli süreci ayrık bir dinamik sistem olarak yorumlayarak, bu sistemlerin teorisinin terminolojisi kullanılabilir: faz portresi, sabit durum süreci, çekici, vb.
Doğrusal olmayan dinamik sistemlerin birkaç kararlı durumu olduğu bilinmektedir. Dinamik sistemin belirli sayıda yinelemeden sonra kendini bulduğu durum, başlangıç ​​durumuna bağlıdır. Bu nedenle, her kararlı durum (veya dedikleri gibi, bir çekici), sistemin mutlaka dikkate alınan son durumlara düşeceği belirli bir başlangıç ​​​​durumları bölgesine sahiptir. Böylece sistemin faz uzayı, çekicilerin çekim bölgelerine bölünmüştür. İki boyutlu bir uzay bir faz uzayıysa, çekim bölgeleri farklı renklerle renklendirilerek bu sistemin renkli bir faz portresi elde edilebilir (yinelemeli süreç). Renk seçim algoritmasını değiştirerek, tuhaf çok renkli desenlere sahip karmaşık fraktal resimler elde edebilirsiniz. Matematikçiler için bir sürpriz, ilkel algoritmalar kullanarak çok karmaşık, önemsiz olmayan yapılar oluşturma yeteneğiydi.

Mandelbrot seti.

Örnek olarak Mandelbrot kümesini ele alalım. Yapısının algoritması oldukça basittir ve basit bir yinelemeli ifadeye dayanmaktadır: Z = Z [i] * Z [i] + C, nerede Zi ve C- karmaşık değişkenler. Karmaşık düzlemin bir alt kümesi olan dikdörtgen veya kare bir bölge ile her başlangıç ​​noktası için yinelemeler gerçekleştirilir. Yinelemeli süreç şu ana kadar devam eder: Z [i] merkezi (0,0) noktasında bulunan (bu, dinamik sistemin çekicisinin sonsuzda olduğu anlamına gelir) veya yeterince fazla sayıda yinelemeden sonra (örneğin, , 200-500) Z [i]çember üzerinde bir noktaya yakınsar. sırasındaki yineleme sayısına bağlı olarak Z [i] dairenin içinde kaldı, noktanın rengini ayarlayabilirsiniz C(Eğer Z [i] yeterince fazla sayıda yineleme için dairenin içinde kalırsa, yinelemeli süreç sonlandırılır ve bu tarama noktası siyah renklendirilir).

3 stokastik fraktal

Diğer bir iyi bilinen fraktal sınıfı, parametrelerinden herhangi biri yinelemeli bir süreçte rastgele değiştirilirse elde edilen stokastik fraktallardır. Aynı zamanda, doğal olanlara çok benzeyen nesneler elde edilir - asimetrik ağaçlar, girintili kıyı şeritleri vb. Arazi ve deniz yüzeyini modellemek için iki boyutlu stokastik fraktallar kullanılır.
Fraktalların başka sınıflandırmaları da vardır, örneğin fraktalların deterministik (cebirsel ve geometrik) ve deterministik olmayan (stokastik) olarak bölünmesi.

Fraktalları kullanma hakkında

Her şeyden önce, fraktallar şaşırtıcı matematik sanatının bir alanıdır, en basit formüller ve algoritmalar kullanıldığında olağanüstü güzellik ve karmaşıklık resimleri elde edilir! Yapraklar, ağaçlar ve çiçekler genellikle oluşturulan görüntülerin dış hatlarında tahmin edilir.

Fraktalların en güçlü uygulamalarından bazıları bilgisayar grafiklerinde bulunur. Birincisi, bu fraktal görüntü sıkıştırma ve ikincisi, manzaraların, ağaçların, bitkilerin inşası ve fraktal dokuların üretilmesidir. modern fizik ve mekanik, fraktal nesnelerin davranışını incelemeye yeni başlıyor. Ve elbette, fraktallar doğrudan matematiğin kendisinde kullanılır.
Fraktal görüntü sıkıştırma algoritmalarının avantajları çok küçük boyutlu paketlenmiş dosya ve kısa görüntü kurtarma süresi. Fraktal olarak paketlenmiş görüntüler pikselleşme olmadan ölçeklenebilir. Ancak sıkıştırma işlemi uzun zaman alır ve bazen saatler alır. Kayıplı fraktal paketleme algoritması, jpeg formatına benzer şekilde sıkıştırma oranını ayarlamanıza izin verir. Algoritma, bazı küçük parçalara benzer bir görüntünün büyük parçalarını bulmaya dayanır. Ve sadece çıktı dosyasına hangi parçanın yazıldığına benzer. Sıkıştırırken, genellikle görüntüyü geri yüklerken hafif bir açısallığa yol açan kare bir ızgara (parçalar - kareler) kullanırlar, altıgen ızgara böyle bir dezavantajdan yoksundur.
Yinelenen, fraktal ve dalga biçimini (jpeg gibi) kayıpsız sıkıştırmayı birleştiren yeni bir "Sting" görüntü formatı geliştirdi. Yeni biçim, daha sonra yüksek kaliteli ölçekleme olasılığı olan görüntüler oluşturmanıza olanak tanır ve grafik dosyalarının hacmi, sıkıştırılmamış görüntülerin hacminin% 15-20'sidir.
Fraktalların dağlara, çiçeklere ve ağaçlara benzeme eğilimi, bazı grafik editörleri tarafından, örneğin 3D stüdyo MAX'tan fraktal bulutlar, World Builder'da fraktal dağlar tarafından kullanılır. Fraktal ağaçlar, dağlar ve bütün manzara basit formüllerle tanımlanır, programlanması kolaydır ve yakınlaştırma sırasında ayrı üçgenlere ve küplere bölünmez.
Matematiğin kendisinde fraktalların kullanımını görmezden gelmek imkansızdır. Küme teorisinde, Cantor kümesi mükemmel hiçbir yerde yoğun kümelerin varlığını kanıtlar; ölçü teorisinde, kendine yakın Cantor merdiven işlevi, tekil bir ölçümün dağılım fonksiyonunun iyi bir örneğidir.
Mekanik ve fizikte, birçok doğal nesnenin ana hatlarını tekrarlamanın benzersiz özelliği nedeniyle fraktallar kullanılır. Fraktallar, ağaçları, kaya yüzeylerini ve çatlakları, bir dizi çizgi veya çokgenle (aynı miktarda depolanmış veri için) yapılan yaklaşımlardan daha yüksek bir doğrulukla tahmin etmenize olanak tanır. Fraktal modeller, doğal nesneler gibi, "pürüzlülüğe" sahiptir ve bu özellik, modelin keyfi olarak büyütülmesiyle korunur. Fraktallar üzerinde tek tip bir ölçünün varlığı, bir kişinin entegrasyonu, potansiyel teorisini uygulamasına, halihazırda çalışılan denklemlerdeki standart nesneler yerine bunları kullanmasına izin verir.
Fraktal bir yaklaşımla kaos, düzensizliğin mavisi olmaktan çıkar ve ince bir yapıya bürünür. Fraktal bilimi hala çok genç ve önünde harika bir gelecek var. Fraktalların güzelliği tükenmekten uzaktır ve bize pek çok başyapıt sunacaktır - göze hoş gelenler ve zihne gerçek zevk verenler.

Fraktallar oluşturma hakkında

ardışık yaklaşım yöntemi

Bu resme bakarak, kendine benzer bir fraktalın (bu durumda Sierpinski piramidi) nasıl oluşturulabileceğini anlamak kolaydır. Sıradan bir piramit (tetrahedron) almanız, ardından ortasını (oktahedron) kesmeniz gerekir, bunun sonucunda dört küçük piramit elde ederiz. Her biri ile aynı işlemi yapıyoruz vb. Bu biraz saf ama sezgisel bir açıklama.

Yöntemin özünü daha kesin olarak ele alalım. Bazı IFS sistemi olsun, yani. daralma haritalama sistemi S= (S 1, ..., S m) S i: R n -> R n (örneğin, piramidimiz için haritalar S i (x) = 1/2 * x + oi biçimindedir, burada oi tetrahedronun köşeleridir, i = 1, .., 4). Sonra R n'de bir kompakt A 1 kümesi seçiyoruz (bizim durumumuzda bir tetrahedron seçiyoruz). Ve tümevarımla A k: A k + 1 = S 1 (A k) U ... U S m (A k) kümelerinin bir dizisini tanımlarız. Artan k ile A k kümelerinin, sistemin aranan çekicisine daha iyi ve daha iyi yaklaştığı bilinmektedir. S.

Bu yinelemelerin her birinin bir çekici olduğuna dikkat edin. yinelenen fonksiyonların özyinelemeli sistemi(İngilizce terim Digraf IFS, RIF'ler ve ayrıca Grafiğe yönelik IFS) ve bu nedenle programımızla oluşturmak kolaydır.

Noktalara veya olasılık yöntemine göre çizim

Bu, bir bilgisayarda uygulanması en kolay yöntemdir. Basitlik için, düz bir kendi kendine yakın küme durumunu düşünün. O halde (S

) - bazı afin kasılma sistemleri. Eşlemeler S

şu şekilde temsil edilebilir: S

Sabit matris boyutu 2x2 ve o

İki boyutlu vektör sütunu.

• İlk haritanın S 1 sabit noktasını başlangıç ​​noktası olarak alın:
  x: = o1;
  Burada, tüm sabit kasılma noktalarının S 1, .., S m fraktalına ait olduğu gerçeğini kullanıyoruz. Başlangıç ​​noktası olarak, rastgele bir nokta seçebilirsiniz ve bu nokta tarafından oluşturulan noktaların sırası fraktalla daralacaktır, ancak daha sonra ekranda birkaç ekstra nokta belirecektir.
• Mevcut x = (x 1, x 2) noktasını ekranda işaretleyelim:
  putpixel (x 1, x 2, 15);
• 1'den m'ye kadar rastgele bir j sayısı seçelim ve x noktasının koordinatlarını yeniden hesaplayalım:
  j: = Rastgele (m) +1;
  x: = Sj(x);
• 2. adıma geçiyoruz veya yeterince fazla sayıda yineleme yaptıysak duruyoruz.

Not. S i haritalarının sıkıştırma oranları farklıysa, fraktal eşit olmayan şekilde noktalarla doldurulacaktır. Eşlemeler S i benzerlikler ise, algoritmayı biraz karmaşıklaştırarak bu önlenebilir. Bunu yapmak için, algoritmanın üçüncü adımında, 1'den m'ye kadar olan j sayısı, p 1 = r 1 s, .., pm = rms olasılıklarıyla seçilmelidir, burada ri, S i eşlemelerinin sıkıştırma oranlarını gösterir, ve s sayısı (benzerlik boyutu olarak adlandırılır) r 1 s + ... + rms = 1 denklemindendir. Bu denklemin çözümü, örneğin Newton'un yöntemiyle bulunabilir.

Fraktallar ve algoritmaları hakkında

Fraktal, Latince sıfat "fractus"tan gelir ve çeviride parçalardan oluşan anlamına gelir ve karşılık gelen Latince "franger" fiili kırmak, yani düzensiz parçalar oluşturmak anlamına gelir. 70'lerin sonlarında ortaya çıkan fraktal ve fraktal geometri kavramları, 80'lerin ortalarından itibaren matematikçilerin ve programcıların günlük yaşamının bir parçası haline geldi. Terim, 1975 yılında Benoit Mandelbrot tarafından, uğraştığı düzensiz fakat kendine benzer yapılara atıfta bulunmak için icat edildi. Fraktal geometrinin doğuşu genellikle Mandelbrot'un "Doğanın Fraktal Geometrisi" kitabının 1977'de yayınlanmasıyla ilişkilendirilir. Çalışmalarında, 1875-1925 döneminde aynı alanda çalışan diğer bilim adamlarının (Poincare, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) bilimsel sonuçlarını kullandı.

ayarlamalar

H.-O tarafından kitapta önerilen algoritmalarda bazı ayarlamalar yapmak için kendime izin vereceğim. Peitgen ve P.H. Richter "Fractalların Güzelliği" M. 1993, yalnızca yazım hatalarını ortadan kaldırmak ve süreçlerin anlaşılmasını kolaylaştırmak için, çünkü onları inceledikten sonra, benim için pek çok şey bir gizem olarak kaldı. Ne yazık ki, bu "anlaşılabilir" ve "basit" algoritmalar, sallanan bir yaşam tarzına öncülük ediyor.

Fraktalların inşası, z => z 2 + c geri beslemeli karmaşık bir sürecin doğrusal olmayan belirli bir fonksiyonuna dayanır, çünkü z ve c karmaşık sayılardır, o zaman z = x + iy, c = p + iq, genişletmek gerekir sıradan bir insan için daha gerçek olan bir uçağa gitmek için x ve y'ye:

x (k + 1) = x (k) 2 -y (k) 2 + p,
y (k + 1) = 2 * x (k) * y (k) + q.

Tüm (x, y) çiftlerinden oluşan düzlem, sabit değerler olarak kabul edilebilir. p ve q, ve dinamik ile. İlk durumda, yasaya göre düzlemin tüm noktalarından (x, y) geçmek ve yinelemeli süreçten çıkmak için gerekli işlevin tekrar sayısına bağlı olarak renklendirmek veya izin verilen maksimum değerde renklendirmemek (siyah) tekrarlar aşıldığında, Julia setinin bir görüntüsünü alacağız. Aksine, ilk değer çiftini (x, y) belirler ve renk kaderini p ve q parametrelerinin dinamik olarak değişen değerleriyle izlersek, o zaman Mandelbrot kümeleri adı verilen görüntüler elde ederiz.

Fraktalları renklendirmek için algoritmalar sorusu üzerine.

Genellikle bir kümenin gövdesi siyah bir alan olarak temsil edilir, ancak siyah rengin başka herhangi bir renkle değiştirilebileceği açıktır, ancak bu aynı zamanda çok az ilginin bir sonucudur. Tüm renklerde renklendirilmiş bir kümenin görüntüsünü elde etmek, döngüsel işlemler kullanılarak çözülemeyen bir iştir, çünkü kümenin gövdesini oluşturan iterasyon sayısı mümkün olan maksimuma eşittir ve her zaman aynıdır. Seti renklendirin farklı renkler belki de döngü çıkış koşulunu (z_büyüklük) veya benzerini, ancak farklı matematiksel işlemlerle kontrol etmenin sonucunu bir renk numarası olarak uygulamak.

"Fractal mikroskop" uygulaması

sınırda fenomenleri göstermek için.

Çekiciler - uçakta hakimiyet için savaşan merkezler. Çekiciler arasında bükülmüş bir deseni temsil eden bir sınır belirir. Kümenin sınırları içinde değerlendirme ölçeğini artırarak, doğal dünyada yaygın bir fenomen olan deterministik kaos durumunu yansıtan önemsiz olmayan kalıplar elde edebilirsiniz.

Coğrafyacılar tarafından incelenen nesneler, çok karmaşık bir şekilde organize edilmiş sınırlara sahip bir sistem oluşturur ve bu nedenle bunların uygulanması kolay bir pratik iş olmaz. Doğal kompleksler, uzaklaştıkça bölge üzerindeki etki gücünü kaybeden çekiciler olarak hareket eden tipik çekirdeklere sahiptir.

Mandelbrot ve Julia kümeleri için bir fraktal mikroskop kullanarak, inceleme ölçeğinden bağımsız olarak eşit derecede karmaşık olan sınır süreçleri ve fenomenler hakkında bir fikir oluşturulabilir ve böylece uzmanın algısını dinamik ve görünüşte kaotik bir toplantı için hazırlayabilir. uzay ve zaman. doğal site, doğanın fraktal geometrisini anlamak için. Rengarenk renkler ve fraktal müzik kesinlikle öğrencilerin zihninde derin izler bırakacaktır.

Binlerce yayın ve devasa İnternet kaynakları fraktallara ayrılmıştır, ancak bilişimden uzak birçok uzman için bu terim tamamen yeni görünmektedir. Fraktallar, çeşitli bilgi alanlarındaki uzmanların ilgi nesneleri olarak, bilgisayar bilimi dersinde uygun bir yer almalıdır.

Örnekleri

SERPINSKY IZGARA

Mandelbrot'un fraktal boyutlar ve yineleme kavramlarını geliştirirken denediği fraktallardan biridir. Daha büyük bir üçgenin orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşturulan üçgenler, ana üçgenden kesilerek daha fazla delikli bir üçgen elde edilir. Bu durumda, başlatıcı büyük üçgendir ve şablon, daha büyük olana benzer üçgenleri kesme işlemidir. Ayrıca sıradan bir tetrahedron kullanarak ve küçük tetrahedronlar oyarak üçgenin üç boyutlu bir versiyonunu elde edebilirsiniz. Böyle bir fraktalin boyutu ln3 / ln2 = 1.584962501'dir. Elde etmek üzere Sierpinski halısı, bir kare alın, dokuz kareye bölün ve ortadakini kesin. Aynısını geri kalan daha küçük kareler için de yapacağız. Sonunda, alanı olmayan, ancak sonsuz bağlantıları olan düz bir fraktal ızgara oluşur. Mekansal biçiminde, Sierpinski süngeri, her bir geçiş öğesinin sürekli olarak kendi türüyle değiştirildiği bir geçiş biçimleri sistemine dönüştürülür. Bu yapı kemik kesimine çok benzer. Bir gün bu tür tekrar eden yapılar bina yapılarının bir parçası olacak. Mandelbrot, statik ve dinamiklerinin yakından incelenmeyi hak ettiğini söylüyor.

KOHA EĞRİSİ

Koch eğrisi en tipik deterministik fraktallardan biridir. On dokuzuncu yüzyılda, Georg Kontor ve Karl Weierstraße'nin çalışmalarını incelerken alışılmadık davranışlara sahip bazı garip eğrilerin tanımlarıyla karşılaşan Helge von Koch adlı bir Alman matematikçi tarafından icat edildi. Başlatıcı düz bir çizgidir. Jeneratör, kenarları daha büyük parçanın uzunluğunun üçte birine eşit olan bir eşkenar üçgendir. Bu üçgenler her parçanın ortasına tekrar tekrar eklenir. Mandelbrot araştırmasında Koch eğrileri ile çok deney yaptı ve Koch Adaları, Koch Haçları, Koch Kar Taneleri gibi figürler ve hatta bir tetrahedron kullanarak ve her yüzüne daha küçük tetrahedronlar ekleyerek Koch eğrisinin üç boyutlu temsillerini elde etti. Koch eğrisi ln4 / ln3 = 1.261859507 boyutuna sahiptir.

FRAKTAL MANDELBROTH

Bu, yeterince sık gördüğünüz Mandelbrot kümesi DEĞİLDİR. Mandelbrot kümesi doğrusal olmayan denklemlere dayanır ve karmaşık bir fraktaldır. Bu aynı zamanda, bu nesnenin öyle görünmemesine rağmen, Koch eğrisinin bir çeşididir. Başlatıcı ve oluşturucu da Koch eğrisi ilkesine dayalı fraktallar oluşturmak için kullanılanlardan farklıdır, ancak fikir aynı kalır. Eklemek yerine eşkenar üçgenler eğrinin parçasına, kareler kareye eklenir. Bu fraktal, her yineleme için ayrılan alanın tam olarak yarısını kapladığı için, 3/2 = 1.5'lik basit bir fraktal boyutuna sahiptir.

karmaşık fraktallar

Aslında, herhangi bir karmaşık fraktalın küçük bir alanını büyütürseniz ve daha sonra aynı şeyi o alanın küçük bir alanıyla yaparsanız, iki büyütme birbirinden önemli ölçüde farklı olacaktır. İki görüntü ayrıntılı olarak çok benzer olacak, ancak tamamen aynı olmayacak.

Şekil 1. Mandelbrot kümesinin yaklaşıklığı

Örneğin, biri diğerinin belirli bir alanı büyütülerek elde edilen Mandelbrot kümesinin burada verilen resimlerini karşılaştırın. Gördüğünüz gibi, her ikisinde de siyah bir daire görmemize rağmen, kesinlikle aynı değiller. farklı taraflar yanan dokunaçlar geliyor. Bu elemanlar azalan oranda Mandelbrot kümesinde süresiz olarak tekrarlanır.

Deterministik fraktallar doğrusaldır, karmaşık fraktallar ise değildir. Doğrusal olmasa da, bu fraktallar Mandelbrot'un doğrusal olmayan cebirsel denklemler dediği şey tarafından üretilir. İyi bir örnek, ikinci dereceden Mandelbrot ve Julia kümelerini oluşturmak için kullanılan denklem olan Zn + 1 = ZnI + C işlemidir. Bu matematiksel denklemlerin çözümü karmaşık ve sanal sayıları içerir. Bir denklem karmaşık bir düzlemde grafiksel olarak yorumlandığında, sonuç, düz çizgilerin eğrilere dönüştüğü ve deformasyon olmadan da olsa, farklı ölçek seviyelerinde kendine benzerlik etkilerinin ortaya çıktığı garip bir şekildir. Aynı zamanda, bir bütün olarak tüm resim tahmin edilemez ve çok kaotik.

Gördüğünüz gibi, resimlere bakıldığında, karmaşık fraktallar gerçekten çok karmaşıktır ve bilgisayar yardımı olmadan oluşturulamazlar. Renkli sonuçlar için bu bilgisayarın güçlü bir matematik yardımcı işlemcisine ve yüksek çözünürlüklü bir monitörüne sahip olması gerekir. Deterministik fraktalların aksine, karmaşık fraktallar 5-10 yinelemede hesaplanmaz. Bilgisayar ekranındaki hemen hemen her nokta ayrı bir fraktal gibidir. Matematiksel işlem sırasında her nokta ayrı bir çizim olarak ele alınır. Her nokta belirli bir değere karşılık gelir. Denklem yerleşiktir, her noktaya uygulanır ve örneğin 1000 yineleme yapılır. Ev bilgisayarları için kabul edilebilir bir süre boyunca nispeten bozulmamış bir görüntü elde etmek için bir nokta için 250 yineleme yapmak mümkündür.

Bugün gördüğümüz fraktalların çoğu güzel renklidir. Belki de fraktal görüntüler, tam olarak renk şemaları nedeniyle böylesine büyük bir estetik değer kazanmıştır. Denklem hesaplandıktan sonra bilgisayar sonuçları analiz eder. Sonuçlar sabitse veya belirli bir değer civarında dalgalanıyorsa, nokta genellikle siyaha döner. Bir veya diğer adımdaki değer sonsuza gidiyorsa, nokta farklı bir renge, belki mavi veya kırmızıya boyanır. Bu işlem sırasında bilgisayar tüm hızlar için renkler atar.

Genellikle, hızlı hareket eden noktalar kırmızıya boyanırken, daha yavaş olanlar sarıya boyanır vb. Karanlık noktalar muhtemelen en kararlı olanlardır.

Karmaşık fraktallar deterministik fraktallardan sonsuz derecede karmaşık olmaları bakımından farklıdır, ancak aynı zamanda çok basit bir formülle üretilebilirler. Deterministik fraktalların formüllere veya denklemlere ihtiyacı yoktur. Sadece çizim kağıdı alın ve herhangi bir zorluk yaşamadan 3 veya 4 iterasyona kadar bir Sierpinski eleği oluşturabilirsiniz. Bolca Julia ile deneyin! İngiltere'nin kıyı şeridinin uzunluğunu ölçmek daha kolay!

Mandelbroth SETİ

Şekil 2. Mandelbrot seti

Mandelbrot ve Julia kümeleri muhtemelen en yaygın iki karmaşık fraktaldır. Birçok bilimsel dergide, kitap kapağında, kartpostalda ve bilgisayar ekran koruyucularında bulunabilirler. Benoit Mandelbrot tarafından inşa edilen Mandelbrot seti, muhtemelen insanların fraktal kelimesini duyduklarında sahip oldukları ilk çağrışımdır. Parlayan ağaç ve ona bağlı dairesel alanlar içeren bu kart benzeri fraktal, Zn + 1 = Zna + C basit formülüyle üretilir; burada Z ve C karmaşık sayılardır ve a pozitif bir sayıdır.

En sık görülen Mandelbrot kümesi 2. derece Mandelbrot kümesidir, yani a = 2. Mandelbrot kümesinin sadece Zn + 1 = ZnІ + C değil, formülündeki üssü herhangi bir pozitif sayı olabilen bir fraktal olması birçok kişiyi yanılttı. Bu sayfada, Mandelbrot setinin bir örneğini görüyorsunuz. Farklı anlamlar gösterge a.
Şekil 3. a = 3.5'te kabarcıkların görünümü

Z = Z * tg (Z + C) işlemi de popülerdir. Teğet işlevini açarak, elma benzeri bir alanla çevrili bir Mandelbrot seti elde edersiniz. Kosinüs işlevinin kullanılması hava kabarcığı efektleri üretir. Kısacası, farklı güzel resimler elde etmek için Mandelbrot setini özelleştirmenin sonsuz sayıda yolu vardır.

bir sürü JULIA

Şaşırtıcı bir şekilde Julia kümeleri, Mandelbrot kümesiyle aynı formüle göre oluşturulmuştur. Julia seti, Fransız matematikçi Gaston Julia tarafından icat edildi ve sete adını verdi. Mandelbrot ve Julia kümeleriyle görsel olarak tanıştıktan sonra ortaya çıkan ilk soru, "eğer her iki fraktal da aynı formüle göre oluşturulmuşsa, neden bu kadar farklılar?" İlk önce Julia setinin resimlerine bakın. İşin garibi, farklı Julia setleri var. Farklı başlangıç ​​noktaları kullanarak (yineleme sürecini başlatmak için) bir fraktal çizerken, farklı görüntüler oluşturulur. Bu sadece Julia seti için geçerlidir.

Şekil 4. Julia seti

Resimde görülmemesine rağmen, bir Mandelbrot fraktal aslında birbirine bağlı bir dizi Julia fraktalıdır. Mandelbrot kümesinin her noktası (veya koordinatı) bir Julia fraktalına karşılık gelir. Julia kümeleri, bu noktalar kullanılarak Z = ZI + C denkleminde başlangıç ​​değerleri olarak oluşturulabilir. Ancak bu, Mandelbrot fraktalı üzerinde bir nokta seçip onu artırırsanız, bir Julia fraktal elde edebileceğiniz anlamına gelmez. Bu iki nokta aynıdır, ancak yalnızca matematiksel anlamda. Bu noktayı alır ve bu formülü kullanarak hesaplarsanız, Mandelbrot fraktalının belirli bir noktasına karşılık gelen Julia fraktalını elde edebilirsiniz.